二次函数的平移、对称与翻折 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学下册

二次函数的平移、对称与翻折 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版九年级数学下册 学生版 复习导航 本讲把每次变换落实为点的对应关系，再确定表达式与横坐标范围。先掌握平移、轴对称与中心对称，再研究两步操作和局部翻折；有限图像的端点也必须一同变换。 每节先读知识与微例，再完成典例及紧随其后的三道变式。A组巩固对应关系，B组突破逆推与范围，C组综合几何条件，D组迁移到近年中考题。 一、点的平移与整条图像的平移 1 二、从条件反求平移与参数变化 3 三、关于坐标轴与平行于坐标轴的直线对称 4 四、关于原点与指定点的中心对称 4 五、复合变换与先后顺序 5 六、有限图像与端点的同步变换 6 七、关于横轴的局部翻折 8 八、保留一侧再复制与变换条件的综合 10 A组 基础通关 12 B组 难点突破 13 C组 综合进阶 16 D组 中考真题 19 一、点的平移与整条图像的平移 设原图像的表达式为这里只表示一个确定的代数式。例如时， 点向右平移向上平移后，坐标为用有符号数表示移动量时，表示向左，表示向下；若题目明确写向右个单位，则 整条图像作同一平移，新的表达式为因为新点横坐标为时，原对应点横坐标是原图上的点与新图上同横坐标的点，通常不是平移对应点。 只移动一个点时，原抛物线并未改变。若移动后的点落在另一条已知直线上，应把新点坐标代入那条直线，而不是擅自把原曲线整体平移。 微例：点右移上移得到抛物线作同一平移则得到 例1、如图，点在抛物线上。将点向右平移个单位、 向上平移个单位得到点 （1）求的坐标；（2）将整条抛物线作上述平移， 求新表达式及新图像上横坐标为的点的坐标。 变式1-1、点在抛物线上，将向左平移个单位、向上平移个单位得到且在直线上。求的坐标。 变式1-2、将抛物线向左平移个单位、向下平移个单位。求新抛物线表达式，并求原顶点及原图上点的对应点。 变式1-3、将抛物线向右平移个单位、向上平移个单位得到新抛物线。原图上点的平移对应点为且的纵坐标之和为求所有符合条件的 二、从条件反求平移与参数变化 把向右平移向上平移得到二次项系数不变，顶点坐标分别加两条完整抛物线能平移重合，当且仅当二次项系数相同；有限图像还须检查范围。 一般式平移后，二次项系数仍为一次项系数变为常数项变为求具体平移量时，先配方比较顶点通常比展开更短。 已知新图经过一点，只能代入新式，不能把该点当作新顶点。若横、纵移动量有关联，先写关联，再代入经过点；解出的每个值都要核对方向和范围。 顶点在直线或某个区域内移动时，顶点坐标直接满足相应方程或不等式。只需追踪顶点，不必另做整条图像的最值问题。 微例：右移上移后经过有得或 两种正向平移都有效。 例2、将抛物线向右平移个单位、向上平移个单位，新抛物线经过点求所有可能的新表达式。 变式2-1、将抛物线平移后得到求平移方向与距离，并求原图上点的对应点。 变式2-2、将抛物线向右平移个单位（，再作竖直平移。所得抛物线的一次项系数为且经过原点。求及竖直平移的方向与距离。 变式2-3、将抛物线向右平移个单位、向下平移个单位，新顶点位于第一象限且在直线的上方。求的取值范围。 三、关于坐标轴与平行于坐标轴的直线对称 关于竖直直线对称，点变为函数变为顶点式变为开口方向不变。取就是关于轴对称。 关于水平直线对称，点变为函数变为顶点式变为开口方向相反。取就是关于轴对称。 求未知对称轴时，可比较对应顶点的中点。关于自身对称轴反射后，完整抛物线与原图重合，但轴外的点仍交换位置；图像重合不等于每个点不动。 微例：关于对称后为关于对称后为 例3、抛物线分别关于直线直线对称。 （1）分别求两条新抛物线的表达式；（2）若原抛物线关于竖直直线对称后为求 变式3-1、将抛物线关于轴对称。求新式，并求原图与新图的公共点坐标。 变式3-2、抛物线关于水平直线对称后经过点 求及新抛物线表达式。 变式3-3、将抛物线（关于直线对称后，恰与向右平移个单位后的图像重合。求并求原图上点经该对称后的坐标。 四、关于原点与指定点的中心对称 关于点中心对称，点变为也就是绕旋转原点对应 函数的新式为对顶点式新顶点为二次项系数变为指定点不必是原抛物线的顶点。 两条抛物线互为中心对称时，它们的顶点互为对应点，对称中心是两个顶点的中点。若已知新图的两零点，先取横坐标平均数确定新轴，再结合开口与点值求新顶点。 公共点不一定在变换中固定。中心对称中唯一可能固定的点是中心本身；原图与新图的两个公共点也可以彼此交换。 微例：关于点对称后，顶点为新式为 例4、将抛物线关于点中心对称。 （1）求新表达式；（2）求原顶点与点的对应点； （3）求原图与新图的公共点坐标。 变式4-1、将抛物线关于原点中心对称。 求新表达式及原图上点的对应点。 变式4-2、抛物线关于某点中心对称后，得到求并求原点在这一变换下的对应点。 变式4-3、将抛物线关于点中心对称，所得抛物线与轴交于求及新表达式。 五、复合变换与先后顺序 复合变换每一步都对上一步所得图像操作，不能两步都从原图出发。可用同一个顶点记录位置，同时记录开口方向是否改变。 依次关于和对称，点的横坐标变为相当于水平平移顺序反过来，移动方向也反过来。 水平平移与关于轴对称通常不能交换，因为它们都改变横坐标。水平平移与关于轴对称可以交换，因为前者只改横坐标，后者只改纵坐标。 不能笼统断言所有顺序都相同或都不同。 反求未知一步时，先按正向顺序写出最终顶点。求同一横坐标上的距离时，必须比较两个最终表达式，不可将两图上的任意点误认作变换对应点。 微例：先右移再关于轴对称，得交换顺序则得 例5、抛物线先关于直线对称，再关于直线对称，最终顶点为 （1）求与最终表达式； （2）将两次对称的顺序交换，求最终表达式及两种结果的公共点。 变式5-1、将抛物线先向上平移个单位，再关于轴对称；另将原抛物线先关于轴对称，再向上平移个单位。分别求两种结果的表达式及同一横坐标上两点的竖直距离。 变式5-2、将抛物线先向右平移个单位，再关于轴对称；若交换两步顺序，所得完整图像与原顺序的结果重合。这里为有符号的水平移动量。求 变式5-3、将抛物线先关于点中心对称，再关于点中心对称。求最终表达式及原图上点的最终对应点。 六、有限图像与端点的同步变换 只取的一段图像，右移后横坐标范围为竖直平移及关于水平直线对称，不改变横坐标范围。 关于对称或关于点中心对称，新的横坐标范围为原右端点变成新左端点，须重新排序；空心、实心端点跟随对应点移动。 判断两段图像完全重合，必须同时核对表达式、有效范围与端点是否包含。即使关于自身对称轴反射后表达式不变，原范围不对称时也不是同一段图像。 证明无法重合时，应找到不能同时满足的必要条件。例如先由顶点位置确定移动量，再发现端点范围不匹配；不能只凭图形看起来不同下结论。 微例：取关于对称后式子仍相同，但范围为 例6、如图，函数只取的一段。先将这一段关于直线对称，再向下平移个单位。 （1）求最终表达式及横坐标范围；（2）求原来左右两个端点的最终对应点坐标， 并标明包含情况。 变式6-1、函数只取的部分，关于点中心对称后得到新图像。求新表达式、横坐标范围及两个端点的坐标与包含情况。 变式6-2、函数只取的一段。该段关于直线对称后与自身完全重合。求及这段图像的两个端点坐标。 变式6-3、将在上的图像先关于直线对称，再作一次平移，得到的一段。求所得图像的横坐标范围。 七、关于横轴的局部翻折 整条图像关于轴对称，得到仅将轴下方部分翻到上方，上方及轴上部分不变，得到仅将上方翻到下方则得到这三种操作不能混用。 写局部翻折后的表达式，先解找分界点，再判断各区间的正负：时时有限图像还要与原横坐标范围取共同部分。 先平移再翻折的结果为先翻折再平移为一般不同。分界点要依照正在被翻折的那条图像重算，不能沿用原零点。 沿水平直线局部翻折时，先比较与下方翻到上方、其余不变，得到上方翻到下方、其余不变，得到分界点由确定，不再由确定。 求图像上的点或同横坐标的竖直距离，应先确定该横坐标落在哪一段。翻折图像未必是一条抛物线，不可直接套一条二次函数的顶点式处理全图。 微例：则在或时为在时为连接点在轴上，无需重复翻折。 例7、如图，函数的图像只取这一段。将其中轴下方部分关于轴翻折到上方，其余部分不变，得到 （1）写出各段的表达式及横坐标范围；（2）求上横坐标为的点；（3）求与原图在同一横坐标处的竖直距离的最大值。 变式7-1、将中轴上方部分翻到下方，其余部分不变。写出所得图像各段的表达式，并求横坐标为及的点的纵坐标。 变式7-2、令图像由原图先向上平移个单位再将轴下方部分翻到上方得到；由原图先将下方部分翻到上方再向上平移个单位得到。求两图上同横坐标点的纵坐标相等时的取值范围。 变式7-3、将抛物线位于直线下方的部分关于该直线翻到上方，其他部分不变。已知新图像经过和并且原图有一部分位于直线下方。求及新图像与直线的交点。 八、保留一侧再复制与变换条件的综合 保留在的部分，再关于复制到左侧，右侧仍用左侧用左侧每个点对应的是右侧原图上的点，不能把左侧原图也保留下来。 特别地，表示保留右半图并复制到左边；表示整图关于轴对称。前者在时不变，在时用两者含义不同。 如果只保留的一段，复制后范围为每段公式只能在自己的有效范围使用，即使公式本身还有顶点，也不一定能画入该段。 条件反求复制轴或原式时，先根据对应点的横坐标和为写方程；求长度时再用横、纵坐标差。斜线段长度应用勾股定理，不可仅取纵坐标差。 微例：则右侧为左侧为它与整图反射所得的不是同一个图像。 例8、如图，保留抛物线在上的一段， 并将该段关于直线复制到左侧，得到 （1）写出左右两段的表达式及范围；（2）求上纵坐标为的点； （3）求这两个点之间的距离。 变式8-1、设分别写出与各段的表达式，并求两图上横坐标为的点的纵坐标。 变式8-2、保留抛物线在的部分，并将保留部分关于直线复制到左侧。已知且左侧复制图像经过点求与左侧表达式。 变式8-3、保留抛物线在的部分，并关于轴复制到左侧。求新图像上纵坐标为的所有点，并求其中任意两不同点间距离的最大值。 A组 基础通关 A1、点在抛物线上。将点向右平移个单位、再向上平移个单位，所得点的坐标为（　）。 A． B． C． D． A2、将函数（的图像平移后，得到的一段图像。原图像应向右平移____个单位、向上平移____个单位；新图像的横坐标范围为____。 A3、将抛物线关于直线对称，所得抛物线的 表达式为____。 A4、如图，函数（的图像关于直线对称后，所得图像的表达式及横坐标范围为（　）。 A． B． C． D． A5、将抛物线关于点中心对称，所得抛物线的顶点为____， 表达式为____。 A6、把抛物线按下列两种方式变换：①先向右平移个单位，再关于轴对称；②先关于轴对称，再向右平移个单位。分别求所得表达式。 A7、设下列函数中，其图像由原图保留的部分并关于轴复制到左侧得到的是（　）。 A． B． C． D． A8、函数在上的一段图像向右平移个单位、向下平移个单位。所得图像的表达式为____，横坐标范围为____。 A9、分别写出将抛物线整图关于轴对称，以及仅将轴下方部分翻到上方后的表达式；求两种图像在处的纵坐标。 B组 难点突破 B1、点在抛物线上，将向右平移个单位、向上平移个单位（得到且也在原抛物线上。 （1）用含的式子表示线段的中点坐标；（2）若中点的纵坐标为求 B2、将抛物线（向右平移个单位、向上平移个单位（后，新图经过与求及新表达式。 B3、抛物线依次关于直线对称，最终图像与原抛物线重合。 （1）求（2）求原图上点经过这三次对称后的坐标。 B4、对抛物线作下列变换：①先向右平移个单位，再关于轴对称；②先关于轴对称，再向右平移个单位。 （1）分别求所得抛物线表达式； （2）求这两条新抛物线的公共点坐标。 B5、抛物线关于直线对称，得到新抛物线。原图与新图的两个公共点之间的距离为____。 B6、如图，保留抛物线中的部分， 将保留部分关于直线对称到左侧，得到图像 （1）分别写出在时的表达式； （2）求上横坐标为的点， 并求通过上三点的抛物线在处的纵坐标。 B7、将函数（的图像关于直线对称。 下列说法正确的是（　）。 A．图像上的每个点都保持原位置不动 B．对称后的图像与原图像不重合，因为左右端点交换了位置 C．原图像上的点的对应点为 D．对称后的图像与原图像重合，但不在直线上的点都改变了位置 B8、抛物线关于轴对称后，再向下平移个单位，恰与原抛物线重合，则下列结论正确的是（　）。 A．只需 B．只需 C．只需 D．没有符合条件的抛物线 B9、将抛物线关于点中心对称后得到的新抛物线，其顶点在轴上，且经过点则的坐标为____。 C组 综合进阶 C1、抛物线（经过点将它关于直线对称所得图像，与将原抛物线向右平移个单位所得图像重合。 （1）求原抛物线表达式； （2）求原抛物线与向右平移个单位后的抛物线的公共点坐标。 C2、如图，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，其中所得抛物线与直线相交于且在的左侧。 （1）用含的式子表示的坐标； （2）求线段的长度； （3）若在第四象限，在第一象限，求的取值范围。 C3、如图，将抛物线关于点中心对称，所得抛物线经过 （1）求的坐标及新抛物线表达式； （2）求原抛物线上点的对应点 （3）求两条抛物线的公共点，并求这两个公共点所连线段的中点坐标。 C4、如图，函数的图像只取这一段。按两种方式变换： 方式一：先向上平移个单位，再将位于轴下方的部分关于轴翻折到上方， 其他部分不变，得 方式二：先将原图像位于轴下方的部分关于轴翻折到上方，其他部分不变，再向上平移个单位，得 （1）分别写出的表达式及各段横坐标范围； （2）求两图像上同横坐标点的纵坐标相等时的取值范围； （3）求同一横坐标处上的点到上的点的竖直距离的最大值； （4）将原图像位于轴上方的部分关于轴翻折到下方，其他部分不变，得到写出的表达式及各段横坐标范围。 C5、如图，函数的图像只取这一段。先将这一段关于直线对称，再作一次平移。关于所得图像与原来这一段图像完全重合的条件，下列判断正确的是（　）。 A．能，只要将对称后的顶点移回即可 B．能，只要选择即可，不需要再平移 C．能，只要把对称后的左右端点分别移到即可 D．不能，无论及平移量怎样选择， 都不能完全重合 C6、把抛物线向右平移个单位、再向上平移个单位，其中已知新旧两条抛物线的公共点为且新抛物线的顶点在直线上，则____。 C7、如图，将抛物线向右平移个单位（，再作竖直平移，所得新图经过和 （1）求及竖直平移的方向与距离；（2）原图上点的平移对应点为且在原抛物线上，求（3）求的长度。 C8、抛物线（关于点中心对称后所得图像，与原图关于轴对称再向右平移个单位、向上平移个单位所得图像重合。原图经过和 （1）求原表达式；（2）只保留原图的部分并关于复制到左侧，求所得图像各段表达式；（3）求复制所得图像与直线所交两点之间的距离。 D组 中考真题 D1、（2025年上海市中考第12题）将函数的图像向下平移个单位后，得到的新函数的解析式为____。 D2、（2025年山东省青岛市中考第9题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象。下列对新函数的描述正确的是（　）。 A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 D3、（2025年吉林省长春市中考第24题第(1)、(2)问（节选））如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点点是该抛物线上的两点，横坐标分别为已知点作点关于点的对称点作点关于点的对称点构造四边形 （1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标。 D4、（2025年江苏省常州市中考第27题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点点是线段上一点（与不重合）。二次函数（是常数，且的图像经过点顶点是将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，分别是的对应点，且点落在轴正半轴上，点的纵坐标为 （1）____；（2）求点的坐标。 （3）已知新抛物线与轴交于点点在新抛物线上。若对于满足的任意实数总成立，求实数的取值范围。 D5、（2025年山东省淄博市中考第22题第(1)、(3)问（节选））如图，一条抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点 （1）求抛物线对应的函数表达式。 （3）将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为。设这两条抛物线的交点为①求旋转角度的正切值；②当时，求原抛物线平移的距离。 D6、（2025年四川省广安市中考第27题第(1)、(3)问（节选））如图，二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点已知点的坐标为点的坐标为连接 （1）求抛物线的解析式。 （3）将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点在新抛物线上，点是原抛物线对称轴上的一点。若以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标。 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数的平移、对称与翻折 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版九年级数学下册 教师详解版 复习导航 本讲把每次变换落实为点的对应关系，再确定表达式与横坐标范围。先掌握平移、轴对称与中心对称，再研究两步操作和局部翻折；有限图像的端点也必须一同变换。 每节先读知识与微例，再完成典例及紧随其后的三道变式。A组巩固对应关系，B组突破逆推与范围，C组综合几何条件，D组迁移到近年中考题。 一、点的平移与整条图像的平移 1 二、从条件反求平移与参数变化 2 三、关于坐标轴与平行于坐标轴的直线对称 3 四、关于原点与指定点的中心对称 4 五、复合变换与先后顺序 5 六、有限图像与端点的同步变换 6 七、关于横轴的局部翻折 7 八、保留一侧再复制与变换条件的综合 8 A组 基础通关 10 B组 难点突破 11 C组 综合进阶 13 D组 中考真题 17 一、点的平移与整条图像的平移 设原图像的表达式为这里只表示一个确定的代数式。例如时， 点向右平移向上平移后，坐标为用有符号数表示移动量时，表示向左，表示向下；若题目明确写向右个单位，则 整条图像作同一平移，新的表达式为因为新点横坐标为时，原对应点横坐标是原图上的点与新图上同横坐标的点，通常不是平移对应点。 只移动一个点时，原抛物线并未改变。若移动后的点落在另一条已知直线上，应把新点坐标代入那条直线，而不是擅自把原曲线整体平移。 微例：点右移上移得到抛物线作同一平移则得到 例1、如图，点在抛物线上。将点向右平移个单位、 向上平移个单位得到点 （1）求的坐标；（2）将整条抛物线作上述平移， 求新表达式及新图像上横坐标为的点的坐标。 【解析】（1）即 （2）新式为取得 是的平移对应点，不是。 变式1-1、点在抛物线上，将向左平移个单位、向上平移个单位得到且在直线上。求的坐标。 【解析】由得两根都满足 故对应或对应 变式1-2、将抛物线向左平移个单位、向下平移个单位。求新抛物线表达式，并求原顶点及原图上点的对应点。 【解析】新式为原顶点变为点变为 代入新式也得 变式1-3、将抛物线向右平移个单位、向上平移个单位得到新抛物线。原图上点的平移对应点为且的纵坐标之和为求所有符合条件的 【解析】设则由得或故或 二、从条件反求平移与参数变化 把向右平移向上平移得到二次项系数不变，顶点坐标分别加两条完整抛物线能平移重合，当且仅当二次项系数相同；有限图像还须检查范围。 一般式平移后，二次项系数仍为一次项系数变为常数项变为求具体平移量时，先配方比较顶点通常比展开更短。 已知新图经过一点，只能代入新式，不能把该点当作新顶点。若横、纵移动量有关联，先写关联，再代入经过点；解出的每个值都要核对方向和范围。 顶点在直线或某个区域内移动时，顶点坐标直接满足相应方程或不等式。只需追踪顶点，不必另做整条图像的最值问题。 微例：右移上移后经过有得或 两种正向平移都有效。 例2、将抛物线向右平移个单位、向上平移个单位，新抛物线经过点求所有可能的新表达式。 【解析】新式为代入得即 或均大于故新式为或 变式2-1、将抛物线平移后得到求平移方向与距离，并求原图上点的对应点。 【解析】两式分别为与顶点由到故向左平移个单位，无竖直移动；对应点为 变式2-2、将抛物线向右平移个单位（，再作竖直平移。所得抛物线的一次项系数为且经过原点。求及竖直平移的方向与距离。 【解析】设有符号的竖直移动量为向上为正。新式为一次项系数得代入原点有得 即向右向下个单位。 变式2-3、将抛物线向右平移个单位、向下平移个单位，新顶点位于第一象限且在直线的上方。求的取值范围。 【解析】新顶点为第一象限要求在线上方要求得结合范围为 三、关于坐标轴与平行于坐标轴的直线对称 关于竖直直线对称，点变为函数变为顶点式变为开口方向不变。取就是关于轴对称。 关于水平直线对称，点变为函数变为顶点式变为开口方向相反。取就是关于轴对称。 求未知对称轴时，可比较对应顶点的中点。关于自身对称轴反射后，完整抛物线与原图重合，但轴外的点仍交换位置；图像重合不等于每个点不动。 微例：关于对称后为关于对称后为 例3、抛物线分别关于直线直线对称。 （1）分别求两条新抛物线的表达式；（2）若原抛物线关于竖直直线对称后为求 【解析】（1）关于时，顶点变为得关于时，顶点变为且开口向下，得 （2）顶点横坐标满足所以 变式3-1、将抛物线关于轴对称。求新式，并求原图与新图的公共点坐标。 【解析】新式为令两式相等得故公共点为 变式3-2、抛物线关于水平直线对称后经过点 求及新抛物线表达式。 【解析】新式为代入得所以新式为 变式3-3、将抛物线（关于直线对称后，恰与向右平移个单位后的图像重合。求并求原图上点经该对称后的坐标。 【解析】右移后的顶点横坐标为对称后为所以得点的对应横坐标为纵坐标不变，故为 四、关于原点与指定点的中心对称 关于点中心对称，点变为也就是绕旋转原点对应 函数的新式为对顶点式新顶点为二次项系数变为指定点不必是原抛物线的顶点。 两条抛物线互为中心对称时，它们的顶点互为对应点，对称中心是两个顶点的中点。若已知新图的两零点，先取横坐标平均数确定新轴，再结合开口与点值求新顶点。 公共点不一定在变换中固定。中心对称中唯一可能固定的点是中心本身；原图与新图的两个公共点也可以彼此交换。 微例：关于点对称后，顶点为新式为 例4、将抛物线关于点中心对称。 （1）求新表达式；（2）求原顶点与点的对应点； （3）求原图与新图的公共点坐标。 【解析】（1）原式为新顶点开口向下，故 （2）原顶点对应对应 （3）令整理得公共点为 二者恰为一对对应点。 变式4-1、将抛物线关于原点中心对称。 求新表达式及原图上点的对应点。 【解析】原顶点变为二次项系数由变为故 点变为 变式4-2、抛物线关于某点中心对称后，得到求并求原点在这一变换下的对应点。 【解析】两顶点与的中点为原点的对应点为原点不在原抛物线上，但点的中心对称规则仍适用。 变式4-3、将抛物线关于点中心对称，所得抛物线与轴交于求及新表达式。 【解析】新轴为所以新式可写成故因此新式为 五、复合变换与先后顺序 复合变换每一步都对上一步所得图像操作，不能两步都从原图出发。可用同一个顶点记录位置，同时记录开口方向是否改变。 依次关于和对称，点的横坐标变为相当于水平平移顺序反过来，移动方向也反过来。 水平平移与关于轴对称通常不能交换，因为它们都改变横坐标。水平平移与关于轴对称可以交换，因为前者只改横坐标，后者只改纵坐标。 不能笼统断言所有顺序都相同或都不同。 反求未知一步时，先按正向顺序写出最终顶点。求同一横坐标上的距离时，必须比较两个最终表达式，不可将两图上的任意点误认作变换对应点。 微例：先右移再关于轴对称，得交换顺序则得 例5、抛物线先关于直线对称，再关于直线对称，最终顶点为 （1）求与最终表达式； （2）将两次对称的顺序交换，求最终表达式及两种结果的公共点。 【解析】（1）顶点横坐标依次为由得最终式为 （2）反向时顶点横坐标依次为得令得纵坐标为公共点为 变式5-1、将抛物线先向上平移个单位，再关于轴对称；另将原抛物线先关于轴对称，再向上平移个单位。分别求两种结果的表达式及同一横坐标上两点的竖直距离。 【解析】第一种为第二种为同一横坐标的纵坐标差恒为竖直距离为 变式5-2、将抛物线先向右平移个单位，再关于轴对称；若交换两步顺序，所得完整图像与原顺序的结果重合。这里为有符号的水平移动量。求 【解析】两种结果的顶点横坐标分别为纵坐标均为且开口相同。重合要求得即没有水平移动。 变式5-3、将抛物线先关于点中心对称，再关于点中心对称。求最终表达式及原图上点的最终对应点。 【解析】原顶点先变为再变为两次开口反向后仍向上，故点先变为再变为 六、有限图像与端点的同步变换 只取的一段图像，右移后横坐标范围为竖直平移及关于水平直线对称，不改变横坐标范围。 关于对称或关于点中心对称，新的横坐标范围为原右端点变成新左端点，须重新排序；空心、实心端点跟随对应点移动。 判断两段图像完全重合，必须同时核对表达式、有效范围与端点是否包含。即使关于自身对称轴反射后表达式不变，原范围不对称时也不是同一段图像。 证明无法重合时，应找到不能同时满足的必要条件。例如先由顶点位置确定移动量，再发现端点范围不匹配；不能只凭图形看起来不同下结论。 微例：取关于对称后式子仍相同，但范围为 例6、如图，函数只取的一段。先将这一段关于直线对称，再向下平移个单位。 （1）求最终表达式及横坐标范围；（2）求原来左右两个端点的最终对应点坐标， 并标明包含情况。 【解析】（1）对称后顶点为再下移得到原变为且包含，原变为且不包含，所以 （2）原左端点变为包含；原右端位置变为不包含。 变式6-1、函数只取的部分，关于点中心对称后得到新图像。求新表达式、横坐标范围及两个端点的坐标与包含情况。 【解析】新式为由得原右端变为且包含，原左端位置变为且不包含。 变式6-2、函数只取的一段。该段关于直线对称后与自身完全重合。求及这段图像的两个端点坐标。 【解析】横坐标范围的中点必须为故两端点为新范围仍为满足重合要求。 变式6-3、将在上的图像先关于直线对称，再作一次平移，得到的一段。求所得图像的横坐标范围。 【解析】设随后水平移动量为竖直移动量为最终顶点为所以范围由再平移得到与的具体值无关。 七、关于横轴的局部翻折 整条图像关于轴对称，得到仅将轴下方部分翻到上方，上方及轴上部分不变，得到仅将上方翻到下方则得到这三种操作不能混用。 写局部翻折后的表达式，先解找分界点，再判断各区间的正负：时时有限图像还要与原横坐标范围取共同部分。 先平移再翻折的结果为先翻折再平移为一般不同。分界点要依照正在被翻折的那条图像重算，不能沿用原零点。 沿水平直线局部翻折时，先比较与下方翻到上方、其余不变，得到上方翻到下方、其余不变，得到分界点由确定，不再由确定。 求图像上的点或同横坐标的竖直距离，应先确定该横坐标落在哪一段。翻折图像未必是一条抛物线，不可直接套一条二次函数的顶点式处理全图。 微例：则在或时为在时为连接点在轴上，无需重复翻折。 例7、如图，函数的图像只取这一段。将其中轴下方部分关于轴翻折到上方，其余部分不变，得到 原图 变换后图 （1）写出各段的表达式及横坐标范围；（2）求上横坐标为的点；（3）求与原图在同一横坐标处的竖直距离的最大值。 【解析】（1）在和上不小于在上小于故外围两段为中段为 （2）落在中段，所求点为 （3）外围距离为中段距离为最大为在取得。 变式7-1、将中轴上方部分翻到下方，其余部分不变。写出所得图像各段的表达式，并求横坐标为及的点的纵坐标。 【解析】原式在时为正，故中段翻成在或时仍为取得取得 变式7-2、令图像由原图先向上平移个单位再将轴下方部分翻到上方得到；由原图先将下方部分翻到上方再向上平移个单位得到。求两图上同横坐标点的纵坐标相等时的取值范围。 【解析】为为令 当时，两式都等于当时，等式为仅得不在这一段内；当时，两式分别为不相等。故或 变式7-3、将抛物线位于直线下方的部分关于该直线翻到上方，其他部分不变。已知新图像经过和并且原图有一部分位于直线下方。求及新图像与直线的交点。 【解析】新图为由得即或原图有部分低于要求故翻折不改变原图与翻折轴的交点，解得到 八、保留一侧再复制与变换条件的综合 保留在的部分，再关于复制到左侧，右侧仍用左侧用左侧每个点对应的是右侧原图上的点，不能把左侧原图也保留下来。 特别地，表示保留右半图并复制到左边；表示整图关于轴对称。前者在时不变，在时用两者含义不同。 如果只保留的一段，复制后范围为每段公式只能在自己的有效范围使用，即使公式本身还有顶点，也不一定能画入该段。 条件反求复制轴或原式时，先根据对应点的横坐标和为写方程；求长度时再用横、纵坐标差。斜线段长度应用勾股定理，不可仅取纵坐标差。 微例：则右侧为左侧为它与整图反射所得的不是同一个图像。 例8、如图，保留抛物线在上的一段， 并将该段关于直线复制到左侧，得到 原图 变换后图 （1）写出左右两段的表达式及范围；（2）求上纵坐标为的点； （3）求这两个点之间的距离。 【解析】（1）右段为左段用代替原横坐标，得 （2）右段由只有有效；左段由只有有效。 两点为 （3）两点纵坐标相同，距离为左式的顶点横坐标不在左段范围内， 不能把它画进左段。 变式8-1、设分别写出与各段的表达式，并求两图上横坐标为的点的纵坐标。 【解析】在时为在时为取得 的零点为两零点外侧及零点处，两零点之间为取在外侧，得 变式8-2、保留抛物线在的部分，并将保留部分关于直线复制到左侧。已知且左侧复制图像经过点求与左侧表达式。 【解析】左侧表达式为代入得结合得左式为 变式8-3、保留抛物线在的部分，并关于轴复制到左侧。求新图像上纵坐标为的所有点，并求其中任意两不同点间距离的最大值。 【解析】右侧由得或复制后还得到所有点为横坐标差最大为因此最大距离为 不能将重复计作两个不同点。 A组 基础通关 A1、点在抛物线上。将点向右平移个单位、再向上平移个单位，所得点的坐标为（　）。 A． B． C． D． 【解析】选B。点的对应关系给出即这里只移动点不要求仍在原抛物线上。 A2、将函数（的图像平移后，得到的一段图像。原图像应向右平移____个单位、向上平移____个单位；新图像的横坐标范围为____。 【解析】顶点由移到所以向右平移向上平移原范围的两个端点横坐标均加得到 A3、将抛物线关于直线对称，所得抛物线的 表达式为____。 【解析】对称后的纵坐标为整理得 A4、如图，函数（的图像关于直线对称后，所得图像的表达式及横坐标范围为（　）。 A． B． C． D． 【解析】选C。新横坐标原来的实心端点对应的实心端点；原来处的空心端点对应处的空心端点。表达式不变，范围为 A5、将抛物线关于点中心对称，所得抛物线的顶点为____， 表达式为____。 【解析】原式为原顶点的对应点为中心对称使开口反向，且不变，所以新式为 A6、把抛物线按下列两种方式变换：①先向右平移个单位，再关于轴对称；②先关于轴对称，再向右平移个单位。分别求所得表达式。 【解析】①向右平移后为再关于轴对称得 ②先关于轴对称得再向右平移得 两式相同，且都取全部实数，所以两图像重合。 A7、设下列函数中，其图像由原图保留的部分并关于轴复制到左侧得到的是（　）。 A． B． C． D． 【解析】选C。右侧保留左侧变为合写为 A8、函数在上的一段图像向右平移个单位、向下平移个单位。所得图像的表达式为____，横坐标范围为____。 【解析】新式为两个端点横坐标均加范围为 A9、分别写出将抛物线整图关于轴对称，以及仅将轴下方部分翻到上方后的表达式；求两种图像在处的纵坐标。 【解析】整图对称得在处为 局部翻折得时为或时为在处为 B组 难点突破 B1、点在抛物线上，将向右平移个单位、向上平移个单位（得到且也在原抛物线上。 （1）用含的式子表示线段的中点坐标；（2）若中点的纵坐标为求 【解析】（1）设则由也在原图上，得整理为 由得故中点为其横坐标恒为 （2）由及得故 B2、将抛物线（向右平移个单位、向上平移个单位（后，新图经过与求及新表达式。 【解析】两已知点纵坐标相同，故新对称轴为而新顶点横坐标为所以新式为代入得故 B3、抛物线依次关于直线对称，最终图像与原抛物线重合。 （1）求（2）求原图上点经过这三次对称后的坐标。 【解析】（1）顶点横坐标依次为由得 （2）的横坐标依次为纵坐标不变，最终为完整图像回到原位置，点却没有回到原位置。 B4、对抛物线作下列变换：①先向右平移个单位，再关于轴对称；②先关于轴对称，再向右平移个单位。 （1）分别求所得抛物线表达式； （2）求这两条新抛物线的公共点坐标。 【解析】（1）原式为①先得再得②先得再得 （2）公共点满足整理得所以代入得 公共点为 B5、抛物线关于直线对称，得到新抛物线。原图与新图的两个公共点之间的距离为____。 【解析】新式为令两式相等得因此公共点为距离为这两个公共点都在对称直线上，反射时位置不变。 B6、如图，保留抛物线中的部分， 将保留部分关于直线对称到左侧，得到图像 （1）分别写出在时的表达式； （2）求上横坐标为的点， 并求通过上三点的抛物线在处的纵坐标。 【解析】（1）右侧保留原式，故左侧点的原对应横坐标是所以两式在时都等于 （2）在上取应使用左式，得所求点为三点确定的抛物线为在处为这也表明复制所得不是该完整抛物线。 左侧表达式只在有效，不能把其完整抛物线的顶点画入 B7、将函数（的图像关于直线对称。 下列说法正确的是（　）。 A．图像上的每个点都保持原位置不动 B．对称后的图像与原图像不重合，因为左右端点交换了位置 C．原图像上的点的对应点为 D．对称后的图像与原图像重合，但不在直线上的点都改变了位置 【解析】选D。横坐标对应关系为原区间反射后仍为这个区间，表达式也不变，所以图像重合。固定点须有即曲线上只有顶点不动。 点对应 B8、抛物线关于轴对称后，再向下平移个单位，恰与原抛物线重合，则下列结论正确的是（　）。 A．只需 B．只需 C．只需 D．没有符合条件的抛物线 【解析】选D。新式为重合要求且后一个等式不能成立，因此没有符合条件的抛物线。不能只由就判定重合。 B9、将抛物线关于点中心对称后得到的新抛物线，其顶点在轴上，且经过点则的坐标为____。 【解析】原顶点为新顶点为由顶点在轴上得新式为 代入得所以或故或 C组 综合进阶 C1、抛物线（经过点将它关于直线对称所得图像，与将原抛物线向右平移个单位所得图像重合。 （1）求原抛物线表达式； （2）求原抛物线与向右平移个单位后的抛物线的公共点坐标。 【解析】（1）设原顶点横坐标为对称后为右移后为由重合得所以 设原式为代入两点得解得故原式为 （2）右移后为由得所以 公共点为 C2、如图，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，其中所得抛物线与直线相交于且在的左侧。 （1）用含的式子表示的坐标； （2）求线段的长度； （3）若在第四象限，在第一象限，求的取值范围。 【解析】（1）新式为与联立，得即 由在左侧，得 （2）两点的横向距离为竖向距离为所以不随变化。这里的移动方向与直线平行，两个交点一起移动，距离保持不变。 （3）时，的两坐标始终为正。在第四象限还需所以 两端点都不取。 C3、如图，将抛物线关于点中心对称，所得抛物线经过 （1）求的坐标及新抛物线表达式； （2）求原抛物线上点的对应点 （3）求两条抛物线的公共点，并求这两个公共点所连线段的中点坐标。 【解析】（1）原顶点对应开口反向，所以新式为由两个零点知新图的对称轴为故再代入得 所以新式为 （2）由中心对称的对应关系，即点 （3）由得所以公共点为两点中点为正是这两个公共点在变换中互换，并不是保持不动。 C4、如图，函数的图像只取这一段。按两种方式变换： 方式一：先向上平移个单位，再将位于轴下方的部分关于轴翻折到上方， 其他部分不变，得 方式二：先将原图像位于轴下方的部分关于轴翻折到上方，其他部分不变，再向上平移个单位，得 （1）分别写出的表达式及各段横坐标范围； （2）求两图像上同横坐标点的纵坐标相等时的取值范围； （3）求同一横坐标处上的点到上的点的竖直距离的最大值； （4）将原图像位于轴上方的部分关于轴翻折到下方，其他部分不变，得到写出的表达式及各段横坐标范围。 【解析】原式为有效范围始终是 （1）方式一上移后得到已没有下方部分可翻折。因此为 在或时为在时为 （2）外围两段相同；中间比较只得或所以所有符合条件的横坐标为或 （3）外围竖直距离为中间竖直距离为最大值为在时取得。 （4）在或时为在时为也可写成 C5、如图，函数的图像只取这一段。先将这一段关于直线对称，再作一次平移。关于所得图像与原来这一段图像完全重合的条件，下列判断正确的是（　）。 A．能，只要将对称后的顶点移回即可 B．能，只要选择即可，不需要再平移 C．能，只要把对称后的左右端点分别移到即可 D．不能，无论及平移量怎样选择， 都不能完全重合 【解析】选D。设随后水平平移竖直平移所得式为范围为 两段都含有各自顶点。若完全重合，顶点必须一致，所以即此时范围必为与原范围不同，所以不可能重合。 把顶点移回只能保证完整抛物线的表达式相同，不能保证所取的那一段相同；两端点也不能按不同的移动量各自平移。 C6、把抛物线向右平移个单位、再向上平移个单位，其中已知新旧两条抛物线的公共点为且新抛物线的顶点在直线上，则____。 【解析】新顶点为在直线上，故即 新图经过所以代入得由得 核对：新式在时等于顶点也在上。 C7、如图，将抛物线向右平移个单位（，再作竖直平移，所得新图经过和 （1）求及竖直平移的方向与距离；（2）原图上点的平移对应点为且在原抛物线上，求（3）求的长度。 【解析】（1）设有符号的竖直移动量为向上为正。新图的对称轴为所以得由得所以即向下平移个单位。新式为 （2）设则在原图上，故解得所以 （3）两点横向距离为竖向距离为故 C8、抛物线（关于点中心对称后所得图像，与原图关于轴对称再向右平移个单位、向上平移个单位所得图像重合。原图经过和 （1）求原表达式；（2）只保留原图的部分并关于复制到左侧，求所得图像各段表达式；（3）求复制所得图像与直线所交两点之间的距离。 【解析】（1）两种新顶点分别为和由重合得代入两点得所以原式为 （2）右侧为左侧为 （3）右侧解并取得左侧对应点横坐标为 两点为距离为 D组 中考真题 D1、（2025年上海市中考第12题）将函数的图像向下平移个单位后，得到的新函数的解析式为____。 【解析】向下平移个单位，函数值减少新函数为 D2、（2025年山东省青岛市中考第9题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象。下列对新函数的描述正确的是（　）。 A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【解析】新函数为当时，A错误。图象向左右两侧无限上升，没有最大值，B错误。 故图象与轴交于两点间距离为C正确。 当时，随增大而减小，D错误。故选C。 D3、（2025年吉林省长春市中考第24题第(1)、(2)问（节选））如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点点是该抛物线上的两点，横坐标分别为已知点作点关于点的对称点作点关于点的对称点构造四边形 （1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标。 【解析】（1）代入得解得故 （2）对称轴为直线故解得代入原函数，得 为线段的中点，因此的横坐标为纵坐标为故 D4、（2025年江苏省常州市中考第27题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点点是线段上一点（与不重合）。二次函数（是常数，且的图像经过点顶点是将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，分别是的对应点，且点落在轴正半轴上，点的纵坐标为 （1）____；（2）求点的坐标。 （3）已知新抛物线与轴交于点点在新抛物线上。若对于满足的任意实数总成立，求实数的取值范围。 【解析】（1）当时，故 （2）平移后纵坐标由变为即向下平移个单位。的纵坐标为所以的纵坐标为代入直线，得解得故 （3）原抛物线为代入得设新顶点新式为 代入得解得或横向平移量为这也是的横坐标。由在轴正半轴上，得故 新式为比较与到对称轴的水平距离，等价于即或 区间必须全部落在上述两段中的一段。落在内时，右端点可以取到，必须即落在内时，左端点取不到，所以也符合，得到综上，或 D5、（2025年山东省淄博市中考第22题第(1)、(3)问（节选））如图，一条抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点 （1）求抛物线对应的函数表达式。 （3）将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为。设这两条抛物线的交点为①求旋转角度的正切值；②当时，求原抛物线平移的距离。 【解析】（1）设由常数项得所以 （3）①作于直线为与水平线的夹角为所以的水平距离与竖直距离相等。 设则解得于是旋转角为其正切值为 ②沿直线平移时，横、纵坐标的改变量相等，设均为两图重合时不能确定题设交点故新顶点为新式为 联立原、新抛物线，消去并约去得 由得用横、纵坐标差计算三段距离的平方，代入整理得 解得或当时，不能形成所给角，舍去；其余三个值均使互不重合，且满足勾股关系。 平移距离为所以所求距离为或 D6、（2025年四川省广安市中考第27题第(1)、(3)问（节选））如图，二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点已知点的坐标为点的坐标为连接 （1）求抛物线的解析式。 （3）将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点在新抛物线上，点是原抛物线对称轴上的一点。若以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标。 【解析】（1）代入得解得故对称轴为直线 （3）的水平距离为竖直距离为沿射线平移个单位，就是向左平移个单位、向上平移个单位。 新式为设的横坐标为的横坐标为利用平行四边形的对角线互相平分，分三类讨论。 ①与为对角线：所以代入新式得 ②与为对角线：所以得 ③与为对角线：所以得 直线的表达式为上述三个点分别代入，都不在直线上；每一类又由对角线中点重合确定所以都能构成平行四边形。 故所求点为或 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $