专题24.1 在重复实验中观察随机现象（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

专题24.1 在重复实验中观察随机现象 教学目标 1.理解必然事件、不可能事件与随机事件的概念及各自的特点。 2.会判断一个事件的类型（必然、不可能或随机事件）。 3.理解频数与频率的概念，会计算频率。 4.能用频率估计随机事件发生机会的大小，发展数据观念。 教学重难点 1.重点 （1）必然事件、不可能事件、随机事件的概念 （2）判断事件的类型 （3）用频率估计随机事件发生的机会 2.难点 （1）正确区分随机事件与确定事件 （2）理解频率趋于稳定并能据此估计机会大小 （3）结合生活情境、跨学科情境判断事件 知识点01：事件的分类 1.必然事件：无需通过试验就能够预先确定在每次试验中都 的事件。 2.不可能事件：在每次试验中都 的事件。 3.随机事件：在重复试验中 在一次试验中会不会发生的事件（可能发生，也可能不发生）。 4.确定事件：包括 和 ，它们在试验中是否发生都能预先确定。 【即学即练】 1．下列事件属于不确定事件的是（     ） A．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B．从装有3个白球的袋中摸出一个红球 C．明天太阳从西边升起 D．奥运射击冠军盛李豪射击一次，命中10环 知识点02：事件发生的机会大小 事件类型 定义 发生机会大小 必然事件 一定会发生的事件 发生的机会是100%（即1） 不可能事件 一定不会发生的事件 发生的机会是0 随机事件 可能发生也可能不发生的事件 有时发生、有时不发生，机会介于0和100%之间 1.注意：所有事件都是在一定条件下进行分类的，当条件改变时，事件的类型可能发生改变。 【即学即练】 1．从形状、大小相同的9张数字卡片中任意抽1张，抽出的恰好是①偶数；②小于6的数；③不小于9的数．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小排列，则有__________（用“”连接）． 知识点03：频数与频率 1.频数：在重复试验中，用频数表示关注对象出现的次数。 2.频率：频率表示它出现的次数与总次数的比值（或百分比），即。 3.频数和频率都能反映对象出现的频繁程度。 【即学即练】 1．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频率分布表． 满意度 非常满意 满意 一般 不满意 合计 频率 0.5 0.3 0.05 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)_____________． (2)若某日共有10000名游客，请你估计其中满意度表现为“一般”和“不满意”的总人数． 题型01 判断事件的类型 根据定义判断：一定会发生的是必然事件，一定不会发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件。 【典例1】. （26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列事件中，是随机事件的是（     ） A．从一只装有红球的袋子里摸出一个黄球 B．抛出的篮球会下落 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出点数是 D．正数大于负数 【变式1】. （26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）“走在路上遇到同班同学”，这个事件是（     ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件 【变式2】. （26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列事件为必然事件的是（     ） A．购买张彩票，一定中奖 B．刷微信小视频，立即出现心里想听的一首歌 C．三角形三个内角的和为度 D．一枚硬币抛掷次，一定有正面向上出现 【变式3】. （26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列事件属于随机事件的是（     ） A．太阳从东方升起 B．标准大气压下水在沸腾 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D．三角形内角和为 题型02 用频率估计事件发生的机会大小 观察大量试验中频率的变化，取趋于稳定的数值作为事件发生的机会大小。 【典例2】. （26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）欢欢和园园抛豆子玩游戏，每人都有3颗豆子，每局每人可以随机抛出1-3颗（且抛出1-3颗豆子的可能性相同），如果两人抛出的豆子数的和是奇数则欢欢赢，如果和是偶数则是园园赢．那么两人谁赢的可能性大（  ） A．欢欢大 B．园园大 C．两人一样大 D．无法确定 【变式1】. （26-27九年级上·全国·课后作业）甲袋中放着个红球和个黑球，乙袋中放着个红球、个黑球和个白球．这三种球除了颜色以外没有任何其他区别．两袋中的球都已经各自搅匀．从其中一个袋中任取个球，如果你想取出个黑球，选哪个袋成功的机会大呢？ 【变式2】. （26-27九年级上·全国·课后作业）假如你做两组抛掷硬币的试验，每组抛掷10次，你认为两组试验中每次抛掷的正反面结果是不可能一模一样，还是有可能一模一样，还是必然会一模一样？为什么？ 【变式3】. （26-27七年级上·广东湛江·开学考试）同时掷两枚质地均匀的骰子，将朝上的两个点数相加，则“点数之和”出现可能性最大的是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型03 求频数与频率 频数是关注对象出现的次数；频率＝频数÷试验总次数，结果用分数、小数或百分比表示。 【典例3】. （2026·上海松江·模拟预测）某工厂对一批产品的使用寿命（单位：小时）进行检测，随机抽取了100件产品，计划绘制频率分布直方图．下边的表格是其频数统计（每组数据含最小值，不含最大值）．那么使用寿命不低于1400小时的产品所占的频率是____________． 使用寿命 1000～1200 1200～1400 1400～1600 1600～1800 频数 20 35 30 【变式1】. （25-26八年级下·江苏宿迁·期末）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）小明抛硬币的过程见下表，阅读并回答问题： 抛掷总次数 10 50 500 5000 出现正面的次数 3 24 258 2498 出现正面的频率 0.3 0.48 0.516 0.4996 (1)从表中可知，当抛完10次时出现正面3次，出现正面的频率为0.3，那么小明抛完10次，得到7次反面时，出现反面的频率是______； (2)当他抛完5000次时，出现反面的次数是______，出现反面的频率是______； (3)通过上述我们可以知道，出现正面的频数和出现反面的频数之和等于______，出现正面的频率和出现反面的频率之和等于______． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701 请估计，当n很大时，频率将会接近________．（精确到0.01） 题型04 转盘问题中的事件判断 先判断指针落在某区域是否为确定事件，再结合频率表估计机会大小。 【典例4】. （2025九年级·全国·专题练习）如图，转盘中5个扇形的面积都相等．任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，把下列事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为______． ①指针落在标有3的区域：②指针落在标有奇数的区域； ③指针落在标有6的区域；④指针落在标有偶数或奇数的区域． 【变式1】. （25-26八年级下·江苏南京·期中）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝三种颜色．固定指针，自由转动转盘，停止后指针所指区域的颜色为______色的可能性最大（填“红”“黄”或“蓝”）． 【变式2】. （2026·湖北宜昌·模拟预测）如图，是一个可以自由转动的转盘，转动该转盘，当转盘停止时，指针落在的区域可能性最大的是（    ） A．红色区域 B．黑色区域 C．黄色区域 D．不能确定 【变式3】. （25-26九年级下·全国·单元复习）如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（   ） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 题型05 摸球问题中的事件类型 根据布袋中球的颜色、数量判断摸出某色球是必然、不可能还是随机事件。 【典例5】. （26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）袋子里3个白球、2个黑球和1个绿球，每次摸一个球出来，第一回摸球，直到摸到黑球后将所有摸出的球放回袋中，第二回摸球，直到摸到白球后将所有摸出的球放回袋中，两回一共最多摸出______个球． 【变式1】. （2026八年级下·江苏·专题练习）一只不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出三个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的三个球中至少有一个黑球 B．摸出的三个球中至少有一个白球 C．摸出的三个球中至少有两个黑球 D．摸出的三个球中至少有两个白球 【变式2】. （25-26七年级上·湖南湘潭·阶段检测）盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到_______球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加_______个这种颜色的球． 【变式3】. （25-26七年级上·安徽芜湖·开学考试）盒子里装有个球，分别写着各数．小红和小明进行摸球游戏，摸到质数，小红赢；摸到合数，小明赢（摸到1，则此局为平局）．( )赢的可能性大． 题型06 条件改变对事件类型的影响 注意事件是在一定条件下分类的，条件改变时事件的类型可能改变，结合新条件重新判断。 【典例6】. （25-26七年级下·全国·周测）一个不透明的盒子中装有2个红球、3个白球和5个黑球，这些球除颜色外都相同，摇匀后，从中任意摸出1个小球． (1)会有哪些可能的结果？ (2)摸到哪种颜色的小球可能性最大？ (3)怎样改变盒子中红球、白球、黑球的个数，使摸到这三种颜色小球的概率相等（可取出或添加小球，添加或取出的小球总数最少）？ 【变式1】. （25-26九年级上·江苏泰州·期中）一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】. （25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）一个不透明的袋子里装有5个红球和15个黄球，这些球除颜色外其余均相同． (1)若从中任意摸出一个球，摸出黄球的概率是________； (2)若要从中任意摸出一个球是红球的概率为，袋子中需要加入________个红球； (3)若加入若干个红球和黄球，你认为至少加入几个红球和黄球，才能使摸到红球和黄球的概率相同？ 【变式3】. （25-26八年级下·江苏常州·期中）一只不透明的袋子中装有2个白球、3个黄球和4个红球，这些球除颜色外都相同．将球摇匀，从中任意摸出1个球． (1)能事先确定摸到的这个球的颜色吗？________ (2)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？________ (3)怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这三种颜色的概率相等？ (4)如果要使从中摸出白球的概率最大，至少需要往袋子中增加几个白球？ 一、单选题 1．连续抛掷一枚质地均匀的硬币四次，有两次正面朝上，这一事件是（     ） A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．无法确定 2．下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．年全年有天 B．任意一个三角形，其内角和是 C．下个月，芒市将下一场雨 D．射击运动员射击一次，命中靶心 3．有一个正方体，其中一面涂上红色，两面涂上绿色，三面涂上黄色，小明向上抛出正方体，落下后向上一面的颜色为（     ） A．红色 B．绿色 C．黄色 D．无法确定 二、填空题 4．事件“一个三角形三个内角的和小于”属于__________事件． 5．把红、黄两种颜色的球各个放到一个袋子里．至少取出__________个球，可以保证取到两个颜色相同的球．如果把个红球和个黄球放进袋子，任意摸出一个球，摸出__________球的可能性大． 6．从中取三个不同的数，使它们的和能被3整除，且至少有一个是偶数，则不同的取法共有___________种． 三、解答题 7．某路口交通信号灯的时间设置为：红灯30秒，绿灯20秒，黄灯4秒．当人或车随机经过该路口时，遇到哪一种灯的可能性最大？遇到哪一种灯的可能性最小？为什么？ 8．我县某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是　　　　　　　　；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） (2)如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的可能性和未得到购物券的可能性哪个大? 1．若n是一个两位数，且十位数字大于个位数字，则称n为“两位递增数”；若n的十位数字小于个位数字，则称n为“两位递减数”．在某次趣味活动中，甲、乙两人参加游戏，甲先从写了的卡牌中随机抽出一个卡牌，作为十位数字，放回卡牌后乙再从这堆卡牌中随机抽取一张卡牌，作为个位数字（卡牌除数字外完全相同）．游戏规定：若组成的数是“两位递增数”，则乙胜；若不是“两位递增数”，则甲胜． (1)用列表或画树状图法列出所有可能出现的结果； (2)你认为这个游戏公平吗?若公平，请说明理由；若不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方都公平? 2．某校九年级（）班位同学每人一组，每人做次抛掷两枚硬币的试验，想看看“出现两个正面”的频率是否会逐渐稳定下来，得到了下面个试验结果． 第一组同学的学号 出现两个正面的次数 第二组同学的学号 出现两个正面的次数 第三组同学的学号 出现两个正面的次数 第四组同学的学号 出现两个正面的次数 (1)学号为的同学在次试验中，“出现两个正面”成功了几次？成功率是多少？他是他所在小组同学中成功率最高的人吗？ (2)学号为和的两位同学在次试验中的成功率一样吗？如果他们两人再分别做次试验，成功率还会出现类似的情况吗？ (3)如何计算一组同学的成功率？哪一组的成功率最高？ (4)逐步累计所有同学的试验结果，完成下面的数据统计表，如果把这张表画成相应的折线图，你会看到什么？ 抛掷次数 出现两个正面的频数 出现两个正面的频率 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.1 在重复实验中观察随机现象 教学目标 1.理解必然事件、不可能事件与随机事件的概念及各自的特点。 2.会判断一个事件的类型（必然、不可能或随机事件）。 3.理解频数与频率的概念，会计算频率。 4.能用频率估计随机事件发生机会的大小，发展数据观念。 教学重难点 1.重点 （1）必然事件、不可能事件、随机事件的概念 （2）判断事件的类型 （3）用频率估计随机事件发生的机会 2.难点 （1）正确区分随机事件与确定事件 （2）理解频率趋于稳定并能据此估计机会大小 （3）结合生活情境、跨学科情境判断事件 知识点01：事件的分类 1.必然事件：无需通过试验就能够预先确定在每次试验中都一定会发生的事件。 2.不可能事件：在每次试验中都一定不会发生的事件。 3.随机事件：在重复试验中无法预先确定在一次试验中会不会发生的事件（可能发生，也可能不发生）。 4.确定事件：包括必然事件和不可能事件，它们在试验中是否发生都能预先确定。 【即学即练】 1．下列事件属于不确定事件的是（     ） A．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B．从装有3个白球的袋中摸出一个红球 C．明天太阳从西边升起 D．奥运射击冠军盛李豪射击一次，命中10环 【答案】D 【分析】直接对各选项的可能性进行分析，判断说法的正误． 【详解】解：A． 掷一次骰子，朝上一面的点数最小为，必然大于，是必然事件，不符合题意； B． 从装有个白球的袋中摸出红球，是不可能事件，不符合题意； C．明天太阳从西边升起，是不可能事件，不符合题意； D．奥运射击冠军盛李豪射击一次，可能命中环，也可能不命中，是不确定事件，符合题意． 知识点02：事件发生的机会大小 事件类型 定义 发生机会大小 必然事件 一定会发生的事件 发生的机会是100%（即1） 不可能事件 一定不会发生的事件 发生的机会是0 随机事件 可能发生也可能不发生的事件 有时发生、有时不发生，机会介于0和100%之间 1.注意：所有事件都是在一定条件下进行分类的，当条件改变时，事件的类型可能发生改变。 【即学即练】 1．从形状、大小相同的9张数字卡片中任意抽1张，抽出的恰好是①偶数；②小于6的数；③不小于9的数．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小排列，则有__________（用“”连接）． 【答案】 【详解】解：中，偶数有2，4，6，8共4个，小于6的数有1，2，3，4，5共5个，不小于9的数只有9，共1个， ∵， 故发生的可能性从大到小排列为. 知识点03：频数与频率 1.频数：在重复试验中，用频数表示关注对象出现的次数。 2.频率：频率表示它出现的次数与总次数的比值（或百分比），即。 3.频数和频率都能反映对象出现的频繁程度。 【即学即练】 1．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频率分布表． 满意度 非常满意 满意 一般 不满意 合计 频率 0.5 0.3 0.05 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)_____________． (2)若某日共有10000名游客，请你估计其中满意度表现为“一般”和“不满意”的总人数． 【答案】(1) (2)名 【分析】本题主要考查了统计图表的相关知识，解决问题的关键是读懂图表，弄清题意. （1）利用频率之和等于1求出未知频率. （2）利用样本估计总体的方法计算相应的人数. 【详解】（1） 解： 故答案为：. （2）解：（名）． 故估计满意度表现为“一般”和“不满意”的总人数为． 题型01 判断事件的类型 根据定义判断：一定会发生的是必然事件，一定不会发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件。 【典例1】. （26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列事件中，是随机事件的是（     ） A．从一只装有红球的袋子里摸出一个黄球 B．抛出的篮球会下落 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出点数是 D．正数大于负数 【答案】C 【分析】根据事件发生的确定性，判断各选项的事件类型． 【详解】解：A.袋中只装有红球，不可能摸出黄球，为不可能事件； B.抛出的篮球一定会下落，为必然事件； C.抛掷质地均匀的骰子，可能掷出~的任意点数，掷出点数是可能发生也可能不发生，为随机事件； D.正数一定大于负数，为必然事件． 【变式1】. （26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）“走在路上遇到同班同学”，这个事件是（     ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件 【答案】A 【详解】解：走在路上遇到同班同学，可能发生也可能不发生，属于随机事件． 【变式2】. （26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列事件为必然事件的是（     ） A．购买张彩票，一定中奖 B．刷微信小视频，立即出现心里想听的一首歌 C．三角形三个内角的和为度 D．一枚硬币抛掷次，一定有正面向上出现 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D中的事件均可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意； 三角形三个内角的和为度，是必然成立的，属于必然事件，符合题意． 【变式3】. （26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列事件属于随机事件的是（     ） A．太阳从东方升起 B．标准大气压下水在沸腾 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D．三角形内角和为 【答案】C 【详解】解：A、B、太阳从东方升起、标准大气压下水在沸腾是必然事件； D、三角形内角和为，故三角形内角和为是不可能事件； C、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上可能发生也可能不发生，是随机事件． 题型02 用频率估计事件发生的机会大小 观察大量试验中频率的变化，取趋于稳定的数值作为事件发生的机会大小。 【典例2】. （26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）欢欢和园园抛豆子玩游戏，每人都有3颗豆子，每局每人可以随机抛出1-3颗（且抛出1-3颗豆子的可能性相同），如果两人抛出的豆子数的和是奇数则欢欢赢，如果和是偶数则是园园赢．那么两人谁赢的可能性大（  ） A．欢欢大 B．园园大 C．两人一样大 D．无法确定 【答案】B 【分析】需列举两人抛豆的所有等可能结果，统计和为奇、偶的结果数，比较赢的可能性大小． 【详解】解：两人抛出的豆子数均有、、共种等可能情况，所有组合共种且等可能，对应和的奇偶性如下： 和为偶，和为奇，和为偶， 和为奇，和为偶，和为奇， 和为偶，和为奇，和为偶． ∵和为奇数的结果有种，和为偶数的结果有种． 又∵， ∴ 园园赢的可能性大． 【变式1】. （26-27九年级上·全国·课后作业）甲袋中放着个红球和个黑球，乙袋中放着个红球、个黑球和个白球．这三种球除了颜色以外没有任何其他区别．两袋中的球都已经各自搅匀．从其中一个袋中任取个球，如果你想取出个黑球，选哪个袋成功的机会大呢？ 【答案】 选乙袋成功的机会大． 【详解】解： 从甲袋中取出1个黑球的概率是：； 从乙袋中取出1个黑球的概率是：； ∵， ∴从乙袋中取出1个黑球的概率大． 【变式2】. （26-27九年级上·全国·课后作业）假如你做两组抛掷硬币的试验，每组抛掷10次，你认为两组试验中每次抛掷的正反面结果是不可能一模一样，还是有可能一模一样，还是必然会一模一样？为什么？ 【答案】解：抛掷硬币是随机试验，每次抛硬币出现正面、反面的结果是随机的，事先无法确定；每组抛掷 10 次，两组各自的结果都有很多种可能性； 虽然两组完全一样的概率比较小，但不是不可能发生，所以有可能一模一样；既不是必然一样，也不是不可能一样． 【详解】略 【变式3】. （26-27七年级上·广东湛江·开学考试）同时掷两枚质地均匀的骰子，将朝上的两个点数相加，则“点数之和”出现可能性最大的是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据题意列出点数之和为5，6，7，8的结果数，然后比较即可得出答案， 【详解】解：点数之和为5的结果有，共4种， 点数之和为6的结果有，共5种， 点数之和为7的结果有，共6种， 点数之和为8的结果有，共5种． ∵， ∴点数之和为7的出现可能性最大． 题型03 求频数与频率 频数是关注对象出现的次数；频率＝频数÷试验总次数，结果用分数、小数或百分比表示。 【典例3】. （2026·上海松江·模拟预测）某工厂对一批产品的使用寿命（单位：小时）进行检测，随机抽取了100件产品，计划绘制频率分布直方图．下边的表格是其频数统计（每组数据含最小值，不含最大值）．那么使用寿命不低于1400小时的产品所占的频率是____________． 使用寿命 1000～1200 1200～1400 1400～1600 1600～1800 频数 20 35 30 【答案】0.45 【分析】先根据已知样本容量求出使用寿命不低于1400小时的产品的频数，再利用频率公式计算所求频率． 【详解】解：∵样本容量为100， ∴使用寿命不低于1400小时的产品频数为：， ∴使用寿命不低于1400小时的产品所占的频率为． 【变式1】. （25-26八年级下·江苏宿迁·期末）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率的知识点，当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率的稳定范围，即可估计的值． 【详解】解：∵当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在事件发生的概率附近，观察表格给出的频率，可知发芽频率稳定在附近，范围在之间， ∴时，频率应接近该稳定范围，选项中只有符合要求． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）小明抛硬币的过程见下表，阅读并回答问题： 抛掷总次数 10 50 500 5000 出现正面的次数 3 24 258 2498 出现正面的频率 0.3 0.48 0.516 0.4996 (1)从表中可知，当抛完10次时出现正面3次，出现正面的频率为0.3，那么小明抛完10次，得到7次反面时，出现反面的频率是______； (2)当他抛完5000次时，出现反面的次数是______，出现反面的频率是______； (3)通过上述我们可以知道，出现正面的频数和出现反面的频数之和等于______，出现正面的频率和出现反面的频率之和等于______． 【答案】(1)； (2)2502，0.5004； (3)抛掷总次数，1 【分析】根据频数即一组数据中出现数据的个数，频率频数总数，即可解答． 【详解】（1）解：∵小明抛完10次时，得到7次反面， ∴反面出现的频率是； （2）解：当他抛完5000次时，反面出现的次数是， ∴反面出现的频率是； （3）解：通过上述我们可以知道，正面出现的频数和反面出现的频数之和等于抛掷总次数， 且正面出现的频率和反面出现的频率之和等于1． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701 请估计，当n很大时，频率将会接近________．（精确到0.01） 【答案】 【分析】当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在常数附近，观察表格中频率的稳定趋势即可求解． 【详解】解：由表格数据可得，随着转动转盘的次数不断增大，落在“铅笔”的频率逐渐稳定在附近，因此当很大时，频率将会接近． 题型04 转盘问题中的事件判断 先判断指针落在某区域是否为确定事件，再结合频率表估计机会大小。 【典例4】. （2025九年级·全国·专题练习）如图，转盘中5个扇形的面积都相等．任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，把下列事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为______． ①指针落在标有3的区域：②指针落在标有奇数的区域； ③指针落在标有6的区域；④指针落在标有偶数或奇数的区域． 【答案】③①②④ 【分析】转动转盘一次，转盘停止时，指针所落的区域有种等可能的情况，据此分别求出各小题的概率即可求得答案. 【详解】解：转动转盘一次，转盘停止时，指针所落的区域有标有的区域共种等可能的情况， ①指针落在标有的区域内的概率为； ②指针落在标有奇数的区域的概率为； ③指针落在标有的区域内的概率为； ④指针落在标有偶数或奇数的区域的概率为， 所以按发生的可能性从小到大的顺序排列为③<①<②<④， 故答案为：③①②④ ． 【点睛】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握相关知识是解题的关键. 【变式1】. （25-26八年级下·江苏南京·期中）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝三种颜色．固定指针，自由转动转盘，停止后指针所指区域的颜色为______色的可能性最大（填“红”“黄”或“蓝”）． 【答案】黄 【分析】根据转盘被分为面积相等的4个扇形，对三种颜色的扇形数量进行比较即可判断． 【详解】解：∵转盘被分为面积相等的4个扇形， ∴转盘停止后指针指向4个扇形区域的可能性相等， ∵其中红色的扇形有1个、黄色的扇形有2个、蓝色的扇形有1个，即黄色的扇形数量最多， ∴停止后指针所指区域的颜色为黄色的可能性最大． 【变式2】. （2026·湖北宜昌·模拟预测）如图，是一个可以自由转动的转盘，转动该转盘，当转盘停止时，指针落在的区域可能性最大的是（    ） A．红色区域 B．黑色区域 C．黄色区域 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据几何概率的定义，面积越大，指针指向该区域的可能性越大． 【详解】解：∵ 黑色区域在转盘中所占的面积最大， ∴ 指针落在黑色区域的可能性最大， 故选：B． 【变式3】. （25-26九年级下·全国·单元复习）如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（   ） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】D 【分析】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法． 比较圆心角度数大小即可． 【详解】解：由图形知， ∵， ∴数字4对应扇形圆心角度数最大， 所以指针落在数字所示区域内可能性最大的是4号， 故选：D． 题型05 摸球问题中的事件类型 根据布袋中球的颜色、数量判断摸出某色球是必然、不可能还是随机事件。 【典例5】. （26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）袋子里3个白球、2个黑球和1个绿球，每次摸一个球出来，第一回摸球，直到摸到黑球后将所有摸出的球放回袋中，第二回摸球，直到摸到白球后将所有摸出的球放回袋中，两回一共最多摸出______个球． 【答案】9 【分析】根据要使两回一共摸出的球最多，那么第一次要把除黑球外的其它球摸完才能摸到黑球，第二次要把除白球外的其它球摸完才能摸到白球，再结合题目情境即可得答案． 【详解】解：要使两回一共摸出的球最多，那么第一次要把除黑球外的其它球摸完才能摸到黑球，第二次要把除白球外的其它球摸完才能摸到白球， ∴第一次摸到3个白球、1个绿球，摸了4个，第5个一定能摸到黑球，第二次先摸到2个黑球和1个绿球，摸了3个，第4个一定能摸到白球， ∴两回一共摸出的球最多为：（个）， ∴两回一共最多摸出9个球． 【变式1】. （2026八年级下·江苏·专题练习）一只不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出三个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的三个球中至少有一个黑球 B．摸出的三个球中至少有一个白球 C．摸出的三个球中至少有两个黑球 D．摸出的三个球中至少有两个白球 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件，根据必然事件的定义，结合袋子里黑球和白球的数量，分析各选项事件是否一定发生． 【详解】解：∵袋子中仅有2个白球． ∴从中摸3个球时，最多只能摸到2个白球，剩余1个必为黑球． ∴“摸出的三个球中至少有一个黑球”一定发生，是必然事件，故A选项符合题意． ∵黑球有4个，可摸出3个黑球，故B选项事件不一定发生． ∵存在摸出1黑2白的情况，故C选项事件不一定发生． 因为可能摸出3个黑球（即0个白球），不满足至少有2个白球，所以该事件不是必然事件，故D选项事件不一定发生． 故选：A． 【变式2】. （25-26七年级上·湖南湘潭·阶段检测）盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到_______球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加_______个这种颜色的球． 【答案】 红 6 【分析】本题主要考查了可能性大小的实际应用，掌握可能性大小的比较方法是解题的关键． 比较盒子里白球、黄球、红球的数量多少，数量最多的，摸到的可能性最大；反之，数量最少的，摸到的可能性就最小．要使拿到这种颜色的球可能性最大，则其个数至少要比7多1，据此即可确定需要增加的个数． 【详解】解：∵， ∴红球的数量最少，所以从中任意摸一个球，摸到红球的可能性最小． ∵（个）， ∴要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加6个这种颜色的球． 故答案为：红，6． 【变式3】. （25-26七年级上·安徽芜湖·开学考试）盒子里装有个球，分别写着各数．小红和小明进行摸球游戏，摸到质数，小红赢；摸到合数，小明赢（摸到1，则此局为平局）．( )赢的可能性大． 【答案】小明 【分析】本题考查了简单事件发生的可能性，游戏规则的公平性，质数和合数的概念，正确掌握相关知识是解题的关键．先列出中质数和合数，再分别算出小红赢的可能性和小明赢的可能性，再比较大小，即可作答． 【详解】解：中质数有、、、、、，共个数； 合数有、、、、、、、，共个数； 小红赢的可能性为， 小明赢的可能性为， ， 小明赢的可能性大． 故答案为：小明 ． 题型06 条件改变对事件类型的影响 注意事件是在一定条件下分类的，条件改变时事件的类型可能改变，结合新条件重新判断。 【典例6】. （25-26七年级下·全国·周测）一个不透明的盒子中装有2个红球、3个白球和5个黑球，这些球除颜色外都相同，摇匀后，从中任意摸出1个小球． (1)会有哪些可能的结果？ (2)摸到哪种颜色的小球可能性最大？ (3)怎样改变盒子中红球、白球、黑球的个数，使摸到这三种颜色小球的概率相等（可取出或添加小球，添加或取出的小球总数最少）？ 【答案】(1)可能是红球、白球或黑球 (2)摸到黑球的可能性最大 (3)添加1个红球，取出2个黑球，每种颜色小球的个数均为3，盒子中小球的总数减少1个 【分析】（1）由一个不透明的盒子中有2个红球、3个白球和5个黑球，即可求得答案； （2）由一个不透明的盒子中有2个红球、3个白球和5个黑球，即可知摸到哪种颜色的球可能性最大？ （3） 将盒子中的红球、白球与黑球的个数设计一样多，则摸到这三种颜色的球的概率相同． 【详解】（1）解：从盒子中任意摸出1个小球，可能是红球、白球或黑球． （2）解：因为黑球的个数最多，所以摸到黑球的可能性最大． （3）解：要使摸到这三种颜色小球的概率相等，需保证三种颜色小球的个数相等． 因为要求盒子中小球的总数变化最小， 所以可以添加1个红球，取出2个黑球，每种颜色小球的个数均为3，盒子中小球的总数减少1个． 【点睛】本题考查了概率的概念及计算，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点． 【变式1】. （25-26九年级上·江苏泰州·期中）一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查一元一次方程的应用，事件的可能性，要使摸到红球和黄球的可能性相等，需使红球与黄球的数量相等。 【详解】设需要再放入x个红球， 放入后，红球有个，黄球有8个， ∵摸到两种球的可能性相等， ∴， 解得 ∴需要放入3个红球， 故选：C 【变式2】. （25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）一个不透明的袋子里装有5个红球和15个黄球，这些球除颜色外其余均相同． (1)若从中任意摸出一个球，摸出黄球的概率是________； (2)若要从中任意摸出一个球是红球的概率为，袋子中需要加入________个红球； (3)若加入若干个红球和黄球，你认为至少加入几个红球和黄球，才能使摸到红球和黄球的概率相同？ 【答案】(1) (2) (3) 至少放入10个红球和0个黄球， 【分析】（1）根据概率公式，用黄球个数除以总球数即可得到结果； （2）设加入红球个数为未知数，根据概率公式列一元一次方程求解即可； （3）由摸到两种球概率相等推出红球总个数等于黄球总个数，再结合原有数量关系求最少放入数量即可． 【详解】（1）解：∵袋子中原有球总个数为 ， ∴根据概率公式，摸出黄球的概率为 ； （2）解：设袋子中需要加入个红球， 根据题意列方程得 ， ∴ ， ， 解得 ， 经检验符合题意； （3）解：若摸到红球和黄球的概率相同，根据概率公式可知，总球数不为0， ∴红球总个数等于黄球总个数， 设放入个红球，放入个黄球，为非负整数，且不同时为0， 可得 整理得 ， 放入总个数为 ， 当取最小值0时，放入总个数最小，此时，放入总个数为； ∴至少放入10个红球，0个黄球即可满足条件． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏常州·期中）一只不透明的袋子中装有2个白球、3个黄球和4个红球，这些球除颜色外都相同．将球摇匀，从中任意摸出1个球． (1)能事先确定摸到的这个球的颜色吗？________ (2)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？________ (3)怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这三种颜色的概率相等？ (4)如果要使从中摸出白球的概率最大，至少需要往袋子中增加几个白球？ 【答案】(1)不能 (2)红球 (3)使袋子中白球、黄球、红球的个数相等即可（方法不唯一） (4)3个 【分析】（1）根据题干判断即可； （2）根据各颜色的球的数量判断即可； （3）让三种颜色球的数量相等即可； （4）设至少增加个白球，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵袋子中有三种不同颜色的球， ∴不能事先确定摸到的球的颜色． （2）解：∵，红球的数量最多， ∴摸到红球的概率最大． （3）解：根据概率的意义，只要使袋子中三种颜色球的个数相等，摸到三种颜色球的概率就相等（方法不唯一）． （4）解：现在袋子中红球数量最多，共4个，要使摸到白球的概率最大，需要白球的数量大于红球的数量． 设至少增加个白球， 可得， 解得． ∵为正整数， ∴的最小值为3， 即至少需要往袋子中增加3个白球． 一、单选题 1．连续抛掷一枚质地均匀的硬币四次，有两次正面朝上，这一事件是（     ） A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵连续抛掷一枚质地均匀的硬币四次，正面朝上的次数可能为0次，1次，2次，3次，4次， ∴有两次正面朝上的情况可能发生,也可能不发生， ∴该事件是随机事件． 2．下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．年全年有天 B．任意一个三角形，其内角和是 C．下个月，芒市将下一场雨 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【分析】先从确定的数学结论入手判断必然事件，再验证其余选项． 【详解】解：A．年全年有天，故2025面全年有367天是不可能事件，不符合题意； B．任意三角形的内角和为，是必然事件，符合题意； C．下个月芒市是否下雨具有不确定性，是随机事件，不符合题意； D．射击运动员射击一次是否命中靶心具有不确定性，是随机事件，不符合题意． 3．有一个正方体，其中一面涂上红色，两面涂上绿色，三面涂上黄色，小明向上抛出正方体，落下后向上一面的颜色为（     ） A．红色 B．绿色 C．黄色 D．无法确定 【答案】D 【分析】随机事件的结果具有不确定性，可能性大不代表必然发生． 【详解】解：正方体六个面中，红色面、绿色面、黄色面，抛出后落下时向上一面的颜色是随机事件， 落下后向上一面三种颜色均有可能出现， 无法确定具体结果． 二、填空题 4．事件“一个三角形三个内角的和小于”属于__________事件． 【答案】不可能 【分析】根据三角形三个内角的和等于，即可求解． 【详解】解：事件“一个三角形三个内角的和小于”属于不可能事件． 5．把红、黄两种颜色的球各个放到一个袋子里．至少取出__________个球，可以保证取到两个颜色相同的球．如果把个红球和个黄球放进袋子，任意摸出一个球，摸出__________球的可能性大． 【答案】 黄 【详解】解：考虑最不利情况，取出红、黄球各个，此时共取出 个球，再取出个球，一定能得到两个颜色相同的球，计算得至少取出的球数为个； 袋子中黄球数量是，红球数量是， ∵，黄球数量更多， ∴ 摸出黄球的可能性大． 6．从中取三个不同的数，使它们的和能被3整除，且至少有一个是偶数，则不同的取法共有___________种． 【答案】 【分析】利用排除法，先计算所有和能被整除的取法，再减去三个都是奇数且和能被3整除的取法，即可得到结果. 【详解】解：先将按除以的余数分为三类：余的数有，共个，其中奇数个，偶数个；余的数有，共个，其中奇数个，偶数个；余的数有，共个，其中奇数个，偶数个； 三个数和能被整除的情况分为四类：三个都余；三个都余；三个都余；一个余一个余一个余， 三个都余的总取法：含有的组合有4个，含有的组合有3个，含有的组合有2个，含有的组合有1个，共个，即含有3的组合有10个； 同理含有6的组合（不含有3）有6个；含有9的组合（不含有3、6）有3个；含有12的组合（不含有3、6、9）有1个， 一共有个； 同理三个都余的组合有35种；三个都余的组合有35种；一个余一个余一个余的组合有294种； 总取法有种， 三个都是奇数且和能被3整除的取法： 其中被3整除的类中奇数组合有，1个； 被3除余1的类中奇数组合有、、、，共4个； 被3除余2的类中奇数组合有，1个； 从三列奇数中各取一个的取法有种， 全为奇数的取法共有种， 故至少有一个偶数的不同取法为：种. 三、解答题 7．某路口交通信号灯的时间设置为：红灯30秒，绿灯20秒，黄灯4秒．当人或车随机经过该路口时，遇到哪一种灯的可能性最大？遇到哪一种灯的可能性最小？为什么？ 【答案】 遇到红灯的可能性最大，遇到黄灯的可能性最小．理由如下： ∵ 红绿灯一个周期的总时长为秒， ∴，，， ∵， ∴ 随机经过该路口时，遇到红灯的可能性最大，遇到黄灯的可能性最小. 【分析】比较三种信号灯的持续时长概率，时长概率越大，遇到的可能性越大． 【详解】略． 8．我县某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是　　　　　　　　；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） (2)如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的可能性和未得到购物券的可能性哪个大? 【答案】(1)不可能事件 (2)得不到购物券的概率大 【分析】（1）由于转盘上没有获得100元的购物券的区域，从而得到答案； （2）转动一次转盘共有16种等可能的结果．其中得到购物券的结果有种，得不到购物券的结果有种，从而得到购物券的概率为，得不到购物券的概率为，从而即可判断得到答案． 【详解】（1）解：∵转盘只设置了红色、黄色或绿色区域，分别对应元、元、元的购物券， ∴“转动一次转盘获得100元的购物券”是不可能事件； （2）解：转动一次转盘共有16种等可能的结果． 其中：转动一次转盘得到购物券的结果有种，得不到购物券的结果有种， 转动一次转盘得到购物券的概率为， 得不到购物券的概率为， ， 得不到购物券的概率大． 1．若n是一个两位数，且十位数字大于个位数字，则称n为“两位递增数”；若n的十位数字小于个位数字，则称n为“两位递减数”．在某次趣味活动中，甲、乙两人参加游戏，甲先从写了的卡牌中随机抽出一个卡牌，作为十位数字，放回卡牌后乙再从这堆卡牌中随机抽取一张卡牌，作为个位数字（卡牌除数字外完全相同）．游戏规定：若组成的数是“两位递增数”，则乙胜；若不是“两位递增数”，则甲胜． (1)用列表或画树状图法列出所有可能出现的结果； (2)你认为这个游戏公平吗?若公平，请说明理由；若不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方都公平? 【答案】(1)根据题意可列下表： 甲 乙 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 (2)这个游戏不公平． 由（1）可知，共有种等可能的结果，其中组成的两位数n是“两位递增数”的结果有种， （乙胜）， （甲胜）， ， 这个游戏不公平． 修改规则：若组成的数是“两位递增数”，则乙胜； 若组成数的十位数字和个位数字相同，则平局； 若组成的数是“两位递减数”，则甲胜．（答案不唯一） 【分析】（1）用列表法列出全部等可能的结果； （2）由（1）统计“两位递增数”的个数，分别算出甲乙获胜概率，概率不相等则游戏不公平；修改规则让甲乙获胜对应的结果数量相等，实现公平． 【详解】（1）略 （2）略 2．某校九年级（）班位同学每人一组，每人做次抛掷两枚硬币的试验，想看看“出现两个正面”的频率是否会逐渐稳定下来，得到了下面个试验结果． 第一组同学的学号 出现两个正面的次数 第二组同学的学号 出现两个正面的次数 第三组同学的学号 出现两个正面的次数 第四组同学的学号 出现两个正面的次数 (1)学号为的同学在次试验中，“出现两个正面”成功了几次？成功率是多少？他是他所在小组同学中成功率最高的人吗？ (2)学号为和的两位同学在次试验中的成功率一样吗？如果他们两人再分别做次试验，成功率还会出现类似的情况吗？ (3)如何计算一组同学的成功率？哪一组的成功率最高？ (4)逐步累计所有同学的试验结果，完成下面的数据统计表，如果把这张表画成相应的折线图，你会看到什么？ 抛掷次数 出现两个正面的频数 出现两个正面的频率 【答案】(1)成功了次，成功率是，不是他所在小组成功率最高的人 (2)两位同学的成功率一样；再做次试验，成功率不一定出现类似的情况 (3)一组同学的成功率为该组出现两个正面的总次数除以该组试验的总次数；第一组的成功率最高 (4)完成各抛掷次数对应的频数与频率数据统计表如下： 抛掷次数 出现两个正面的频数 出现两个正面的频率 根据统计表画成的折线图如图所示， 根据折线图会看到：随着抛掷次数的增加，出现两个正面的频率逐渐稳定在附近 【分析】（1）在表格找到学号同学的成功次数，代入公式：成功率（频率）成功次数试验总次数，查看同组所有人成功次数，找出最大值对比，判断是否最高，即可得到答案． （2）在表格找到学号为和的两位同学的成功次数进行对比，即可得到答案；根据随机试验的特点：抛掷硬币是随机事件，重复再做一组试验，结果具有随机性，即可得到答案． （3）根据成功率的公式计算，即可得到答案；根据每组人，每人次，得到每组总的试验次数为次，分别算出各组的成功率，比较个百分数，选出最大的一组即可． （4）统计抛掷次至次出现两个正面的频数，根据频率频数累计抛掷次数，得到频率，画出折线图：横轴抛掷总次数，纵轴频率，并根据折线图总结出规律即可． 【详解】（1）解：由表格数据可得：学号为的同学在次试验中，成功了次， ∴成功率是， ∵根据该组中号的同学在次试验中，成功了次，， ∴学号为的同学在次试验中不是他所在小组同学中成功率最高的人； （2）解：∵学号为和的两位同学在次试验中，成功的次数相同，都是次， ∴成功率是一样的， ∵试验的结果是随机的，不确定的， ∴如果他们两人再做次试验，成功率不一定出现类似的情况； （3）解：∵一组同学的成功率为：成功的总次数试验的总次数， ∴一组同学的成功率为该组出现两个正面的总次数除以该组试验的总次数， ∴第一组的成功率为：， 第二组的成功率为：， 第三组的成功率为：， 第四组的成功率为：， ∵， ∴第一组的成功率最高； （4）略． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $