16.3乘法公式同步讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“乘法公式”核心知识点，系统梳理完全平方公式（(a±b)²=a²±2ab+b²）及平方差公式（(a+b)(a-b)=a²-b²），构建“代数特征-几何背景-应用拓展”的学习支架，通过解题知识总结、典例示范与变式分层练习，帮助学生逐步掌握公式本质。 资料突出“数形结合”特色，以几何图形面积验证公式（如大正方形面积解释完全平方公式，割补图形验证平方差公式），培养几何直观与空间观念（数学眼光）。变式练习梯度设计（从基础计算到综合应用），强化推理意识（数学思维），课中辅助教师突破教学难点，课后助力学生查漏补缺，提升公式应用能力。

第16章 16.3 乘法公式 内 容 导 航 题型1 完全平方公式 题型2 完全平方公式的几何背景 题型3 平方差公式 题型4 平方差公式的几何背景 考 点 演 练 题型1 完全平方公式 解｜题｜知｜识 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 【典例1】若a﹣b＝6，ab＝﹣4，则a2+b2的值为（　　） A．44 B．42 C．32 D．28 【答案】D 【解答】解：a2+b2 ＝（a﹣b）2+2ab ＝62+2×（﹣4） ＝36﹣8 ＝28． 故选：D． 【变式1】小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2●⋯+25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（　　） A．+10xy B．+10xy或﹣10xy C．+20xy D．+20xy或﹣20xy 【答案】D 【解答】解：4x2＝（2x）2，25y2＝（5y）2， ∵（2x±5y）2＝4x2±20xy+25y2， ∴墨迹覆盖的这一项是±20xy， 故选：D． 【变式2】若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（　　） A．﹣8 B．±8 C．16 D．±16 【答案】D 【解答】解：∵4y2﹣my+16是一个完全平方式， ∴﹣my＝±4•y•4， 解得：m＝±16． 故选：D． 【变式3】已知x+y＝3，xy＝2，求下列各式的值． （1）x2+y2； （2）（x﹣1）（y﹣1）． 【答案】（1）5； （2）0． 【解答】解：（1）将x+y＝3两边平方得： （x+y）2＝x2+2xy+y2＝9， 将xy＝2代入得： x2+y2＝5； （2）原式＝xy﹣（x+y）+1 ＝2﹣3+1 ＝0． 题型2 完全平方公式的几何背景 解｜题｜知｜识 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 【典例1】如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【解答】解：首先令直线BF与直线CD的交点为O； 则S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S▱ECGF﹣S△BGF＝a•a÷2+b•b﹣（a+b）•b÷2；① S△DEF＝底EF•高DE÷2＝b•（a﹣b）÷2； ② S△CGF＝底CG•高GF÷2＝b•b÷2； ③ ∴阴影部分面积＝①+②+③ ＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2 ＝{a2+2b2﹣（ab+b2 ）+（ab﹣b2）+b2}÷2 ＝（a2+b2）÷2，④ 由已知 a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式： （ a+b）2＝102， 解得a2+b2+2ab＝100， a2+b2＝100﹣2•20， 化简＝60代入④式， 得60÷2＝30， ∴S阴影部分＝30． 方法2：∵CF∥BD， ∴△BDF的面积＝△BCD的面积， ∴阴影部分的面积＝△BCD的面积+△CGF的面积（a2+b2）， ∵a+b＝10，ab＝20， ∴（a2+b2）（a+b）2﹣ab＝50﹣20＝30； 故选：C． 【变式1】如图，麦麦用9张A类正方形卡片、1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片，拼成了一个大正方形，拼成的大正方形的边长是（　　） A．a+b B．a+2b C．2a+b D．3a+b 【答案】D 【解答】解：由拼图可得拼成的大正方形的面积为9a2+6ab+b2， 而9a2+6ab+b2＝（3a+b）2， 所以正方形的边长为3a+b， 故选：D． 【变式2】现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　　） A．3 B．19 C．21 D．28 【答案】B 【解答】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x+y＝8， ∴（x+y）2＝64， ∴x2+y2+2xy＝64， ∵点H为AE的中点， ∴AH＝EH＝4， ∵图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝6， ∴（x+y）2+（x﹣y）2＝64+6， ∴x2+y2＝35， ∴图1的阴影部分面积＝x2+y24•x4•y ＝x2+y2﹣2（x+y） ＝35﹣2×8 ＝19， 故选：B． 【变式3】【问题背景】小聪发现：利用如图1所示两个长方形和两个正方形能拼接成图2中的最大正方形．其面积的两种表示方式可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2． 【问题探究】 （1）小聪已拼出图3所示长方形，这个长方形的面积有两种表示方法，请你帮她完成这两种表示方法： 方法1：　（a+b）（a+2b）　 ，方法2：a2+3ab+2b2 ． 由上述“方法1”和“方法2”可列等式：　（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2 ． 【进阶探索】 （2）她要再拼成一个长为（a+3b），宽为（a+b）的长方形，需要A型卡片　1　 张，B型卡片　3　 张，C型卡片　4　 张． 【实践探究】 （3）小聪用5张C类卡片按图所示方式不重叠地放在长方形EFGH内，阴影部分的面积S1与S2的差与EH的长度无关，设EH的长为x，请探究a与b的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）（a+b）（a+2b），a2+3ab+2b2，（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2； （2）1，3，4； （3）（3）a＝2b，理由如下： 由图形4可知，S1＝a（x﹣3b）＝ax﹣3ab，S2＝2b•（x﹣a）＝2bx﹣2ab， ∴S2﹣S1＝（2bx﹣2ab）﹣（ax﹣3ab）＝（2b﹣a）x+ab， ∵阴影部分的面积S1与S2的差与EH的长度无关， ∴2b﹣a＝0， ∴a＝2b﹒ 【解答】解：（1）从整体上看长方形面积为（a+b）（a+2b），拼成长方形面积可以看作3个小长方形和3个正方形的和，面积为a2+3ab+2b2，由此可得等式（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2﹒ 故答案为：（a+b）（a+2b），a2+3ab+2b2，（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2； （2）∵（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2， ∴需要A型卡片1张，B型卡片3张，C型卡片4张﹒ 故答案为：1，3，4； （3）a＝2b，理由如下： 由图形4可知，S1＝a（x﹣3b）＝ax﹣3ab，S2＝2b•（x﹣a）＝2bx﹣2ab， ∴S2﹣S1＝（2bx﹣2ab）﹣（ax﹣3ab）＝（2b﹣a）x+ab， ∵阴影部分的面积S1与S2的差与EH的长度无关， ∴2b﹣a＝0， ∴a＝2b﹒ 题型3 平方差公式 解｜题｜知｜识 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 【典例1】已知M＝20252，N＝2024×2026，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定 【答案】A 【解答】解：N＝2024×2026＝（2025﹣1）（2025+1）＝20252﹣1， ∵20252＞20252﹣1， ∴M＞N， 故选：A． 【变式1】已知a2﹣b2＝10，a+b＝2，则a﹣b的值为（　　） A．4 B．±4 C．5 D．±5 【答案】C 【解答】解：根据平方差公式 可知：a2﹣b2＝10，a+b＝2， ∴2（a﹣b）＝10， ∴a﹣b＝5． 故选：C． 【变式2】当n为正整数时，两个连续奇数2n+1和2n﹣1的平方差是（　　） A．10的倍数 B．8的倍数 C．5的倍数 D．3的倍数 【答案】B 【解答】解：原式＝[（2n+1）﹣（2n﹣1）][（2n+1）+（2n﹣1）] ＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1） ＝2×4n ＝8n， ∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定是8的倍数． 故选：B． 【变式3】下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是（　　） A．（a+b）（a﹣b） B．（﹣a+2b）（a+2b） C．（a﹣b）（﹣a+b） D．（﹣2a+b）（﹣2a﹣b） 【答案】C 【解答】解：A、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，能用平方差公式，故选项A不符合题意； B、（﹣a+2b）（a+2b）＝（2b﹣a）（2b+a）＝（2b）2﹣a2，能用平方差公式，故选项B不符合题意； C、（a﹣b）（﹣a+b），可变形为（a﹣b）[﹣（a﹣b）]＝﹣（a﹣b）2，属于完全平方的相反数，不能用平方差公式，故选项C符合题意； D、（﹣2a+b）（﹣2a﹣b）＝（﹣2a）2﹣b2＝4a2﹣b2，能用平方差公式，故选项D不符合题意． 故选：C． 题型4 平方差公式的几何背景 解｜题｜知｜识 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 【典例1】如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab 【答案】C 【解答】解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为（a﹣b）2， 图2中阴影部分的面积a2﹣2ab+b2， 根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2． 故选：C． 【变式1】如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形，根据图形的变化过程，写出一个正确的等式是（　　） A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 B．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n） C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．m（m﹣n）＝m2﹣mn 【答案】B 【解答】解：根据题意可知，原来图形阴影部分的面积为：m2﹣n2， 减掉小正方形后阴影部分的面积为：（m+n）（m﹣n）， ∴等式为：m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）． 故选：B． 【变式2】如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，下列四种割拼方法，能够验证平方差公式的有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【解答】解；图（1）阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，其面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此选项A能够验证平方差公式； 图（2）阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的是底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，其面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此选项B能够验证平方差公式； 图（3）阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的是上底为2b，下底为2a，高为a﹣b的梯形，其面积为（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此选项C能够验证平方差公式； 图（4）阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的是底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，其面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此选项D能够验证平方差公式； 综上所述，能够验证平方差公式的图形有（1）（2）（3）（4），共4个， 故选：D． 【变式3】如图，将一张长方形大铁皮切割成九块（切痕为虚线），其中有两块是边长都为acm的大正方形，两块是边长都为bcm的小正方形，且a＞b． （1）这张长方形大铁皮的长为 　（2a+b）　 cm，宽为 　（2b+a）　 cm；（用含a、b的代数式表示） （2）①求这张长方形大铁皮的面积S（用含a、b的代数式表示）； ②若一个小长方形的周长为22cm，一个大正方形与一个小正方形的面积之差为33cm2，求a、b的值，并求这张长方形大铁皮的面积S． 【答案】（1）（2a+b），（2b+a）；（2）①S＝2a2+5ab+2b2；②a＝7，b＝4，这张长方形大铁皮的面积为270cm2． 【解答】解：（1）这张长方形大铁皮长为（2a+b）cm，宽为（2b+a）cm； 故答案为：（2a+b），（2b+a）； （2）①S＝（2a+b）（2b+a） ＝2a2+5ab+2b2； ②根据题意得：2（a+b）＝22，a2﹣b2＝33， 整理得a+b＝11，（a+b）（a﹣b）＝33， ∴a﹣b＝3， 解得a＝7，b＝4， ∴5ab+2a2+2b2＝140+98+32＝270， 则这张长方形大铁皮的面积为270cm2． 过 关 验 收 1. 下列运算：①（3x+y）2＝9x2+y2；②（a﹣2b）2＝a2﹣4b2；③（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2；④．其中，运算错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①（3x+y）2＝9x2+6xy+y2，故①运算错误； ②（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，故②运算错误； ③（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2，故③运算正确； ④，故④运算错误． 所以运算错误的有①②④，共3个． 故选：C． 2. 已知（x+y）2＝30，（x﹣y）2＝6，则xy＝ 　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：∵（x+y）2＝30，（x﹣y）2＝6， ∴（x+y）2﹣（x﹣y）2＝30﹣6， x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2＝24， 4xy＝24， xy＝6． 故答案为：6． 3. 将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式，若6，则x＝　4　 ． 【答案】4 【解答】解：定义ad﹣bc， 可得（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣1）2＝6， 解得：x＝4， 故答案为：4 4. 阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝x﹣1　 ，DF＝x﹣3　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3， ∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5； （2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3， 故答案为：x﹣1；x﹣3； ②（x﹣1）（x﹣3）＝48， 阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2． 设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196， ∴a+b＝±14， 又∵a+b＞0， ∴a+b＝14， ∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28． 即阴影部分的面积是28． 5. （1）已知（a+b）2＝25，ab＝10，求a2+b2的值． （2）已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求ab的值． 【答案】（1）5； （2）1． 【解答】解：（1）∵（a+b）2＝25， ∴a2+2ab+b2＝25， ∵ab＝10， ∴a2+b2＝25﹣2×10＝5； （2）∵（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4， ∴a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝4， 即4ab＝4， 则ab＝1． 6. 用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为x、y）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为36，中间空缺的小正方形的面积为4，则下列关系式中不正确的是（　　） A．x+y＝6 B．x﹣y＝2 C．x•y＝8 D．x2+y2＝36 【答案】D 【解答】解：∵大正方形的面积为36，中间空缺的小正方形的面积为4， ∴大正方形的边长是6，中间空缺的小正方形的边长为2， ∴x+y＝6，x﹣y＝2， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝36，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4， ∴xy[（x+y）2﹣（x﹣y）2]＝8，x2+y2[（x+y）2+（x﹣y）2]＝20， ∴关系式中不正确的是x2+y2＝36． 故选：D． 7. 如图，一块直径为（a+b）的圆形卡纸，从中挖去直径分别为a、b的两个圆，则剩下的卡纸的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意得：剩下的卡纸的面积为： （）2π﹣（）2π﹣（）2π（a2+2ab+b2﹣a2﹣b2）， 故选：C． 8. 若一个正方形的边长增加2cm，它的面积增加了32cm2，则这个正方形的边长是（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 【答案】A 【解答】解：设原正方形的边长为acm． 根据题意，边长增加2cm后，新正方形的边长为（a+2）cm， 面积为（a+2）2cm2， 原正方形的面积为a2cm2， 面积增加量为：（a+2）2﹣a2＝a2+4a+4﹣a2＝4a+4， 依题意，面积增加了32cm2， 故有：4a+4＝32， 解得：4a＝28， a＝7， 因此，原正方形的边长为7cm． 故选：A． 9. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH，将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6，图2阴影部分的面积为4，则图1阴影部分的面积为（　　） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【解答】解：设正方形乙的边长为b，正方形ABCD的边长为a， ∴（a﹣b）2＝4，a+b＝6， ∴（a+b）2＝36， ∴a2﹣2ab+b2＝4，a2+2ab+b2＝36， 两式相减得：ab＝8， ∵a+b＝6， ∴b＝2，a＝4， ∴S阴影部分＝S正方形甲+S正方形乙﹣S△EFH﹣S△ADH ＝16+4﹣6﹣3 ＝11． 故选：B． 10. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图甲，我们可以得到的数学公式是：（m+n）2＝m2+2mn+n2，你根据图乙能得到的数学公式是（　　） A．m2﹣n2＝（m﹣n）2 B．（m+n）2＝m2+2mn+n2 C．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n） 【答案】C 【解答】解：∵根据图甲，我们可以得到的数学公式是：（m+n）2＝m2+2mn+n2， ∴图乙可得边长为（m﹣n）的正方形的面积＝（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2． 故选：C． 11. 在学习完《整式乘法》后，数学兴趣小组探究了这样一个问题：如图，现有甲、乙两张正方形纸片．小勇将甲正方形移至乙正方形的左上角按方式一摆放，小伟将甲、乙正方形并列放置在一个更大的正方形中按方式二摆放．若按方式一摆放时阴影小正方形部分的面积为2，按方式二摆放时阴影部分的面积为8，则甲、乙两张正方形纸片的面积之和为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【解答】解：根据题意，设甲的边长为a，乙的边长为b， ∵按方式一摆放时阴影小正方形部分的面积为2， ∴（b﹣a）2＝2，即b2﹣2ab+a2＝2， ∵方式二摆放时阴影部分的面积为8， ∴（a+b）2﹣（a2+b2）＝8，即2ab＝8， ∴b2+a2＝2+2ab＝10． 故选：B． 12. 如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝20，已知BG＝6，则图中阴影部分面积为 　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：设BC＝a，CG＝b，则，，BG＝a+b＝6， ∴， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝62＝36， ∴2ab＝36﹣20＝16， ∴ab＝8， ∴阴影部分的面积． 故答案为：4． 13. 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 　（a+b）2＝a2+2ab+b2 ． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝　90　 ． （2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和． 【答案】【教材原题】：（a+b）2＝a2+2ab+b2； 【类比探究】：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； 【应用】（1）90； （2）（11﹣x）2+（x﹣8）2的值是5； 【拓展】种草区域的面积和为12． 【解答】解：【教材原题】：观察图①可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； 【类比探究】：观察图②可得，图中阴影部分图形的面积和＝a2+b2， a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； 【应用】：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣10＝90， 故答案为：90； （2）（11﹣x）2+（x﹣8）2＝[（11﹣x）+（x﹣8）]2﹣2（11﹣x）（x﹣8）＝9﹣4＝5， ∴（11﹣x）2+（x﹣8）2的值是5； 【拓展】：∵AC⊥BD，AE＝DE，BE＝CE， ∴S△ADEAE2，S△BECCE2， ∵种花区域的面积和为， ∴AE2+CE2＝25， ∵AC＝7， ∴AE•CE＝12， ∴AE•BE＝DE•CE＝12， ∴种草区域的面积和（AE•BE+DE•CE）＝12． 14. 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式： 图1． 　（a+b）2＝a2+2ab+b2 ；图2． 　（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ． 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系． （3）根据（1），（2）中你探索发现的结论，完成下列计算：已知a﹣b＝10，ab＝﹣16，求a+b的值；（写出过程） 【解决问题】 （4）如图4，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，设AB＝6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积． 【知识迁移】 （5）若（2023﹣m）（2024﹣m）＝6，则（2023﹣m）2+（2024﹣m）2＝ 　13　 ．（直接写出结果） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）图1：（a+b）2＝a2+2ab+b2； 图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a﹣b）2a2﹣2ab+b2； （2）图3阴影的面积：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （3）根据（2）可知（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×（﹣16）＝36， ∴a+b＝±6； （4）由题意可知AC+BC＝6，S正方形ACDE+S正方形BCFG＝20， ∴AC2+BC2＝20， ∴（AC+BC）2﹣（AC2+BC2）＝62﹣20， ∴AC•BC＝8， ∴S△ACFAC•CFAC•BC； （5）（2023﹣m）2+（2024﹣m）2＝[（2023﹣m）﹣（2024﹣m）]2+2（2023﹣m）（2024﹣m）， ＝1+2×6 ＝13， 故答案为：13． 15. 计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：原式 ． 故选：A． 16. 下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　） A．（x+a）（x﹣a） B．（a+b）（﹣a﹣b） C．（﹣x﹣b）（x﹣b） D．（b+m）（m﹣b） 【答案】B 【解答】解：A、C、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算； B、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算． 故选：B． 17. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如8＝32﹣12，16＝52﹣32，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（　　） A．58 B．60 C．62 D．64 【答案】D 【解答】解：设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数）， ∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n， ∴由这两个连续奇数构造的“创新数”是8的倍数． 根据“创新数”的定义可知：58、60、62都不是8的倍数， ∴它们不是“创新数”， ∵64是8的倍数，利用平方差公式可知64＝172﹣152， ∴64是“创新数”． 故选：D． 18. 若3x﹣2y＝3，则9x2﹣4y2﹣12y的值为（　　） A．9 B．6 C．3 D．﹣3 【答案】A 【解答】解：原式＝（3x+2y）（3x﹣2y）﹣12y ＝3（3x+2y）﹣12y ＝9x+6y﹣12y ＝9x﹣6y ＝3（3x﹣2y） ＝3×3 ＝9． 故选：A． 19. 计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）的结果是（　　） A．a8+2a4b B．a8﹣2a4b4 C．a8+b8 D．a8﹣b8 【答案】D 【解答】解：原式＝（a2﹣b2）（a2+b2）（a4+b4） ＝（a4﹣b4）（a4+b4） ＝a8﹣b8， 故选：D． 20. 在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　） A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 【答案】B 【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2； 拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b）， 所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：B． 21. 从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图1），然后将剩余部分剪拼成一个梯形（图2）．这样操作能验证的等式是（　　） A．a2+ab＝a（a+b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【答案】D 【解答】解：根据图①可得剩余部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，根据图②可得剩余部分的面积等于底为a+b，高为a﹣b的梯形的面积可知： 图①剩余部分的面积为：a2﹣b2， 图②拼成的梯形的底为a+b，高为a﹣b， ∴剩余部分的面积为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：D． 22. 如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为m，则另一边长是（　　） A．3m+3 B．3m+6 C．2m+3 D．2m+6 【答案】B 【解答】解：∵边长为2m+3的正方形纸片的面积为：（2m+3）2， 边长为m+3的正方形纸片的面积为：（m+3）2， ∴拼成的长方形另一边长为： [（2m+3）2﹣（m+3）2]÷m ＝[4m2+12m+9﹣（m2+6m+9）]÷m ＝（4m2+12m+9﹣m2﹣6m﹣9）÷m ＝（3m2+6m）÷m ＝3m2÷m+6m÷m ＝3m+6． 故选：B． 23. 如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为　2m+4　 ． 【答案】2m+4 【解答】解：设另一边长为x， 根据题意得，4x＝（m+4）2﹣m2， 解得x＝2m+4． 则另一边长为2m+4， 故答案为：2m+4． 24. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积是　18　 ． 【答案】18 【解答】解析：∵大正方形的面积为：AB2，小正方形的面积为：BE2， ∴AB2﹣BE2＝36， ∵BC＝AB，BD＝BE， ∴S阴影＝S△ACE+S△AED ＝18． 故答案为：18． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16章 16.3 乘法公式 内 容 导 航 题型1 完全平方公式 题型2 完全平方公式的几何背景 题型3 平方差公式 题型4 平方差公式的几何背景 考 点 演 练 题型1 完全平方公式 解｜题｜知｜识 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 【典例1】若a﹣b＝6，ab＝﹣4，则a2+b2的值为（　　） A．44 B．42 C．32 D．28 【变式1】小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2●⋯+25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（　　） A．+10xy B．+10xy或﹣10xy C．+20xy D．+20xy或﹣20xy 【变式2】若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（　　） A．﹣8 B．±8 C．16 D．±16 【变式3】已知x+y＝3，xy＝2，求下列各式的值． （1）x2+y2； （2）（x﹣1）（y﹣1）． 题型2 完全平方公式的几何背景 解｜题｜知｜识 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 【典例1】如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 【变式1】如图，麦麦用9张A类正方形卡片、1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片，拼成了一个大正方形，拼成的大正方形的边长是（　　） A．a+b B．a+2b C．2a+b D．3a+b 【变式2】现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　　） A．3 B．19 C．21 D．28 【变式3】【问题背景】小聪发现：利用如图1所示两个长方形和两个正方形能拼接成图2中的最大正方形．其面积的两种表示方式可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2． 【问题探究】 （1）小聪已拼出图3所示长方形，这个长方形的面积有两种表示方法，请你帮她完成这两种表示方法： 方法1：　 　 ，方法2： ． 由上述“方法1”和“方法2”可列等式：　 ． 【进阶探索】 （2）她要再拼成一个长为（a+3b），宽为（a+b）的长方形，需要A型卡片　 　 张，B型卡片　 　 张，C型卡片　 　 张． 【实践探究】 （3）小聪用5张C类卡片按图所示方式不重叠地放在长方形EFGH内，阴影部分的面积S1与S2的差与EH的长度无关，设EH的长为x，请探究a与b的数量关系，并说明理由 题型3 平方差公式 解｜题｜知｜识 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 【典例1】已知M＝20252，N＝2024×2026，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定 【变式1】已知a2﹣b2＝10，a+b＝2，则a﹣b的值为（　　） A．4 B．±4 C．5 D．±5 【变式2】当n为正整数时，两个连续奇数2n+1和2n﹣1的平方差是（　　） A．10的倍数 B．8的倍数 C．5的倍数 D．3的倍数 【变式3】下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是（　　） A．（a+b）（a﹣b） B．（﹣a+2b）（a+2b） C．（a﹣b）（﹣a+b） D．（﹣2a+b）（﹣2a﹣b） 题型4 平方差公式的几何背景 解｜题｜知｜识 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 【典例1】如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab 【变式1】如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形，根据图形的变化过程，写出一个正确的等式是（　　） A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 B．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n） C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．m（m﹣n）＝m2﹣mn 【变式2】如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，下列四种割拼方法，能够验证平方差公式的有（　　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式3】如图，将一张长方形大铁皮切割成九块（切痕为虚线），其中有两块是边长都为acm的大正方形，两块是边长都为bcm的小正方形，且a＞b． （1）这张长方形大铁皮的长为 　 　 cm，宽为 　 　 cm；（用含a、b的代数式表示） （2）①求这张长方形大铁皮的面积S（用含a、b的代数式表示）； ②若一个小长方形的周长为22cm，一个大正方形与一个小正方形的面积之差为33cm2，求a、b的值，并求这张长方形大铁皮的面积S． 过 关 验 收 1. 下列运算：①（3x+y）2＝9x2+y2；②（a﹣2b）2＝a2﹣4b2；③（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2；④．其中，运算错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 已知（x+y）2＝30，（x﹣y）2＝6，则xy＝ 　 　 ． 3. 将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式，若6，则x＝　 　 ． 4. 阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝x﹣1　 ，DF＝x﹣3　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 5. （1）已知（a+b）2＝25，ab＝10，求a2+b2的值． （2）已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求ab的值． 6. 用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为x、y）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为36，中间空缺的小正方形的面积为4，则下列关系式中不正确的是（　　） A．x+y＝6 B．x﹣y＝2 C．x•y＝8 D．x2+y2＝36 7. 如图，一块直径为（a+b）的圆形卡纸，从中挖去直径分别为a、b的两个圆，则剩下的卡纸的面积为（　　） A． B． C． D． 8. 若一个正方形的边长增加2cm，它的面积增加了32cm2，则这个正方形的边长是（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 9. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH，将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6，图2阴影部分的面积为4，则图1阴影部分的面积为（　　） A．10 B．11 C．12 D．15 10. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图甲，我们可以得到的数学公式是：（m+n）2＝m2+2mn+n2，你根据图乙能得到的数学公式是（　　） A．m2﹣n2＝（m﹣n）2 B．（m+n）2＝m2+2mn+n2 C．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n） 11. 在学习完《整式乘法》后，数学兴趣小组探究了这样一个问题：如图，现有甲、乙两张正方形纸片．小勇将甲正方形移至乙正方形的左上角按方式一摆放，小伟将甲、乙正方形并列放置在一个更大的正方形中按方式二摆放．若按方式一摆放时阴影小正方形部分的面积为2，按方式二摆放时阴影部分的面积为8，则甲、乙两张正方形纸片的面积之和为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 12. 如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝20，已知BG＝6，则图中阴影部分面积为 　 　 ． 13. 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 　 ． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 ． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝　 　 ． （2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和． 14. 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式： 图1． 　 ；图2． 　 ． 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系． （3）根据（1），（2）中你探索发现的结论，完成下列计算：已知a﹣b＝10，ab＝﹣16，求a+b的值；（写出过程） 【解决问题】 （4）如图4，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，设AB＝6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积． 【知识迁移】 （5）若（2023﹣m）（2024﹣m）＝6，则（2023﹣m）2+（2024﹣m）2＝ 　 　 ．（直接写出结果） 15. 计算的结果是（　　） A． B． C． D． 16. 下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　） A．（x+a）（x﹣a） B．（a+b）（﹣a﹣b） C．（﹣x﹣b）（x﹣b） D．（b+m）（m﹣b） 17. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如8＝32﹣12，16＝52﹣32，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（　　） A．58 B．60 C．62 D．64 18. 若3x﹣2y＝3，则9x2﹣4y2﹣12y的值为（　　） A．9 B．6 C．3 D．﹣3 19. 计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）的结果是（　　） A．a8+2a4b B．a8﹣2a4b4 C．a8+b8 D．a8﹣b8 20. 在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　） A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 21. 从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图1），然后将剩余部分剪拼成一个梯形（图2）．这样操作能验证的等式是（　　） A．a2+ab＝a（a+b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 22. 如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为m，则另一边长是（　　） A．3m+3 B．3m+6 C．2m+3 D．2m+6 23. 如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为　 　 ． 24. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积是　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $