精品解析：天津市实验中学滨海学校2026-2027学年高三上学期10月学习质量检测数学试卷

2026-2027年度第一学期高三年级10月学习质量检测（数学） 满分：150分 检测时长：120分钟 注意事项： 检测分第I卷和第Ⅱ卷两部分．答卷前学生务必将自己的班级、姓名、座位号填写在答题纸相应的横线上． 第I卷 一、选择题 1. 已知全集，，则（    ） A. B. C. D. 2. ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，，则（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的偶函数，对，，且，有成立，已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足对任意的，均有，且在上单调，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称.给出下面四个结论：①将的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于y轴对称；②点为图象的一个对称中心；③；④在区间上单调递增.其中正确的结论为（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 9. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题 10. 在的展开式中，的系数为_________． 11. 若角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则________. 12. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是________. 13. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________． 14. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________． 15. 已知是定义在上的奇函数，且当时，则 ① ②当时， ③当且仅当 ④是的极大值点 其中正确的结论有___________． 三、解答题 16. 已知扇形的面积为，弧长为，设其圆心角为 （1）求的弧度； （2）求的值. 17. 已知函数在时取得极值 （1）求的值； （2）求函数的单调区间； （3）求曲线在点处的切线方程． 18. 在中，角，，所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的大小：. （2）若，，的面积为. ①求b，c的长； ②求的值. 19. 已知向量，，设函数的图像关于直线对称，其中，为常数，且，． （1）求函数的最小正周期； （2）若的图像经过点，，求函数在区间，上的取值范围． 20. 设函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个不同零点，. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年度第一学期高三年级10月学习质量检测（数学） 满分：150分 检测时长：120分钟 注意事项： 检测分第I卷和第Ⅱ卷两部分．答卷前学生务必将自己的班级、姓名、座位号填写在答题纸相应的横线上． 第I卷 一、选择题 1. 已知全集，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集、并集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以，. 2. ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次不等式求解，结合集合的包含关系判断即可. 【详解】因为，解得或，记为或， 令， 则是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图象的对称性，确定其奇偶性，由此排除BC，再观察函数在时的函数值的正负，由此排除D. 【详解】观察函数可得其图象关于原点对称，故函数为奇函数， 若，因为函数的定义域，所以其定义域关于原点对称， 又，故函数为偶函数，矛盾，故B错误， 若，因为函数的定义域，所以其定义域关于原点对称， 又，故函数为偶函数，矛盾，故C错误， 观察图象可得当时，， 当时，，矛盾，故D错误， 当时，因为函数的定义域，所以其定义域关于原点对称， 又，故函数为奇函数， ，满足上述条件. 故选：A. 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数均为上的增函数， 所以函数为上的增函数，又， 所以函数的零点所在的区间是. 5. 已知向量满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 所以，即； 由，得， 所以，即. 两式相减，得， 所以 . 6. 定义在上的偶函数，对，，且，有成立，已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质和单调性即可判断. 【详解】解：对，，且，有 在上递增 因为定义在上的偶函数 所以在上递减 又因为，， 所以 故选：A 【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题. 7. 已知函数满足对任意的，均有，且在上单调，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据得出的关系式，再根据单调性确定的范围，最后求出最大值即可. 【详解】由于对任意的，均有， 所以在处取得最小值，点是图象的一个对称中心， 所以，两式相减得，即． 因为在上单调，所以，即， ，因此当时，取得最大值． 故选:C. 8. 已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称.给出下面四个结论：①将的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于y轴对称；②点为图象的一个对称中心；③；④在区间上单调递增.其中正确的结论为（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设条件，结合三角函数的性质，求得函数的解析式，再结合三角函数的图象变换和三角函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，其图象关于直线对称， 所以 ，解得， 因为，所以，因此， ①将的图象向左平移个单位长度后函数解析式为， 是偶函数，故得到的函数图象关于轴对称，故①正确； ②由，解得，即函数的对称中心为，令，则，故②正确； ③由，故③错误； ④当时，,令，∵在上不单调(先增后减），因此在区间上不单调，故④错误. 故选：A. 9. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题 10. 在的展开式中，的系数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 11. 若角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用两角差的正切公式求得所求代数式的值. 【详解】角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则，所以，. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 12. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得在上恒成立，即在上恒成立，利用导数研究函数的性质即可求解. 【详解】，则， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立，设， 则，令，令， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 得，所以， 即实数a取值范围为. 故答案为：. 13. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解. 【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为； 则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为. 故答案为：；. 14. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值. 【详解】设，，为边长为1的等边三角形，， ， ，为边长为的等边三角形，， ， ， ， 所以当时，的最小值为. 故答案为：1；. 15. 已知是定义在上的奇函数，且当时，则 ① ②当时， ③当且仅当 ④是的极大值点 其中正确的结论有___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用奇函数性质求解析式与，再借助导数分析函数的单调性、极值，分类验证不等式即可进行判断. 【详解】①：是定义在上的奇函数，所以，所以，故①正确； ②：任取，则，所以， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 故②正确； ③：当时，由等价于，即， 因为，所以，即， 但当时，由，此时， 因此“当且仅当”不成立，故③错误； ④：当时，， 则， 当时，，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此是的极大值点，故④正确. 三、解答题 16. 已知扇形的面积为，弧长为，设其圆心角为 （1）求的弧度； （2）求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）由弧长求出半径，再由面积求得圆心角； （2）先由诱导公式化简待求式为，利用两角差的正切公式可求． 【详解】（1）设扇形的半径为r，则，所以. 由可得， 解得. （2）. . 【点睛】本题考查扇形的弧长与面积公式，考查诱导公式，同角间的三角函数关系，考查两角差的正切公式．求值时用诱导公式化简是解题关键．. 17. 已知函数在时取得极值 （1）求的值； （2）求函数的单调区间； （3）求曲线在点处的切线方程． 【答案】（1） （2） 单调递增区间为和，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）由即可求出a，再检验即可得解； （2）由（1）即可得解； （3）求出切点和切线斜率即可由点斜式得解。 【小问1详解】 由题可得，且， 此时， 令， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在时取得极小值， 故； 【小问2详解】 由（1）得函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 【小问3详解】 由（1）得即切点为，切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 18. 在中，角，，所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的大小：. （2）若，，的面积为. ①求b，c的长； ②求的值. 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据诱导公式及两角和的正弦公式计算可得； （2）①由面积公式得到，再由余弦定理得到，解得即可； ②由余弦定理求出，再根据同角三角函数基本关系求出，再利用二倍角公式及两角差的正弦公式计算可得； 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理得 又， 所以， 即 所以， 又，故. 在中，，所以. 【小问2详解】 ①的面积，得， 由余弦定理，得， 由，，可得， 整理得，解得， 又，故，. ②方法一： 由余弦定理，得， 又，，，故， 所以， ， ， 故 . 方法二： 由正弦定理，得，故， 又，故，， 从而. ， ， . 19. 已知向量，，设函数的图像关于直线对称，其中，为常数，且，． （1）求函数的最小正周期； （2）若的图像经过点，，求函数在区间，上的取值范围． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】(1)通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的解析式，再利用对称轴求出，求解函数的周期． (2)通过的范围求出相位的范围，利用三角函数的性质求解函数的最值即可． 【小问1详解】 向量，，，函数， 所以 ， 由直线是图像的一条对称轴，可得， 所以，即． 又，，所以时，． 所以的最小正周期是． 【小问2详解】 由(1)可知， 若的图像经过点，，则，解得， 所以， 由，得， 所以， 得， 故函数在区间，上的取值范围为，． 20. 设函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个不同零点，. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （2） （i） （ii）由题意知，是的两个不同零点， 令，则是方程，即的两个不等实根． 令，，则， 由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增 不妨令， 要证明，只需证，即证， 即证， 令， 即，因为，当时，由基本不等式得， 因此，所以在上单调递减， 所以，故， 故，即 【解析】 【分析】（1）求导后分类讨论求出函数单调区间即可； （2）（i）根据函数存在两个零点利用函数的单调性及零点存在定理求参数的取值范围即可； （ii）利用函数单调性及换元法可转化为证明，再由导数证明在上单调递减即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，，，在单调递增； 当时，由得，由＜0得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 （i）由（1）知，当时，在上单调递增，至多有1个零点，不符合题意； 当时，要使得有两个不同零点，， 需要，解得 又所以在上存在唯一零点； 由于，所以， 取， 则当时，，所以在存在唯一零点： 所以 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $