专题 等边三角形的性质与判定的综合应用课时同步练习2026‑2027学年人教版(2024)八年级数学上册

专题等边三角形的性质与判定的综合应用 一、基础题 1.如图，将等边三角形ABC纸片折叠，使得点A的对应点D落在BC边上，其中折痕分 别交边AB,AC于点E,F,连接DE,DF.若DF⊥BC,则∠AEF的度数是() E B A.15 B.30° C.45° D.60 2.如图，在等边△ABC中，AD是△ABC的角平分线，若AB=2,则CD的长为 B D 3.如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢 尔宾斯基三角形，如果△ABC的面积为12，则图中阴影部分的面积为() 边三 积 B A.1 B.3 C.6 D.12 4.已知：如图，在等边△ABC中，AB=8,D为边BC上一点，且BD=6.动点P从点C 出发沿CA边以每秒2个单位的速度向点A运动，连接AD,BP,设点P运动的时间为t秒， 若△BPC≌△ADC,则t的值为秒. D 5.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E,如果△ABC的边长是8， 则AE= 6.如图，直线mn,△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线交AB于点E, 交AC于点F,若∠1=130°，则∠2的度数是· A m B 7.如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC,BF=BD,则∠BDF的度数是 8.如图，△ACD是等边三角形，若∠BCA=∠EAD,BC=AE,∠E=130°，则∠B= 9.如图，在△ABC中，AB=20cm,AC=12cm,∠A=60°，点P以2cm/s的速度 从B处向A处运动，同时点Q以1cm/s的速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点 后，另一个点停止运动，当运动时间为秒，△APQ是等边三角形. 10.如图，在等边三角形ABC的三边上分别取点D,E,F,使AD=BE=CF.试判定 △乙的形状，并说明理由. 二、提升题 11.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD‖AB, OE‖AC,交BC于点D,E,若AB=AC=BC=6,则DE的长为 12.如图，在等边三角形ABC中，E是AC边的中点，AD⊥BC于点D,P是AD上的动 点，若AD=3,则EP+CP的最小值为() A.1 B.2 c.3 D.4 13.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点Q是AC边上一点，QD⊥AB于点D, 点E为边CB延长线上一点，且满足AQ=BE,连接QE交AB于点F,则DF的长为 B E 14.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E,延长 ED和CA,交于点F,∠F=30° F D E (1)求证：△ABC是等边三角形. (2)若BD=2,EC=3,求AC的长. 15如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E,使CE=号BC,点D是边AC的中点，连 接ED并延长交AB于点F. D (1)求证：EF⊥AB: (2)连接BD,求证：BD=DE. 16.己知：如图，BE和CF是△ABC的高，H是BE和CF的交点.且CF=BE E (1)求证：△BCF≌△CBE: (2)请添加一个条件，使得△ABC为等边三角形，并说明理由. 三、压轴题 17.如图，等边△ABC和等边△ABC的边长都是4，点B,C,B在同一条直线上， 点P在线段AC上，则AP+BP的最小值为 B B 18.如图所示，△ABC是周长为3的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形. 以点D为顶点作一个60°的∠MDN,点M、N分别在AB、AC上，则△AMN的周长为 19.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC,垂足为G,且 AD=AB,∠EDF=60°，其两边分别交AB,AC于点E,F. 1 (1)求证：△ABD是等边三角形： (2)若DG=2,求AC的长： (3)求证：AB=AE+AF. 20.如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC,垂足为C,EF是由CD沿 CE方向平移得到的，连接DF,己知EF过点A,BE交CD于点G E (1)求∠DCE的度数： (2)若EC=2,求AE的长度： (3)求证：△CEG是等边三角形. 21.已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA=EB,△ABC外一点D满足 BD=AC,BE平分∠DBC (I)求证：△DBE≌△CBE: (2)求∠BDE的度数. (3)若∠ABE=45°，试判断BD与AC的位置关系，并说明理由. 22.按要求解答问题： (1)如图1，△ABC、△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC, DC=EC,连AD,BE,当A、D、E三点共线时，AD与BE的数量关系为一一· D 图1 (2)如图2，△ABC、△CDE都是等边三角形，连接AD,BE,BE延长线与AD交于点F, 则∠AFB的度数是多少？ 图2 (3)如图3，公园里有一块等边三角形绿地ABC,绿地中央有两条景观小路DF、BE,其中 点D,E,F分别在绿地边沿BC,AC,AB上，两条小路交于凉亭G.已知BD=BE,且 两条小路的夹角∠BGF=60°，DG=80m,AE=60m.为改善公园景观，管理部门计 划在绿地右侧空地修建一个等边三角形花坛△DBI,并铺设一条从凉亭G到花坛顶点I的 直线步道，请你帮助管理人员计算出直线步道GI的长度 G B 图3 23.己知△ABC为等边三角形，∠BCE=60°，D为BC上一点，CD=CE,连接AD P D M 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：BE=AD: (2)如图2，延长AD交BE于点F,在AF上取点M,使AM=BF,连接CF,CM,求证： AF=BF+CM: (3)如图3，已知∠PCB=60°，Q为射线CP上一点，连接BQ,∠MBQ=60°， BM=BQ,连接AM,若△BMN的面积为S1,△CQB的面积为S2,△ACN的面积为S3, 求证：S1+S2=S3 24.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为1,0，以线段OA为边在第四象限内作等边 三角形AOB,点C为x轴正半轴上一动点(OC>1),连接BC,以线段BC为边在第四象 限内作等边三角形CBD,连接DA并延长，交y轴于点E. y E E B B 备用图 (1)求证：OC=AD: (2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数： 如果改变，请说明理由： (3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点C 的坐标 25.在等边△ABC中，动点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC D B D B B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点E是AB中点时，求证：AE=BD (2)当点E不是AB中点时，判断线段AE与BD的数量关系，并结合图2说明理由， (3)点E在直线AB上运动，当∠DEC=120°时，若BC=4,请直接写出CD的长. 专题 等边三角形的性质与判定的综合应用 一、基础题 1．如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形折叠的性质及垂直的定义得出，结合图形及三角形外角的性质得出，利用折叠得出即可求解． 【详解】解：∵，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上， ∴， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∵将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查等边三角形的性质、三角形外角的定义及折叠的性质，结合图形找准各角之间的关系是解题关键． 2．如图，在等边中，是的角平分线，若，则的长为__________． 【答案】1 【分析】根据等边三角形三边相等得出的长，再利用等腰三角形顶角平分线也是底边中线的性质得出结果． 【详解】解：是等边三角形，是的角平分线，， ，， ． 3．如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果的面积为12，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】证明以及所有的小等边三角形全等，进而解题． 【详解】解：如图， 由题意知，，，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ ． 4．已知：如图，在等边中，为边上一点，且．动点从点出发沿边以每秒2个单位的速度向点运动，连接，设点运动的时间为秒．若 ，则的值为 秒． 【答案】1 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的性质，由等边三角形的性质得，得出，由全等三角形的性质得，再根据“时间=路程÷速度”求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 故答案为：1． 5．如图，在等边中，F是的中点，于E，如果的边长是8，则_______． 【答案】2 【分析】根据等边三角形的性质及，可推出，得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． 6．如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是______． 【答案】/110度 【分析】根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质可得，再由，即可求解． 【详解】解：在直线m上点E的左侧取点D，如图： ∵是等边三角形， ∴， ∵是的外角，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 8．如图，是等边三角形，若，则________ °． 【答案】130 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由等边三角形的性质得，再证明，即可得出结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：130． 9．如图，在中，，，点P以的速度从B处向A处运动，同时点Q以的速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当运动时间为_______秒，是等边三角形． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由题意得：，则，根据即可建立方程求解； 【详解】解：由题意得：， ∴； 若是等边三角形．则， ∴，解得； 故答案为： 10．如图，在等边三角形的三边上分别取点，，，使．试判定的形状，并说明理由． 【答案】解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【分析】由等边三角形的性质容易证明，则，，利用等量代换可得，因此是等边三角形． 【详解】略 二、提升题 11．如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，，交于点，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据等边三角形的判定和性质，平行线的性质，角的平分线的意义，解答即可． 【详解】解：是等边三角形， ∴， 与的平分线相交于点， ∴， ，， ∴，， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在等边三角形中，是边的中点，于点，是上的动点，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，由等边三角形的性质可得，，，则，故当三点共线时，的最小值为的长，然后通过等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∵于点，是边的中点， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，的最小值为的长，如图， ∵， ∴，即的最小值为． 13．如图，是边长为6的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为______． 【答案】3 【分析】作交延长线于G，证得，再证得，利用求解． 【详解】解：过点E作交的延长线于点G，如图： 是边长为6的等边三角形， ，， ， ． ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ． 14．如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点，． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由垂直的定义得到，求出，即可证明是等边三角形； （）由含度角的直角三角形的性质求出，得到，再由等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15.如图，是等边三角形，延长到，使，点是边的中点，连接并延长交于点．    (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，结合，点是边的中点，可得，即可得到，再利用三角形外角的性质求得，从而即可求得，证得结论； （2）由等边三角形的性质可得，从而得到，证得结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （2）解：是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 16．已知：如图，和是的高，H是和的交点．且． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使得为等边三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)添加后，为等边三角形．理由见解析（答案不唯一） 【分析】（1）利用证明； （2）由得出，进而得出，根据有一个角是60度的等腰三角形为等边三角形，可得添加的条件可以为． 【详解】（1）证明： 和是的高， 和是直角三角形， 在和中， ； （2）解：添加后，为等边三角形．理由如下： ， ，即， ， 又 ， 为等边三角形． 3、 压轴题 17．如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为__________． 【答案】8 【分析】连接，根据和都是边长为4的等边三角形，证明，可得，所以，进而可得当点P与点C重合时，的值最小，正好等于的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵和都是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点P与点C重合时，点A与点关于对称，的值最小，正好等于的长， ∴的最小值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题、全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 18．如图所示，是周长为3的等边三角形，是顶角为的等腰三角形．以点D为顶点作一个的，点M、N分别在、上，则的周长为___________． 【答案】1 【分析】延长交于P，延长交于Q，在上取一点K，使，连接，通过证明，，证得的周长． 【详解】解：如图，延长交于P，延长交于Q，在上取一点K，使，连接， ∵是周长为3的等边三角形， ∴， ∵是等腰三角形，且， ∴，，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的周长， 故的周长为1． 19．如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ， ， ， ， 是等边三角形． (2)4 (3)证明：是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由等边三角形三线合一可得，，再结合已知即可求解； （3）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ， ， ， 又， ． （3）略 20．如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) (3)证明： ， ， 在和中， ，   ， ， 由（1）得，即 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得到，由得，则． （2）先求得，由平移得，则，即可等量代换，则． （3）由，求得，可根据“”证明，得，而，所以，即可根据“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，垂足为， ， ， 的度数是． （2）解：，， ， ∵是由沿方向平移得到的， ∴ ∵， ， ， ， ∴的长是． （3）略 21.已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．    (1)求证：； (2)求的度数． (3)若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）由三角形是等边三角形和可得，由角平分线的性质可得，由“”即可证明； （2）由三角形是等边三角形和可得，，由“”证明，从而得到，再由，； （3）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，令交于点，通过计算得出，最后由三角形内角和定理可得出，从而得到答案． 【详解】（1）证明：三角形是等边三角形， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ； （2）解：三角形是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 由（1）得，， ； （3）解：， 理由如下： 由（1）得，， ， 由（2）得，， ， ， ， ， 如图，令交于点，   ， 则 ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，熟练掌握等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，是解题的关键． 22．按要求解答问题： (1)如图，、都是等腰直角三角形，，，，连，，当、、三点共线时，与的数量关系为______． (2)如图2，、都是等边三角形，连接，，延长线与交于点，则的度数是多少? (3)如图3，公园里有一块等边三角形绿地，绿地中央有两条景观小路、，其中点，，分别在绿地边沿，，上，两条小路交于凉亭．已知，且两条小路的夹角，，．为改善公园景观，管理部门计划在绿地右侧空地修建一个等边三角形花坛，并铺设一条从凉亭到花坛顶点的直线步道，请你帮助管理人员计算出直线步道的长度． 【答案】(1) (2) (3)直线步道的长度为 【分析】（1）利用等腰直角三角形的边和角的关系，通过 证明，直接得到； （2）先证，再利用全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和，算出； （3）作辅助线构造等边，通过两次证明全等三角形，推导出，代入数值得到结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， 在和中，， ， ． （2）解：∵、都是等边三角形， ∴，，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴． （3）解：如图，延长至，使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 23．已知为等边三角形，，为上一点，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，，求证：； (3)如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，的面积为，求证：． 【答案】(1)证明：是等边三角形，， ，， 又， ， ； (2)证明： ， ， 又 ，， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ； (3)证明：如图3，在上截取，连接， ，，， ， ，，， ， ， 在中，， 又， ， ， 又，， ， 又， ， ， 又∵， ． 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，，可证是等边三角形，可得，即可得结论； （3）由“”可证，可得，，，由“”可证，可得，从而得证． 【详解】（1）略． （2）略． （3）略． 24.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点C为x轴正半轴上一动点（），连接BC，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交y轴于点E． (1)求证：； (2)在点C的运动过程中，的度数是否会变化？如果不变，请求出的度数；如果改变，请说明理由； (3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点C的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)不会发生变化，60° (3) 【分析】（1）先根据等边三角形的性质得，则，然后可根据“”可判定，由全等三角形的判定与性质可得出结论； （2）由是等边三角形知，再由全等三角形的性质分析可得结论； （3）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰，最后根据中，，，求得，据此得到，即可得出点C的位置． 【详解】（1）∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）点C在运动过程中，的度数不会发生变化，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰， 在中，，， ∴， ∴， ∴当点C的坐标为时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题是三角形的综合问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解决本题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 25．在等边中，动点在上，点在的延长线上，且． (1)如图1，当点是中点时，求证：． (2)当点不是中点时，判断线段与的数量关系，并结合图2说明理由． (3)点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)当点为上任意一点时，．理由见解析 (3)的长是6或12 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，再由等腰三角形的性质等，然后证，即可得出结论； （2）过点作交于点，则，，再证是等边三角形，得，然后证，得，即可得出结论； （3）分两种情况，①点在上时，证，，则，，得； ②点在的延长线上时，证，，则，，得；即可得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 点是中点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作交于点， 则，， ． 是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：分两种情况： ①如图3，点在上时， ，， ， ， ， ，， ，， ， ； ②如图4，点在的延长线上时， ，， ， ， ， ，， ， ，； 综上所述，的长为6或12． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形的外角性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $