精品解析：天津市弘毅中学2027届高三上学期过程性诊断1数学试题

天津市弘毅中学2026—2027学年度第一学期过程性诊断1 高三数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上． 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知变量和满足经验回归方程，且变量和之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） 5 6 9 12 8 7 2.4 A. B. 当时， C. 变量和呈负相关 D. 该经验回归直线必过点 6. 在△ABC中，，EF∥BC，EF交AC于F，设，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. -1 C. D. 1 8. 已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②点是的一个对称中心； ③是奇函数； ④的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 若函数有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上． 10. 已知复数，i为虚数单位，则的虚部为______． 11. 在的展开式中，的系数是_________． 12. 已知直线l：与圆C：，若直线l与圆C相交于A，B两点，且，则______． 13. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则_______________. 14. 曼尼同学在操场跑圈，每周2次，一次跑4圈或5圈．第一次跑4圈或5圈的概率均为0.5，若第一次跑4圈，则第二次跑4圈的概率为0.3，跑5圈的概率为0.7；若第一次跑5圈，则第二次跑4圈的概率为0.6，跑5圈的概率为0.4．曼尼每周跑9圈的概率为________；若每周至少跑9圈为运动量达标，则连续跑8周，记合格周数为X，则________ 15. 在矩形中，，，，，过M点作交于N点，若E，F分别是和上动点，且，则的最小值为_____________. 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，，且． （1）求b的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 已知函数，． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）求在区间上的最大值和最小值． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的中点． （1）证明平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 19. 已知数列是公差为2的等差数列，其前8项和为64．数列是等比数列，，． （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前n项和； （3）设，数列的前n项和为，不等式恒成立，求实数的取值范围． 20. 已知函数；． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值； （3）当时，求使恒成立的最大偶数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市弘毅中学2026—2027学年度第一学期过程性诊断1 高三数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上． 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集和补集的概念求解出结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 故选：A. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，解得；由，即，解得； 因为是的必要不充分条件． 所以“”是“”的必要不充分条件. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】采用排除法，根据函数奇偶性可排除D，根据且时，可排除A，C. 【详解】记，函数的定义域是， ，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故D错误； 当且时，，，即，图像在轴下方，故A，C错误． 故选：B. 4. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用与和比较大小，可得的大小关系. 【详解】，，， 所以可得. 故选：A. 5. 已知变量和满足经验回归方程，且变量和之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） 5 6 9 12 8 7 2.4 A. B. 当时， C. 变量和呈负相关 D. 该经验回归直线必过点 【答案】D 【解析】 【分析】对A、D：借助线性回归方程必过样本中心点计算即可得；对B：将代入方程计算即可得；对C：借助回归方程的斜率即可得. 【详解】对于A，由表可得，， 因为经验回归直线必过样本中心点， 所以，解得，故A正确； 对于B，当时，，故B正确； 对于C，因为经验回归方程中，斜率，所以变量和呈负相关，故C正确； 对于D，该经验回归直线必过点为样本中心点，故D错误. 故选：D. 6. 在△ABC中，，EF∥BC，EF交AC于F，设，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图可知，，，利用平面向量的加法法则计算化简即可． 【详解】，又∵EF∥BC， 故选：A 7. 已知，则（ ） A. B. -1 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】， 分子分母同除以得：，代入， . 8. 已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②点是的一个对称中心； ③是奇函数； ④的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由题得，所以，即，故①错误； 又因为函数过点， 则，，即，， 且，所以，或； 当时，，不满足与y轴交于负半轴； 当时，，满足与y轴交于负半轴； 所以； 因为,所以点是的一个对称中心,故②正确； 因为，所以是奇函数，故③正确； 将的图象向左平移个单位长度， 得到,故④错误． 9. 若函数有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定当时的零点个数，再利用正弦函数的性质对于的情况进行分析，建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】当时，由题意得单调递增， 令，解得，此时具有唯一零点， 又因为有个根，所以当时，有个零点， 因为，所以， 所以有，解得，即. 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上． 10. 已知复数，i为虚数单位，则的虚部为______． 【答案】 【解析】 【详解】 ， 因此 ，复数的虚部为. 11. 在的展开式中，的系数是_________． 【答案】10 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出． 【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得． 所以的系数为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题． 12. 已知直线l：与圆C：，若直线l与圆C相交于A，B两点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的标准方程求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，并构造直角三角形，利用勾股定理即可列出方程求解. 【详解】过圆心作， 圆C：的圆心，半径为3， 圆心到直线l：的距离， ， 由勾股定理得， 即， 解得. 13. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数平移变换可得平移后的解析式，根据奇偶性可得，结合的范围可得结果. 【详解】原函数向左平移个单位后得：， 为偶函数，，解得：， 又，. 故答案为：. 14. 曼尼同学在操场跑圈，每周2次，一次跑4圈或5圈．第一次跑4圈或5圈的概率均为0.5，若第一次跑4圈，则第二次跑4圈的概率为0.3，跑5圈的概率为0.7；若第一次跑5圈，则第二次跑4圈的概率为0.6，跑5圈的概率为0.4．曼尼每周跑9圈的概率为________；若每周至少跑9圈为运动量达标，则连续跑8周，记合格周数为X，则________ 【答案】 ①. 0.65 ②. 6.8 【解析】 【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】设曼尼同学一周跑9圈为事件，设第一次跑4圈为事件，设第二次跑4圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，. 15. 在矩形中，，，，，过M点作交于N点，若E，F分别是和上动点，且，则的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算的最小值． 【详解】由题意，建立平面直角坐标系，如图所示： 过点作，垂足为，则，， 由，，可设，,，则,，由， 所以，,， 所以， 当时，取得最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，，且． （1）求b的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理得， 即，即， 因为，所以解得. 【小问2详解】 由(1)可得：，， 因为为三角形的内角，所以， 因为，所以， 由正弦定理得：，即， 解得. 【小问3详解】 由余弦定理得， 所以， ， 所以 . 17. 已知函数，． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3）最大值为，最小值为 【解析】 【小问1详解】 由题得 ∴的最小正周期是. 【小问2详解】 令， 得， 故的单调递增区间为. 【小问3详解】 ∵，∴，, ， 故在区间上的最大值为，最小值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的中点． （1）证明平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）取的中点为，连接，， 为的中点， ，， 又为的中点，在正方形中，，, ，，四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）构造平行四边形，证线线平行，得到线面平行， （2）求平面法向量，利用线面角向量公式计算正弦值， （3）求出两个平面的法向量，用二面角向量公式求夹角余弦. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以为原点、为轴、为轴、为轴建立直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量， ，取，则， 设与平面所成角为， 则. 【小问3详解】 由（2）可得：，，， 设平面的法向量， ，取，则， 设两平面夹角为， 则. 19. 已知数列是公差为2的等差数列，其前8项和为64．数列是等比数列，，． （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前n项和； （3）设，数列的前n项和为，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列前项和公式求出首项得到，再算出得到公比，写出通项. （2）根据的形式采用错位相减法，两式相减整理求出前项和. （3）对裂项相消求出，分析单调性，分奇偶讨论恒成立条件得到范围. 【小问1详解】 等差数列中，已知公差，前项和， 由等差数列求和公式可得：， 解得，因此， 计算得，，故， ，等比数列公比， 由得，因此. 【小问2详解】 由题可知， ， ， 两式相减可得：， 其中等比数列和为， 所以， . 【小问3详解】 由（1）可知，，，， ，， 化简可得：， 所以， ，因为，随增大单调递减， 所以单调递增，，， 所以，不等式对恒成立， 当为偶数时，，在偶数项最小值为， ，， 当为奇数时，，，最大值在， ，解得，综上所述，实数的取值范围为. 20. 已知函数；． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值； （3）当时，求使恒成立的最大偶数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程； （2）由的符号可确定在区间上的单调性，从而求出最大值； （3）对给定不等式分离参数，构造函数，利用导数求出函数最大值范围即可． 【小问1详解】 由，可得， 则，而， 所以所求切线方程为，即； 【小问2详解】 由（1）可知， 则当和时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减； 为的极大值点，，又， 所以函数在区间上的最大值为； 【小问3详解】 当时，不等式， 令，则， 令，则， 所以函数在上单调递增， 而， 则，使，即， 当时，；当时，； 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 函数， 而，所以使恒成立的最大偶数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $