精品解析：吉林省吉林市龙潭区古川学校2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

九年·数学（省命题）（六十二） 2024——2025学年度第一学期期中考试九年级数学 一、选择题 1. 下列消防标志符号，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为5，点P到圆心O的距离为，则点P在（　　） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 3. 如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片绕点C按逆时针方向旋转，得到三角形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程：没有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩(即的长度)是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 一元二次方程的一次项系数是___． 8. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 9. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为___度． 10. 如图，点A在上，射线与相切于点C，若，则___． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转α角．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应．点的坐标为___． 12. 如图，的顶点在半径为9的上，，边，分别与交于，两点，则的长度为________． 13. 如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，根据题意可列方程__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在抛物线上，点B是该抛物线的顶点，连结，以、为边向右侧作，则图中阴影部分图形的面积和为______． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 用适当方法解方程： 16. 已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）写出此函数的开口方向、对称轴． 17. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是的一部分，点C是弦的中点，连接并延长，交于点D，连接．若，碗深，求的半径． 18. 如图，正方形是由正方形旋转而成的，点D在上． （1）直接写出旋转中心和旋转角； （2）若正方形的边长是1，直接写出的长． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 已知关于的方程．若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 20. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，作四边形，使四边形只为中心对称图形； （2）在图②中，作四边形，使四边形只为轴对称图形； （3）在图③中，在上找一点，使 21. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点C，使得最小，并求出C点的坐标； 22. 如图，点A为外一点，交于两点，于点，交于点为上一点，连接交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，是的直径，弦于点E，连结． （1）求证：； （2）若，求阴影部分的面积． 24. “综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图①，在中，，为边上的中线．将，其沿射线的方向平移，得到，其中点的对应点分别为．如图②，当线段经过点D时，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 数学思考 （1）请回答老师提出的问题； 深入探究 （2）老师将图②中的绕点F按逆时针方向旋转得到，其中点的对应点分别为，线段分别与边交于点．如图③，当时，让同学们提出新的问题．“勤学小组”提出问题：试猜想线段和的数量关系，并证明． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在等腰直角中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作交折线于点，取的中点，将绕点逆时针旋转得到，以为邻边作矩形，设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长； （2）当点落在边上时，求的值； （3）求矩形与重叠部分图形的面积与之间的函数关系式． 26. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线点P是此抛物线上的点，其横坐标为，连接，取的中点B，过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，连接． （1）求此抛物线对应的函数关系式； （2）当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； （3）当的边与x轴平行时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年·数学（省命题）（六十二） 2024——2025学年度第一学期期中考试九年级数学 一、选择题 1. 下列消防标志符号，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键；根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，找不到一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 2. 已知的半径为5，点P到圆心O的距离为，则点P在（　　） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内是解题的关键．根据点与圆的位置关系进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，即点P在内． 故选：C． 3. 如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片绕点C按逆时针方向旋转，得到三角形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质． 根据旋转的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵将三角形纸片绕点C按逆时针方向旋转，得到三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 若关于x的一元二次方程：没有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式小于0时，方程无实数根计算即可． 【详解】解：原方程移项得， 其中，，， ∴， ∵关于x的一元二次方程：没有实数根， ∴，即， 解得， 故选：A． 5. 如图，在中，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据垂径定理可得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 故选：C． 6. 某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩(即的长度)是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，令，则，求出的值，即可得出点的坐标，从而得解，求出点的坐标是解此题的关键． 【详解】解：在中，令，则， 解得：，（不符合题，舍去）， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 一元二次方程的一次项系数是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 8. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 9. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为___度． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形，求出该图形的中心角，即可得出结果． 【详解】解：由图可知，最小的旋转角为：； 故答案为：45． 10. 如图，点A在上，射线与相切于点C，若，则___． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，根据切线的性质，结合等边对等角进行求解即可． 【详解】解：∵射线与相切于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转α角．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应．点的坐标为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，；记住关于原点对称的点的坐标特征．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形即可求出答案． 【详解】解：将线段绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标为，如图所示： ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，的顶点在半径为9的上，，边，分别与交于，两点，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，根据圆周角定理，得出，再由弧长公式即可得出答案． 【详解】如图，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴的长度为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理和弧长公式．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半；弧长公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式为． 13. 如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，根据题意可列方程__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，平移的性质，由平移的性质可得，草坪面积可以看做是一个长为米，宽为米的矩形，据此根据矩形面积公式列出方程即可． 【详解】解：由平移的性质可得，草坪面积可以看做是一个长为米，宽为米的矩形， 由题意得，， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在抛物线上，点B是该抛物线的顶点，连结，以、为边向右侧作，则图中阴影部分图形的面积和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，坐标与图形性质，平行四边形的性质； 利用待定系数法求出抛物线解析式，得到顶点B的坐标，由抛物线的对称性可知，图中阴影部分的面积和等于的面积，然后利用平行四边形的性质求出，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴， 连接，由抛物线的对称性可知，图中阴影部分的面积和等于的面积， ∵，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 用适当方法解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可． 【详解】解： ， ， ∴． 16. 已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）写出此函数的开口方向、对称轴． 【答案】（1） （2）开口向上，对称轴为y轴 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质： （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数函数解析式的知识进行分析即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为， 【小问2详解】 解：由（1）得：二次函数的解析式为， ∵， ∴此函数的开口向上，对称轴为y轴． 17. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是的一部分，点C是弦的中点，连接并延长，交于点D，连接．若，碗深，求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 【详解】解：是的一部分，点C是弦的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中， ， ， ， ， 即的半径为． 18. 如图，正方形是由正方形旋转而成的，点D在上． （1）直接写出旋转中心和旋转角； （2）若正方形的边长是1，直接写出的长． 【答案】（1）旋转中心为点，旋转角为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据旋转的知识作答即可； （2）根据，，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，旋转中心为点、旋转方向为逆时针旋转，旋转角为； 【小问2详解】 解：∵正方形的边长是1， ∴，， ∴， ∴的长为． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 已知关于的方程．若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 【答案】；另一根为． 【解析】 【分析】将代入方程得到的值，再根据根与系数的关系可求出另一根． 【详解】解：将代入方程， 解得，； ∴方程为 设方程的另一根为，则． 解得：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系．熟记相关结论即可． 20. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，作四边形，使四边形只为中心对称图形； （2）在图②中，作四边形，使四边形只为轴对称图形； （3）在图③中，在上找一点，使 【答案】（1） 如图①中，四边形即为所求； （2）如图②中，四边形即为所求； （3）如图③中，线段即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，轴对称变换的性质． （1）根据中心对称图形的定义作一个平行四边形即可； （2）根据轴对称图形的定义作一个等腰梯形即可； （3）取格点，作射线交于点，线段即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点C，使得最小，并求出C点的坐标； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的综合应用，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键： （1）分别令，进行求解即可； （2）作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴的交点即为点． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，当时，； ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， 作点关于对称轴的对称点，连接，则：与对称轴的交点即为点， ∵， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：； ∴， ∴当时，； ∴． 22. 如图，点A为外一点，交于两点，于点，交于点为上一点，连接交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ， 于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 为的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）先连接，根据圆周角定理，以及等腰三角形的性质得到，据此可得到结果； （2）作辅助线，根据题意可得到是等边三角形，然后根据勾股定理可解得结果． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：过点作于，如图所示： ， ， 是等边三角形， ， 在， ， 在， ， ． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题、圆周角定理、圆的切线定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理解三角形，找到角度之间的关系是解题的关键． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，是的直径，弦于点E，连结． （1）求证：； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的直径，弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）4π 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键． （1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论； （2）根据圆周角定理求出，进而可得，根据正弦的定义求出，利用扇形面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵是的直径，弦， ∴， 在中，， ∴扇形（阴影部分）的面积， 答：阴影部分的面积为． 24. “综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图①，在中，，为边上的中线．将，其沿射线的方向平移，得到，其中点的对应点分别为．如图②，当线段经过点D时，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 数学思考 （1）请回答老师提出的问题； 深入探究 （2）老师将图②中的绕点F按逆时针方向旋转得到，其中点的对应点分别为，线段分别与边交于点．如图③，当时，让同学们提出新的问题．“勤学小组”提出问题：试猜想线段和的数量关系，并证明． 【答案】 （1）四边形是矩形， 理由如下：平移得到， ， ， 为边上的中线， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）， 证明：在图2中，平移得到， ， 由（1）可得，， ， ， 在图3中，旋转得到， ， ， ， ， ， 由图2可知，四边形是矩形， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）四边形是矩形，由平移的性质得到，从而得到，根据为边上的中线，推出，进而证明是等腰三角形，推出，，证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）由平移的性质得到，从而得到，由（1）可得，进而得到，在图3中，由旋转的性质得到，根据平行线的性质推出，证，再根据四边形是矩形，推出，即可证明． 【详解】解：略． 【点睛】本题考查平移的性质，旋转的性质，矩形的判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，综合性较强，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在等腰直角中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作交折线于点，取的中点，将绕点逆时针旋转得到，以为邻边作矩形，设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长； （2）当点落在边上时，求的值； （3）求矩形与重叠部分图形的面积与之间的函数关系式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）过点作于点，利用等腰直角三角形性质可得： ，，再分两种情况：当 时， 当时，分别求得即可； （）根据题意可得：，，，再根据等腰直角三角形性质建立方程求解即可； （）分三种情况：当时， 当时， 当时，分别画出图形，求出重叠部分的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵，，，， ∴，， 当时，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当时，如图，，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 综上所述，； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 由题意得：， 由 （）得：，， 当时，， ∵M是中点， ∴， ∵旋转， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即 ， 解得：； 【小问3详解】 解：当 时，长方形与重叠部分图形为长方形，如图， ∴； 当 时， 如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴； 当时，如图，， ∴ ∵， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上所述，与之间的关系式为 ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，运用分类讨论思想和数形结合是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线点P是此抛物线上的点，其横坐标为，连接，取的中点B，过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，连接． （1）求此抛物线对应的函数关系式； （2）当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； （3）当的边与x轴平行时，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）8或64 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据点A及抛物线的对称轴可进行求解； （2）由题意可得点P、点Q都在对称轴的右侧时，然后问题可求解； （3）由题意可分当轴时，则有点P的坐标为，当轴时，则有点Q的坐标为，然后根据三角形面积公式可进行求解； 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，其对称轴为直线 ∴， 解得：， ∴抛物线对应的函数关系式； 【小问2详解】 解：∵点P的横坐标为，B为的中点，， ∴点B的横坐标为， ∵过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q， ∴点Q的横坐标为m， ∴点P、点Q都在对称轴的右侧时，即时，抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大； ∴m的取值范围为； 【小问3详解】 解：当轴时，点A、P关于对称轴直线对称， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为，即， 当时，， ∴点Q的坐标为， ∴； 当轴时，点A、Q关于对称轴直线对称， ∴点Q的坐标为，即， ∴，即点P的横坐标为， ∴当时，， ∴点， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $