精品解析：天津市第六十三中学2026-2027学年九年级上学期数学10月基础练习

2026-2027学年第一学期9年级数学学科10月基础练习 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x的增大而减小 3. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，在反比例函数图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点P作轴于点A，连接，下列结论错误的是（ ） A. 的面积是3 B. C. 当时， D. 点在上，当时， 11. 在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，，有下列结论：①；②；③是等边三角形；④的周长是9．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，连接，如果，两点分别从，两点同时出发，同时停止运动，出发时间为．有下列结论：①面积的最大值为；②出发时间有两个不同的值满足的面积为；③的长可以是．其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分） 13. 把二次函数用配方法化成的形式是 _________________． 14. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 15. 若点与点关于原点对称，则____________． 16. 一次函数反比例函数交于点、，根据图象直接写出当时，x的取值范围为______． 17. 如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③； ④．其中错误的结论有_________． 18. 如图，正方形的边长为6，E是上一点，且．连接，将绕点E顺时针旋转，得到线段，连接． （I）线段的长为 ___________ ； （Ⅱ）若P是的中点，则线段的长为 ___________ ． 三、解答题（本大题共7小题） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）若方程的其中一个根是1，求的值及方程的另一个根． 21. 如图，一次函数与反比例函数（）的图象交于点、． （1）求反比例函数和一次函数的解析式的解析式． （2）根据图象直接写出时x的取值范围． （3）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 22. 已知，二次函数． （1）若该图象过点，求函数的顶点坐标； （2）当时， y的最大值是，求a的值； （3）当时，若在函数图象上，且，求m的取值范围． 23. 某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为20元，试销过程发现，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间关系可以近似的看作一次函数．（利润=售价-制造成本） （1）写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间函数解析式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得400万元的利润？ （3）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？ 24. 将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，，，，并将绕点O顺时针旋转． （1）当旋转至如图①的位置时，与的数量关系为________，与的位置关系为________； （2）如图②，连接，当旋转到y轴的右侧，且点B，C，D三点在一条直线上时， ①求证：； ②求的长． （3）当旋转到使得的度数最大时，直接写出的面积为________． 25. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数，）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），，与y轴交于点C，作交该抛物线对称轴于点D，且点D关于x轴的对称点为E． （1）求点B的坐标； （2）延长交抛物线于点P，当的面积为6时，求a的值； （3）沿x轴平移线段至，点A、D的对应点分别是点F、G，当取最小值时，求a的值和点G的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期9年级数学学科10月基础练习 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 2. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点式 的性质，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性． 【详解】解：∵ 中，， ∴ 抛物线开口向上，A错误，不符合题意； 对称轴为 ，B错误，不符合题意； 顶点坐标为 ， C错误，不符合题意； ∵ ，开口向上， ∴ 当 时，随的增大而减小， ∴ D正确，符合题意． 故选：D． 3. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设有个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛场，可列出方程． 【详解】解：设共有个队参加比赛， 根据题意得：， 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式． 【详解】解：将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是． 故选：D． 5. 已知点，，在反比例函数图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象所在象限，再结合各点横坐标的范围，利用反比例函数的增减性比较纵坐标大小即可． 【详解】解：对于反比例函数，， ， 反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， 点的横坐标， 点在第三象限，可得， 点，的横坐标，两点都在第一象限， ， 综上可得． 6. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 7. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形， 依题意得：， 故选：C． 8. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：, 解得：且； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 10. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点P作轴于点A，连接，下列结论错误的是（ ） A. 的面积是3 B. C. 当时， D. 点在上，当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数，一次函数的交点问题，解题的关键是掌握函数图象上点坐标的特征，求出t和k的值． 根据反比例函数，一次函数的交点问题，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， 则由图像，可知当时，，故C正确，不符合题意； 把代入得：， 解得，故B正确，不符合题意； ∵轴，， ∴的面积是，故A正确，不符合题意； 当时，中，y随x的增大而减小， ∴时，，故D错误，符合题意． 故选：D． 11. 在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，，有下列结论：①；②；③是等边三角形；④的周长是9．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得，，再利用旋转的性质得，，则，根据平行线的判定可对①进行判断；由绕点B逆时针旋转得到，那么，，根据等边三角形的判定方法得到为等边三角形，可对③进行判断；根据等边三角形的性质得，，然后说明，则，可对②进行判断；最后利用，和三角形周长定义,可对④进行判断． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵绕点B逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴，①正确； ∵绕点B逆时针旋转，得到， ∴，， ∴为等边三角形，③正确， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，②错误； ∵，， ∴的周长，④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，熟练掌握并运用旋转的性质是关键． 12. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，连接，如果，两点分别从，两点同时出发，同时停止运动，出发时间为．有下列结论：①面积的最大值为；②出发时间有两个不同的值满足的面积为；③的长可以是．其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】①根据题意，可得，，，然后根据三角形的面积公式列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可判断①；根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可判断②；根据勾股定理列出方程，解方程，即可判断③． 【详解】解：①由题意得，， ，动点从点到点需要（秒），动点从到需要（秒）， ， ， ， ， 当时，的面积有最大值，最大值为，故①正确； ②当时， 解得，， ， 不符合题意， 出发时间只有一个值满足的面积为，故②错误； ③的长是时，根据勾股定理得， ， 整理得， ， 此方程无解， 的长不可以是，故③错误； 综上分析可知，正确结论的个数是个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分） 13. 把二次函数用配方法化成的形式是 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，注意掌握二次函数的解析式有三种形式：一般式：（，、、为常数）；顶点式：；交点式（与轴）：． 【详解】解：， 即：， 故答案为：． 14. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴实数的取值范围是且． 故答案为：且． 15. 若点与点关于原点对称，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标性质：横纵坐标分别互为相反数，进而得出、的值．也考查了代数式求值． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：． 16. 一次函数反比例函数交于点、，根据图象直接写出当时，x的取值范围为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象综合，根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时，自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象下方， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 17. 如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③； ④．其中错误的结论有_________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系．由对称性可求得抛物线与轴的另一交点坐标为，容易判断①②③，再由时可判断④，可得出答案． 【详解】解：二次函数过点，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 当时，，即，故③错误； 开口向下，与轴的交点在轴的上方， ，， ，故②错误； 抛物线与轴有两个交点， 方程有两个不相等的实数根， ，即，故①正确； 当时，， ，故④错误； 综上可知错误的是②③④， 故答案为：②③④． 18. 如图，正方形的边长为6，E是上一点，且．连接，将绕点E顺时针旋转，得到线段，连接． （I）线段的长为 ___________ ； （Ⅱ）若P是的中点，则线段的长为 ___________ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （Ⅰ）利用勾股定理求出，再利用等腰直角三角形的性质求解； （Ⅱ）如图，连接，，过点F作交的延长线于点K．证明，再利用直角三角形斜边中线的性质求解． 【详解】解：（Ⅰ）∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （Ⅱ）如图，连接，，过点F作交的延长线于点K． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， 【小问2详解】 ， ， ， ， 或， ， 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）若方程的其中一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1）证明：对于一元二次方程， 判别式 ． ∵ 不论为何值，，即， ∴ 不论为何值，该方程总有实数根． （2）的值为，方程的另一个根为． 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程的判别式，配方为完全平方式，利用平方的非负性证明判别式恒非负． （2）将已知根代入方程求出，再利用根与系数的关系计算另一根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程，得 ， 解得． 设方程的另一个根为，由根与系数的关系，得 ， 将代入，得． 综上所述，的值为，方程的另一个根为． 21. 如图，一次函数与反比例函数（）的图象交于点、． （1）求反比例函数和一次函数的解析式的解析式． （2）根据图象直接写出时x的取值范围． （3）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为 （2）或 （3）（2.5，0） 【解析】 【分析】（1）先把A点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）由函数图象可知不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方自变量的取值范围，据此求解即可； （3）过点A作A关于x轴的对称点D，连接BD交x轴于P，点P即为所求； 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数（）的图象交于点、， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点B的坐标为（3，1）， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由函数图象可知，不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方自变量的取值范围， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：过点A作A关于x轴的对称点D，连接BD交x轴于P，点P即为所求， ∵点A的坐标为（1，3）， ∴点D的坐标为（1，－3）， 设直线BD的解析式为， ∴， ∴， ∴直线BD的解析式为， 当y=0时，， ∴点P的坐标为（2.5，0）； 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题，一次函数与坐标轴的交点问题，正确求出一次函数与反比例函数解析式是解题的关键． 22. 已知，二次函数． （1）若该图象过点，求函数的顶点坐标； （2）当时， y的最大值是，求a的值； （3）当时，若在函数图象上，且，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） a的值为或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数图象性质，二次函数的对称性，增减性，是解题的关键． （1）把点代入中，求解即可； （2）分两种情况：和讨论，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据当时，抛物线开口向上，对称轴为直线，故函数图象上的点离对称轴越近，函数值越小，结合可知B点离对称轴的距离小于A点离对称轴的距离，A点离对称轴的距离小于C点离对称轴的距离，然后求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入中，得， 解得， ∴， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，， ∴把代入中，得， 当时， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，， ∴把代入中，得， ∴综上所述，a的值为或； 【小问3详解】 解：∵当时，，，在二次函数图象上， 此时抛物线开口向上，对称轴为直线， 故函数图象上的点离对称轴越近，函数值越小， ∵， ∴B点离对称轴的距离小于A点离对称轴的距离，A点离对称轴的距离小于C点离对称轴的距离， 即， 化简得， 由，两边平方得， 解得； 由，两边平方得， 解得， ∴m的取值范围． 23. 某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为20元，试销过程发现，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间关系可以近似的看作一次函数．（利润=售价-制造成本） （1）写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间函数解析式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得400万元的利润？ （3）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价应定为30元或40元 （3）当销售单价为35元时，厂商每月能够获得最大利润，最大利润为450万元 【解析】 【分析】（1）根据销售单价为x元，每件的盈利元，每天可售出件，根据题意，得，解得即可． （2）根据，当时，构造方程解答即可． （3）根据，构造二次函数，根据抛物线的最值，即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，数形结合思想，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【小问1详解】 解：设销售单价为x元，每件的盈利元，每天可售出件， 根据题意，得． 故． 【小问2详解】 由（1）可得， 当时， ． ∴， 解得， 答：销售单价应定为30元或40元时，厂商每月能够获得400万元的利润． 【小问3详解】 由（1）可得 ． ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，w取得最大值，最大值为． 答：当销售单价定为35元/件时，每月的销售利润最大，最大利润是450元． 24. 将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，，，，并将绕点O顺时针旋转． （1）当旋转至如图①的位置时，与的数量关系为________，与的位置关系为________； （2）如图②，连接，当旋转到y轴的右侧，且点B，C，D三点在一条直线上时， ①求证：； ②求的长． （3）当旋转到使得的度数最大时，直接写出的面积为________． 【答案】（1）， （2） ①证明：如图②中，过点作于． ， ， ，， ； ② （3） 【解析】 【分析】（1）利用证明，再结合等腰直角三角形的性质即可得到，； （2）①过点作于．首先证明； ②推出，求出，可得结论； （3）当时，的值最大，此时，．再证明，可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵点A坐标为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴即； 【小问2详解】 解：① 略 ②解：； ， 在中，， ，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图③中，当时，的值最大，此时，． 过点作轴于，过点作于． ， ， ，， ， ， ，，， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 25. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数，）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），，与y轴交于点C，作交该抛物线对称轴于点D，且点D关于x轴的对称点为E． （1）求点B的坐标； （2）延长交抛物线于点P，当的面积为6时，求a的值； （3）沿x轴平移线段至，点A、D的对应点分别是点F、G，当取最小值时，求a的值和点G的坐标． 【答案】（1） （2） （3），． 【解析】 【分析】（1）先求出对称轴，再根据对称性可得点坐标； （2）由题易得，进而可得点、、坐标，进而可证出，所以三角形的面积和三角形的面积相等，据此求解； （3）由题易得，．作点关于直线的对称点为，点在直线上，四边形和四边形是平行四边形，则，所以，当，，三点共线时，取得最小值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数， 对称轴为直线， 点和点关于对称轴对称，， ； 【小问2详解】 将点代入抛物线得：， 点的坐标为． 如图， ，且点在该抛物线对称轴上， 点的坐标为． 点关于轴的对称点为， 点的坐标为． 点，关于对称， 与互相平分． 四边形是平行四边形． ． 三角形的面积和三角形的面积相等． 且， ； 【小问3详解】 点关于轴的对称点为，点在轴上， ． 同理，． 作点关于直线的对称点为，点在直线上， ．点的坐标为． ． 又， 四边形是平行四边形． ． 沿轴平移线段至， ，且， 四边形也是平行四边形． ， ， 当，，三点共线时，取得最小值． ，且， 解得：． ， 解得：． ，， 直线的解析式为， 点的坐标为．． 将点向右平移个单位长度可得点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数点的坐标特征、平行四边形的判定和性质、二次函数的几何变换等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $