第七讲 解直角三角形 专题复习讲义 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

第7讲 解直角三角形 一、锐角三角函数 1、梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与水平宽度的比＿＿＿＿ 2、直角三角形AB1C1和直角三角形ABC有什么关系? 边之间的关系呢？ 3、三角函数定义： 注意：sinA，cosA，tanA都是一个完整的符号，单独的sin，cos，tan是没有意义的，其中A前面的“∠”一般省略不写 4、取值范围：0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0 5、三角函数之间的关系 互余关系：如果∠A+∠B=90°，那么sinA= cosB，cosA= sinB，tanA·tanB=1 同角关系：sin2A+ cos2A=1 二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 三、解直角三角形 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解决。 坡度（坡比） 方向角度 俯角仰角 题型一：锐角三角函数定义 例1．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【分析】根据特殊角三角函数值，结合已知条件，得到的值并求出． 【详解】解：由，根据特殊角三角函数值得： ， 解得， 经检验是锐角，符合题意． 故选：B． 变式练习 1． 在中，若（其中，为锐角），则______． 【分析】利用非负数的性质拆分等式得到两个三角函数值，结合锐角特殊三角函数值求出的度数，再通过三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵，，且两者的和为0， ∴，， ∴，， ∵为锐角， ∴，， ∵三角形内角和为， ∴． 2． 在中，，均为锐角，且满足，则__________． /度 【来源】湖南岳阳市第十九中学2026-2027学年九年级上学期第一次质量检测数学试卷 【分析】根据平方和绝对值的非负性，得到两个式子分别等于0，求出和的值，再结合特殊锐角的三角函数值得到，的度数，最后利用三角形内角和计算． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ，， 即 ，， ∵ ，均为锐角， ∴ ，， ∴ ． 3．若均为锐角，且满足，求的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∵、均为锐角， ∴，， ∴． 题型二：三角函数有关的计算 例1．计算 【详解】解： 例2． 计算：． 【详解】解： ． 变式练习 1．计算： (1)． (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． 2． 计算： 【分析】先代入特殊角函数值，再利用 去根号（判断被开方数正负后脱去绝对值），最后对含根式的分母有理化并合并同类二次根式． 【详解】解：原式 ． 3．已知关于的方程的两根为和，为锐角．求： (1)的值； (2)的值； (3)方程的两根及此时的的值； 【分析】（1）先对原式进行化简，再结合三角函数关系求解． （2）先对进行展开，再结合韦达定理求出的值． （3）先将的值代入原方程，再求解方程的两根，最后根据三角函数值求出的值． 【详解】（1） ． （2）， ， ． （3）， ，解得，， ①当，时，， ②当，时，． 题型三：网格问题 例1．如图，在边长相同的小正方形网格中，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为___________． 【分析】连接交于点，连接，由正方形的性质，相似三角形的判定和性质，得到，推出，根据条件求出，再根据，即可． 【详解】解：如图①，连接交于点，连接， 由题意，得四边形是正方形， ，，，，， 由题意，得， ， ， ， ， 在中，， ， ． 例2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是________． 【分析】取格点C，D，连接AC，BD，CD，观察图形，结合正方形的性质可知，O，A，C共线，O，B，D共线，∠ACD=90°，利用勾股定理求得DC和DO的长，根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：取格点C，D，连接AC，BD，CD，观察图形， 结合正方形的性质可知，O，A，C共线，O，B，D共线，∠ACD=90°， ∵CD= OD= ∴sin∠AOB= 故答案为：． 变式练习 1．如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点都在格点上，则的值为______． 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，解直角三角形，解题的关键是作出合理的辅助线；先连接，根据勾股定理分别算出，，的长，再根据勾股定理的逆定理判定直角三角形，进而得到答案； 【详解】解：如图，连接， 设小正方形的边长为1， 由勾股定理可得：，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 2．如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、都在格点上，则的值是___________． 【分析】作交于点，先通过，得到的长度，再通过勾股定理求得，在利用面积法求得，最后利用求得答案． 【详解】解：如图所示，作交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在边长为1的正方形网格图中，点A、B、C都在格点上，则的值为______． 【分析】过点作于点D，利用勾股定理求出，利用三角形面积公式求出，根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过点作于点D， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，点A、B、C为正方形网格中的3个格点，则sin∠ACB＝_______________. 【分析】由勾股定理可求AC，BC，AC的长，判断出△ABC为等腰三角形，过B作BD⊥AC，求出BD的长即可求sin∠ACB的值． 【详解】设小正方形的边长为1，过点B作BD⊥AC于D，如图所示， 由勾股定理可知：AC=，AB=，BC=， ∴△ABC是等腰三角形， ∴CD= ∴BD=， ∴sin∠ACB=. 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练运用面积法求BD的长是本题的关键． 5．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则________．    【分析】取的中点，连接，先根据勾股定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据正弦的定义即可得． 【详解】解：如图，取的中点，连接，   ， ， 又点是的中点， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键． 题型四：仰角俯角问题 例1．如图，两棵垂直于地面的松树之间的水平距离为，小明站在两棵松树正中间，小明眼睛所在位置为D处，小明看向松树顶端E处的仰角为，看向松树顶端A处的仰角为，则两树的高度差约为______．（精确到，参考数据：） 【分析】过点作分别交、于点、，先证明四边形为矩形，进而可得，根据图象可得两树高度之差为，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作分别交、于点、， 根据题意得，，，，，， ∴四边形为矩形， ∵，且C为中点， ，，， ，， 两树之间的高度差为 （米）． 例2．如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． 【分析】设，求出，，由列方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设，由题意可知，三点共线，三点共线，，，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得 即这座塔的高度为． 例3．手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景区去爬山，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉淇发现风景区在地的北偏东方向上. (1)的度数为______. (2)，两地的距离为______千米.（结果保留根号） (3)嘉淇一家到风景区后，从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他们的垂直高度上升了米，再从点处沿坡角为的坡面，以米分的速度到达山顶点时，用了分钟，如图所示 ①点到点之间的水平距离为______米； ②山顶点处的垂直高度是米（，结果保留整数） (4) 嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高．如图，嘉淇将无人机在塔、树上方的处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，，，在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高.（结果保留根号.参考数据：，，） 【分析】（1）由方位角求出、，再由三角形内角和求； （2）过点作于点，把斜三角形分成两个直角三角形求解； （3）①由坡度知水平距离是垂直高度的3倍；②由“速度×时间”求坡面的长，再用坡角求垂直上升的高度，加上点已上升的25米； （4）由树顶俯角与树高求出，得，再由塔顶俯角求塔高． 【详解】（1）解：如图1，由题意得， ∵在的北偏西方向， ∴在的南偏东方向， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：过点作于点． 在中，，，， ∴， ． 在中，，， ∴， ∴， ∴，两地的距离为千米． （3）①解：∵坡面的坡度为，垂直高度上升了25米， ∴点到点之间的水平距离为（米）． ②解：∵以20米/分的速度行进了30分钟， ∴坡面的长为（米）． ∵坡面的坡角为， ∴从点到点的垂直上升高度为（米）， ∴山顶点处的垂直高度（米）， ∴山顶点处的垂直高度约为449米． （4）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，依题意，四边形是矩形， ∴，， ∵树高米，无人机垂直高度米， ∴点与树顶的垂直距离为（米）． ∵树顶的俯角为，则 ， ∴（米）， ∵点到塔底的距离比到树底的距离多8米， ∴（米）． 由塔顶的俯角为得： ， ∴， ∴， ∴塔高为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的综合应用：方位角、坡度与坡角、俯角．关键是把实际问题转化为直角三角形：第（2）问作垂线构造直角三角形；第（3）问理解坡度是垂直高度与水平距离的比；第（4）问先用树高与俯角求水平距离，再由水平距离之间的关系求塔高． 例4．在一座小山山顶建有与地平线垂直的电视发射塔．为测量该小山的铅直高度，某数学兴趣小组在地平线上的处测得电视发射塔顶的仰角为，后沿地平线向山脚方向行走米到达处，在处测得电视发射塔的底部的仰角为，若电视发射塔的高度为米，测角仪的高度忽略不计，求小山的铅直高度．（结果保留根号） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设米，由正切函数得，可求出，由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：由题意得，米，米，，，， 设米，则米， 在中，， 解得：， 米， 在中，， ， ， 解得． 小山的铅直高度为米． 变式练习 1．舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩，，垂直于地面，且，，在同一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为，两桩的距离为． (1)舞狮人从跳跃至，随后再跳跃至，所成的角________． (2)求桩与桩的距离的长（结果精确到，参考数据：，）． 【分析】（1）根据仰俯角，平角为即可求解； （2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解． 【详解】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和， ∴， （2）解：如图，过点作，分别交，于点，． ，，， ， 四边形，，都是矩形， ，，，． 设，则． 在中，， ． 在中，， ． ， ， 解得． 故桩与桩的距离的长约为． 2．1947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战．1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑．石外某班社会实践小组在了解石家庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车站的售票厅，其中售票厅高18米．从，之间的E点在同一水平线上）测得纪念碑顶部的点，售票厅顶部点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为 解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号： (1)填空：___________°，___________； (2)求，两点之间的距离； (3)求纪念碑的高度． 【分析】（1）如图：过点作交于点F，交于点G，则四边形是矩形，由平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质即可求得；直接利用含30度直角三角形的性质求的长即可； （2）解：如图：过点E作于点H，易得，利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得米、米；再说明，即米；然后利用线段的和差即可解答． （3）由矩形的性质可得米，利用含30度直角三角形的性质求的长，再利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图：过点作交于点F，交于点G，则四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴； 在中，，米， ∴米． （2）解：如图：过点E作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴米， 米， ∵，， ∴， ∴米， ∴米． （3）解：∵四边形是矩形，米， ∴米， 在中，，米， ∴米． ∴米． 3．【研学实践】某校课外活动小组对廊坊大剧院（如图1）的高度进行了实地测量． 【数据采集】如图2，测量小组操作无人机在点处竖直上升60米后飞行至点处，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得大剧院最高点和点的俯角分别为和，米． 【数据应用】点，，，，在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，解决下列问题．（参考数据：，，） (1)线段的长为________米； (2)计算大剧院的高度（）． 【分析】（1）在中解直角三角形即可； （2）延长，交于点F，则，可得四边形为矩形，因此米，米，米，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得米，，， ∴（米）， 即线段的长为60米． （2）解：如图，延长，交于点F，则． 由题意得， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∴米． ∵在中，， ∴（米）， ∴（米）． 即大剧院的高度为米． 4．白鹭塔位于长沙的城市“绿肺”——长沙洋湖湿地景区，塔体采用多层密檐形式，以八角、七层、重檐为基本特征，既宏伟壮观又具湖南地域特色．某数学兴趣小组要利用测角仪测量白鹭塔的高度，如图，塔前有一座高为的景观桥，已知，点在同一条水平直线上．在景观桥C处测得塔顶部B的仰角为，在景观桥D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)求白鹭塔的高度．（精确到，参考数据：） 【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质求解； （2）过点D作，垂足为点F，利用三角函数解，，即可． 【详解】（1）解：由题意，得． 在中，， ， 的长约为． （2）解：如图，过点D作，垂足为点F， 由题意，得． 在中，， ． 设， ． 在中，， ． 在中，， ． ， ， 解得． 答：白鹭塔的高度约为． 5．如图，为了测得电视塔的高度，在D处用高为的测角仪，测得电视塔顶端A的仰角为，再向电视塔方向前进，又测得电视塔顶端A的仰角为．求这个电视塔的高度．（精确到） 【分析】设，在中表示出，分别在、中利用三角函数表示出米，米，由米，可知米，据此列出关于x的方程求解即可． 【详解】解：如图：设， 在中，米， 在中，米， ∵米， ∴， 解得：， ∴米． 答：这个电视塔的高度约为219米． 6．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方63米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 【分析】首先通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型；根据垂直关系证明是矩形，得到矩形对边相等；设长为未知数x，分别在和中，利用三角函数推出和的长；在中，根据已知的值，推导出；根据联立方程求出x，得到的值，从而求出． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，过点B作于点G． 由题意可知，，， ∴． 又∵， ∴四边形是矩形． ∴米，． 在中，，（米）， ∴（米）． 设（米）， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴， ∴． 观察图形可知，， 代入数值：， 解得． ∴（米）． 答：该风力发电机塔杆的高度为28米． 7．如图要测量古塔的高度，在塔前平地上点、处观测塔尖，仰角分别为和，、之间的距离为21m，求古塔的高度．（结果取整数．参考数据：，，） 【分析】设，可得，，在中，由即可求解． 【详解】解：如图，，，． 在中， ，． ． 设，则， 在中，， ， 解得． 答：古塔的高度约为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义解题的关键． 8．如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝，在与山脚C水平距离300米的D处，测得山顶A的仰角为30°，点B、C、D在同一条直线上，求小山岗的高AB（结果保留整数或保留精确值）（参考数据≈1.732） 【分析】根据锐角三角函数可以用代数式表示出和的长度，然后根据的值，进而求得的长，本题得以解决． 【详解】解：∵tanα＝， ∴设AB＝3a，则BC＝4a， ∵tan30°＝，即＝， 解得，a＝， ∴AB＝3a＝≈752， 则小山岗的高AB为752米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 9．位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 【分析】设，，证明四边形、四边形为矩形，根据、列方程求解即可． 【详解】解：设，，由题意知， ∵，，， ∴， 又∵， 即且， ∴四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形为矩形， 同理可得四边形、四边形也为矩形， ∴，，， ∴， ， ∴， 解得， ∴， ∴． 10．如图是北京大学正西门，它已成为了北京大学的标志性建筑之一，门正中悬挂着“北京大学”的匾额，牌匾微向前倾斜，给人们的瞻望提供极为恰当的角度，也会使人顿生一种庄严肃穆之感．线段是悬挂在北大正西门上的匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点处看点，仰角，从点处看点，仰角，且米，若、、三点在一条直线上，则匾额悬挂的高度的长约是多少米？（参考数据：，，，，，） 【分析】过点作，，垂足分别为、，在中，先求出、，再在中用含的代数式表示出线段的长，最后根据等腰直角三角形的性质得关于的方程，求解方程得结论． 【详解】解：过点作，，垂足分别为、． 由题意知，， ∴， 四边形是矩形， ，，． 在中，，， （米）， （米）． 在中，，， ． ． 在中， ． ，， ， （米）． 答：匾额悬挂的高度的长约是米． 题型五：方位角问题 例1．如图，客轮在海上以的速度由向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，处在南偏东方向上，航行后到达处，在处测得在北偏东方向上，则到灯塔的距离是（     ） A． B． C． D． 【分析】根据题意可得，，．过点作，垂足为点，利用三角函数分别求出和的值，进而可得． 【详解】解：∵客轮在海上以的速度由向航行，航行后到达处， ∴， ∵在处测得灯塔在北偏东方向上，处在南偏东方向上，正北与正南方向成一条直线， ∴， ∵处在南偏东方向上，， ∴在的北偏西方向， ∴， ∴， 过点作，垂足为点，即，如图： ∴， ∴， ∴． 例2．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是____海里．（结果保留根号） 【分析】过点B作于点F，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长即可． 【详解】解：如图， 由题意可得，，，（海里）， ， ． 过点B作于点F，如图： 在中，， （海里）， 在中，， （海里）． 即灯塔C与码头B的距离是海里． 变式练习 1．通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 在（图1）中，，，的对边分别为、、，的面积为， 过点作，垂足为，则在中， ， ． ． 同理可得，， ① ． 即 由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半． 又， 将等式两边同除以，得，② ． ∴ 由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． (1)请补充所缺①②内容，完善学习笔记； (2)请使用学习笔记的结论解答以下问题： 如图2，甲船以海里时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里． ①求：的面积． ②求：乙船航行的速度（结果保留根号）． 【分析】（1）由材料的推导过程，轮换三个顶点的字母直接补全①；把等式的两边同时除以补全②； （2）先求，又且，得为等边三角形，用材料结论求其面积；再由方位角求出、，在中用正弦定理求，除以航行时间小时得乙船速度． 【详解】（1）解：①同理（轮换顶点、、），可得，故①处填； ②将等式的两边同时除以，得，故②处填． （2）解：甲船行驶分钟的路程（海里）， ∵乙船航行到甲船的南偏西方向的处，且此时两船相距海里，即海里， ∴，， ∴是等边三角形， ∴海里，． ①（平方海里）． ②∵沿正北方向，，∴射线的方向是北偏西； ∵射线的方向是南偏西，∴， ∴； ∵由处看为南偏西，得处看为北偏东，又乙船沿北偏东方向航行， ∴， ∴． 由学习笔记的结论（各边和它所对角的正弦的比值相等），得， ∴（海里）． 乙船航行分钟即小时， ∴乙船航行的速度为（海里/时）． 2．如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 【分析】（1）过点B作构造直角三角形，由南偏西得到，利用含直角三角形的性质求出，再用勾股定理算出垂线段，接着算出，最后在中再次使用勾股定理求出； （2）以基站B为圆心、为通信半径，分别在行进路线上找出和这个圆相交的有效路段：全程在范围内，上截取，在上利用勾股算出交点E到A的距离，把三段有效路程相加，再根据“速度总路程时间”计算速度． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ， ， ，， ； （2）解：如图，设， ， ， 该智能巡检机器人的行驶速度为． 3．为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 【分析】（1）先证明为等腰直角三角形，根据解直角三角形求出，，即可求解； （2）通过解直角三角形求出长，再分别求出甲，乙到达点的时间，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过C作于H， 则，，， ， 在中，， ， ， 答：的长度为； (2)解：由题意得，， ， ，， ， ， 由（1）知，， ， ∴甲选择路线：， 乙选择路线：， ∵甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟， ∴甲所用时间为分，乙所用时间为分， ， ∴甲先到达点 ． 4．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示、、、四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏东方向且在的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小中和小国分别从、打卡点同时出发，小中以的速度从打卡点沿方向步行至打卡点，小国以的速度从打卡点沿方向跑步至打卡点，请通过计算说明，小中出发多少千米后恰好与小国相距千米？(结果保留小数点后两位，参考数据：，) 【分析】（）过作于，过作于，分别求出，进而即可求解； （）设出发小时后，小中到达点，小国到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点作于点，分别用含的代数式表示出，进而求出的长，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意，得，， ∵千米， ∴千米， ∴千米，（千米）， 在中，∵， ∴千米， ∴千米， 答：的长度为千米； （2）解：如图，设出发小时后，小中到达点，小国到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点作于点， 由（）可得千米， ∴千米， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，∵， ∴， 整理，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴（千米） 答：小中出发千米后恰好与小国相距千米． 5．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 【分析】过点作于点，在中，利用三角函数求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，然后根据即可求解． 【详解】解：由题意，得海里，，， 过点作于点， ， 在中，， 在中，， ． 海里， ， 解得海里． 答：该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里． 6．机器人竞走比赛（图1）是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图2，在某次比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行至点B，然后从点B沿南偏西方向直行至点C，若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 【分析】过点B作交的延长线于点D，如图所示，则．依次求出、，根据即可求出答案． 【详解】解：过点B作交的延长线于点D，如图所示，则． 由题意，可知，． 在中，． ∵，， ∴． ∴． 在中，， ∴ ∴ 答：A，C两点间的距离约为． 7．如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送货物．已知港口A位于港口B北偏西的方向上，港口C位于港口A北偏东的方向上，海里，海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：，，，，，） 【分析】根据题意构建直角三角形，利用已知角度的正弦值和余弦值，分别求出，，，的长度，最后根据勾股定理即可求出长度，利用时间相同求出乙船的时间，即可求出乙船的速度． 【详解】解：过点的正北方向作于点，交于点，过点作于点，设的正北方向上一点，如图所示， ，， ． ，， 海里，海里， 在中，，， 海里，海里． ，， 在中，，则海里， ，则海里． 海里， 海里， 在中，，则海里， ，则海里． 海里， 在中，海里． 海里，甲船航行速度为10海里/时，甲和乙的行驶时间相同， 小时， 海里， 海里/时． 乙船的航行速度大约是海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用问题，涉及到正弦和余弦值，勾股定理，解题的关键在于利用方向构建直角三角形． 8．如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面是大海．远洋号、长峰号两艘轮船同时离开港O，“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，“长峰”号沿着南偏东30°方向匀速航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，求1小时后远洋号、长峰号两艘轮船相距多少海里． 【分析】根据题意求出，利用勾股定理求出AB的值即可． 【详解】解：∵“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，“长峰”号沿着南偏东30°方向匀速航行， ∴， ∵“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里， ∴海里，海里， ∴（海里）， 答：1小时后远洋号、长峰号两艘轮船相距20海里． 【点睛】本题主要考查了勾股定理实际应用，根据题意得出△AOB为直角三角形，是解题的关键． 9．小明家计划“春假”去郊外游玩，小明爸爸从平面地图上查看四处景点，，，的位置，如图，点在点的北偏东方向上，从点测得点和点分别在北偏东方向和南偏东方向上，已知点在点的正北方向处．小明家计划先从景点到景点游玩，再从景点到景点游玩，请你帮助小明计算小明家游玩路线长．（结果取整数，参考数据：，，） 【分析】作于点，由题意可得，，，先使用三角函数计算出、，进而求出、，计算出后再求出，最后求和即可． 【详解】解：作于点， 由题意知，，， ∴， 在中，，， 在中， ，， ∴， 在中， ， ∴． 答：小明家游玩路线长约． 10．我国始终坚持海洋强国战略，不断强化近海渔业安全保障与应急救援能力．在我国某海域，渔政部门开展常态化海上安全巡航，全力守护渔民生命财产安全．某次演习中，渔政巡逻船位于海港 的北偏东 方向，距离 点 250 海里的 处．一艘渔船在 处模拟遇险， 处位于海港 的北偏东 方向，同时位于 处的南偏东 方向上，此时，渔政巡逻船以 24 海里/时的速度前往 处，求渔政巡逻船大约多长时间到达 处（结果精确到 0.1 时．参考数据：，，，）． 【分析】过点作，先根据方位角求出、，在Rt中利用三角函数求出长，再在中求，最后用时间=路程÷速度计算． 【详解】解：如图，过点作，垂足为． 由题意，得，． 设海里， 在中，，，， ． 在中，，，，， ，． ，， ．解得． ．（时）． 所以渔政巡逻船大约5.3时到达C处． 11．如图为某乡村研学基地的平面示意图，点A、B、C、D为四个活动站点．经测量，站点A位于站点B的南偏西方向900米处，且位于站点C的西南方向上，站点C位于站点B的正北方向且位于站点D的北偏东方向上，站点D位于站点A的正北方向上．（参考数据：，，） (1)求站点A、C之间的距离（结果保留根号）； (2)小明，小鑫分别从站点C、D同时匀速出发，小明沿向站点A慢跑，小鑫沿向站点A步行．当小明跑到其路程的一半时，两人之间的距离与小鑫到站点A的距离之比为，求此时小鑫到站点A的距离（结果保留一位小数）． 【分析】（1）过点A作，垂足为M，根据题意利用解直角三角形的性质即可得解； （2）当小明跑到一半时，小鑫位于点E处，小明位于点F处，过点E作，垂足为N，设米，则米，利用解直角三角形得出相关线段的表达式，再利用勾股定理列出方程求解x的值，即可求得最终结果． 【详解】（1）解：如图，过点A作，垂足为M， ∴， 由题意知，，，米， 在中，，， ∴（米），（米）， 在中，，， ∴（米）， ∴A、C两地的距离为米． （2）解：如图，当小明跑到一半时，小鑫位于点E处，小明位于点F处， ∴（米）， 过点E作，垂足为N， ∴， 设米，则米， 在中，，， ∴米， ∴（米）， 在中，， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴（米）， ∴小鑫与点A的距离为194.6米． 12．如图①是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”，该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮．图②是它的平面示意图，是摩天轮的直径，兰兰从C点沿着坡度的斜坡走了12米到达登舱平台上的点D，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端M测得地面上点A的俯角为，测得地面上点B的俯角为，已知A、B两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：） (1)求D点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度（结果保留整数）． 【分析】（1）过点D作于点E，根据坡度的定义可求得，即可根据直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半求解； （2）延长 交于点F，则，根据俯角的定义和平行线的性质可知，，可设米，则米，然后根据，即可求解出x的值，从而求得． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点E， ∵斜坡坡度， ∴， ∴， ∵在中，米， ∴（米） 答：D点到地面的距离为6米． （2）解：如图，延长 交于点F，则， 由题可得：，，米，米， ∴， 设米，则 题型六：坡比坡度问题 例1．清风阁位于安徽省合肥市包公园内，是1999年为纪念包拯诞辰1000周年、弘扬包公精神、宣传安徽悠久历史文化而建造的．如图，某数学小组开展了测量清风阁高度的实践活动，并利用课余时间完成了实地测量．观测点和清风阁分别在包河的两侧，美美同学用高度为1米的测角仪，在点A处测得清风阁顶M的仰角为，然后她沿坡度的斜坡走了13米到达点C，又用同样的测角仪测得清风阁顶M的仰角为．求清风阁的高度（A，B，C，D，M，N在同一平面内，结果精确到0.1，参考数据：，，） 【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，利用直角三角形列方程逐一推算即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 根据题意， ∴点共线，点共线，点共线， 根据题意可得四边形，四边形，四边形，四边形为矩形， 米，， ∵， ∴设米，米， 根据勾股定理可得， 即， 解得（负数舍去）， 米， 米， 米， 米， 米， 设米，则米， ， 米， 米， 米， ，即， 解得， 米， 答：清风阁的高度约为米． 例2．如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． (1)求坝高； (2)求水库坝底宽的长． 【分析】（1）在中，根据含30度角的直角三角形的性质得到，即可求解； （2）过点作于点，则四边形是矩形，进而得米，米，再根据斜坡的坡度求出，在中，解直角三角形求出，最后根据线段的和差求解． 【详解】（1）解：∵斜坡米，坡角，， ∴（米）， 即坝高为米； （2）解：如图，过点作于点， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵斜坡的坡度， ∴（米）， ∵坡角，，米， ∴（米）， ∴米， 答：坝底宽的长为米． 变式练习 1．如图，有一段水库拦水坝，坝高，坝长，．沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽，坡度由原来的变成． (1)求加宽部分横断面的面积． (2)完成这一加宽工程需要多少立方米的土？ 【分析】（1）过点作于，过点作于，易得， 然后在和中， 解直角三角形可求得与的长，继而求得加宽部分横断面的面积； （2）根据坝长米，即可求得完成这一工程需要多少方土． 【详解】（1）解：过点作于，过点作于，则． ∵，则， ∴四边形是矩形， ∴， 根据题意得：， 在和中， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 答：加宽部分横断面的面积为平方米； （2）解：完成这一项工程需要的土方：， 答：完成这一工程需要立方米的土． 2．如图，山坡上有一棵竖直的树，坡面上点处放置高度为的测倾器，测倾器的顶部与树底部恰好在同一水平线上（即，此时测得树顶部的仰角为．已知山坡的坡度（即坡面上点处的铅直高度与水平宽度的比），求树的高度（结果精确到．参考数据：，， 【分析】根据山坡的坡度以及平行线的性质得到，进而得到，根据，得到的长度． 【详解】解：山坡的坡度， ， ， ， ， ， 在中，， . 答：树的高度约为． 3．如图，电线杆在坡度为的山坡上，在A处测得杆顶端点P的仰角是，向前走到达B点，测得杆顶端点P的仰角是． (1)求的度数； (2)求该电线杆的高度（结果保留根号）． 【分析】（1）延长交的延长线于点，根据题意可得 ，，解直角三角形求出，再由角的和差关系可得答案； （2）设米，解直角三角形可得米，根据，得到，解方程求出的值，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：延长交的延长线于点， 由题意得． ∵在B处测得杆顶端点P的仰角是， ∴； ∵电线杆在坡度为的山坡上， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． （2）解：设米， 在中，米， 在中，米， 又∵， ∴ ， 解得． 在中，米 ∴ 米， 答：该电线杆的高度为米． 4．某下坡路段，交通部门安装了一套电子测速系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点B处，，米．区间测速的起点为坡面点D处，此时电子眼的俯角为（即），下坡路段的坡比（即），点A、B、C、D、E、F在同一平面内．如果该下坡路段限速16.67米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，） 【分析】过D作于F，于G，则四边形是矩形，得出，，，进而求出，设，根据坡比定义求出，，，在中，根据正切的定义得出，求出，然后根据勾股定理求出，即可判断． 不超速，理由如下： 过D作于F，于G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，即， ∴ ∴， ∵（米）， ∵， ∴该汽车不超速． 5．某公司在办公楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图，工程人员为测量宣传牌的高度，他站在距离办公楼底部处6米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为，同时测得办公楼窗户处的仰角为（、、、在同一直线上）．然后，工程人员沿坡度的斜坡从走到处，此时正好与地面平行． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若工程人员在处又测得宣传牌顶部的仰角为，求宣传牌的高度．（结果精确到0.1米，，） 【分析】（1）解即可； （2）过F作于G，由坡度的定义可得，则，解，得到，再解，得到，再由求解即可． 【详解】（1）解：在中，， 答：长为； （2）解：过F作于G， ∴， ∴， 的坡度为 ∴在中，，                   在中，      在中，，          ∴     答：宣传牌的高度约为． 6．2026年4月，春季农耕关键时期，河北省沧州市就是立足农业生产实际，积极推广无人机飞防技术，为春季农业提质增效注入科技力量，提高农业生产效率，助力夏粮丰收．如图，技术人员位于山坡上的点控制无人机点进行作业．控制器显示：无人机距离水平地面的竖直高度是，观测点位置的俯角为．已知点距离山脚点A的距离是，山坡的坡度为． (1)求点处距水平地面的竖直高度； (2)求无人机与技术人员之间的距离（结果精确到）．（参考数据：取，取，取） 【分析】（1）交的延长线于点，根据山坡的坡度为得出，在中，根据勾股定理求得，即可求解； （2）作于点，于点，如图，四边形为矩形，根据题意得出，解，即可求解． 【详解】（1）解：作交的延长线于点，如图， 由题意，得， 设，且， ， 在中，， 即， 解得（负值已舍）， ，即点处距水平地面的竖直高度为； （2）作于点，于点，如图，四边形为矩形， ， ， 无人机观测点位置的俯角为， 点观测点的仰角也是，即， 在中， ， 无人机与技术人员之间的距离为． 题型七：三角函数的应用 例1．如图，某人在山坡坡脚处测得一建筑物顶点的仰角为，沿山坡向上走到处又测得该建筑物顶点的仰角为．已知米，且三点在同一条直线上，山坡坡度． (1)求此人所在位置点的铅直高度（结果精确到0.1米）； (2)求此人从所在位置点走到建筑物底部点的路程（结果精确到0.1米）． （测倾器的高度忽略不计，参考数据：，，，，，） 【分析】（1）过点作于点，于点．解，，根据山坡坡度，设米，则米．分别求得，，即可求解． （2）勾股定理求得，根据题意求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点，于点． 设米，则米． 在中，，米， 则， 米． 在中，， 则， 解得， ． 故此人所在位置点的铅直高度约是14.3米； （2）由（1）可得，在中，， （米）． 故此人从所在位置点走到建筑物底部点的路程约是米． 例2．图①是某浴室花洒的侧面示意图，已知活动调节点（可以上下调整高度）离地面的初始距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面处淋浴． (1)当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高． (2)如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种： ①其他条件不变，把活动调节点向下移动．移动的距离与小华的身高之间有什么数量关系？请直接写出你的结论； ②活动调节点不动，只要调整的大小，如图②．试求的度数．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 【分析】（1）过点作交的延长线于点，交的延长线于点，利用含角的直角三角形，即可求解； （2）①由平行四边形的判定与性质，即可判断； ②由勾股定理可求出的长度，然后根据锐角三角函数的定义可求出与的度数，从而可求出的度数． 【详解】（1）解：如图①，过点作交的延长线于点，交的延长线于点， ， 四边形为矩形， ，，， 在中，，， ，， ∴， ， ， ∴， ， ， ， ． （2）解：①如图，由平移的性质可知，，， 四边形为平行四边形， ， 同理可得，四边形为平行四边形， ， ． ②如图，连接．在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ． 变式练习 1．科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 【分析】过点作于H，则，，由题意可得，，，，解求出，可求出，再由勾股定理可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：过点E作，垂足为点H， 由题意可知： ，，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为1.3. 2．年6月6日是第个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为（参考数据：，，，，结果精确到）． (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 【分析】（1）在中，结合，进一步求解即可； （2）延长交于点M，得到，，求解，在中，，，求出的长，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 故眼睛A与屏幕的距离约为； （2）解：延长交于点M， 由题意可知：， ∴四边形为矩形， ∴，， ， ， 在中，，， ， ， 故桌面到地面的距离约为． 3．如图，A，B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过桥，行驶路线为．现在新建了桥，可直接沿直线从A地到达B地．已知，，，和平行且相等，则现在从A地到B地比原来少走多少路程？（结果精确到） 【分析】过点D作于点H，作交于点G，根据平行四边形的性质，判定就是比原来少走的路程，利用勾股定理，解直角三角形，解答即可． 【详解】解：过点D作于点H，作交于点G， 和平行且相等， ， 四边形是平行四边形， ， ， 就是比原来少走的路程， ，，四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， 答：现在从A地到B地比原来少走． 4．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据，，） 【分析】（1）根据题意作辅助线构造矩形，根据矩形性质得到对边相等，再利用三角函数求解即可． （2）作垂线构造矩形，利用（1）中的信息得到两直线平行得到角的度数，利用三角函数求边长，再利用构造等腰直角三角形直接计算即可． 【详解】（1）解：如图， 过点作于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， 在中，，， ∵， ∴， ， ， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为． （2）解：如图， 过点分别作，垂足分别为，， ∴四边形是矩形 ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ， ， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ， ， 答：线段的长度约为． 5．我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． (1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 【分析】（1）过点作，交的延长线于点,可知，进而根据余弦值即可求解； （2）过点作，交的延长线于点,可知，进而可知,点与点在竖直方向上的距离为． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点, ∵， ∴, 在中，， ∴ ∴点与点在水平方向上的距离为． （2）解：过点作，交的延长线于点, ， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴点与点在竖直方向上的距离为：． 6．小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， （2）计算乙同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， ， （结果精确到，参考数据：，，；，） (1)计算甲同学的成绩 (2)计算乙同学的成绩 【分析】（1）过点作，在中，根据三角函数的定义求出，再证，则可得，再证四边形是矩形，则可得，进而可得，即可得解． （2）过点作，垂足为点，交的延长线于点．在中，根据三角函数的定义求得．再证明四边形是矩形，则，．在中，根据三角函数的定义求得，由即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点，则， 在中，，， ． ，， ， ， ． 又，即， 四边形是矩形， ， ． 答：甲同学的成绩是． （2）解：如图，过点作，垂足为点，交的延长线于点， 在中，， ，， ． 又，则， 四边形是矩形，则，． 在中，，则． 又， ． 在中，， ，， ， ． 答：乙同学的成绩是． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，以及三角函数的定义．将不规则图形分割成规则图形是解题的关键． 7．汉画像石为徐州“汉代三绝”之一，被誉为汉代社会的石上史诗．小桐到徐州汉画像石艺术馆参观，发现一块刻有“孔子见老子”等历史故事的汉画像石，其画幅呈五边形，记作（如图）．已知，，，，，求画幅的面积（精确到）．（参考数据：，，，，） 【分析】连接，过点A作于F，则，先证明四边形是矩形，得到，，再求得，，然后利用锐角三角函数和线段的和与差求得，进而可求解． 【详解】解：连接，过点A作于F，则， ∵， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴ ∴画幅的面积约为． 8．凯里学院附中航模社小轩同学，在研究歼战机模型时，画出了如图1所示的俯视图与如图2所示的机翼（小鸭翼和主机翼）组件分解图．其中是一段弧线，B、C、E、F四点共线，于点E，于点F，，，，，，． (1)求的度数： (2)求的长．（参考数据：，，，） 【分析】（1）在中，根据余弦值求角度即可； （2）由得到，过点A作于点H，则，再根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， ∴， ． （2）解：在中，，， ， ， ， ， 如图，过点A作于点H， ， ， 在中，， ， ， 的长约为 9．一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，.当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为， (1)的形状是______． (2)求落在地面上的投影的长．（精确到，，） 【分析】（1）由图可推，等腰+可知是等边三角形； （2）由（1）可知是等边三角形，所以，又，所以，在中，根据可算出投影的长度． 【详解】（1）等边三角形．理由如下： ， ， 当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为， 即， 可得， ， 有一个角是的等腰三角形是等边三角形， 所以是等边三角形． （2）解：作于， 是等边三角形 ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中， 落在地面上的投影的长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 解直角三角形 一、锐角三角函数 1、梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与水平宽度的比＿＿＿＿ 2、直角三角形AB1C1和直角三角形ABC有什么关系? 边之间的关系呢？ 3、三角函数定义： 注意：sinA，cosA，tanA都是一个完整的符号，单独的sin，cos，tan是没有意义的，其中A前面的“∠”一般省略不写 4、取值范围：0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0 5、三角函数之间的关系 互余关系：如果∠A+∠B=90°，那么sinA= cosB，cosA= sinB，tanA·tanB=1 同角关系：sin2A+ cos2A=1 二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 三、解直角三角形 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解决。 坡度（坡比） 方向角度 俯角仰角 题型一：锐角三角函数定义 例1．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 变式练习 1．在中，若（其中，为锐角），则______． 2．在中，，均为锐角，且满足，则__________． 3．若均为锐角，且满足，求的值． 题型二：三角函数有关的计算 例1．计算 例2. 计算：． 变式练习 1．计算： (1)． (2)． 2． 计算： 3．已知关于的方程的两根为和，为锐角．求： (1)的值； (2)的值； (3)方程的两根及此时的的值； 题型三：网格问题 例1．如图，在边长相同的小正方形网格中，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为___________． 例2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是________． 变式练习 1．如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点都在格点上，则的值为______． 2．如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、都在格点上，则的值是___________． 3．如图，在边长为1的正方形网格图中，点A、B、C都在格点上，则的值为______． 4．如图，点A、B、C为正方形网格中的3个格点，则sin∠ACB＝_______________. 5．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则________．    题型四：仰角俯角问题 例1．如图，两棵垂直于地面的松树之间的水平距离为，小明站在两棵松树正中间，小明眼睛所在位置为D处，小明看向松树顶端E处的仰角为，看向松树顶端A处的仰角为，则两树的高度差约为______．（精确到，参考数据：） 例2．如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． 例3．手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景区去爬山，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉淇发现风景区在地的北偏东方向上. (1)的度数为______. (2)，两地的距离为______千米.（结果保留根号） (3)嘉淇一家到风景区后，从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他们的垂直高度上升了米，再从点处沿坡角为的坡面，以米分的速度到达山顶点时，用了分钟，如图所示 ①点到点之间的水平距离为______米； ②山顶点处的垂直高度是米（，结果保留整数） (4) 嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高．如图，嘉淇将无人机在塔、树上方的处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，，，在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高.（结果保留根号.参考数据：，，） 例4．在一座小山山顶建有与地平线垂直的电视发射塔．为测量该小山的铅直高度，某数学兴趣小组在地平线上的处测得电视发射塔顶的仰角为，后沿地平线向山脚方向行走米到达处，在处测得电视发射塔的底部的仰角为，若电视发射塔的高度为米，测角仪的高度忽略不计，求小山的铅直高度．（结果保留根号） 变式练习 1．舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩，，垂直于地面，且，，在同一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为，两桩的距离为． (1)舞狮人从跳跃至，随后再跳跃至，所成的角________． (2)求桩与桩的距离的长（结果精确到，参考数据：，）． 2．1947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战．1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑．石外某班社会实践小组在了解石家庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车站的售票厅，其中售票厅高18米．从，之间的E点在同一水平线上）测得纪念碑顶部的点，售票厅顶部点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为 解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号： (1)填空：___________°，___________； (2)求，两点之间的距离； (3)求纪念碑的高度． 3．【研学实践】某校课外活动小组对廊坊大剧院（如图1）的高度进行了实地测量． 【数据采集】如图2，测量小组操作无人机在点处竖直上升60米后飞行至点处，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得大剧院最高点和点的俯角分别为和，米． 【数据应用】点，，，，在同一竖直平面内，且点和点在同一水平线上，．请根据上述数据，解决下列问题．（参考数据：，，） (1)线段的长为________米； (2)计算大剧院的高度（）． 4．白鹭塔位于长沙的城市“绿肺”——长沙洋湖湿地景区，塔体采用多层密檐形式，以八角、七层、重檐为基本特征，既宏伟壮观又具湖南地域特色．某数学兴趣小组要利用测角仪测量白鹭塔的高度，如图，塔前有一座高为的景观桥，已知，点在同一条水平直线上．在景观桥C处测得塔顶部B的仰角为，在景观桥D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)求白鹭塔的高度．（精确到，参考数据：） 5．如图，为了测得电视塔的高度，在D处用高为的测角仪，测得电视塔顶端A的仰角为，再向电视塔方向前进，又测得电视塔顶端A的仰角为．求这个电视塔的高度．（精确到） 6．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方63米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 7．如图要测量古塔的高度，在塔前平地上点、处观测塔尖，仰角分别为和，、之间的距离为21m，求古塔的高度．（结果取整数．参考数据：，，） 8．如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝，在与山脚C水平距离300米的D处，测得山顶A的仰角为30°，点B、C、D在同一条直线上，求小山岗的高AB（结果保留整数或保留精确值）（参考数据≈1.732） 9．位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 10．如图是北京大学正西门，它已成为了北京大学的标志性建筑之一，门正中悬挂着“北京大学”的匾额，牌匾微向前倾斜，给人们的瞻望提供极为恰当的角度，也会使人顿生一种庄严肃穆之感．线段是悬挂在北大正西门上的匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点处看点，仰角，从点处看点，仰角，且米，若、、三点在一条直线上，则匾额悬挂的高度的长约是多少米？（参考数据：，，，，，） 题型五：方位角问题 例1．如图，客轮在海上以的速度由向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，处在南偏东方向上，航行后到达处，在处测得在北偏东方向上，则到灯塔的距离是（     ） A． B． C． D． 例2．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是____海里．（结果保留根号） 变式练习 1．通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 在（图1）中，，，的对边分别为、、，的面积为， 过点作，垂足为，则在中， ， ． ． 同理可得，， ① ． 即 由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半． 又， 将等式两边同除以，得，② ． ∴ 由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． (1)请补充所缺①②内容，完善学习笔记； (2)请使用学习笔记的结论解答以下问题： 如图2，甲船以海里时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里． ①求：的面积． ②求：乙船航行的速度（结果保留根号）． 2．如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 3．为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 4．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示、、、四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏东方向且在的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小中和小国分别从、打卡点同时出发，小中以的速度从打卡点沿方向步行至打卡点，小国以的速度从打卡点沿方向跑步至打卡点，请通过计算说明，小中出发多少千米后恰好与小国相距千米？(结果保留小数点后两位，参考数据：，) 5．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 6．机器人竞走比赛（图1）是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图2，在某次比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行至点B，然后从点B沿南偏西方向直行至点C，若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 7．如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送货物．已知港口A位于港口B北偏西的方向上，港口C位于港口A北偏东的方向上，海里，海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：，，，，，） 8．如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面是大海．远洋号、长峰号两艘轮船同时离开港O，“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，“长峰”号沿着南偏东30°方向匀速航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，求1小时后远洋号、长峰号两艘轮船相距多少海里． 9．小明家计划“春假”去郊外游玩，小明爸爸从平面地图上查看四处景点，，，的位置，如图，点在点的北偏东方向上，从点测得点和点分别在北偏东方向和南偏东方向上，已知点在点的正北方向处．小明家计划先从景点到景点游玩，再从景点到景点游玩，请你帮助小明计算小明家游玩路线长．（结果取整数，参考数据：，，） 10．我国始终坚持海洋强国战略，不断强化近海渔业安全保障与应急救援能力．在我国某海域，渔政部门开展常态化海上安全巡航，全力守护渔民生命财产安全．某次演习中，渔政巡逻船位于海港 的北偏东 方向，距离 点 250 海里的 处．一艘渔船在 处模拟遇险， 处位于海港 的北偏东 方向，同时位于 处的南偏东 方向上，此时，渔政巡逻船以 24 海里/时的速度前往 处，求渔政巡逻船大约多长时间到达 处（结果精确到 0.1 时．参考数据：，，，）． 11．如图为某乡村研学基地的平面示意图，点A、B、C、D为四个活动站点．经测量，站点A位于站点B的南偏西方向900米处，且位于站点C的西南方向上，站点C位于站点B的正北方向且位于站点D的北偏东方向上，站点D位于站点A的正北方向上．（参考数据：，，） (1)求站点A、C之间的距离（结果保留根号）； (2)小明，小鑫分别从站点C、D同时匀速出发，小明沿向站点A慢跑，小鑫沿向站点A步行．当小明跑到其路程的一半时，两人之间的距离与小鑫到站点A的距离之比为，求此时小鑫到站点A的距离（结果保留一位小数）． 12．如图①是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”，该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮．图②是它的平面示意图，是摩天轮的直径，兰兰从C点沿着坡度的斜坡走了12米到达登舱平台上的点D，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端M测得地面上点A的俯角为，测得地面上点B的俯角为，已知A、B两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：） (1)求D点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度（结果保留整数）． 题型六：坡比坡度问题 例1．清风阁位于安徽省合肥市包公园内，是1999年为纪念包拯诞辰1000周年、弘扬包公精神、宣传安徽悠久历史文化而建造的．如图，某数学小组开展了测量清风阁高度的实践活动，并利用课余时间完成了实地测量．观测点和清风阁分别在包河的两侧，美美同学用高度为1米的测角仪，在点A处测得清风阁顶M的仰角为，然后她沿坡度的斜坡走了13米到达点C，又用同样的测角仪测得清风阁顶M的仰角为．求清风阁的高度（A，B，C，D，M，N在同一平面内，结果精确到0.1，参考数据：，，） 例2．如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． (1)求坝高； (2)求水库坝底宽的长． 变式练习 1．如图，有一段水库拦水坝，坝高，坝长，．沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽，坡度由原来的变成． (1)求加宽部分横断面的面积． (2)完成这一加宽工程需要多少立方米的土？ 2．如图，山坡上有一棵竖直的树，坡面上点处放置高度为的测倾器，测倾器的顶部与树底部恰好在同一水平线上（即，此时测得树顶部的仰角为．已知山坡的坡度（即坡面上点处的铅直高度与水平宽度的比），求树的高度（结果精确到．参考数据：，， 3．如图，电线杆在坡度为的山坡上，在A处测得杆顶端点P的仰角是，向前走到达B点，测得杆顶端点P的仰角是． (1)求的度数； (2)求该电线杆的高度（结果保留根号）． 4．某下坡路段，交通部门安装了一套电子测速系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点B处，，米．区间测速的起点为坡面点D处，此时电子眼的俯角为（即），下坡路段的坡比（即），点A、B、C、D、E、F在同一平面内．如果该下坡路段限速16.67米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，） 5．某公司在办公楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图，工程人员为测量宣传牌的高度，他站在距离办公楼底部处6米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为，同时测得办公楼窗户处的仰角为（、、、在同一直线上）．然后，工程人员沿坡度的斜坡从走到处，此时正好与地面平行． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若工程人员在处又测得宣传牌顶部的仰角为，求宣传牌的高度．（结果精确到0.1米，，） 6．2026年4月，春季农耕关键时期，河北省沧州市就是立足农业生产实际，积极推广无人机飞防技术，为春季农业提质增效注入科技力量，提高农业生产效率，助力夏粮丰收．如图，技术人员位于山坡上的点控制无人机点进行作业．控制器显示：无人机距离水平地面的竖直高度是，观测点位置的俯角为．已知点距离山脚点A的距离是，山坡的坡度为． (1)求点处距水平地面的竖直高度； (2)求无人机与技术人员之间的距离（结果精确到）．（参考数据：取，取，取） 题型七：三角函数的应用 例1．如图，某人在山坡坡脚处测得一建筑物顶点的仰角为，沿山坡向上走到处又测得该建筑物顶点的仰角为．已知米，且三点在同一条直线上，山坡坡度． (1)求此人所在位置点的铅直高度（结果精确到0.1米）； (2)求此人从所在位置点走到建筑物底部点的路程（结果精确到0.1米）． （测倾器的高度忽略不计，参考数据：，，，，，） 例2．图①是某浴室花洒的侧面示意图，已知活动调节点（可以上下调整高度）离地面的初始距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面处淋浴． (1)当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高． (2)如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种： ①其他条件不变，把活动调节点向下移动．移动的距离与小华的身高之间有什么数量关系？请直接写出你的结论； ②活动调节点不动，只要调整的大小，如图②．试求的度数．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 变式练习 1．科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 2．年6月6日是第个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为（参考数据：，，，，结果精确到）． (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 3．如图，A，B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过桥，行驶路线为．现在新建了桥，可直接沿直线从A地到达B地．已知，，，和平行且相等，则现在从A地到B地比原来少走多少路程？（结果精确到） 4．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据，，） 5．我国科技发展日新月异，机器人走进日常生活成为现实．某科研团队研发的人形机器人“小智”，右臂为两节机械臂结构（上臂、前臂），其中上臂长度，前臂长度．如图，“小智”在工作前，，与地面平行；工作时，，与地面平行． (1)点与点在水平方向上的距离为__________． (2)求点与点在竖直方向上的距离．（结果精确到，参考数据：，） 6．小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， （2）计算乙同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， ， （结果精确到，参考数据：，，；，） (1)计算甲同学的成绩 (2)计算乙同学的成绩 7．汉画像石为徐州“汉代三绝”之一，被誉为汉代社会的石上史诗．小桐到徐州汉画像石艺术馆参观，发现一块刻有“孔子见老子”等历史故事的汉画像石，其画幅呈五边形，记作（如图）．已知，，，，，求画幅的面积（精确到）．（参考数据：，，，，） 8．凯里学院附中航模社小轩同学，在研究歼战机模型时，画出了如图1所示的俯视图与如图2所示的机翼（小鸭翼和主机翼）组件分解图．其中是一段弧线，B、C、E、F四点共线，于点E，于点F，，，，，，． (1)求的度数： (2)求的长．（参考数据：，，，） 9．一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，.当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为， (1)的形状是______． (2)求落在地面上的投影的长．（精确到，，） 1 学科网（北京）股份有限公司 $