6.3 确定二次函数的表达式（教学设计）数学新教材苏科版九年级下册

年级

九年级

学科

数学

课型

新授课

教材

苏科版九年级下册

教学目标

1.理解用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤。

2.能由抛物线经过的点的坐标、顶点坐标（或对称轴）等条件，合理选用一般式 或顶点式 。

3.能将简单的实际问题抽象为二次函数模型问题并求解。

教学重点

待定系数法的一般步骤；

根据已知条件合理选择二次函数表达式。

教学难点

从实际问题中提取独立条件，建立二次函数模型并求解、解释。

教材分析

本节教学内容源于苏科版九年级下册第六章《二次函数》第三节《确定二次函数的表达式》。核心知识点为用待定系数法确定二次函数表达式，理解一般式 、顶点式 的选用，并解决简单实际问题。

本课承接二次函数图象与性质，是由“已知表达式研究图象”转向“由条件确定表达式”的逆向建构。核心是待定系数法：设式—代点—解方程（组）—回代—应用，依据待定系数个数与独立条件数匹配。一般式适用于三点条件；顶点式适用于顶点或对称轴加一点；零点式可作拓展。铅球轨迹实例把投掷距离转化为抛物线与 轴正半轴交点的横坐标，体现函数模型价值。教学重点为待定系数法步骤及依据条件合理选式；难点在从实际情境中提取独立条件并完成建模求解。

学情分析

学生已学习一元一次方程、二元一次方程组、多项式运算及二次函数图象和性质，具备代入坐标求系数的知识基础。概念归纳与步骤模仿较易，但面对顶点、对称轴、零点等条件时选式不敏感；对“几个待定系数需几个独立条件”认识不足。将铅球投掷等实际问题转化为坐标与方程，并解释交点意义较难。因此，列方程建模与合理选式是教学难点。

教学过程

教学内容

设计意图

课堂导入

【创设情境，引入新课】

投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．某运动员在一次投掷中铅球的运动轨迹如图所示：

【师生活动】

教师出示铅球投掷轨迹图，标注出手点、最高点，提问“投掷距离在图中对应什么？”

学生观察、讨论，指出投掷距离对应抛物线与轴正半轴交点的横坐标，即时的值。

教师追问：已知二次函数一般式、顶点式，顶点为，如何求表达式？学生尝试说出需确定或，教师引出待定系数法。

以铅球轨迹这一生活情境激活已有二次函数图象认识，把“投掷距离”转化为“抛物线与轴正半轴交点横坐标”，明确本课学习方向：用待定系数法求二次函数表达式并解决实际问题。

探究点1 用一般式确定二次函数表达式

【问题引入】

投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分。某运动员在一次投掷中铅球出手点的坐标为，当铅球运行的水平距离时，铅球距地面的高度达到最大值，如何求出该运动员本次投掷的距离？

投掷距离是指铅球从出手到落地在水平方向上移动的距离，对应抛物线与轴正半轴交点的横坐标，即时的值。

【师生活动】

教师引导“已知轨迹上两点且知道顶点信息，能否先设一般式？”

学生分组讨论，尝试设，代入；

教师追问顶点坐标与系数关系，学生列式验证。

【详细过程】

解：设抛物线对应的二次函数表达式为（是常数，）。

将点代入得。

以铅球问题驱动“现实问题→设一般式→代点→解方程→回代→应用”的过程，突破待定系数法列方程组的难点；用例1巩固已知二次项系数时用一般式求。

根据题意，该抛物线的顶点坐标为，得，。

解得，。

所以，二次函数表达式为。

令，得。

解这个方程，得，（舍去）。

所以该运动员本次投掷的距离为。

教师追问：计算太繁琐了，还有其他方法吗？

【例题巩固】

例1 如图，在跳台跳水比赛中，运动员从点处起跳，在点处入水，建立如图所示的平面直角坐标系，点的坐标分别为。如果运动员跳水的轨迹可以看作二次函数图象的一部分，求这条抛物线对应的函数表达式。

关键思路：已知二次项系数为，只需求；

解：把两点坐标代入。由得；

由得，即，解得。

答案总结：这条抛物线对应的二次函数表达式为。