精品解析：四川乐山乐外立志达高级中学2025-2026学年高一上学期期中教学质量检测数学试题

乐外立志达高中2028届高一上半期教学质量检测 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 命题人：郑长清 审题人：王丽媛 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（   ） A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 下列函数中是增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 为了保护水资源，提倡节约用水，六安市对居民生活用水实行“阶梯水价”．假设计费方法如下： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 若某户居民本月交纳的水费为48元，求此户居民本月的用水量（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8. 已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 命题“，”的否定是“” C. 为真命题，则m的取值范围是 D. “”是“”的必要条件 10. 下列选项中正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是 C. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 D. 若关于x的一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 11. 设函数，，用表示，的最大者，记为，则（   ） A. B. C. 的值域为 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在区间上的最大值与最小值的和为_____． 13. 已知幂函数的图象过点，则_____． 14. 已知函数是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： （1）将利润（单位：元）表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大是多少元？（总收入总成本+利润） 17. 已知函数对均满足． （1）求函数的解析式； （2）已知，且，求的最小值． 18. 函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）证明在上为增函数； （3）解不等式. 19. 二次函数满足且． （1）求的解析式； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． （3）令，函数在区间上的最小值为，最大值为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐外立志达高中2028届高一上半期教学质量检测 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 命题人：郑长清 审题人：王丽媛 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合并集的定义，合并两个集合的所有元素并去除重复元素即可求解. 【详解】已知集合，，合并两集合的所有元素并去重后，可得. 2. 下列命题为真命题的是（   ） A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 【答案】B 【解析】 【详解】当时，显然不成立，故A错误； 由，利用不等式的性质易得，故B正确； 当时，取，则，故C错误； 当时，,由不等式的性质，可得，故D错误. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据范围代入解析式即可. 【详解】因为， 所以，. 故选：A. 4. 下列函数中是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：是斜率为的一次函数，在上单调递减，不是增函数. 选项B：是开口向上的二次函数，在递减，在递增，在定义域上不单调. 选项C：是幂函数，指数，定义域为，在上单调递增，是增函数. 选项D：的定义域为，在两个区间内分别递增，但在整个定义域上不具备单调性. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据使函数有意义得到不等式组，解得即可. 【详解】由有意义可得， ， 解得，即， 所以函数的定义域为. 6. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数奇偶性结合特殊值可判断选项正误. 【详解】注意到，则为奇函数，则图象关于原点对称. 又易得，当时，，则时，图像应在轴上方，结合选项可选C. 7. 为了保护水资源，提倡节约用水，六安市对居民生活用水实行“阶梯水价”．假设计费方法如下： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 若某户居民本月交纳的水费为48元，求此户居民本月的用水量（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据阶梯水价，结合题意进行求解即可. 【详解】当用水量为时，水费为，而本月交纳的水费为48元，显然用水量超过， 当用水量为时，水费为，而本月交纳的水费为48元，所以本月用水量不超过，所以有，因此本月用水量为， 故选：B 8. 已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性与单调性，将抽象不等式转化为关于的一元二次不等式求解即可. 【详解】由题可知函数定义域为， ，故是上的奇函数， 又函数均为定义在上的减函数，故是上的减函数，  不等式移项得：， 由奇函数性质得：，即， 又是上的减函数，故，整理得：， 因式分解得：，故的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 命题“，”的否定是“” C. 为真命题，则m的取值范围是 D. “”是“”的必要条件 【答案】BC 【解析】 【详解】对于选项A：命题“”的否定是“”，故A错误； 对于选项B：命题“，”的否定是“”，故B正确； 对于选项C：若为真命题， 则，解得， 所以m的取值范围是，故C正确； 对于选项D：例如，满足，但， 即“”不能推出“”，所以“”不是“”的必要条件，故D错误. 10. 下列选项中正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是 C. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 D. 若关于x的一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解；对于B，根据不等式成立的条件，进行分类讨论，只需令二次函数开口向下且判别式小于0即可求解；对于C，根据不等式的解集，利用韦达定理即可用表示出和，将其代入不等式中，即可求解；对于D，先求一元二次方程有一个正根和一个负根的充要条件，即判别式且两根之积小于0，利用判别式和韦达定理即可求解，再判断是否为充分不必要条件. 【详解】对于A，不等式等价于， 解得，所以不等式的解集为，故A正确. 对于B，因为不等式是一元二次不等式，所以， 当时，二次函数开口向上， 所以不等式不可能对一切实数x都成立； 当时，二次函数开口向下， 要使一元二次不等式对一切实数x都成立， 则判别式， 解得， 综上所述，的取值范围是，故正确. 对于C，不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，即 且和是方程的两个根， 由韦达定理得：，， 即，，代入不等式中得： ， 即，解得或， 所以关于x的不等式的解集为，故C错误. 对于D，因为方程是一元二次方程，所以， 一元二次方程有一个正根和一个负根的充要条件是： 判别式且两根之积小于0， 即，解得， 由韦达定理得，解得， 所以有一个正根和一个负根的充要条件是， 所以是的充分不必要条件，故正确. 11. 设函数，，用表示，的最大者，记为，则（   ） A. B. C. 的值域为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：将代入即可；对于B：画出函数图象，数形结合可得B正确；对于C：观察图象即可得到值域，对于D：在B基础上，分，，和四种情况，求解不等式即可求得结果. 【详解】对于A：将分别代入函数，，得到，故，故A错误； 对于B：令，故，解得或， 同一坐标系内画出两函数图象，如下： 观察图像可知当时，， 当时，， 当时，， 所以故B正确； 对于C：观察图象得到值域为，故C正确； 对于D：当时，， 通过观察图象可知函数单调递减，定有；故， 当时，，此时， 因为，所以， 解得或（舍），故； 当时，，此时， ，即，无解； 当时，，由于， 故，无解， 综上：不等式的解集为，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在区间上的最大值与最小值的和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由定义判断函数的单调性，利用单调性求出函数的最大值与最小值即得. 【详解】因的定义域为，任取， ， 因为，所以， 所以， 即当时，，故函数在上为减函数， 故当时，函数取最大值，当时，取最小值， 故. 13. 已知幂函数的图象过点，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】设函数，， 因为幂函数的图象过点，则，可得， 可得，所以. 14. 已知函数是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得在上单调递增，然后通过讨论的取值情况结合函数的单调性可得答案. 【详解】， 结合，可得在上单调递增，即为的单调递增区间的子集. 当时，的单调递增区间为，满足题意； 当时，的单调递增区间为，则为的子集， 得； 当时，的单调递增区间为，此时总有为的子集， 则满足题意. 综上可得：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先代入确定集合，从而根据补集的定义得到；再解一元二次不等式得到集合，进而根据交集的定义得到； （2）先依题意得到，再分和两种情况列不等式求解即可得到答案． 【小问1详解】 若，则， 所以； 由，解得， 即， 所以． 【小问2详解】 结合（1）得， 若，则， 当时，满足，则，解得； 当时，需满足，则，解得． 所以实数的取值范围． 16. 某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： （1）将利润（单位：元）表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大是多少元？（总收入总成本+利润） 【答案】（1） （2）当月产量为300台时，公司获得利润最大，最大利润为25000元. 【解析】 【分析】（1）根据利润等于收入与成本之差列出解析式即可； （2）根据分段函数求最大值即可求解. 【小问1详解】 由题意可知成本关于月产量的函数关系为， 所以利润关于月产量的函数关系为 【小问2详解】 当时，， 所以当时，有最大值25000； 当时，是减函数，. 所以当月产量为300台时，公司获得利润最大，最大利润为25000元. 17. 已知函数对均满足． （1）求函数的解析式； （2）已知，且，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用换元法将已知的转化为标准函数形式，进而即可得到函数的解析式； （2）先根据题意可得，再利用基本不等式可得，再将化简整理，进而结合基本不等式即可求解． 【小问1详解】 令，则，， 又，则， 所以函数的解析式为． 【小问2详解】 结合（1）有，所以，即， 所以，化简得，当且仅当时取等， 所以， 故的最小值为． 18. 函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）证明在上为增函数； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）证明：任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在上为增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，由求得，即可求解解析式； （2）根据单调性定义，按照步骤证明即可； （3）由奇函数、单调性解不等式得，求解即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得， 又因为在上为增函数，所以，解得. 所以原不等式的解集为. 19. 二次函数满足且． （1）求的解析式； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． （3）令，函数在区间上的最小值为，最大值为，求． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设出，求出，用待定系数法求出函数； （2）由恒成立，得到恒成立，利用对勾函数的性质求的最小值，即可得解； （3）根据题意，，分，和研究二次函数最值，进行求解. 【小问1详解】 设，． 则． 从而，， 又， ， 又， ． 【小问2详解】 因为当时，不等式恒成立， 所以在上恒成立． 因为， 当且仅当，即时等号成立， 由于，所以在上单调递增， 所以在上， 所以. 【小问3详解】 根据题意，， 当时，函数在上单调递减， 所以，， 两式相减，得，代入解得， 所以区间为； 当时，函数在上单调递增， 所以，， 由于方程的两根为和， 而，故无解； 当时，函数在上先增后减， 则，所以， 此时， 所以，解得， 所以区间为， 综上所述，区间为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $