精品解析：吉林吉林市龙潭区吉化第六中学校2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试题

2026－2027学年上学期期中质量检测 九年级 数学试卷 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将抛物线沿轴向上平移得到一条新抛物线，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线扫过的面积为56(图中的阴影部分)，则新抛物线的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 8. 如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________． 9. 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到抛物线的解析式为__________． 10. 如图，将绕点C按顺时针方向旋转得到，若，则的度数为______． 11. 已知二次函数的图象上有，，三个点，则，，的大小关系为_________. 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 解方程：； 13. 已知与成反比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当时，求y的值． 14. 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边为． （1）求围成的矩形花圃的面积y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值；若不存在，说明理由． 15. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根满足，求k的值． 16. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出与关于原点对称的，与关于轴对称的，其点的对应点分别为点，； （2）直接写出点，的坐标． 17. 如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 18. 某项研究表明，眼睛的疲劳系数y与睡眠时间（单位：小时）之间成函数关系，它们之间的函数关系图象如图所示．当时，y是的反比例函数；当时，y是的一次函数，当睡眠时间达到6小时时，眼睛的疲劳系数为0． （1）试求出当时的反比例函数关系式； （2）当眼睛的疲劳系数y的范围为时，直接写出睡眠时间的取值范围． 19. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：≌． （2）若，，求正方形的边长． 20. 如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点． （1）求点A、B、C的坐标； （2）若是该二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标． 21. 项目式学习 农家乐的扩建与经营 素材一 如今短视频平台、旅游让农家乐“出圈”，为了进一步提升顾客体验，某经营户打算将自家农家乐现有的矩形就餐区域，扩建成如图所示更大的正方形区域．目前这个矩形就餐区的面积为120平方米，扩建时，他将矩形的其中一边增加5米，另一边增加3米，这样改造后就能形成一个正方形的就餐区域． 素材二 改造前的顾客的平均等待时间为25分钟，就餐区域改造完成后，通过优化叫号系统，两个星期后的平均等待时间缩短至16分钟． 素材三 经营户推出特色餐饮品鉴活动．通过市场调查，发现当收费标准为80元/人时，平均每天可接待顾客60人．收费标准每降低5元，平均每天可多接待10人． （1）扩建后正方形就餐区域的边长是多少米？ （2）求平均每星期等待时间降低的百分率是多少？ （3）如果经营户希望每天特色餐饮品鉴活动的营业额达到6000元，并且从为顾客让利的角度出发，收费标准应确定为多少元/人？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点， 与 轴交于点，对称轴为直线，点 、在此抛物线上，其横坐标分别为、（）． （1）求此抛物线的解析式； （2）当轴时，求的值； （3）设此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为， 在点与点之间的部分（包括点和点） 的最高点与最低点的纵坐标的差为．当 时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年上学期期中质量检测 九年级 数学试卷 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】先确定方程各项系数，然后计算判别式，根据判别式符号判断方程根的情况． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4. 如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，结合旋转的性质，构造，推出，，结合点B所在象限，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则， ， ，， 由旋转得，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 点B在第四象限， 点的坐标为． 5. 反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对每个选项，判断反比例函数和一次函数中的的取值范围，看是否出现矛盾，从而选出正确的选项． 【详解】选项A：反比例函数中的，一次函数中的，出现矛盾，不符合题意； 选项B：反比例函数中的，一次函数中的，出现矛盾，不符合题意； 选项C：反比例函数中的，一次函数中的，没有矛盾，符合题意； 选项D：反比例函数中的，一次函数中的，出现矛盾，不符合题意． 6. 如图，将抛物线沿轴向上平移得到一条新抛物线，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线扫过的面积为56(图中的阴影部分)，则新抛物线的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】曲线扫过的面积，则，即可求解． 【详解】解：曲线扫过的面积， 则， 故抛物线向上平移8个单位，则，即． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，当时，随增大而减小，可得比例系数，据此列不等式求解的范围． 【详解】解：∵反比例函数，当时，随增大而减小， ∴图象分布在一三象限， ∴ 解得． 8. 如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知，结合已知面积求出，再根据图象所在的象限确定的符号． 【详解】解：， ， ． 由图象可知，反比例函数图象位于第二象限， ， ． 9. 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到抛物线的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式是：． 10. 如图，将绕点C按顺时针方向旋转得到，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，利用直角三角形两锐角互余可得即可解答． 【详解】解：∵将绕点C按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴． 11. 已知二次函数的图象上有，，三个点，则，，的大小关系为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数顶点式可直接得到开口方向与对称轴，利用开口向下的抛物线性质，即点到对称轴距离越大，对应函数值越小，比较三点到对称轴的距离即可得到结果. 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线中，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， 计算各点到对称轴的距离：点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴. 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 解方程：； 【答案】 【解析】 【分析】利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： ． 13. 已知与成反比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，再由当时，，求出k的值，即可求解； （2）把代入（1）中函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：设， 因为当时，， 所以， 解得：， ∴， 即y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，． 14. 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边为． （1）求围成的矩形花圃的面积y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）当时，围成的矩形花圃的面积最大，最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据可求出长与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）将二次函数解析式化成顶点式，然后根据自变量的取值范围和二次函数的性质求二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得， ∵平行于墙的边， 而，且， ∴． ∴； 【小问2详解】 解： ∵，且， ∴当时，y取得最大值800． 答：围成的矩形花圃的面积存在最大值，最大值为，此时x的值为20． 15. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根满足，求k的值． 【答案】（1）证明：这里，， ． ． 所以无论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）写出 ，，，计算判别式 ，代入化简得 ，从而证得方程总有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系用 表示 与 ，利用 建立关于 的方程，求解并检验． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根为 ，． 由根与系数的关系，，． ， ， 即 ． 展开，得 ， 即 ， ． 两边同除以 ，得 ． 因式分解，得 ， ，． 由（1）知方程总有两个不相等的实数根，对任意实数 均成立， 的值为 或 ． 16. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出与关于原点对称的，与关于轴对称的，其点的对应点分别为点，； （2）直接写出点，的坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据原点对称坐标变换公式，由，，求出，描点连线画出；再根据轴对称坐标变换公式求出，描点连线画出． （2）根据平面直角坐标系作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 【答案】（1） （2）6米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴当船的宽度小于米时，船能安全穿过桥洞． 18. 某项研究表明，眼睛的疲劳系数y与睡眠时间（单位：小时）之间成函数关系，它们之间的函数关系图象如图所示．当时，y是的反比例函数；当时，y是的一次函数，当睡眠时间达到6小时时，眼睛的疲劳系数为0． （1）试求出当时的反比例函数关系式； （2）当眼睛的疲劳系数y的范围为时，直接写出睡眠时间的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象经过点，利用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）根据反比例函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当睡眠时间少于小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数． 设这个反比例函数表达式为， 因为图象经过点，所以． 解得． 所以眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， ∴睡眠时间的取值范围为． 19. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：≌． （2）若，，求正方形的边长． 【答案】 （1）由旋转的性质得： 四边形ABCD是正方形 ，即 ，即 在和中， ； （2）正方形的边长为6． 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）略 （2）设正方形的边长为x，则 由旋转的性质得： 由（1）已证： 又四边形ABCD是正方形 则在中，，即 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为6． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 20. 如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点． （1）求点A、B、C的坐标； （2）若是该二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，则，即可得出点C的坐标；令，则，求解即可得出点A、B的坐标； （2）由可得点与点到轴的距离相等，结合点在第一象限得点的纵坐标为3，代入二次函数求解即可． 本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，解一元二次方程，二次函数的面积问题，熟练掌握二次函数的与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 【小问1详解】 解：令，则， ∴， 令，则， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴点与点到轴的距离相等， 又∵点在第一象限， ∴设点， ∴， 解得（舍去）， 则． 21. 项目式学习 农家乐的扩建与经营 素材一 如今短视频平台、旅游让农家乐“出圈”，为了进一步提升顾客体验，某经营户打算将自家农家乐现有的矩形就餐区域，扩建成如图所示更大的正方形区域．目前这个矩形就餐区的面积为120平方米，扩建时，他将矩形的其中一边增加5米，另一边增加3米，这样改造后就能形成一个正方形的就餐区域． 素材二 改造前的顾客的平均等待时间为25分钟，就餐区域改造完成后，通过优化叫号系统，两个星期后的平均等待时间缩短至16分钟． 素材三 经营户推出特色餐饮品鉴活动．通过市场调查，发现当收费标准为80元/人时，平均每天可接待顾客60人．收费标准每降低5元，平均每天可多接待10人． （1）扩建后正方形就餐区域的边长是多少米？ （2）求平均每星期等待时间降低的百分率是多少？ （3）如果经营户希望每天特色餐饮品鉴活动的营业额达到6000元，并且从为顾客让利的角度出发，收费标准应确定为多少元/人？ 【答案】（1）扩建后正方形就餐区域的边长为15米 （2）平均每星期等待时间降低的百分率是 （3）收费标准应定为50元/人 【解析】 【分析】（1）设扩建后正方形就餐区域的边长为x米，根据题意，得，然后进行求解即可； （2）设平均每星期等待时间降低的百分率是y，由题意得：，然后进行求解即可； （3）设收费标准降低了a元/人，根据题意，得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设扩建后正方形就餐区域的边长为x米， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：扩建后正方形就餐区域的边长为15米． 【小问2详解】 解：设平均每星期等待时间降低的百分率是y，由题意得： ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：平均每星期等待时间降低的百分率是． 【小问3详解】 解：设收费标准降低了a元/人， 根据题意，得， 解得，， ∵要从为顾客让利的角度出发， ∴，收费标准应为（元/人）， 答：收费标准应定为50元/人． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点， 与 轴交于点，对称轴为直线，点 、在此抛物线上，其横坐标分别为、（）． （1）求此抛物线的解析式； （2）当轴时，求的值； （3）设此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为， 在点与点之间的部分（包括点和点） 的最高点与最低点的纵坐标的差为．当 时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入解析式，由对称轴为直线得，即可求解； （2）由轴得，即可求解； （3）分类讨论：①当、都在直线的左侧时，②当、在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，③当点在直线的右侧且在直线上方时，④当点在直线的右侧且在直线下方时；即可求解． 【小问1详解】 解：点，对称轴为直线， ，， 解得：， 故此抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：轴， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 故； 【小问3详解】 解：当时，，则顶点坐标为， ①当、都在直线的左侧时， ， 解得：， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 的值为； ②当、在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，如图， ， 解得：， ， ， ， 解得：（舍去），（舍去）， 此种情况的值不存在； ③当点在直线的右侧且在直线上方时，如图， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）； 的值为； ④当点在直线的右侧且在直线下方时，如图， ， ， ， ， ， 解得：（舍去），（舍去）， 综上所述：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $