专题05 知识点28 任意角和弧度制专项训练-2027届高三数学一轮复习

知识点28 任意角和弧度制 一、角的概念的推广 1. 角的分类 · 正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角； · 负角：按顺时针方向旋转形成的角； · 零角：一条射线没有做任何旋转，形成一个零角（零角的终边与始边重合）。 2. 象限角与轴线角 · 象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 轴非负半轴重合，终边落在第几象限就称为第几象限角； · 轴线角：终边落在坐标轴上的角，不属于任何象限。 3. 各象限角的集合表示 象限 集合表示（角度制） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 4. 终边相同的角 所有与角 终边相同的角，连同 在内，构成集合 （弧度制下为 ） 5. 常用轴线角的终边位置 终边位置 角的集合 轴非负半轴 轴非负半轴 轴（整条） 轴（整条） 坐标轴（整条） 二、弧度制 1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度的角，记作 。 2. 角度与弧度的互化 常用特殊角对应：，，，，，，，，。 3. 使用弧度制的注意点 · 弧度单位 rad 通常省略不写，如 ； · 用弧度表示角时，一般将角写成 （，）的形式； · 扇形公式中圆心角 必须用弧度表示。 三、扇形的弧长与面积公式 设扇形半径为 ，弧长为 ，圆心角为 ： 条件 弧长公式 面积公式 为弧度（） 为角度 推论与常用结论： · 周长 ； · 已知周长 求最大面积：当且仅当 （即 rad）时，，此时扇形面积最大； · 弧长、面积、半径的灵活组合常与最值问题（二次函数或基本不等式）结合命题。 四、易错点提醒 1. 角度与弧度不能混用：同一表达式中要么全用角度，要么全用弧度； 1. 弧度制下终边相同角应写为 （），勿误写为 ； 1. 象限角的判断：先化为 内的角再判断象限，注意 的任意性； 1. 已知角所在象限，判断 、 所在象限时需分 的奇偶（或余数）讨论，不能想当然（如 为第一象限角时 为第一或第三象限角）； 1. 扇形面积公式 中的 必须是弧度数，用角度会出错； 1. 是第几象限角与 是第几象限角没有直接对应关系，需严格推证。 实战演练 一、单选题 1. 已知某时钟现在的时间为10:10，若校准时发现该时钟比标准时间快了5分钟，则至少需手动旋转分针（ ） A．15度 B．5度 C．弧度 D．弧度 2. 角 的终边所在的象限是（　） A. 第一象限　　B. 第二象限　　C. 第三象限　　D. 第四象限 3. 把角 化为 （，）的形式为（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 4. 集合 中角 终边所处位置是（　） A. 轴　　B. 轴　　C. 非负半轴　　D. 非负半轴 5. 若 与 的终边相同，则角 的终边所在的象限是（　） A. 第一象限　　B. 第二象限　　C. 第三象限　　D. 第四象限 6. 如图，，，， 是半径为 1 的圆 上的四等分点，圆 与数轴相切于原点 。数轴上的点 对应的数为 ，把数轴看成一个“皮尺”，将线段 按逆时针方向缠绕到圆 上，则点 与圆 上重合的点是（　） A. 点 　　B. 点 　　C. 点 　　D. 点 7. 把 化成弧度，其结果是（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 8. 如图，用一个半径为 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点 旋转了 ，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 二、多选题 9. 已知角 与角 的终边相同，则角 可以是（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 10. 下列四个命题中正确的是（　） A. 是第二象限角 B. 是第三象限角 C. 是第四象限角 D. 是第一象限角 11. 下列给出的各角中，与 的终边相同的是（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 三、填空题 12. 已知 ，，，，，则 的大小关系为______。 13. 在航海或军事上，角度测量常用密位制，即将整个圆周分为 6000 等份，规定 （mil 为密位单位）。已知半径为 的扇形所对的弧长为 ，则在密位制下，该扇形的圆心角为______ mil。 14. 已知扇形面积为 ，圆心角为 弧度，则扇形的周长是______ cm。 四、解答题 15. 图中质点 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 。 (1) 指出终边落在直线 上的角 的集合； (2) 当 第 1 次运动到位置 时，求质点 所经过的弧长和该弧长所在的扇形的面积。 16. 已知 。 (1) 把 改写成 （，）的形式，并指出它是第几象限角； (2) 求 ，使 与 终边相同，且 。 17. (1) 将角度 、 分别化为弧度； (2) 将弧度 、 分别化为角度。 18. 已知扇形周长为 6，面积是 2，试求圆心角的弧度数。 19. 已知扇形的圆心角为 ，半径为 。若扇形的面积是定值 （），求扇形的最小周长及此时 的值。 参考答案与解析 一、单选题 1. 答案：C 解析：因为时钟比标准时间快了5分钟， 所以校准时要回拨5分钟，也就是分针要逆时针转， 而弧度。选C。 2. 答案：C 解析：。 ，为第三象限角，故 的终边在第三象限，选 C。 3. 答案：D 解析：，而 。 验证 A：，但 不满足 ，排除；B、C 混用了弧度与角度。选 D。 4. 答案：B 解析： 为偶数时，，终边在 轴非负半轴； 为奇数时，，终边在 轴非负半轴的相反方向（ 轴非正半轴）。故终边始终在 轴上，选 B。 5. 答案：B 解析：由题意 （），则 取 ：，化为 。 故 的终边在第二象限，选 B。 6. 答案：C 解析：圆 半径为 1，周长为 。 为四等分点，沿逆时针方向相邻两点间的弧长为 。 将长度为 的线段 缠绕到圆上，缠绕的弧长为 ，即绕过 段，到达从 出发逆时针方向的第二个等分点。由图知该点为 ，选 C。 7. 答案：D 解析：，选 D。 8. 答案：C 解析：绳索与滑轮无滑动，重物上升的高度等于滑轮边缘转过的弧长： 选 C。 二、多选题 9. 答案：ABD 解析：。将其化为 内的角：，故 （）。 A： B：（） C： （与 终边不同） D： 选 ABD。 10. 答案：BCD 解析： A：，是第三象限角，A 错； B：，第三象限角，B 对； C：，第四象限角，C 对； D：，第一象限角，D 对。 选 BCD。 11. 答案：ABC 解析：与 终边相同的角为 。由于 ，即等价于与 终边相同。 A： ；B：；C： ；D： 与 终边相同。 选 ABC。 三、填空题 12. 答案： 解析：统一化为角度：，，，，。 故 。 13. 答案： 解析：圆心角 。 由 ，得 14. 答案： 解析：由 ：。 弧长 ，周长 四、解答题 15.解： （1） 对应的角为 （即 方向）。 终边落在直线 上的角包括终边在射线 及其反向延长线上的所有角，故 （2） 对应角为 ， 对应角为 。 逆时针运动，第 1 次到达 时转过的圆心角 弧长 扇形面积 16.解： （1） ，即 ，。 因 是第一象限角，故 是第一象限角。 （2） 与 终边相同的角为 （）。 由 ，得 故 或 ： ：； ：。 综上， 或 。 17.解： （1） （2） 18.解： 设扇形半径为 ，弧长为 ，圆心角为 （）。 由周长：；由面积：，即 。 代入 ……直接由 代入 ： 当 时，，，满足 ； 当 时，，，满足 。 故圆心角的弧度数为 或 。 19.解： 由 （ 为定值），得 （）。 扇形周长 由基本不等式： 当且仅当 ，即 时取等号。 此时 （此时 ，弧长 。） 故扇形的最小周长为 ，此时圆心角 。 学科网（北京）股份有限公司 $