弧度制与任意角的三角函数专项训练-2027届高三数学一轮复习

弧度制与任意角的三角函数专项训练 弧度换算 · 扇形公式 · 坐标定义 · 象限判定 · 专项训练 【教师版】 适用：高一同步提高 / 高三一轮复习 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展提升」收纳与本节内容直接相关的延伸，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签名称与方法名逐字一致，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 本节的第一道关口是「单位换算」：凡是看到弧长、扇形面积，先问一句「角是不是弧度」，不是就先换。这一问能挡掉本节一半的错误。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 70 分钟完成。常用角度的弧度值（30°、45°、60°、90°、120°、135°、150°）请默写一遍再动笔。 弧度制与任意角的三角函数专项训练 考点定位：人教 A 版必修第一册第五章 5.1（任意角和弧度制）与 5.2.1（三角函数的概念）。本节专攻「角度与弧度的互化、弧长与扇形面积的计算及其最值、用终边上一点的坐标求三角函数值、象限与终边相同的角的集合表示」，不涉及同角三角函数的基本关系与诱导公式的系统化简。 题源：本节 10 题以 2024—2025 学年各地统考中的任意角与弧度制类试题为主线编排，其中例题 1 取材于 2024 年山东潍坊高一期末的扇形最值题并重新设问，例题 2 由 2025 年江苏无锡高一期末的「终边上一点含参数」题改写，例题 3 由 2024 年安徽合肥高一期中联考的象限判断题改写，例题 4 由 2025 年福建福州高一期末的单位圆比较大小题改写；其余各题由编者按本节四条方法自编。所有答案与过程均已逐题独立演算核对。 一、知识要点 （一）任意角与弧度制 1. 角的概念已推广：按旋转方向分为正角（逆时针）、负角（顺时针）与零角；终边落在第几象限，就叫第几象限角；终边落在坐标轴上时称为轴线角，它不属于任何一个象限。 2. 弧度制的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，记作 1 rad。弧度是一个实数（十进制的数），书写时通常不写单位，写 与写 rad 都对，但写 就错了。 3. 换算关系： rad，于是 rad ， rad 。换算时抓住一句口诀：度化弧乘 ，弧化度乘 。 4. 常用角度的弧度值要形成条件反射：，，，，，，，，，。 5. 终边相同的角：所有与角 终边相同的角连同 在内，可写成集合 {，}（角度制则是 ）。写这个集合时， 四个字一个都不能少。 （二）弧长公式与扇形面积 6. 弧长公式：，其中 必须是弧度。这正是引入弧度制的最大好处——角度制下要写成 ，多一个换算步骤就多一次出错机会。 7. 扇形面积公式有两个面孔：（已知弧长时顺手）与 （已知圆心角时顺手），二者由 互通。两个公式都要能默写。 8. 记忆类比： 与三角形面积 底 高完全同形，弧长相当于「底」、半径相当于「高」。用这个类比检查，就不至于把 这个系数写丢。 9. 弓形面积 = 扇形面积 三角形面积：圆心角小于 时取「减」（弓形是扇形挖掉三角形），大于 时取「加」。题目只说「弦 AB 与弧 AB 围成的图形」而未给图形时，两种情况都要考虑。 10. 扇形最值的两条路：周长一定时用二次函数配方（把面积写成 型）；面积一定时用基本不等式（）。有意思的是，两条路的取等条件都对应 rad，这个数字值得记牢。 （三）三角函数的坐标定义 11. 定义：设角 终边上任意一点 （ 不是原点），记 ，则 ，，（）。这三个比值与点 的选取无关。 12. 定义里最容易漏的三件事： 恒成立，所以 的符号只看 、 的符号只看 ； 是平方和的算术平方根，恒取正； 时 不存在（此时 的终边在 轴上）。 13. 符号规律：「一全正、二正弦、三正切、四余弦」。即 在第一、二象限为正， 在第一、四象限为正， 在第一、三象限为正。 14. 单位圆：当 时，终边与单位圆的交点坐标就是 。由此立刻得到 、，并且 （这是下一节的主角）。 15. 用单位圆比较大小：把 的终边放到单位圆上，设交点为 ，则 、、。比较 与 的大小，就看终边落在直线 的哪一侧；比较 ，则利用「 是 内的正数时，除以 会把数放大」。 二、方法提炼 方法1　弧度制与扇形公式法：凡出现弧长、扇形面积、圆心角，第一步把角度化成弧度，第二步列 与 ；若题中给的是周长或面积的定值，就把它写成 与 的一个等式，把所求量化成一个变量的函数再求最值。 方法2　坐标定义法：已知终边上一点的坐标（尤其含字母参数）求三角函数值，先算 （含参数时必须带绝对值讨论），再代 、、。参数分正、负两种情形时，、 会整体变号，而 不变。 方法3　象限与集合法：判断 的象限，先把 写成区间形式（如第二象限角 ），各边同除以 ，再对 按模 分类讨论；写「终边在某条直线上」的角的集合时，用 （整条直线）而不是 （一条射线）。 方法4　单位圆坐标法：比较三角函数值的大小、判断 的符号，都把 的终边放到单位圆上，用交点 的坐标说话：、、。用时要先定终边位置（ 落在哪个区间、靠近哪条坐标轴），再比较 与 的大小（看终边在直线 或 的哪一侧）。 三、易错提醒 ◆ 弧长公式里混进角度制： 只在 为弧度时成立。把 直接乘半径是错的，必须先换成 。 ◆ 扇形面积公式丢掉 ：写成 是本节最常见的笔误，用「与三角形面积同形」这条类比自查一遍即可。 ◆ 算 时漏掉绝对值：终边上一点写成 且 可正可负时，，不是 。 时 、 的符号会整体翻转，只写一种情形就漏解。 ◆ 忽略「终边在直线上」的两解：终边在直线 上，包含第一象限与第三象限两个方向， 相同但 、 符号相反。只写一组就是漏解。 ◆ 判断 的象限不分类： 是第二象限角时 可能在一或三象限，必须按 的奇偶（模 2）讨论； 则要按模 3 讨论。凭直觉写「第一象限」是不成立的。 ◆ 集合表示里系数写错： 只表示一条射线， 才表示整条直线。再对照一下 有没有漏写。 ◆ 用基本不等式求最值不写取等条件：得出最小值后，必须写明「当且仅当 ，即 时取等号」，并回代求出此时的圆心角；只给一个最小值的数字，过程分是要扣的。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 扇形公式（周长一定的面积最值） 题注：周长固定、面积可变的扇形，是弧度制这一节最经典的综合题。它的骨架只有两步：用周长条件把 用 表示，再把面积写成 的一元函数求最大。 已知一个扇形的周长为 20。 （1）把该扇形的面积 表示成圆心角 （弧度）的函数，并写出 的取值范围； （2）当 为多少时，该扇形的面积最大？求出这个最大值。 【答案】（1），；（2） 时面积最大，最大值为 25 【解析】（1）设扇形半径为 、圆心角为 （弧度），则弧长 ，周长 ， 于是 （由 知 ，又扇形圆心角 ，故 ）。 面积 ，代入 得 ，。 （2）对分子分母同除以 （），得 。 由基本不等式，，当且仅当 ，即 时取等号。 此时分母最小，故 最大：。 校验：此时 ，弧长 ，周长 符合题意，面积 一致。 【点拨】这类题有两条等价的路：一是把 写成 的函数后用基本不等式（配成 的形式最省事）；二是写成 的函数 后配方，得 时最大。两条路的结果是同一个扇形：、。建议把「周长一定的扇形在 rad 时面积最大」当作结论记下来，选择题可以直接用，解答题再按上面的过程写一遍。 【例 2】 方法2 · 坐标定义（终边上一点含参数） 题注：坐标里带字母参数，第一件事不是代公式，而是「拆绝对值」。 里的绝对值决定了本题要分两种情形，而 由于是 与 的比，绝对值被约掉了，所以它是定值。 已知角 的终边经过点 ，其中 。 （1）当 时，求 的值； （2）当 时，求 的值，并说明 是否发生变化。 【答案】（1）；（2）； 不随 的正负变化 【解析】点 到原点的距离 。注意这里必须是 而不是 。 （1）当 时，，故 。于是 ，， 。 （2）当 时，，故 。于是 ，， 。 再看 ：，分子分母中的 直接约掉，与 的正负无关，故 不发生变化。 事实上， 时 在第四象限， 时 在第二象限，两处终边互为反向延长线，所以 相同而 、 都变号。 【点拨】通法： 一定要写成 的形式并分情形打开绝对值；打开后 、 的分子分母里都含 ， 的符号被约掉一部分但 里的 会留下一个符号，这正是两种情形结果相反的原因。而 是同次齐次的比值，参数必然约净，一定不变——记住这一点，遇到「 是否变化」的追问可以秒答。 【例 3】 方法3 · 象限与集合（α 与 α/n 的象限） 题注： 的象限要对 按模 2 讨论， 要按模 3 讨论——「除以几就模几」是这类题的通用规则。写过程时要把每种 对应的区间原样列出来。 已知 是第二象限角。 （1）判断 是第几象限角，并说明理由； （2）判断 是第几象限角，并说明理由。 【答案】（1） 是第一或第三象限角；（2） 是第一、第二或第四象限角 【解析】由 是第二象限角，可设 （）。 （1）三边同除以 2，得 。 对 按模 2 分类： 当 （）时，，终边在第一象限； 当 时，，终边在第三象限。 故 是第一或第三象限角。 （2）三边同除以 3，得 。 对 按模 3 分类： 时，，终边在第一象限； 时，，终边在第二象限； 时，，终边在第四象限。 故 是第一、第二或第四象限角（不可能是第三象限角）。 【点拨】口诀是「除以 就按模 讨论 」，写的时候把每种 代进去、把区间端点算出来，再对照 、、、 定象限。另一种更快的办法是画「区域图」：把 分成 等份，看原象限区域落在哪几份里——两种方法可以互相验算。最后提醒一句：本题的答案都是「或」，写成单一象限一定是错的。 【例 4】 方法4 · 单位圆坐标法（比较大小） 题注：比较 、、 的大小，代计算器只能得到数值、说不出道理；把 1 rad、2 rad 的终边放到单位圆上，用交点的横、纵坐标说话，才是有说服力的写法。 （1）比较 、、 的大小； （2）比较 、、 的大小。 （这里的 1、2 都是弧度。） 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为 ，所以 1 rad 的终边落在第一象限，且位于直线 的上方。 设终边与单位圆交于点 ，由定义 ，，。 终边在直线 的上方且在第一象限，故 ，即 。 又 ，用 内的正数 去除正数 ，商变大，故 ，即 。 综上，。 （数值校验：，，。） （2）因为 ，所以 2 rad 的终边落在第二象限，且终边与 轴正半轴的夹角为 ，故终边落在直线 与 轴之间（靠 轴一侧）。 此时 ，，，故 是三者中最大的。 再比较 与 ：在直线 与 轴之间的这一段单位圆上，交点的纵坐标大于横坐标的绝对值，即 ，也就是 。 又 ，由 得 。 于是 ，特别地 。 两个负数比较时，绝对值大的反而小，故 。 综上，。 （数值校验：，，。） 【点拨】比较大小的通法是「先定终边位置，再比坐标」：交点的横坐标就是 、纵坐标就是 、 是纵、横坐标之比。第一象限三者皆正，先看终边在直线 的哪一侧定出 与 的大小，再用「除以 内的正数会放大」比较 ；第二象限 正、 与 皆负，于是 最大，另两个负数比绝对值、绝对值大的反而小。写过程时补一句数值校验是好习惯，能立刻发现符号写反的错误。 五、巩固练习 1. 方法1 · 弧度制概念辨析（多选） 题注：四个选项分别考「1 弧度的大小」「弧长与面积公式」「象限角的集合表示」「终边在直线上的集合表示」，逐条判断即可。 下列命题中正确的有（　　） A. 1 弧度的角约等于 ，它的大小与所取圆的半径无关 B. 若扇形的半径为 、圆心角为 （弧度），则其弧长为 ，面积为 C. 第二象限角的集合可表示为 {，} D. 终边在直线 上的角的集合为 {，} 【答案】ABC 【解析】A 正确：由 rad ，且弧度是用弧长与半径之比定义的，与圆的大小无关。 B 正确：这正是弧长公式与扇形面积公式（弧度制下）。 C 正确：第二象限角即终边落在第二象限的角，在每个周期 内对应区间 ，加上 即可。 D 错误：终边在直线 上包含两条射线（第二象限的 与第四象限的 或 ），集合应写成 {，}，用 只取到了其中一条射线。 故选 ABC。 【点拨】凡判断「终边在某条直线上」的集合，记住直线对应 、射线对应 。本题 D 项正是按 写的，所以只表示了一条射线，漏掉一半。这类选项在多选题里出现频率极高，扫一眼周期系数就能定对错。 2. 方法1 · 弧长与扇形面积 题注：给的是角度制 ，必须先换成弧度再代公式。 已知一个扇形的圆心角为 ，半径为 6，求该扇形的弧长与面积。 【答案】弧长为 ，面积为 【解析】先把角度化为弧度：。 弧长 。 面积 。 （也可用 ，结果一致。） 【点拨】两个面积公式最好都算一遍互验： 与 。若两式结果不同，八成是弧长算错了，回头检查 的单位。 3. 方法2 · 坐标定义求值 题注：坐标里没有参数，先算 ，再代三个比值。 已知角 的终边经过点 ，求 、、 的值。 【答案】，， 【解析】。 ， ， 。 点 在第二象限，故 、、，与结果吻合。 【点拨】算完用象限符号自查一遍： 在第二象限，按「二正弦」只有 为正，若算出的 是正的，必是 的符号弄错了。 4. 方法2 · 由距离反求坐标 题注：只给终边上一点的横坐标与它到原点的距离，纵坐标有两个可能值——先解出坐标，再代定义，两种情形都要写全。 已知角 的终边经过点 ，且 ，求 、、 的值。 【答案】 时 、、； 时 、、 【解析】由 ，得 ，即 ，故 。 当 时， 在第二象限，， ，，。 当 时， 在第三象限，， ，，。 两种情形中 相同（横坐标相同）， 与 都互为相反数。 【点拨】只给横坐标与距离，纵坐标必然两解（），对应关于 轴对称的两条终边：、 变号而 不变，漏掉任何一种情形都算不完整。算完后用象限符号自查： 在第二象限应「只有 为正」， 在第三象限应「只有 为正」。 5. 方法3 · 终边在直线上的集合（多选） 题注：终边落在直线 上，有第一、第三象限两个方向；四个选项中， 与集合表示是「两解都对」的，而涉及 、 具体值的选项必然只对一半。 已知角 的终边在直线 上，则下列说法正确的是（　　） A. B. 的集合可以表示为 {，} C. D. 不可能是第三象限角 【答案】AB 【解析】直线 经过第一、第三象限，其倾斜角分别为 与 ，故 （）。 A 正确：，与终边取哪个方向无关。 B 正确：整条直线对应周期 ，写成 正确。 C 错误：终边在第一象限时 ，在第三象限时 ，不能只写正值。 D 错误：取 得 ，正是第三象限角。 故选 AB。 【点拨】解这类题有个固定动作：先在草稿上把两个方向的角都写出来（ 与 ），再拿每个选项去跟这两个角对照——两个角都成立才选，只对一半的就是陷阱项。 6. 方法1 · 扇形面积一定的周长最值 题注：与例题 1 恰好相反——这回面积固定、周长最小。把弧长用面积条件换成 ，周长就成了 ，基本不等式一步到位。 若一个扇形的面积为 4，求它的周长的最小值，并求出取最小值时该扇形的圆心角。 【答案】周长的最小值为 8，此时圆心角为 2（弧度） 【解析】设半径为 、弧长为 、圆心角为 （弧度），则 ，故 ，即 。 周长 。 由基本不等式（），， 当且仅当 ，即 、 时取等号。 此时 ，圆心角 （弧度）。 故周长的最小值为 8，此时圆心角为 2。 【点拨】把例题 1 与本题放在一起看会很有收获：周长一定时面积最大与面积一定时周长最小，取等条件都是 、 与 分别对应，本质上是同一个「」的均衡条件——即扇形的两条半径之和恰好等于弧长时最「经济」。记住 这个取等条件，比记公式更快。 六、拓展提升（与本节内容直接相关的延伸） 以下 4 条与本节内容直接相关的延伸，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 时针与分针问题：钟表是「终边旋转」最直观的模型。分针每分钟转 ，即 rad；时针每分钟转 ，即 rad。经过 分钟，分针比时针多转 ，即 rad。用弧度写这些量比用角度简洁得多，也更容易和弧长公式 接上。 常用角的「最小刻度」：教材重点要求 、、 这三个，但它们都是 的 2、3、4 倍。把 记成「一格」，判断终边位置、比较三角函数值大小时，直接数格子就能定位，比每次都换算快得多。 扇形应用题的两个常见背景：一是跑道的弯道（弯道长用 算，内外道半径差决定领先距离）；二是圆锥的侧面展开图（展开后是扇形，其圆心角 ，其中 为底面半径、 为母线长）。这两类题最后都归结为本节的弧长与扇形面积公式。 为后续学习铺路：第五章 5.4 中 的自变量要用弧度制， 才满足周期公式 。本节养成「见角先化弧度」的习惯，到图象变换那一步就不会混进 这类多余系数。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 弧度制与任意角的三角函数专项训练 弧度换算 · 扇形公式 · 坐标定义 · 象限判定 · 专项训练 【学生版】 适用：高一同步提高 / 高三一轮复习 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展提升」收纳与本节内容直接相关的延伸，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签名称与方法名逐字一致，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 本节的第一道关口是「单位换算」：凡是看到弧长、扇形面积，先问一句「角是不是弧度」，不是就先换。这一问能挡掉本节一半的错误。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 70 分钟完成。常用角度的弧度值（30°、45°、60°、90°、120°、135°、150°）请默写一遍再动笔。 弧度制与任意角的三角函数专项训练 考点定位：人教 A 版必修第一册第五章 5.1（任意角和弧度制）与 5.2.1（三角函数的概念）。本节专攻「角度与弧度的互化、弧长与扇形面积的计算及其最值、用终边上一点的坐标求三角函数值、象限与终边相同的角的集合表示」，不涉及同角三角函数的基本关系与诱导公式的系统化简。 题源：本节 10 题以 2024—2025 学年各地统考中的任意角与弧度制类试题为主线编排，其中例题 1 取材于 2024 年山东潍坊高一期末的扇形最值题并重新设问，例题 2 由 2025 年江苏无锡高一期末的「终边上一点含参数」题改写，例题 3 由 2024 年安徽合肥高一期中联考的象限判断题改写，例题 4 由 2025 年福建福州高一期末的单位圆比较大小题改写；其余各题由编者按本节四条方法自编。所有答案与过程均已逐题独立演算核对。 一、知识要点 （一）任意角与弧度制 1. 角的概念已推广：按旋转方向分为正角（逆时针）、负角（顺时针）与零角；终边落在第几象限，就叫第几象限角；终边落在坐标轴上时称为轴线角，它不属于任何一个象限。 2. 弧度制的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，记作 1 rad。弧度是一个实数（十进制的数），书写时通常不写单位，写 与写 rad 都对，但写 就错了。 3. 换算关系： rad，于是 rad ， rad 。换算时抓住一句口诀：度化弧乘 ，弧化度乘 。 4. 常用角度的弧度值要形成条件反射：，，，，，，，，，。 5. 终边相同的角：所有与角 终边相同的角连同 在内，可写成集合 {，}（角度制则是 ）。写这个集合时， 四个字一个都不能少。 （二）弧长公式与扇形面积 6. 弧长公式：，其中 必须是弧度。这正是引入弧度制的最大好处——角度制下要写成 ，多一个换算步骤就多一次出错机会。 7. 扇形面积公式有两个面孔：（已知弧长时顺手）与 （已知圆心角时顺手），二者由 互通。两个公式都要能默写。 8. 记忆类比： 与三角形面积 底 高完全同形，弧长相当于「底」、半径相当于「高」。用这个类比检查，就不至于把 这个系数写丢。 9. 弓形面积 = 扇形面积 三角形面积：圆心角小于 时取「减」（弓形是扇形挖掉三角形），大于 时取「加」。题目只说「弦 AB 与弧 AB 围成的图形」而未给图形时，两种情况都要考虑。 10. 扇形最值的两条路：周长一定时用二次函数配方（把面积写成 型）；面积一定时用基本不等式（）。有意思的是，两条路的取等条件都对应 rad，这个数字值得记牢。 （三）三角函数的坐标定义 11. 定义：设角 终边上任意一点 （ 不是原点），记 ，则 ，，（）。这三个比值与点 的选取无关。 12. 定义里最容易漏的三件事： 恒成立，所以 的符号只看 、 的符号只看 ； 是平方和的算术平方根，恒取正； 时 不存在（此时 的终边在 轴上）。 13. 符号规律：「一全正、二正弦、三正切、四余弦」。即 在第一、二象限为正， 在第一、四象限为正， 在第一、三象限为正。 14. 单位圆：当 时，终边与单位圆的交点坐标就是 。由此立刻得到 、，并且 （这是下一节的主角）。 15. 用单位圆比较大小：把 的终边放到单位圆上，设交点为 ，则 、、。比较 与 的大小，就看终边落在直线 的哪一侧；比较 ，则利用「 是 内的正数时，除以 会把数放大」。 二、方法提炼 方法1　弧度制与扇形公式法：凡出现弧长、扇形面积、圆心角，第一步把角度化成弧度，第二步列 与 ；若题中给的是周长或面积的定值，就把它写成 与 的一个等式，把所求量化成一个变量的函数再求最值。 方法2　坐标定义法：已知终边上一点的坐标（尤其含字母参数）求三角函数值，先算 （含参数时必须带绝对值讨论），再代 、、。参数分正、负两种情形时，、 会整体变号，而 不变。 方法3　象限与集合法：判断 的象限，先把 写成区间形式（如第二象限角 ），各边同除以 ，再对 按模 分类讨论；写「终边在某条直线上」的角的集合时，用 （整条直线）而不是 （一条射线）。 方法4　单位圆坐标法：比较三角函数值的大小、判断 的符号，都把 的终边放到单位圆上，用交点 的坐标说话：、、。用时要先定终边位置（ 落在哪个区间、靠近哪条坐标轴），再比较 与 的大小（看终边在直线 或 的哪一侧）。 三、易错提醒 ◆ 弧长公式里混进角度制： 只在 为弧度时成立。把 直接乘半径是错的，必须先换成 。 ◆ 扇形面积公式丢掉 ：写成 是本节最常见的笔误，用「与三角形面积同形」这条类比自查一遍即可。 ◆ 算 时漏掉绝对值：终边上一点写成 且 可正可负时，，不是 。 时 、 的符号会整体翻转，只写一种情形就漏解。 ◆ 忽略「终边在直线上」的两解：终边在直线 上，包含第一象限与第三象限两个方向， 相同但 、 符号相反。只写一组就是漏解。 ◆ 判断 的象限不分类： 是第二象限角时 可能在一或三象限，必须按 的奇偶（模 2）讨论； 则要按模 3 讨论。凭直觉写「第一象限」是不成立的。 ◆ 集合表示里系数写错： 只表示一条射线， 才表示整条直线。再对照一下 有没有漏写。 ◆ 用基本不等式求最值不写取等条件：得出最小值后，必须写明「当且仅当 ，即 时取等号」，并回代求出此时的圆心角；只给一个最小值的数字，过程分是要扣的。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 扇形公式（周长一定的面积最值） 题注：周长固定、面积可变的扇形，是弧度制这一节最经典的综合题。它的骨架只有两步：用周长条件把 用 表示，再把面积写成 的一元函数求最大。 已知一个扇形的周长为 20。 （1）把该扇形的面积 表示成圆心角 （弧度）的函数，并写出 的取值范围； （2）当 为多少时，该扇形的面积最大？求出这个最大值。 【例 2】 方法2 · 坐标定义（终边上一点含参数） 题注：坐标里带字母参数，第一件事不是代公式，而是「拆绝对值」。 里的绝对值决定了本题要分两种情形，而 由于是 与 的比，绝对值被约掉了，所以它是定值。 已知角 的终边经过点 ，其中 。 （1）当 时，求 的值； （2）当 时，求 的值，并说明 是否发生变化。 【例 3】 方法3 · 象限与集合（α 与 α/n 的象限） 题注： 的象限要对 按模 2 讨论， 要按模 3 讨论——「除以几就模几」是这类题的通用规则。写过程时要把每种 对应的区间原样列出来。 已知 是第二象限角。 （1）判断 是第几象限角，并说明理由； （2）判断 是第几象限角，并说明理由。 【例 4】 方法4 · 单位圆坐标法（比较大小） 题注：比较 、、 的大小，代计算器只能得到数值、说不出道理；把 1 rad、2 rad 的终边放到单位圆上，用交点的横、纵坐标说话，才是有说服力的写法。 （1）比较 、、 的大小； （2）比较 、、 的大小。 （这里的 1、2 都是弧度。） 五、巩固练习 1. 方法1 · 弧度制概念辨析（多选） 题注：四个选项分别考「1 弧度的大小」「弧长与面积公式」「象限角的集合表示」「终边在直线上的集合表示」，逐条判断即可。 下列命题中正确的有（　　） A. 1 弧度的角约等于 ，它的大小与所取圆的半径无关 B. 若扇形的半径为 、圆心角为 （弧度），则其弧长为 ，面积为 C. 第二象限角的集合可表示为 {，} D. 终边在直线 上的角的集合为 {，} 2. 方法1 · 弧长与扇形面积 题注：给的是角度制 ，必须先换成弧度再代公式。 已知一个扇形的圆心角为 ，半径为 6，求该扇形的弧长与面积。 3. 方法2 · 坐标定义求值 题注：坐标里没有参数，先算 ，再代三个比值。 已知角 的终边经过点 ，求 、、 的值。 4. 方法2 · 由距离反求坐标 题注：只给终边上一点的横坐标与它到原点的距离，纵坐标有两个可能值——先解出坐标，再代定义，两种情形都要写全。 已知角 的终边经过点 ，且 ，求 、、 的值。 5. 方法3 · 终边在直线上的集合（多选） 题注：终边落在直线 上，有第一、第三象限两个方向；四个选项中， 与集合表示是「两解都对」的，而涉及 、 具体值的选项必然只对一半。 已知角 的终边在直线 上，则下列说法正确的是（　　） A. B. 的集合可以表示为 {，} C. D. 不可能是第三象限角 6. 方法1 · 扇形面积一定的周长最值 题注：与例题 1 恰好相反——这回面积固定、周长最小。把弧长用面积条件换成 ，周长就成了 ，基本不等式一步到位。 若一个扇形的面积为 4，求它的周长的最小值，并求出取最小值时该扇形的圆心角。 六、拓展提升（与本节内容直接相关的延伸） 以下 4 条与本节内容直接相关的延伸，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 时针与分针问题：钟表是「终边旋转」最直观的模型。分针每分钟转 ，即 rad；时针每分钟转 ，即 rad。经过 分钟，分针比时针多转 ，即 rad。用弧度写这些量比用角度简洁得多，也更容易和弧长公式 接上。 常用角的「最小刻度」：教材重点要求 、、 这三个，但它们都是 的 2、3、4 倍。把 记成「一格」，判断终边位置、比较三角函数值大小时，直接数格子就能定位，比每次都换算快得多。 扇形应用题的两个常见背景：一是跑道的弯道（弯道长用 算，内外道半径差决定领先距离）；二是圆锥的侧面展开图（展开后是扇形，其圆心角 ，其中 为底面半径、 为母线长）。这两类题最后都归结为本节的弧长与扇形面积公式。 为后续学习铺路：第五章 5.4 中 的自变量要用弧度制， 才满足周期公式 。本节养成「见角先化弧度」的习惯，到图象变换那一步就不会混进 这类多余系数。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $