空间几何体体积与表面积专项训练-2027 届高三数学一轮复习专项测试

空间几何体的体积与表面积测试 （测试时间120分钟，总分150分） 姓名：___________班级：___________ 一、单选题（每题5分，共40分） 1．以斜边为4的等腰直角三角形的斜边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 2．将正方体的棱长扩大到原来的两倍，其表面积扩大到原来的（   ）倍 A． B．2 C．4 D．8 3．某圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 4．阿基米德（公元前287年-公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上、下底面相切，则在该几何体中，圆柱的表面积与球的表面积之比为（     ） A． B． C． D． 5．攒（cuán）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（   ） A． B． C． D． 6．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，侧棱长为，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知一个四面体的所有棱长均相等，且所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则该四面体的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，正方体的棱长为2，为线段上一动点，则（     ） ①三棱锥的体积为定值 ②直线与的夹角的大小的取值范围是 ③的最小值为 ④当时，平面截该正方体所得截面的面积为 A．③④ B．①③ C．①④ D．①② 二、多选题（每题6分，共18分） 9．下列命题正确的是（    ） A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 B．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点，这三点的连线都可以构成直角三角形 C．直角梯形绕其下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台 D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 10．如图，在棱长均为的正四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，则下列结论正确的是（     ） A．平面 B．过，，三点的平面截四棱锥，截面是等腰梯形，且面积等于 C．若为棱上的动点，则的最小值为 D．三棱锥与四棱锥的体积之比为 11．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体．已知，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（    ） A．该半正多面体的体积为 B．该半正多面体过三点的截面面积为 C．该半正多面体外接球的表面积为 D．该半正多面体的表面积为 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知某圆柱的底面半径和母线长均为，则它的侧面积为_____． 13．已知四面体 PABC 的所有顶点都在球 的球面上，，，，，则球的表面积为_____． 14．已知正三棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，且，则该正三棱锥体积的取值范围是__________． 四、解答题（共77分） 15．（13分）如图，圆锥的底面半径是1，高是. (1)过线段的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积与体积. (2)若过线段上的任意一点作平行于底面的截面，并以该截面为底面挖去一个圆柱，求挖去的圆柱侧面积的最大值. 16．（15分）已知正四棱台两底面边长分别为10和20，高为12. (1)求此棱台的侧面面积； (2)若截去三棱锥，求截去的三棱锥和剩余的几何体的体积之比. 17．（15分）如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心． (1)若正四棱锥的高为，求它的表面积． (2)若正四棱锥的外接球的体积为，求正四棱锥的体积． 18．（17分）《九章算术》成书于西汉末年，又经众多学者的整理、删补和修订，是几代学者智慧的结晶．它对数学知识由易到难、由浅入深、从理论到实践的编排体例，使它成为后世数学学习者的启蒙教材．其中卷五商功中[卷五-18]今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？[卷五-19]今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？在解决过程中“公式-应用”的结构体现尤为明显．我们按照前人的思路来看下面问题：注释：[1]刍甍：盖上草的屋脊．这里指底面为矩形的屋脊状楔体；[2]刍童：上下底面皆是长方形的几何体． (1)如图几何体是底面为矩形的屋脊状楔体，平面，，，高为h，，求这个几何体的体积； (2)上下底面皆是长方形的几何体，丈，丈，高丈，丈，丈，求这个几何体的体积． 19．（17分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.这就是秦九韶推出的”三斜求积“公式.若的内角所对的边分别为，面积为，则”三斜求积“公式为. (1)用”三斜求积"公式证明； (2)若，且，求面积的最大值； (3)定义：四面体中，若异面棱长相等的四面体为等腰四面体.设等腰四面体的外接球表面积为的外接圆面积为，求的最小值. 提示：. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《空间几何体体积与表面积测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B A B B D C BD AD 题号 11 答案 ABD 1．A 【详解】斜边为4的等腰直角三角形，斜边上的高 （等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半），且该高将斜边分为两段，每段长为2.以斜边为轴旋转一周，所得几何体为两个底面重合的圆锥，底面半径 ，两圆锥的高均为2. 故体积为 2．C 【详解】设原正方体棱长为，则表面积为；棱长变为，表面积变为，扩大到原来的4倍. 3．B 【详解】由题可知，圆锥的底面半径和高均为1，即，又， 由圆锥侧面积公式可得：. 4．A 【分析】设球的半径为，根据“圆柱容球”的几何特征确定圆柱的底面半径和高，再利用圆柱和球的表面积公式计算比值即可. 【详解】设球的半径为，由题意可知，圆柱的底面半径，圆柱的高等于球的直径，即. 根据圆柱表面积公式，圆柱表面积为两底面面积与侧面积之和： ， 代入、得： . 根据球的表面积公式得. 因此二者表面积之比为. 5．B 【分析】由轴截面三角形，根据已知可得圆锥底面半径和母线长，然后可解. 【详解】轴截面如图，其中，，所以， 所以，所以圆锥的侧面积. 故选：B 6．B 【详解】正四棱台体积公式： ，其中为棱台的高，、​分别为上下底面积. 上底面边长为2，故； 下底面边长为4，故. 正四棱台的上下底面均为正方形，上下底面对角线长分别为​、. 侧棱、高、上下底面对角线一半的差值构成直角三角形：上下底对角线一半的差为， 侧棱长为​，由勾股定理得：. 代入体积公式得. 7．D 【分析】由球的体积公式求出球的半径，利用正四面体的高和底面外接圆半径，结合勾股定理求出正四面体棱长与其外接球半径的比例关系，进而求得棱长，最后代入正三角形面积公式即可求得四面体的表面积. 【详解】设该正四面体的棱长为，其外接球的半径为， 由球的体积公式，解得，即， 正四面体的高， 设正四面体的中心为，底面中心为，顶点为，底面一顶点为， 则，，， 在中，由勾股定理得， 即，代入，得：， 化简得 ，所以， 因为，所以，解得， 所以该正四面体的表面积. 8．C 【分析】对于①，可证直线平面，可知点到平面的距离为定值，进而可知三棱锥的体积为定值；对于②，可证平面，即可得，即可判断②；对于③：当点为的中点时，则，，即可分析最值；对于④：作辅助线，分析可知截面为四边形，进而可求截面面积. 【详解】对于①，因为，，可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面，又因为， 可知点到平面的距离为定值，且的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故①正确； 对于②，因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，平面， 可得平面，由平面可得，同 理可证：，且， 平面，平面，可得平面， 又因为平面，则，所以直线与的夹角的大小为，是定值，故②错误； 对于③，因为为等边三角形，为等腰直角三角形（）， 当点为的中点时，则，，即此时，均取到最小值， 且，，所以的最小值为，故③错误； 对于④，设， 因为，则，即，可知点为的中点， 设，的中点分别为，，连接，，，，， 因为，，且，，则，， 可知四边形为平行四边形，则，又因为，， 可知四边形为平行四边形，则，可得， 可知平面截该正方体所得截面为四边形， 且，， 所以所求截面的面积为，故④正确. 9．BD 【详解】对于A，只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台，所以A错误 对于B，因为顶点和底面圆心的连线与底面圆垂直，底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点的连线在底面圆内， 由线面垂直的性质可知B正确， 对于C，直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示，所以C错误， 对于D，由圆柱的性质可知D正确． 10．AD 【分析】A选项，利用三角形中位线定理证明线线平行，进而利用线面平行的判定定理判断； B选项，确定截面形状为等腰梯形，计算其高和面积进行判断； C选项，将侧面展开，利用余弦定理计算两点间距离即为最小值； D选项，利用棱锥体积公式，通过底面积比和高的比进行转换求解． 【详解】选项A：在中，为的中点，为的中点，所以为的中位线，则， 又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 选项B：因为，分别为，的中点，所以且， 又底面为正方形，所以，则， 故四点共面，截面为四边形， 因为且，所以截面为梯形， 在边长为2的正中，为中点，则，，同理， 所以截面为等腰梯形， 梯形的高， 截面面积，故B错误； 选项C：将与沿展开到同一平面，当，，三点共线时，取得最小值，即为线段的长度， 因为侧面均为边长为2的等边三角形，所以，展开后， 在中，由余弦定理得， 所以，即最小值为，故C错误； 选项D：， 因为，分别为，的中点，所以， 设到平面的距离为，因为为中点，在平面上，所以到平面的距离， 所以， 又， 所以，故D正确． 11．ABD 【分析】先将该半正多面体补形为正方体，利用正方体与棱锥的体积公式判断A，利用该半正多面体的对称性，得到截面为正六边形与外接球的球心位置，从而判断BC，利用正三角形与正方体的面积公式判断D. 【详解】A：如图，因为， 所以该半正多面体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的， 所以该半正多面体的体积为：，故A正确； B：根据该半正多面体的对称性可知，过三点的截面为正六边形， 又，所以正六边形面积为，故B正确； C：根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心， 即正六边形的中心，故半径为， 所以该半正多面体外接球的表面积为，故C错误； D：因为该半正多面体的八个面为正三角形、六个面为正方形，棱长皆为， 所以其表面积为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键有二，一是将该半正多面体补形为正方体，二是充分利用该半正多面体的对称性，从而得解. 12． 【详解】圆柱的底面周长， 所以圆柱的侧面积. 13． 【分析】取中点，连接并延长交的外接圆于，连接，由勾股定理，余弦定理以及球的性质确定球心，并求出球的半径，即可求解球的面积公式. 【详解】取中点，连接并延长交的外接圆于，连接，，如图，    因为，所以，所以为外接圆的直径， 因为，所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 故的外接圆圆心，即为球心，在中，， 所以，所以， 在中，， 在中，由余弦定理可得，所以， 在中，，即， 所以球的直径，所以. 14． 【分析】设正三棱锥底面正三角形的边长为，可得其高与、的关系，由题意可得外接球半径，从而可得、与关系，利用体积公式可得，采用换元法和导数求解即可. 【详解】设正三棱锥底面正三角形的边长为， 由正弦定理可得此三角形的外接圆半径， 所以正三棱锥的高， 又因为此正三棱锥的外接球表面积为， 所以外接球的半径， 如图所示： 因为三角形是直角三角形， 所以， 整理得， 所以， 所以， 整理得，， 由，得， 又因为正三棱锥的体积 ， 令，因为，所以， 令， 则， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以， 即该正三棱锥体积的取值范围是. 15．(1)， (2) 【分析】（1）求得圆柱的底面半径和高，由此求得剩下几何体的表面积和体积. （2）首先求得圆柱的侧面积表达式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题可知，， 所以剩下几何体的表面积为：， 体积为 （2）取上一点，设，则， 所以， 所以圆柱侧面积为， 所以当时，圆柱侧面积最大，为 16．(1) (2) 【分析】（1）取的中点，的中点，可得四边形为直角梯形，利用勾股定理求得斜高，进而可求侧面积； （2）利用棱台的体积公式和锥体的体积公式计算求得，，进而可求三棱锥和剩余的几何体的体积之比. 【详解】（1）在正四棱台中，， 取的中点，的中点，则为侧面底边上的高， 设分别是上、下底面的中心，，则四边形为直角梯形， 在直角梯形中，， 所以， 所以； （2）该正四棱台的体积为， ， 所以几何体的体积， 所以三棱锥和剩余的几何体的体积之比为. 17．(1) (2)或 【分析】（1）过点作交于点，由勾股定理求得，进而求得表面积； （2）由题，正四棱锥外接球的球心在直线上，由外接球的体积，可求得外接球的，利用球的截面性质求出棱锥高h的值，再根据体积公式求解即可. 【详解】（1）由题意知平面，过点作交于点，连结. 则点为的中点，所以， 因为底面积为3，可得，则. 因为四棱锥的高为，所以. 所以正四棱锥的表面积. （2）设外接球半径为，由外接球体积，可得. 底面正方形对角线长， 所以底面正方形外接圆半径. 由题，正四棱锥外接球的球心在上， 设球心到底面距离为，由，可得， 当顶点与球心在底面异侧时，正四棱锥的高； 当顶点与球心在底面同侧时，正四棱锥的高. 当时，； 当时，. 综上所述，正四棱锥的体积为或. 18．(1) (2)立方丈 【分析】（1）将几何体拆分为两个全等的四棱锥和一个三棱柱，由此利用棱锥和棱柱的体积公式进行计算； （2）可根据已知条件以及《九章算术》中刍童的体积公式，代入数值进行计算． 【详解】（1） 如图所示，将几何体拆分为两个四棱锥，和一个三棱柱； 四棱锥的底面，； 则， ； 故几何体体积为． （2）根据刍童的体积公式可知： ； 根据题意可知，上广，下广；下袤，上袤，高； 代入公式可得， 故几何体体积为立方丈． 19．(1) 由余弦定理得，所以， 所以 . (2) (3) 【分析】（1）直接由余弦定理、平方关系即可得证； （2）由余弦定理或者正弦定理得到，结合“三斜求积”公式得，由此即可得解； （3）由补形法可得，再由正弦定理，进一步可得的表达式，取倒数，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）略 （2）由，， 根据正弦定理，得， 则，即， 由正弦定理，得， 所以 ， 当时，面积的最大值为. （3）由题意，等腰四面体可补形成与其共外接球的长方体，如图， 设长方体的长，宽，高分别为，则，，，    设等腰四面体的外接球半径为，所以， 所以， 在中，由余弦定理得， ， 所以， 设的外接圆半径为， 由正弦定理得， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以 因为， 所以， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 又，所以， 所以，即， 所以，则的最小值为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $