二次函数表达式的求法与选择 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学下册

二次函数表达式的求法与选择 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版九年级数学下册 教师详解版 求二次函数表达式，先看已知条件能确定哪些量，再选未知量较少、计算较直接的形式。算出表达式以后，还要检查它是否真是二次函数、是否满足全部条件，以及是否漏掉其他可能。本专题把常用设式、图象变换和几何条件联系起来，练习从条件中作出选择，而不只是机械代入三个点。 复习导航 一、常用形式与方法选择 1 三式互化、同高点式与特殊位置的联系 二、知识详解与典例变式 2 例1—4 常用形式；例5—8 特殊位置；例9—10 图象变换；例11—14 几何条件；例15 数量关系；例16 条件与回验 三、A 基础通关 28 辨别条件，准确设式与计算 四、B 难点突破 32 组合条件，比较方法，检查有效性 五、C 综合进阶 35 多解、参数与几何信息的综合转化 六、D 中考真题精选 41 近年江苏中考中的真实考法 一、常用形式与方法选择 已知条件 适合的形式 使用提醒 一般点坐标或部⁠分⁠系⁠数 直接代入；已知的系数不再设⁠成⁠未⁠知⁠量 顶点 只剩还需一个不在对称轴上⁠的⁠点⁠确⁠定⁠ 两个不同的零点 只剩需要实零点 同高两点 先利用同高关系；末尾的不能漏 顶点在原点 只剩 对称轴为轴 只确定常数项仍须保留 顶点在轴上 只确定顶点横坐标仍可能未知 图象经过原点 只确定不能擅自删去一次项 表中均要求同一题可能适合多种形式，不必为了套某种形式绕远路。例如已知由平移而来，若已定且给了轴交点，一般式也可能更简便。遇到几何或实际条件，先把条件变成坐标、长度或数量关系，再选式。 三种常用形式表示同一条抛物线 从一般式配方，可得到所以顶点横坐标纵坐标先提出再补、减同一个平方项，不能漏乘 当有两个实根时，可以写成交点式。若两个零点不同；若两个根相同，抛物线只与轴有一个公共点；若不能在实数范围内写成含实数零点的交点式。 简短示范：一般式看出与轴交于顶点式看出顶点交点式看出零点这三种写法不是三条不同的曲线。 二、知识详解与典例变式 一、一般式求表达式 当已知普通点的坐标，而没有明显的顶点、零点或同高关系时，可设其中把每个已知点的横、纵坐标同时代入，得到关于的等式，再用代入或加减消元求解。若已知或只设其余未知量，不必把已知量重新设成未知数。 三个横坐标互不相同的点能确定唯一的二次或一次（也可能常值）表达式；只有解出的才是所求二次函数。若有四条或更多数据，求出表达式后必须逐条回验。优先使用或横坐标互为相反数的数据，通常能减少计算。选式不是为了形式整齐，而是为了少设未知量、少列方程。 简短示范：已知且经过直接写由得所以 例1、某二次函数的图象经过求该二次函数的表达式。 解析：设代入三点得前两式相减，得即第二式给出第三式给出两式相减得所以故把依次代回，得到且符合全部条件。 本题没有直接给出顶点或两个零点，一般式能把三点条件直接转成一次方程组。 变式1-1、已知二次函数的图象经过求它的表达式。 解析：二次项系数已经确定。代入两点得相减得所以再得故代入分别得符合条件。 变式1-2、某记录表中，当依次取时，依次为（同时满足这四条记录的二次函数共有______个；（若只允许改动对应的记录，求改正后的该条记录。 解析：设前三条记录给出解得所以只能是但时故四条记录不能全部正确，满足四条记录的二次函数共有个。只准改最后一条时，应把改为前三个横坐标不同且解得因此改值唯一。 变式1-3、某二次函数在时的函数值为从变为函数值增加从变为函数值增加求它的表达式。 解析：先恢复函数值：时时设则第三式除以得减去第二式得所以故回验三个函数值为两次增加量分别为 二、顶点式求表达式 已知顶点时，设只需再用一个横坐标不等于的点确定若该点恰是顶点，条件重复；若横坐标等于而纵坐标不等于条件矛盾。 仅知对称轴时，仍有两个未知量，通常再用两个到轴距离不同的点确定它们。若只知全体实数范围内的最小值为则顶点纵坐标为但尚未知；最大值则对应两个点有时会给出两个不同的顶点位置，必须保留全部可行结果。区间上的最值不一定在顶点取得，不能直接当成 简短示范：已知顶点为先写两个顶点坐标已经进入式子，只需再由一个不在对称轴上的点求 例2、某抛物线的顶点为并经过求它的表达式。 解析：顶点同时给出设代入得所以故它的顶点为当时且由于所给另一点不在对称轴上，唯一确定 变式2-1、某二次函数的对称轴为直线其图象经过求它的表达式。 解析：设不能把未知的删去。代入两点，得相减得所以故两点到轴的距离分别为提供了两个不同条件；回验函数值为 变式2-2、某二次函数在全体实数范围内的最小值为图象经过求⁠它⁠的⁠表⁠达⁠式⁠。 解析：两个不同横坐标的点同高，故对称轴为全局最小值为所以顶点为且设代入得解得故系数为正，最小值确为两点均满足。 变式2-3、某二次函数在全体实数范围内的最小值为图象经过求所有符合条件的表达式。 解析：设其中代入两点，得所以且于是或分别得或由分别得或故有与两式的均为正，最小值均为代入均得平方等式的两支都可行，不能只取一支。 三、交点式求表达式 若抛物线与轴有两个不同交点可设再用一个不在这两个零点处的点求两个零点确定位置，但不确定开口方向和宽窄。 在实数范围内，这一形式要求二次方程有实根。与轴只有一个公共点时，两个根重合为可写成只知道经过一个轴点，不能据此认定是重根。若已知一个零点和对称轴，先用两零点关于轴对称求出另一零点。回检时除核对点坐标外，还要检查以及“一个/两个公共点”是否确实满足。 简短示范：已知两个实零点为先写仅把这两个零点代回都得到所以还要有一个新条件才能确定 例3、某抛物线与轴交于并经过求它的表达式。 解析：两个轴交点给出零点设代入得所以故两因式为零时分别得到代入得到且比一般式少设两个未知系数，正是交点式的优势。 变式3-1、某抛物线的对称轴为与轴的一个交点为并经过求⁠它⁠的⁠表⁠达⁠式⁠。 解析：另一个零点与关于对称，其横坐标为设代入得所以故零点中点横坐标为且时 变式3-2、某抛物线与轴只有一个公共点并经过求它的表达式。 解析：唯一的轴公共点就是顶点，故可设代入得所以故该式只在时为零，确实只有一个公共点；时 变式3-3、某抛物线与轴的两个交点的横坐标为且抛物线经过求它的表达式。 解析：设展开括号内得因此代入得所以故两零点的和为积为回检成立。 四、同高点式求表达式 若已知图象经过且两个点到对称轴距离相等，对称轴为把每个点的纵坐标减去这两个点就移到轴上；时是向下平移，时是向上平移个单位，时不移动，所以原式可写成 这也叫对称点式。它与交点式的差别是末尾必须加当时才直接成为交点式。再代入一个横坐标不同于的点即可求若第三点仍是原来某点，只是重复信息；若同一横坐标另给不同高度，条件矛盾。已知轴和一点时，也可先补出它的对称点，再使用这一形式。 从一般式也能解释同高点的对称关系：两点代入后相减，得由于有正是对称轴的位置。 简短示范：经过可以先设共同纵坐标所以这两个同高点不是轴交点，末尾的不能漏。 例4、某抛物线经过求它的表达式。 解析：是两个不同的同高点，设代入得所以故代入三个横坐标，依次得到系数非零。若误写为就会把同高点错当成轴交点。 变式4-1、某二次函数的一组数据为：当分别取时，对应的分别为其中（求的值；（求该二次函数的表达式。 解析：（当时函数值相同，且两个横坐标不同，所以对称轴为另两个同高点的横坐标为且故得 （由可设再代入得所以故代入依次得到全部数据满足，且 变式4-2、某抛物线的对称轴为经过和求它的表达式。 解析：关于的对称点为也在抛物线上。可设代入得所以故两个同高点中点横坐标为回验成立。也可直接设两种形式等价。 变式4-3、直线与某抛物线交于两点，线段的中点横坐标为抛物线经过原点。求它的表达式。 解析：水平，两个端点的横坐标分别为和纵坐标均为设由经过原点得所以故令得到两交点间距为且中点横坐标为 五、顶点在原点时求表达式 顶点就是原点时，顶点式中的同时为零，因此可设其中此时图象关于轴对称，经过任意一点且就有 “经过原点”并不等于“顶点在原点”。只有顶点确为原点，或同时知道“对称轴为轴且图象经过原点”，才能删去一次项和常数项。横坐标为零的点不能用来除以若纵坐标也为零则是重复条件，否则矛盾。 简短示范：与都经过原点，但只有前者的顶点在原点。因而“经过原点”不足以删去一次项。 例5、某抛物线的顶点为原点，经过求它的表达式。 解析：设代入得所以故其顶点为原点，且时满足条件。这里的负纵坐标说明开口向下，并不改变顶点在原点的设式。 变式5-1、某抛物线关于轴对称，且经过原点和求它的表达式。 解析：关于轴对称可设经过原点又给出因此代入得所以回验两点均满足，对称轴确为轴。 变式5-2、某二次函数的顶点为原点。当从变为时，函数值增加求它的表达式。 解析：设两个函数值分别是和由增加得所以故两函数值为差为顶点和非零系数条件均满足。 变式5-3、某抛物线的顶点为原点，并经过点（当时，用含的式子表示这条抛物线；（当时，符合条件的抛物线共有______条。 解析：（设由且得所以回代得到时要求图象经过而顶点在原点的函数在时只能取故符合条件的抛物线共有条。不能在时使用前式的分母。 六、对称轴为y轴时求表达式 若对称轴为轴，顶点横坐标因此可设其中这时既是与轴交点的纵坐标，也是顶点纵坐标。通常用两个点确定但必须注意它们横坐标的平⁠方⁠是⁠否⁠相⁠同⁠。 若两个点横坐标互为相反数且同高，两条代入方程实际上相同，不能唯一确定若它们不同高，则与关于轴对称矛盾。已知全局最值时，还要按最小值最大值回验。 简短示范：轴为轴，且经过先得再得所以 例6、某二次函数的图象关于轴对称，经过求它的表达式。 解析：设代入两点得相减得所以故两个横坐标的平方不同，方程能唯一确定两个系数；代入原条件回验成立。 变式6-1、某抛物线的对称轴是轴，与轴交于与轴的一个交点为求⁠它⁠的⁠表⁠达⁠式⁠。 解析：由轴为轴并与轴交于设代入得所以故它的两个零点为关于轴对称，回验满足。 变式6-2、已知某抛物线的对称轴为轴，并经过（写出所有符合条件的表达式；（若还经过求此时的表达式。 解析：（设两点都只给出因此不能唯一确定。所有表达式为其中（再由得所以即故由于系数有意义且非零；代入均得 变式6-3、某二次函数的对称轴是轴，图象经过（若它在全体实数范围内的最小值为求表达式；（若把“最小值”改成“最大值”，符合条件的二次函数共有_⁠_⁠_⁠_⁠_⁠_⁠个⁠。 解析：（顶点为且设由得所以符合最小值条件。（若最大值为所有函数值应不大于但已知有函数值矛盾，因此符合条件的二次函数共有个。不能只套而不检查开口方向。 七、顶点在x轴上时求表达式 顶点在轴上，只能确定顶点纵坐标应设其中而通常仍未知。图象只在时与轴相交，其余函数值与同号。 若两个不同横坐标的已知点同高，可先由中点求若两点不同高，消元后常出现平方等式，应分别讨论正、负两种关系，不能漏掉一条抛物线。若给了轴上的点，它必须就是顶点。回验时既看点坐标，也看顶点确在轴上。 简短示范：的顶点为确实在轴上，却不在原点。顶点在轴上时，未知的不能擅自设为零。 例7、某抛物线的顶点在轴上，并经过求它的表达式。 解析：两个不同点同高，故对称轴为顶点又在轴上，所以顶点是设代入得所以故两点代入均得且顶点纵坐标为零，符合条件。 变式7-1、某抛物线的顶点在轴上，对称轴为并经过求它的表达式。 解析：顶点是设由得故它的轴、顶点位置和所给点均满足条件。 变式7-2、某抛物线的顶点在轴上，经过求所有符合条件的表达式。 解析：设代入得所以消去得即或分别解得或再得或故或两式都满足且顶点在轴上，均应保留。 变式7-3、某抛物线的顶点在轴上，经过和求它的表达式。 解析：顶点在轴上意味着抛物线只有一个零点，所以就是顶点。设代入得所以故它开口向下，但顶点仍在轴上；代⁠入⁠两⁠点⁠均⁠满⁠足⁠。 八、经过原点时求表达式 二次函数经过原点，代入可得因此可设其中此时仍可能有一次项，原点也不一定是顶点。若另一个零点为还可写成 若又知道对称轴由得于是只剩一个未知系数。含参数的点在特殊参数值时可能与原点或另一个点重合，必须先处理这些情况，再进行约分。最后始终 简短示范：把原点代入得到而对没有增加限制。因此可以先写其中 例8、某抛物线经过原点、求它的表达式。 解析：经过原点可设由其余两点得第二式除以得与第一式相减得所以故也可由两个零点设再用得两种形式回验均成立。 变式8-1、某抛物线经过原点，对称轴为并经过求它的表达式。 解析：设对称轴为故于是代入得所以故代入原点和均成立，轴为 变式8-2、某抛物线经过原点，直线与它的两个交点横坐标分别是和求⁠它⁠的⁠表⁠达⁠式⁠。 解析：经过原点，可设代入得第二式减去第一式的三倍，得所以故另法设用原点得同样得两交点的共同纵坐标是不是零，不能把它们误作轴交点；代入三个点回验均成立。 变式8-3、已知实数求所有经过原点、的二次函数表达式，并说明哪些值没有符合条件的二次函数。 解析：设（时，与原点条件矛盾，不存在。（时，重合，只得所以有无穷多个表达式其中（时，代入得及消去得于是若则只能得到一次函数，故不存在二次函数。若则唯一且代入得代入得验证正确。综上，无解当且仅当或时无穷多解；其余唯一。 九、利用平移求表达式 平移不改变抛物线开口方向和宽窄，二次项系数不变。把向右平移向上平移个单位后（，顶点变为新式为向左或向下则相应坐标减去移动量。 已知平移后的式子反求原式时，要把顶点逆向移回。只知由某抛物线平移而来，不一定已知移动量；此时可保留再用点坐标求其余系数。若方向没有限定，横向平移条件可能出现两个结果。口诀要以顶点坐标变化为依据，不能把括号内的符号机械改反。 简短示范：顶点向右平移向上平移后，变为平移不改变因此可先更新顶点，再写出新表达式。 例9、将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度。求所得抛⁠物⁠线⁠的⁠表⁠达⁠式⁠。 解析：原顶点为平移后顶点为平移保持所以新式为原图上的点随之变为代入新式得到与坐标移动吻合。 变式9-1、将抛物线平移后，所得图象经过求新抛物线的表达式，并写出一种平移方法。 解析：平移保持设新式为由得再由得所以故原顶点为新顶点为可向右平移个单位，再向上平移个单位。两点回验成立。本题已知且有轴点，一般式比直接设两个顶点参数更省计算。 变式9-2、把一条抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到求原抛物线的表达式。 解析：已知平移后顶点为且逆向向右向上原顶点为故原式为把其顶点按题意向左、向下移动，恰回到二次项系数不变，核⁠验⁠完⁠成⁠。 变式9-3、只沿水平方向平移抛物线使所得抛物线经过求所有可能的新表达式，并说明各自的平移方向和距离。 解析：水平方向平移保留设新式为代入得即或故新式为或原顶点横坐标为分别向右移动或向左移动两式代入均得方向未限定，故两种都要保留。 十、利用对称变换求表达式 关于轴对称时，点变为因此表达式整体取相反数；关于轴对称时，点变为因此把原式中的换成关于原点对称时，两坐标都变号，要先把换成再整体取相反数。 用顶点式看更清楚：关于轴，变成且变为关于轴，顶点变为而不变；关于原点，顶点变为且变号。关于任意竖直线对称，可由横坐标的中点关系找新顶点；关于任意点作中心对称，可由两坐标的中点关系找新顶点，且开口反向。不要把“只改顶点、不变”推广到所有对称变换。 简短示范：关于轴对称后，顶点由变成新式为关于轴对称后则为 例10、已知抛物线分别求它关于（轴；（轴；（原点对称后所得抛物线的表达式。 解析：原顶点为二次项系数为（关于轴，顶点变为且开口反向，故（关于轴，顶点变为且开口不变，故（关于原点，顶点变为且开口反向，故例如原点横坐标为处的图上点为三种变换对应得到代入各新式均成立。 变式10-1、把抛物线关于直线对称。求所得抛物线的表达式。 解析：原顶点关于的对称点为竖直线对称保持开口方向和宽窄，所以新式为原图点对应到代入新式为可作回验。 变式10-2、一条抛物线关于点作中心对称后，得到求⁠原⁠抛⁠物⁠线⁠的⁠表⁠达⁠式⁠。 解析：变换后顶点为对称中心是原、新顶点的中点，因此原顶点横坐标为纵坐标为中心对称使开口反向，原二次项系数为故原式为原顶点关于对称恰为且两式系数互为相反数，核验成立。 变式10-3、对抛物线作以下两种变换：（先向上平移个单位长度，再关于轴对称；（先关于轴对称，再向上平移个单位长度。分别求所得抛物线的表达式。 解析：（先向上平移得到再整体取相反数，得（先关于轴对称得到再加得两式常数项相差不是同一条抛物线。点在两种顺序下分别变为和说明变换顺序会影响结果。 十一、由一次函数的交点与截点恢复坐标 适用条件：题目用两条直线的交点、直线与坐标轴的交点，或已知横坐标的直线上的点描述抛物线上的点。此时给出的是几何位置，还不是可直接代入的完整坐标。 如何选式：先把交点坐标补齐，再依新信息选式。已得两个不同的横轴交点，优先设已得顶点，优先设只有一般的三个点时设不要因为题干有一次函数，就把其斜率当作二次函数的系数。 代入与求解：与轴相交时令与轴相交时令两条直线的公共点同时满足两个一次函数，联立求解。再把所得点代入选定的二次函数形式。 条件为何足够：三个横坐标互不相同的点至多确定一个形如的函数，但若三点共线，解得只能得到一次或常值函数，不能得到二次函数。已知两个不同的零点后，还需要一个不在轴上的点；该点的横坐标不能与两个零点重合。 回验：把坐标分别代回原直线和所得抛物线；检查点名与交点顺序一致。若某个点被称为顶点，还须核对对称轴和顶点纵坐标，而不只是核对该点在曲线上。 通俗总结：先把直线信息转化为点坐标，再挑未知系数最少的形式。直线负责找点，二次函数负责过点。 易错提醒：同一条直线上三个横坐标不同的点，不能同时落在一条真正的抛物线上。 同名交点必须同时满足所涉及的两条图线，不能只代入其中一条。 简短微例：直线与的交点以及它们各自与轴的交点，都在一条抛物线上，求其表达式。 两个轴交点为联立得 设由得故 例11、如图，直线与轴交于点直线与轴交于点两条直线交于点一条抛物线经过三点，求这条抛物线的表达式。 解析：① 令得令得联立得所以 ② 是两个不同的轴交点，设其中这样只需确定不必列三个未知数的方程组。 ③ 代入有解得所以 ④ 回验：当或时，当时，且所得三点均满足原条件，因此表达式唯一。 变式11-1、直线与轴、轴分别交于两点。一条抛物线经过两点，对称轴为直线求这条抛物线的表达式。 解析：① 由直线得关于的对称点为也在抛物线上。 ② 设代入得所以 ③ 因此两个零点与的平均数为全部条件成立。 变式11-2、直线与一条抛物线相交于两点，的横坐标为的横坐标为该抛物线还经过点求其表达式。 解析：① 在给定直线上，因此三个已知点横坐标互不相同。 ② 设由得由分别得 ③ 将前式乘后与后式相加，得所以 ④ 得回验与直线联立得即或恰为所给两个交点， 变式11-3、如图，直线与直线交于点前一条直线与轴交于点一条抛物线以为顶点，并经过求其表达式。 解析：① 联立得由得 ② 顶点已知，设将代入，得所以 ③ 故其顶点确为不在对称轴上，故确定的系数不为表达式唯一。 十二、由长度与面积恢复点的坐标 适用条件：点位于坐标轴上、同一条水平线或竖直线上，题目给出线段长、比例、三角形面积等，而没有直接写出完整坐标。 如何选式：先由位置确定坐标的正负，再把几何量变为坐标。恢复两个轴交点时选两根式；恢复同高两点时可先求对称轴；恢复顶点时选顶点式。若这些特征均无，则用一般式。 代入与求解：横向长度是横坐标之差的绝对值，竖向长度是纵坐标之差的绝对值。以轴上的线段为底时，以轴上的线段为底时，斜线段的长度不能直接当作横坐标之差。 条件为何足够：长度或面积一般只能得到绝对值，可能有两个位置。题目给定象限、上下关系或半轴时才能据此筛选；没有给定就要保留各个合法分支。知道两根后，还要有一个纵坐标非零的点才能确定 回验：核对几何长度、面积和位置条件，并将最终各点代回抛物线。特别检查是否误把面积当作带符号的量，或因图画在上方而擅自删去下方分支。 通俗总结：长度和面积先告诉我们离轴有多远，位置条件再告诉我们坐标取正还是取负。 易错提醒：面积是非负量，只在对应高度时成立。 水平弦两端点的横坐标平均数给出对称轴，但其中任一端点通常都不是顶点。 实际情境中的高度与范围：现实情境中的纵坐标必须先确定参照基准。若以地面为横轴，纵坐标表示距地面高度；若以喷口或顶点为原点，同一点的纵坐标往往需要减去原点离地的高度。最高点比喷口高多少，不等于最高点离地多高。建系不同可以使同一条实际曲线对应不同表达式，但表示的实际位置应一致。实际曲线只是整条抛物线的一部分，还须写明自⁠变⁠量⁠范⁠围⁠。 简短微例：抛物线与轴交于与轴正半轴交于三角形的面积为求抛物线的表达式。 底长为故得即 设由得因此 例12、如图，抛物线与轴交于两点，在轴负半轴上，在轴正半轴上，且抛物线与轴正半轴交于的面积为求抛物线的表达式。 解析：① 因在原点两侧，结合得故 ② 在轴上，在轴正半轴上，所以得即 ③ 设由得故 ④ 因此回验两零点为面积为全部原条件成立。 变式12-1、抛物线与轴交于与轴交于且的面积为求所有满足条件的抛物线表达式。 解析：① 由得题目没有限定所在半轴，所以或均须考虑。 在轴正半轴上的情形。 ② 设由得：若则若则 ③ 两个表达式为和二者的零点均为到轴距离均为面积均为且均非零，故两者都符合。 在轴负半轴上的情形。 变式12-2、如图，抛物线经过直线与抛物线交于与直线交于在的上方，且求抛物线的表达式。 解析：① 同时满足和故与横坐标相同，且在上方，所以的纵坐标为即 ② 设代入得所以 ③ 得回验直线在处的纵坐标为故且在上方； 变式12-3、一条抛物线与直线交于两点，在的右侧，抛物线顶点的纵坐标为求其表达式。 解析：① 同在水平直线上，在右侧且故 ② 同高两点关于抛物线的对称轴对称，轴为结合顶点纵坐标顶点为 ③ 设代入得因此 ④ 得水平距离为顶点纵坐标为且 十三、由特殊三角形的性质恢复坐标 适用条件：与抛物线有关的点构成直角、等腰直角或等边三角形，且部分顶点的坐标、所在轴或象限已知。特殊图形的条件提供隐藏的等长、垂直或高度关系。 如何选式：先明确特殊角在谁处、哪两条边相等，再恢复点的坐标。若两个轴交点已知，优先两根式；若三角形顶点同时是抛物线顶点，选顶点式；一般位置的三个点则用一般式。 代入与求解：直角三角形用勾股定理；等边三角形可作高化成两个直角三角形，高为边长的倍；等腰直角三角形若斜边不平行于坐标轴，可用两点距离公式和勾股关系，或通过与坐标轴平行的辅助线形成全等三角形。 条件为何足够：几何条件可能产生轴的上、下两侧或线段的两侧两个位置。必须把所有代数解与象限、角的位置，以及各点是否互不重合、能否组成三角形逐一核对。若三点中有两点横坐标相同而纵坐标不同，则不可能同在函数图像上。 回验：先检验几何关系，再检验函数关系。仅核对三点在抛物线上还不够；必须同时核对直角确实在题定顶点、等边或等腰关系成立、 通俗总结：特殊三角形不是另背一套求式公式，而是先用熟悉的几何性质找出缺少的坐标。 易错提醒：“以为斜边”与“直角在处”不能混用。 旋转或勾股得到两个位置时，不能只按图形顺眼选一个；必须用题干位置条件筛选。 简短微例：在轴正半轴上，且抛物线经过求抛物线的表达式。 设由得故 设由得因此 例13、如图，抛物线与轴交于与轴正半轴交于且求抛物线的表达式。 解析：① 设由在轴正半轴上知 ② 由勾股定理得即因为所以负根不符合半轴条件。故 ③ 设代入得解得于是 ④ 回验：满足且在正半轴上。表达式唯一。 变式13-1、如图，点在轴上方，为等边三角形。一条抛物线以为顶点，并经过求其表达式。 解析：① 等边三角形的高平分底边。设底边中点为则因在轴上方， 过作垂足为 ② 设代入得故 ③ 得其顶点为等边条件成立， 变式13-2、如图，点在轴上，为等腰直角三角形，且一条抛物线经过原点及两点，求其表达式。 解析：① 设由且为等腰三角形，知故得或 ② 还须满足直角在处。若则而不成立。若则成立。故 ③ 抛物线经过和设代入得所以得 ④ 且几何与函数条件均成立，注意只是辅助确定的原条件点，题目并未要求在抛物线上。 变式13-3、点在第一象限，是以为斜边的等腰直角三角形。一条抛物线经过三点，求其表达式。 解析：① 设其中由且得 ② 因此两式相减，得即 ③ 代入有化为故或相应为或第一象限条件只保留 ④ 设由得由得解得故 ⑤ 在第一象限，且唯一合法表达式如上。 十四、由动点的位置条件先定坐标再求表达式 适用条件：动点沿已知线段或射线运动，给出起点、方向、速度、共同运动时间，以及某一时刻的长度、面积、平行或中点条件。 如何选式：先用时间表示各点坐标，再由题给位置关系求坐标确定后，两个零点用两根式，同高两点可求对称轴，一般三点用一般式。不要一上来把和全部混在一个大方程组中。 代入与求解：横向运动只改变横坐标，竖向运动只改变纵坐标；离起点的路程为速度×时间。写完坐标立即写出运动范围，再列几何关系。若涉及这类距离，应按点的先后位置写绝对值或分类。 条件为何足够：运动关系得到的每一个时间根都要与停止时间、端点是否允许重合、点所在象限核对。若保留两个时刻，可能得到两条抛物线，不能擅自只取较小的根。最终还要排除同一横坐标对应两个不同纵坐标的情况，以及不再是二次函数的情况。 回验：先将时间代回路程、位置关系和范围，再将点代回所得函数。运动范围的开闭端点属于原题条件，不能因为代数式有定义就随意补上。 通俗总结：动点题先把“动了多久”算清楚，再把“现在在哪里”变成静态三点求式。 易错提醒：从向运动时，横坐标一般是起点横坐标减去路程，不一定等于路程。 同速不等于同坐标；要看起点、方向和所在边。 简短微例：同时从原点出发，分别沿轴、轴正方向以每秒个单位的速度运动。当时，一条抛物线经过及求其表达式。 设运动时间为秒，则得因此 设代入得故 例14、如图，在平面直角坐标系中，点从出发沿线段以每秒个单位的速度运动，点同时从出发沿线段以每秒个单位的速度运动，且两点均不与各自所在边的端点重合。在的面积为的时刻，一条抛物线经过三点，求该抛物线的表达式。 解析：① 设运动时间为秒。由两点均在边的内部，得从向运动，所以从向运动，所以 ② 为直角三角形。由面积条件得化为故或 ③ 时违反端点不重合的条件，应舍去；保留得到 ④ 抛物线经过设代入得所以 ⑤ 因此回验在内， 变式14-1、如图，矩形中，从出发沿以每秒个单位的速度运动，同时从出发沿以每秒个单位的速度运动，两点均在边的内部。某时刻，线段的中点位于直线上。一条抛物线经过此时的以及点求其表达式。 解析：① 设运动时间秒，因尚在内部且在内部， ② 中点的纵坐标为由其位于上，得所以符合范围。此时 ③ 同高，对称轴为设由和得 ④ 两式相减，得所以表达式为 ⑤ 回验当时，两点位于各自边内部，中点确在上，且 变式14-2、点同时从原点出发，分别沿轴、轴正方向以每秒个单位、每秒个单位的速度运动。在且运动时间大于的时刻，一条抛物线经过及此时的求所有可能的抛物线表达式。 解析：① 设运动时间则因为可能位于的左侧或右侧，所以得到 ② 若则得符合范围；若则得也符合范围。并不满足等式，未重复计入。 时，在的左侧。 ③ 抛物线经过和可设由得因为可除以得 ④ 当时，当时， 时，在的右侧。 ⑤ 两时刻分别有且各表达式在时为在时为两支均有效，不能只凭单幅图删去其中一支。 变式14-3、如图，矩形中，点从出发沿以每秒个单位的速度运动，点同时从出发沿以每秒个单位的速度运动，两点均在边的内部。当时，一条抛物线经过及此时的求其表达式。 解析：① 设运动时间秒。且 ② 从到向左个单位、向上个单位。从到向左个单位、向上个单位。因两线平行，相应直角三角形相似，得 ③ 解得即符合因此 ④ 抛物线经过设由得第一式减去第二式的倍，得因此 ⑤ 得回验的水平、竖直变化量为与的成比例，且在合法范围内， 十五、由实际数量关系直接列出二次函数 适用条件：题目直接给出周长或材料总量、道路宽度、单价与销量变化、损耗与费用等数量关系。目标量是两个一次式的积，或这样的积再减去成本，因而不必先找三个点。 如何选式：先说明自变量和函数值的实际意义，再写出每个相关量与自变量的关系。面积可用长×宽或总面积−占用面积；收入为单价×销量；利润为收入−全部成本。保留乘积结构通常比一开始就设更清楚。 代入与求解：先列未展开的实际关系式，再展开成每一项都要有实际来源：多段围栏分别计数，交叉道路的交叠部分不能重复扣除，原始进货成本不能按售出数量重新计算。 条件为何足够：所有影响数量已经由唯一确定，且口径明确时，函数才能确定。还须交代的范围和是否为整数。若展开后二次项系数为则本题模型不是二次函数；不能为符合题型而保留错误的平方项。 回验：检查单位、非负性、容量或边界限制，选择一个范围内的简单值，分别按实际关系和所得表达式计算，应完全一致。二次式作为代数式可对所有实数计算，但实际模型只能在题定范围内使用。 通俗总结：实际题先问“总量由哪几部分组成”，把数量关系列对，二次式往往自然出现。 易错提醒：利润不是售价乘销量，而是收入扣除题目规定的全部成本。 有重叠部分的面积应只扣一次。 范围中的整数要求、开闭端点和容量约束都属于答案。 简短微例：用围栏靠墙围成一个矩形，靠墙一边不用围栏。设垂直于墙的一边长为面积为写出关系式。 另一个方向的长度为故 两边均须为正，所以这里 例15、如图，学校计划利用一段长的直墙作为一边，用总长的围栏围成一个矩形活动区，并用两道与墙垂直的围栏把活动区分成三个并排、等宽的小区。靠墙的一边不用围栏，其余围栏均计入不计围栏厚度。设垂直于墙的一边长为整个活动区的面积为求与的函数表达式，并写出的取值范围。 解析：① 垂直于墙的围栏共有段：两条外侧边和两道内部隔栏，每段长剩余的一条与墙平行的外侧围栏长为也等于矩形沿墙方向的长度。 ② 因此总面积其中等宽分区不改变总面积，也不减少隔栏数量。 ③ 各边必须为正：沿墙长度不能超过即合并得 ④ 回验：取范围内的沿墙长度围栏总长面积为代入二次式得一致。时恰用满墙，可取；时另一边为不可取。 变式15-1、如图，一块长宽的矩形绿地内，修建两条互相垂直、宽度均为的直道路，一条贯穿长边方向，另一条贯穿宽边方向，两道路交叉且均不与绿地边界重合。设剩余绿地面积为求与的函数表达式，并写出的取值范围。 解析：① 原绿地面积为一条道路面积另一条道路面积交叉处是边长的正方形，面积在前两项中被重复计算一次。 ② 道路的总面积为所以也可写成 ③ 道路有正宽且不能占满较短边，所以这也保证 ④ 取道路面积剩余二次式给出两种计算一致，重叠处只扣除一次。 变式15-2、一批水果共购进单价为每千克元。商家计划保存天后将剩余可销售水果一次售完，为非负整数。保存期间，每天损耗每天支付保存费元；出售时每千克售价为元。假定剩余可销售水果必须大于且无其他费用。设这批水果销售后的总利润为元，求与的函数表达式及的取值范围。 解析：① 保存天后可销售数量为单价为元/因此销售收入为元。 ② 购进整批水果的成本固定为元，不随损耗减少；保存费为元。因此 ③ 展开得由且得又为整数，所以∈{…}。 ④ 取剩余收入元，利润元；二次式为元，一致。 变式15-3、某剧场共有个座位。某场演出的票价为元时，预计售票张；在规定范围内，每降低元票价，预计多售出张票。每位观众的服务成本为元，另有固定场地费元，无其他收入和成本。设票价降低元，为非负整数，并要求预计售票数不超过座位数。设该场预计利润为元，求与的函数表达式及的取值范围。 解析：① 票价为元，预计售票数为张。服务总成本为元，固定场地费为元。 ② 因此展开得 ③ 由得在此范围内票价无须额外缩小范围。结合整数要求，为至的整数。 ④ 取利润为与二次式常数项一致；取时预计售票恰为张，可取。 十六、检查条件是否足够并回验结果 求式前要分清三件事：条件是否相互矛盾，是否真正提供新信息，最后是否仍是二次函数。一个点给出一个代入等式，但同一个点重复出现并不增加条件；对称轴与一对关于该轴对称的点也可能重复。若同一横坐标对应两个不同函数值，则直接矛盾。 即使三个点横坐标不同，算出的仍可能是零，此时只能得到一次或常值函数，不存在符合条件的二次函数。含参数时，先处理除数可能为零的分支，不能约掉后再补猜。数据比确定表达式所需的条件多时，多出的数据用于回验；若发现冲突而题目没有指定哪一条可错，不能擅自认定最后一条出错。结论可以是唯一一个、多个、无穷多个或不存在，必⁠须⁠由⁠条⁠件⁠证⁠明⁠。 简短示范：要求同时经过和无需列三元方程组，就能判断不存在这样的函数，因为同一个不能有两个不同的 例16、某抛物线的对称轴为并经过（写出全部符合条件的表达式；（若还经过求此时的表达式。 解析：（设两点都只给出故不能唯一确定。全部表达式为其中取不同的会得到不同的抛物线，但均满足原条件。（新增点给出与联立，得所以故新增点到轴的距离为不等于前两点的距离确实增加了独立条件。代入三点分别得回⁠验⁠成⁠立⁠。 变式16-1、一条抛物线的对称轴为并经过（符合这些条件的抛物线共有______条；（仅将对称轴改为另一条与轴平行的直线，写出一个满足修改后条件的二次函数表达式及其对称轴。 解析：（符合条件的抛物线共有条。横坐标到直线的距离相等，若轴为两点的函数值必须相同；但题中分别为矛盾。 （例如把对称轴改为设由得再由得所以因此就是一个符合修改后条件的二次函数，对称轴为代入两个点分别得到且题目只要求给出一个例子，不要求列出所有可能的轴。 变式16-2、经过三个点的二次函数共有______个。 解析：设由得其余两点给出第一式乘后与第二式相加，得即再得三点只能确定这不是二次函数，因此符合条件的二次函数共有个。横坐标不同保证的是至多二次表达式的唯一性，不保证二次项一定非零。 变式16-3、一张记录表中，当时，对应的分别为已知恰有一个值抄错，其余三个值来自同一个二次函数。求所有可能的正确表达式及相应改值。 解析：设分别保留每组三条记录求式。 若处抄错，保留其余三点得到相邻两式相减，得所以表达式为应把 若处抄错，则后两式分别除以得所以表达式为应把改为 若处抄错，则由减去得表达式为应把改为 若处抄错，则由减去得表达式为应把改为 四个式子的均非零，代入所保留的三点均满足，且改值均不同于原记录。恰有一个错误只限定修改数量，没有指定位置，因此四种均可。 三、A 基础通关 1、以下均讨论二次函数，且下列根据条件所作的设式，正确的是（　　）。 A．轴为时，可设 B．经过原点时，可设 C．顶点为时，可设 D．经过时，可设 解析：选只给轴应保留未知的顶点纵坐标只经过原点，只能删去常数项，不能删去一次项；顶点为设正确；两个点的共同纵坐标为末尾应加不能把它们当零点。各设式均需 2、二次函数的顶点式为________，交点式为________；当时，函数值为________。 解析：配方得因式分解得从顶点式直接看出时两种形式展开均还原为原一般式。 3、已知的图象经过则________；把该式展开后，一次项系数为________，常数项为________。 解析：由得展开一次项系数为常数项为顶点纵坐标不等于一般式常数项 4、下列与表示同一条抛物线的是（　　）。 A． B． C． D． 解析：选原式展开为展开为展开为展开为均不相同。 5、某二次函数在和时的函数值都为在全体实数范围内的最小值为求它在时的函数值。 解析：同高两点给出对称轴最小值给出顶点纵坐标设由得符合所以当时 6、二次函数满足且图象经过求它的表达式。 解析：用已知系数关系先写成代入得所以继而故回验且系数关系成立， 7、如图，矩形的顶点在原点，在轴正半轴上，在轴正半轴上。矩形的周长为比长一条抛物线经过两点，对称轴为直线求其表达式。 解析：① 由得所以 ② 已知对称轴，设代入得 ③ 相减得故所得 ④ 回验对称轴矩形周长边长差且 8、直线与轴、轴分别交于两点，为线段的中点。一条抛物线经过原点及两点，求其表达式。 解析：① 由直线得为中点，所以 ② 抛物线的两个零点为和设代入得所以 ③ 所以回验正是中点，只是确定的点，不要求它在抛物线上。 9、一座拱门的截面近似抛物线，两脚在同一水平地面上，间距为米，拱顶距地面米。以左脚为原点，沿地面向右为轴，竖直向上为轴，求拱门所在抛物线的表达式，并写出拱门实际部分对应的的取值范围；（改以两脚之间地面线段的中点为原点，坐标轴方向不变，求新坐标系中的表达式及相应范围。 解析：（两脚坐标为对称轴为顶点为设代入原点得所以故实际范围为 （1）以左脚为原点。 （改以地面中点为原点后，顶点为两脚为设由仍得所以实际范围为旧坐标中的横坐标减就是新横坐标，纵坐标不变；两式描述的是同一个拱门，而不是拱门发生平移。 （2）以地面中点为原点。 四、B 难点突破 10、能够唯一确定一个二次函数的一组条件是（　　）。 A．顶点为并经过 B．轴为经过 C．零点为并经过原点 D．经过 解析：选所给点就是已知顶点，没有新增信息；设两点给出得唯一且非零；两个零点要求再过原点会得不存在二次函数；三个点共线，只能得到 11、把抛物线先关于轴对称，再向下平移个单位长度，所得图象与轴交于原抛物线的表达式为________。 解析：变换不改变二次项系数所得图象为把它向上平移再关于轴对称，得到原式正向检查：关于轴变为再减得到两零点恰为 12、某二次函数的对称轴为当时在范围内，函数的最小值为求它的表达式。 解析：设由得当从增至时，由减为若函数值随之增大，区间最小值应为与矛盾；故最小值在取得，得到两式相减得所以故它在该区间由降到满足条件；顶点纵坐标是不是给定的区间最小值 13、对于某二次函数，把和对应的函数值相加，总得到已知其图象经过该二次函数的表达式为________。 解析：设两个函数值之和为取得所以取得所以再由得所以故对任意它与处的函数值相加确为回验成立。 14、某二次函数满足：对任意实数自变量从增加到时，函数值的变化量（后值减前值）都为且当时求表达式。 解析：设自变量增加时的函数值变化为令得令得相减得继而由得所以故代回差式得满足任意的条件。 15、抛物线及其关于原点对称后所得的图象，都经过求⁠原⁠抛⁠物⁠线⁠的⁠表⁠达⁠式⁠。 解析：对称后的图象经过说明原图象经过原图还经过代入得两式相减得所以故原式为关于原点对称后的式子为代入也得验证成立。 16、如图，在等腰梯形中，点位于轴上方，在左侧，梯形的高为一条抛物线经过三点，求其表达式。 过分别作垂足为 解析：① 等腰梯形两腰在下底上的水平投影长度相等，均为因在上底左端，相应 ② 设代入得故 ③ 得回验上底长高两腰长均为梯形条件成立， 17、如图，平行四边形中，在第一象限，且在直线上，两条对角线交于一条抛物线经过三点，求其表达式。 解析：① 设由得即第一象限条件给出所以 ② 平行四边形中的中点也是的中点，故为的中点，即同时 ③ 设由得所以故 ④ 回验满足与对角线中点一致， 18、一股水流从距水平地面米的喷口向右上方喷出，运动轨迹近似抛物线。在距离喷口水平距离分别为米和米的位置，测得水流距地面的高度都为米。以喷口正下方的地面点为原点，水平方向向右为轴，竖直向上为轴。（求水流轨迹的表达式，并写出从喷口到首次落地这段水流对应的的取值范围；（求水流最高点距地面的高度。 为喷口，为测量点，为水流最高点。 解析：（喷口坐标为两次测量得到点两个测量点同高，可设代入喷口得所以故令得解为水流从向右运动，舍去负值首次落地横坐标为所以实际范围为 （所得式子的顶点为且在实际范围内，故最高点距地面米。两个测量点同高，只能说明它们关于对称轴对称，不能把这个共同高度当成最高点高度。回验在时的高度分别为满足全部测量条件。 五、C 综合进阶 19、一条抛物线与直线交于并要求它与轴有两个不同的交点。设这两个交点之间的距离为分别在三种情形下，求所有符合条件的抛物线表达式。 解析：因为是两个横坐标不同的同高点，对称轴为设其中由得即所以 若与轴的两个交点之间的距离为则它们的横坐标分别为代入一个零点，得即不能在未检查的情形前就除以 （当时，故表达式为其两个零点为间距为且在时函数值均为所以存在且唯一。 （当时，上式成为矛盾，因此不存在。也可从坐标看：两个零点的横坐标只能为但对应的已知函数值是而不是 （当时，故表达式为其两个零点为间距为且在时函数值均为所以存在且唯一。 三种情形共用一个设式，但存在性必须分别检查；得到的两个有效表达式开口方向不同。 20、某抛物线经过且顶点在直线上。求所有符合条件的表达式。 解析：设顶点为抛物线为代入得即代入并减去前一等式，得即 若则得 若由与得所以得 两式分别以为顶点，顶点均在上，也都经过给定两点。两支均满足应全部保留。 21、将一条抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度。若原图象与新图象都经过则满足上述条件的抛物线共有______条。 解析：满足条件的抛物线共有条。设原式为原图过给出新图过意味着原图过故即与相加得所以已经矛盾。也可把两式相减得到一次式：它若在都为零，则必须故非零水平平移后的两条同形抛物线不能具有这两个不同公共点。 22、某函数拟写成并满足时的函数值依次为（求（求使它成为二次函数的的取值范围，并写出相应图象的开口方向；（求其中对称轴是轴的二次函数表达式。 解析：（由得所以 （当且仅当时是二次函数，且开口向上；时得到常值函数 （轴为轴要求故或但已经不是二次函数，应排除。因此只有表达式为代入得验证成立。 23、某二次函数在与时的函数值均为并且对所有实数都有（求所有符合条件的表达式及其中参数的取值范围；（若图象与轴恰有一个公共点，求⁠表⁠达⁠式⁠。 解析：（同高条件给出轴可设其中若当足够大时函数值会小于不符合条件，所以此时最小值为要满足所有只需且必须即所以全部表达式为 （与轴恰有一个公共点要求顶点纵坐标为零，故得在上面的范围内。因此下界条件只说明最小值不低于不能把最小值直接定成 24、把某抛物线先关于轴对称，再向右平移个单位长度，所得图象与原图象重合。原图象经过求它的表达式。 解析：设原顶点为关于轴对称后顶点为再右移成为同一条抛物线只有一个顶点，因此得图象经过所以这点就是顶点。设由得所以故关于轴后为再右移为确与原图重合。 25、如图，正方形的顶点为边所在直线为在第一象限，与均在直线的上方。一条抛物线经过三点，求其表达式。 解析：① 设且令为从到的水平距离，则竖直距离为由得所以 为到轴的垂足；过作轴交轴于与轴上的对应线段重合。 ② 因在第一象限，故得到另一代数解对应不符合象限条件。 ③ 过作轴于过作平行于轴的直线，再过作垂直于该直线，垂足为由得所以根据在直线上方及的位置关系，位于左侧、位于上方。 ④ 在与中，又与互余，也与互余，所以正方形中故（，得到于是由且相对于同样向左向上故另一侧的正方形不满足在直线上方的条件，不⁠能⁠选⁠取⁠。 ⑤ 设由得代入得相加得所以 ⑥ 得回验与长度平方均为故相邻边垂直；均在上方。所⁠有⁠条⁠件⁠成⁠立⁠。 26、为直线上位于轴上方的点，过作垂直于轴，垂足为且一条抛物线经过三点，求所有满足条件的抛物线表达式。 解析：① 设由在轴上方，因此得到 ② 若则得若则得两支均符合对应范围。 在线段上的情形。 ③ 设若则得若则得 ④ 所以两个表达式分别为和 在右侧的情形。 ⑤ 第一支第二支均满足两点分别在直线上且纵坐标为正；代回相应抛物线分别得到和两零点均为均非零。题干没有规定在线段内部，所以第二支不能删去。 27、一座抛物线形花架的两脚在同一水平地面上，拱顶距地面米。在距左脚水平米处，花架距地面的高度为米。两脚间距记为米，其中以左脚为原点，地面向右为轴，竖直向上为轴。（用含的式子表示花架所在抛物线，并写出花架实际部分对应的的取值范围；（求所有可能的值及相应的表达式。 解析：（两个零点为对称轴为顶点为设将顶点代入，得所以故实际范围为 （代入测量点得即因式分解为所以或均满足 跨度为米的情形。为右脚，为拱顶，为测量点。 当时，范围当时，范围两式在时的函数值均为顶点高度均为且测量点均在两脚之间。由于题目没有说明测量点位于拱顶左侧还是右侧，两种跨度都符合，不可只选较宽的一种。 跨度为米的情形。为右脚，为拱顶，为测量点。 六、D 中考真题精选 28、（2023年江苏省徐州市中考第7题 全题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　） A. 　B. 　C. 　D. 解析：原抛物线顶点为向右平移个单位、再向下平移个单位后，顶点为二次项系数仍为故函数表达式为选回验：新顶点相对原顶点的横、纵坐标分别增加减少 29、（2023年江苏省扬州市中考第28题 (1)① 节选整理）在平面直角坐标系中，四个点中恰有三个点在二次函数（为常数，且的图象上。 ①______。 解析：对任意的图象都经过且不经过要使四点中恰有三点在图象上，另两点必须都在图象上。代入得回验经过不经过确为三点且 30、（2023年江苏省无锡市中考第28题 (1)）已知二次函数的图象与轴交于点且经过点和点 请直接写出的值。 解析：纵坐标相同而横坐标不同，抛物线的对称轴为因括号外非零常数不改变对称轴，得将代入，即得也可由及相减求得再得回验均使括号内等于 31、（2024年江苏省南京市中考第25题 (1)(2)）已知二次函数的图象经过点它的顶点在函数的图象上。 当取最小值时，______。 用含的代数式表示 解析：顶点在上，故原二次函数可设为 的最小值为此时代入得故 代入得时会得到不可能；时，又原函数是二次函数，故还要反向代入可得时且顶点为验证成立。 32、（2023年江苏省盐城市中考第26题 (1)(2)）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数。 【初步理解】 现有以下两个函数：①②其中，______为函数的轴⁠点⁠函⁠数⁠。⁠（⁠填⁠序⁠号⁠） 【尝试应用】 函数（为常数，的图象与轴交于点其轴点函数与轴的另一交点为点若求的值。 解析：直线与两坐标轴的交点为二次函数①经过这两个点，且化为恰有这两个交点；②不经过故填①。 由得与轴交点为因此两点都在轴点函数上。由得可能为或不能把长度直接当作正横坐标。 若设代得展开为故 若设代得展开为故 因两种均非零，均与不同。两种二次函数分别与联立后得和公共点均恰为符合定义。 33、（2023年江苏省连云港市中考第26题 (1)(2)）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为直线过点（，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）。将抛物线沿直线翻折得到抛物线抛物线交轴于点顶点为 当时，求点的坐标； 连接若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式。 解析：先将写成得到顶点沿直线翻折时，横坐标不变，对应点纵坐标的和为所以开口方向改变而宽窄不变，故为与轴交于 （当时， （令由得直线与相交，右侧交点为同时 从到横、纵坐标都增加因此与水平方向成分别讨论直角的位置。 若直角在则从到向右向下两段长度必须相等，所以即由得所以此时为 时，与重合。 若直角在则从到向右向下两段长度必须相等，所以由得所以此时为 时，重合。 若直角在则需但时，都在左侧，不低于严格高于两条射线都落在从水平向左到竖直向上的直角区域内，且都不竖直，所以它们的夹角小于不可能成为直角。 回验：时，有时，有两种情形下，都互不重合且不在同一直线上，且故全部表达式是和 34、（2024年江苏省苏州市中考第27题 (1)(3) 节选整理）二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点 求图象对应的函数表达式； 如图，分别为二次函数图象的顶点，连接过点作交图象于另一点连接当时，求图象对应的函数表达式。 解析：（的二次项系数为两个零点为所以顶点为 （设为其中它的对称轴同为故顶点 为到轴的垂足，为与轴的交点。 过作轴于则设直线与轴交于从沿向右是向下的方向，与其垂直的向右则是向上的方向，所以在轴正半轴上。由以及两三角形的直角，得因此所以即直线经过其表达式为 设的横坐标为因故把代入直线和抛物线，得可约去非零的得到即 直线每向右个单位下降个单位。因且同样有所以代入整理得即 当时，于是与重合，不能确定直线因此不符合的条件，应舍去。当时，两点不同；从到向右向下确与平行，且在直线上。故的表达式为 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数表达式的求法与选择 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版九年级数学下册 学生版 求二次函数表达式，先看已知条件能确定哪些量，再选未知量较少、计算较直接的形式。算出表达式以后，还要检查它是否真是二次函数、是否满足全部条件，以及是否漏掉其他可能。本专题把常用设式、图象变换和几何条件联系起来，练习从条件中作出选择，而不只是机械代入三个点。 复习导航 一、常用形式与方法选择 1 三式互化、同高点式与特殊位置的联系 二、知识详解与典例变式 2 例1—4 常用形式；例5—8 特殊位置；例9—10 图象变换；例11—14 几何条件；例15 数量关系；例16 条件与回验 三、A 基础通关 32 辨别条件，准确设式与计算 四、B 难点突破 37 组合条件，比较方法，检查有效性 五、C 综合进阶 41 多解、参数与几何信息的综合转化 六、D 中考真题精选 45 近年江苏中考中的真实考法 一、常用形式与方法选择 已知条件 适合的形式 使用提醒 一般点坐标或部⁠分⁠系⁠数 直接代入；已知的系数不再设⁠成⁠未⁠知⁠量 顶点 只剩还需一个不在对称轴上⁠的⁠点⁠确⁠定⁠ 两个不同的零点 只剩需要实零点 同高两点 先利用同高关系；末尾的不能漏 顶点在原点 只剩 对称轴为轴 只确定常数项仍须保留 顶点在轴上 只确定顶点横坐标仍可能未知 图象经过原点 只确定不能擅自删去一次项 表中均要求同一题可能适合多种形式，不必为了套某种形式绕远路。例如已知由平移而来，若已定且给了轴交点，一般式也可能更简便。遇到几何或实际条件，先把条件变成坐标、长度或数量关系，再选式。 三种常用形式表示同一条抛物线 从一般式配方，可得到所以顶点横坐标纵坐标先提出再补、减同一个平方项，不能漏乘 当有两个实根时，可以写成交点式。若两个零点不同；若两个根相同，抛物线只与轴有一个公共点；若不能在实数范围内写成含实数零点的交点式。 简短示范：一般式看出与轴交于顶点式看出顶点交点式看出零点这三种写法不是三条不同的曲线。 二、知识详解与典例变式 一、一般式求表达式 当已知普通点的坐标，而没有明显的顶点、零点或同高关系时，可设其中把每个已知点的横、纵坐标同时代入，得到关于的等式，再用代入或加减消元求解。若已知或只设其余未知量，不必把已知量重新设成未知数。 三个横坐标互不相同的点能确定唯一的二次或一次（也可能常值）表达式；只有解出的才是所求二次函数。若有四条或更多数据，求出表达式后必须逐条回验。优先使用或横坐标互为相反数的数据，通常能减少计算。选式不是为了形式整齐，而是为了少设未知量、少列方程。 简短示范：已知且经过直接写由得所以 例1、某二次函数的图象经过求该二次函数的表达式。 变式1-1、已知二次函数的图象经过求它的表达式。 变式1-2、某记录表中，当依次取时，依次为（同时满足这四条记录的二次函数共有______个；（若只允许改动对应的记录，求改正后的该条记录。 变式1-3、某二次函数在时的函数值为从变为函数值增加从变为函数值增加求它的表达式。 二、顶点式求表达式 已知顶点时，设只需再用一个横坐标不等于的点确定若该点恰是顶点，条件重复；若横坐标等于而纵坐标不等于条件矛盾。 仅知对称轴时，仍有两个未知量，通常再用两个到轴距离不同的点确定它们。若只知全体实数范围内的最小值为则顶点纵坐标为但尚未知；最大值则对应两个点有时会给出两个不同的顶点位置，必须保留全部可行结果。区间上的最值不一定在顶点取得，不能直接当成 简短示范：已知顶点为先写两个顶点坐标已经进入式子，只需再由一个不在对称轴上的点求 例2、某抛物线的顶点为并经过求它的表达式。 变式2-1、某二次函数的对称轴为直线其图象经过求它的表达式。 变式2-2、某二次函数在全体实数范围内的最小值为图象经过求⁠它⁠的⁠表⁠达⁠式⁠。 变式2-3、某二次函数在全体实数范围内的最小值为图象经过求所有符合条件的表达式。 三、交点式求表达式 若抛物线与轴有两个不同交点可设再用一个不在这两个零点处的点求两个零点确定位置，但不确定开口方向和宽窄。 在实数范围内，这一形式要求二次方程有实根。与轴只有一个公共点时，两个根重合为可写成只知道经过一个轴点，不能据此认定是重根。若已知一个零点和对称轴，先用两零点关于轴对称求出另一零点。回检时除核对点坐标外，还要检查以及“一个/两个公共点”是否确实满足。 简短示范：已知两个实零点为先写仅把这两个零点代回都得到所以还要有一个新条件才能确定 例3、某抛物线与轴交于并经过求它的表达式。 变式3-1、某抛物线的对称轴为与轴的一个交点为并经过求⁠它⁠的⁠表⁠达⁠式⁠。 变式3-2、某抛物线与轴只有一个公共点并经过求它的表达式。 变式3-3、某抛物线与轴的两个交点的横坐标为且抛物线经过求它的表达式。 四、同高点式求表达式 若已知图象经过且两个点到对称轴距离相等，对称轴为把每个点的纵坐标减去这两个点就移到轴上；时是向下平移，时是向上平移个单位，时不移动，所以原式可写成 这也叫对称点式。它与交点式的差别是末尾必须加当时才直接成为交点式。再代入一个横坐标不同于的点即可求若第三点仍是原来某点，只是重复信息；若同一横坐标另给不同高度，条件矛盾。已知轴和一点时，也可先补出它的对称点，再使用这一形式。 从一般式也能解释同高点的对称关系：两点代入后相减，得由于有正是对称轴的位置。 简短示范：经过可以先设共同纵坐标所以这两个同高点不是轴交点，末尾的不能漏。 例4、某抛物线经过求它的表达式。 变式4-1、某二次函数的一组数据为：当分别取时，对应的分别为其中（求的值；（求该二次函数的表达式。 变式4-2、某抛物线的对称轴为经过和求它的表达式。 变式4-3、直线与某抛物线交于两点，线段的中点横坐标为抛物线经过原点。求它的表达式。 五、顶点在原点时求表达式 顶点就是原点时，顶点式中的同时为零，因此可设其中此时图象关于轴对称，经过任意一点且就有 “经过原点”并不等于“顶点在原点”。只有顶点确为原点，或同时知道“对称轴为轴且图象经过原点”，才能删去一次项和常数项。横坐标为零的点不能用来除以若纵坐标也为零则是重复条件，否则矛盾。 简短示范：与都经过原点，但只有前者的顶点在原点。因而“经过原点”不足以删去一次项。 例5、某抛物线的顶点为原点，经过求它的表达式。 变式5-1、某抛物线关于轴对称，且经过原点和求它的表达式。 变式5-2、某二次函数的顶点为原点。当从变为时，函数值增加求它的表达式。 变式5-3、某抛物线的顶点为原点，并经过点（当时，用含的式子表示这条抛物线；（当时，符合条件的抛物线共有______条。 六、对称轴为y轴时求表达式 若对称轴为轴，顶点横坐标因此可设其中这时既是与轴交点的纵坐标，也是顶点纵坐标。通常用两个点确定但必须注意它们横坐标的平⁠方⁠是⁠否⁠相⁠同⁠。 若两个点横坐标互为相反数且同高，两条代入方程实际上相同，不能唯一确定若它们不同高，则与关于轴对称矛盾。已知全局最值时，还要按最小值最大值回验。 简短示范：轴为轴，且经过先得再得所以 例6、某二次函数的图象关于轴对称，经过求它的表达式。 变式6-1、某抛物线的对称轴是轴，与轴交于与轴的一个交点为求⁠它⁠的⁠表⁠达⁠式⁠。 变式6-2、已知某抛物线的对称轴为轴，并经过（写出所有符合条件的表达式；（若还经过求此时的表达式。 变式6-3、某二次函数的对称轴是轴，图象经过（若它在全体实数范围内的最小值为求表达式；（若把“最小值”改成“最大值”，符合条件的二次函数共有_⁠_⁠_⁠_⁠_⁠_⁠个⁠。 七、顶点在x轴上时求表达式 顶点在轴上，只能确定顶点纵坐标应设其中而通常仍未知。图象只在时与轴相交，其余函数值与同号。 若两个不同横坐标的已知点同高，可先由中点求若两点不同高，消元后常出现平方等式，应分别讨论正、负两种关系，不能漏掉一条抛物线。若给了轴上的点，它必须就是顶点。回验时既看点坐标，也看顶点确在轴上。 简短示范：的顶点为确实在轴上，却不在原点。顶点在轴上时，未知的不能擅自设为零。 例7、某抛物线的顶点在轴上，并经过求它的表达式。 变式7-1、某抛物线的顶点在轴上，对称轴为并经过求它的表达式。 变式7-2、某抛物线的顶点在轴上，经过求所有符合条件的表达式。 变式7-3、某抛物线的顶点在轴上，经过和求它的表达式。 八、经过原点时求表达式 二次函数经过原点，代入可得因此可设其中此时仍可能有一次项，原点也不一定是顶点。若另一个零点为还可写成 若又知道对称轴由得于是只剩一个未知系数。含参数的点在特殊参数值时可能与原点或另一个点重合，必须先处理这些情况，再进行约分。最后始终 简短示范：把原点代入得到而对没有增加限制。因此可以先写其中 例8、某抛物线经过原点、求它的表达式。 变式8-1、某抛物线经过原点，对称轴为并经过求它的表达式。 变式8-2、某抛物线经过原点，直线与它的两个交点横坐标分别是和求⁠它⁠的⁠表⁠达⁠式⁠。 变式8-3、已知实数求所有经过原点、的二次函数表达式，并说明哪些值没有符合条件的二次函数。 九、利用平移求表达式 平移不改变抛物线开口方向和宽窄，二次项系数不变。把向右平移向上平移个单位后（，顶点变为新式为向左或向下则相应坐标减去移动量。 已知平移后的式子反求原式时，要把顶点逆向移回。只知由某抛物线平移而来，不一定已知移动量；此时可保留再用点坐标求其余系数。若方向没有限定，横向平移条件可能出现两个结果。口诀要以顶点坐标变化为依据，不能把括号内的符号机械改反。 简短示范：顶点向右平移向上平移后，变为平移不改变因此可先更新顶点，再写出新表达式。 例9、将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度。求所得抛⁠物⁠线⁠的⁠表⁠达⁠式⁠。 变式9-1、将抛物线平移后，所得图象经过求新抛物线的表达式，并写出一种平移方法。 变式9-2、把一条抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到求原抛物线的表达式。 变式9-3、只沿水平方向平移抛物线使所得抛物线经过求所有可能的新表达式，并说明各自的平移方向和距离。 十、利用对称变换求表达式 关于轴对称时，点变为因此表达式整体取相反数；关于轴对称时，点变为因此把原式中的换成关于原点对称时，两坐标都变号，要先把换成再整体取相反数。 用顶点式看更清楚：关于轴，变成且变为关于轴，顶点变为而不变；关于原点，顶点变为且变号。关于任意竖直线对称，可由横坐标的中点关系找新顶点；关于任意点作中心对称，可由两坐标的中点关系找新顶点，且开口反向。不要把“只改顶点、不变”推广到所有对称变换。 简短示范：关于轴对称后，顶点由变成新式为关于轴对称后则为 例10、已知抛物线分别求它关于（轴；（轴；（原点对称后所得抛物线的表达式。 变式10-1、把抛物线关于直线对称。求所得抛物线的表达式。 变式10-2、一条抛物线关于点作中心对称后，得到求⁠原⁠抛⁠物⁠线⁠的⁠表⁠达⁠式⁠。 变式10-3、对抛物线作以下两种变换：（先向上平移个单位长度，再关于轴对称；（先关于轴对称，再向上平移个单位长度。分别求所得抛物线的表达式。 十一、由一次函数的交点与截点恢复坐标 适用条件：题目用两条直线的交点、直线与坐标轴的交点，或已知横坐标的直线上的点描述抛物线上的点。此时给出的是几何位置，还不是可直接代入的完整坐标。 如何选式：先把交点坐标补齐，再依新信息选式。已得两个不同的横轴交点，优先设已得顶点，优先设只有一般的三个点时设不要因为题干有一次函数，就把其斜率当作二次函数的系数。 代入与求解：与轴相交时令与轴相交时令两条直线的公共点同时满足两个一次函数，联立求解。再把所得点代入选定的二次函数形式。 条件为何足够：三个横坐标互不相同的点至多确定一个形如的函数，但若三点共线，解得只能得到一次或常值函数，不能得到二次函数。已知两个不同的零点后，还需要一个不在轴上的点；该点的横坐标不能与两个零点重合。 回验：把坐标分别代回原直线和所得抛物线；检查点名与交点顺序一致。若某个点被称为顶点，还须核对对称轴和顶点纵坐标，而不只是核对该点在曲线上。 通俗总结：先把直线信息转化为点坐标，再挑未知系数最少的形式。直线负责找点，二次函数负责过点。 易错提醒：同一条直线上三个横坐标不同的点，不能同时落在一条真正的抛物线上。 同名交点必须同时满足所涉及的两条图线，不能只代入其中一条。 简短微例：直线与的交点以及它们各自与轴的交点，都在一条抛物线上，求其表达式。 两个轴交点为联立得 设由得故 例11、如图，直线与轴交于点直线与轴交于点两条直线交于点一条抛物线经过三点，求这条抛物线的表达式。 变式11-1、直线与轴、轴分别交于两点。一条抛物线经过两点，对称轴为直线求这条抛物线的表达式。 变式11-2、直线与一条抛物线相交于两点，的横坐标为的横坐标为该抛物线还经过点求其表达式。 变式11-3、如图，直线与直线交于点前一条直线与轴交于点一条抛物线以为顶点，并经过求其表达式。 十二、由长度与面积恢复点的坐标 适用条件：点位于坐标轴上、同一条水平线或竖直线上，题目给出线段长、比例、三角形面积等，而没有直接写出完整坐标。 如何选式：先由位置确定坐标的正负，再把几何量变为坐标。恢复两个轴交点时选两根式；恢复同高两点时可先求对称轴；恢复顶点时选顶点式。若这些特征均无，则用一般式。 代入与求解：横向长度是横坐标之差的绝对值，竖向长度是纵坐标之差的绝对值。以轴上的线段为底时，以轴上的线段为底时，斜线段的长度不能直接当作横坐标之差。 条件为何足够：长度或面积一般只能得到绝对值，可能有两个位置。题目给定象限、上下关系或半轴时才能据此筛选；没有给定就要保留各个合法分支。知道两根后，还要有一个纵坐标非零的点才能确定 回验：核对几何长度、面积和位置条件，并将最终各点代回抛物线。特别检查是否误把面积当作带符号的量，或因图画在上方而擅自删去下方分支。 通俗总结：长度和面积先告诉我们离轴有多远，位置条件再告诉我们坐标取正还是取负。 易错提醒：面积是非负量，只在对应高度时成立。 水平弦两端点的横坐标平均数给出对称轴，但其中任一端点通常都不是顶点。 实际情境中的高度与范围：现实情境中的纵坐标必须先确定参照基准。若以地面为横轴，纵坐标表示距地面高度；若以喷口或顶点为原点，同一点的纵坐标往往需要减去原点离地的高度。最高点比喷口高多少，不等于最高点离地多高。建系不同可以使同一条实际曲线对应不同表达式，但表示的实际位置应一致。实际曲线只是整条抛物线的一部分，还须写明自⁠变⁠量⁠范⁠围⁠。 简短微例：抛物线与轴交于与轴正半轴交于三角形的面积为求抛物线的表达式。 底长为故得即 设由得因此 例12、如图，抛物线与轴交于两点，在轴负半轴上，在轴正半轴上，且抛物线与轴正半轴交于的面积为求抛物线的表达式。 变式12-1、抛物线与轴交于与轴交于且的面积为求所有满足条件的抛物线表达式。 变式12-2、如图，抛物线经过直线与抛物线交于与直线交于在的上方，且求抛物线的表达式。 变式12-3、一条抛物线与直线交于两点，在的右侧，抛物线顶点的纵坐标为求其表达式。 十三、由特殊三角形的性质恢复坐标 适用条件：与抛物线有关的点构成直角、等腰直角或等边三角形，且部分顶点的坐标、所在轴或象限已知。特殊图形的条件提供隐藏的等长、垂直或高度关系。 如何选式：先明确特殊角在谁处、哪两条边相等，再恢复点的坐标。若两个轴交点已知，优先两根式；若三角形顶点同时是抛物线顶点，选顶点式；一般位置的三个点则用一般式。 代入与求解：直角三角形用勾股定理；等边三角形可作高化成两个直角三角形，高为边长的倍；等腰直角三角形若斜边不平行于坐标轴，可用两点距离公式和勾股关系，或通过与坐标轴平行的辅助线形成全等三角形。 条件为何足够：几何条件可能产生轴的上、下两侧或线段的两侧两个位置。必须把所有代数解与象限、角的位置，以及各点是否互不重合、能否组成三角形逐一核对。若三点中有两点横坐标相同而纵坐标不同，则不可能同在函数图像上。 回验：先检验几何关系，再检验函数关系。仅核对三点在抛物线上还不够；必须同时核对直角确实在题定顶点、等边或等腰关系成立、 通俗总结：特殊三角形不是另背一套求式公式，而是先用熟悉的几何性质找出缺少的坐标。 易错提醒：“以为斜边”与“直角在处”不能混用。 旋转或勾股得到两个位置时，不能只按图形顺眼选一个；必须用题干位置条件筛选。 简短微例：在轴正半轴上，且抛物线经过求抛物线的表达式。 设由得故 设由得因此 例13、如图，抛物线与轴交于与轴正半轴交于且求抛物线的表达式。 变式13-1、如图，点在轴上方，为等边三角形。一条抛物线以为顶点，并经过求其表达式。 变式13-2、如图，点在轴上，为等腰直角三角形，且一条抛物线经过原点及两点，求其表达式。 变式13-3、点在第一象限，是以为斜边的等腰直角三角形。一条抛物线经过三点，求其表达式。 十四、由动点的位置条件先定坐标再求表达式 适用条件：动点沿已知线段或射线运动，给出起点、方向、速度、共同运动时间，以及某一时刻的长度、面积、平行或中点条件。 如何选式：先用时间表示各点坐标，再由题给位置关系求坐标确定后，两个零点用两根式，同高两点可求对称轴，一般三点用一般式。不要一上来把和全部混在一个大方程组中。 代入与求解：横向运动只改变横坐标，竖向运动只改变纵坐标；离起点的路程为速度×时间。写完坐标立即写出运动范围，再列几何关系。若涉及这类距离，应按点的先后位置写绝对值或分类。 条件为何足够：运动关系得到的每一个时间根都要与停止时间、端点是否允许重合、点所在象限核对。若保留两个时刻，可能得到两条抛物线，不能擅自只取较小的根。最终还要排除同一横坐标对应两个不同纵坐标的情况，以及不再是二次函数的情况。 回验：先将时间代回路程、位置关系和范围，再将点代回所得函数。运动范围的开闭端点属于原题条件，不能因为代数式有定义就随意补上。 通俗总结：动点题先把“动了多久”算清楚，再把“现在在哪里”变成静态三点求式。 易错提醒：从向运动时，横坐标一般是起点横坐标减去路程，不一定等于路程。 同速不等于同坐标；要看起点、方向和所在边。 简短微例：同时从原点出发，分别沿轴、轴正方向以每秒个单位的速度运动。当时，一条抛物线经过及求其表达式。 设运动时间为秒，则得因此 设代入得故 例14、如图，在平面直角坐标系中，点从出发沿线段以每秒个单位的速度运动，点同时从出发沿线段以每秒个单位的速度运动，且两点均不与各自所在边的端点重合。在的面积为的时刻，一条抛物线经过三点，求该抛物线的表达式。 变式14-1、如图，矩形中，从出发沿以每秒个单位的速度运动，同时从出发沿以每秒个单位的速度运动，两点均在边的内部。某时刻，线段的中点位于直线上。一条抛物线经过此时的以及点求其表达式。 变式14-2、点同时从原点出发，分别沿轴、轴正方向以每秒个单位、每秒个单位的速度运动。在且运动时间大于的时刻，一条抛物线经过及此时的求所有可能的抛物线表达式。 变式14-3、如图，矩形中，点从出发沿以每秒个单位的速度运动，点同时从出发沿以每秒个单位的速度运动，两点均在边的内部。当时，一条抛物线经过及此时的求其表达式。 十五、由实际数量关系直接列出二次函数 适用条件：题目直接给出周长或材料总量、道路宽度、单价与销量变化、损耗与费用等数量关系。目标量是两个一次式的积，或这样的积再减去成本，因而不必先找三个点。 如何选式：先说明自变量和函数值的实际意义，再写出每个相关量与自变量的关系。面积可用长×宽或总面积−占用面积；收入为单价×销量；利润为收入−全部成本。保留乘积结构通常比一开始就设更清楚。 代入与求解：先列未展开的实际关系式，再展开成每一项都要有实际来源：多段围栏分别计数，交叉道路的交叠部分不能重复扣除，原始进货成本不能按售出数量重新计算。 条件为何足够：所有影响数量已经由唯一确定，且口径明确时，函数才能确定。还须交代的范围和是否为整数。若展开后二次项系数为则本题模型不是二次函数；不能为符合题型而保留错误的平方项。 回验：检查单位、非负性、容量或边界限制，选择一个范围内的简单值，分别按实际关系和所得表达式计算，应完全一致。二次式作为代数式可对所有实数计算，但实际模型只能在题定范围内使用。 通俗总结：实际题先问“总量由哪几部分组成”，把数量关系列对，二次式往往自然出现。 易错提醒：利润不是售价乘销量，而是收入扣除题目规定的全部成本。 有重叠部分的面积应只扣一次。 范围中的整数要求、开闭端点和容量约束都属于答案。 简短微例：用围栏靠墙围成一个矩形，靠墙一边不用围栏。设垂直于墙的一边长为面积为写出关系式。 另一个方向的长度为故 两边均须为正，所以这里 例15、如图，学校计划利用一段长的直墙作为一边，用总长的围栏围成一个矩形活动区，并用两道与墙垂直的围栏把活动区分成三个并排、等宽的小区。靠墙的一边不用围栏，其余围栏均计入不计围栏厚度。设垂直于墙的一边长为整个活动区的面积为求与的函数表达式，并写出的取值范围。 变式15-1、如图，一块长宽的矩形绿地内，修建两条互相垂直、宽度均为的直道路，一条贯穿长边方向，另一条贯穿宽边方向，两道路交叉且均不与绿地边界重合。设剩余绿地面积为求与的函数表达式，并写出的取值范围。 变式15-2、一批水果共购进单价为每千克元。商家计划保存天后将剩余可销售水果一次售完，为非负整数。保存期间，每天损耗每天支付保存费元；出售时每千克售价为元。假定剩余可销售水果必须大于且无其他费用。设这批水果销售后的总利润为元，求与的函数表达式及的取值范围。 变式15-3、某剧场共有个座位。某场演出的票价为元时，预计售票张；在规定范围内，每降低元票价，预计多售出张票。每位观众的服务成本为元，另有固定场地费元，无其他收入和成本。设票价降低元，为非负整数，并要求预计售票数不超过座位数。设该场预计利润为元，求与的函数表达式及的取值范围。 十六、检查条件是否足够并回验结果 求式前要分清三件事：条件是否相互矛盾，是否真正提供新信息，最后是否仍是二次函数。一个点给出一个代入等式，但同一个点重复出现并不增加条件；对称轴与一对关于该轴对称的点也可能重复。若同一横坐标对应两个不同函数值，则直接矛盾。 即使三个点横坐标不同，算出的仍可能是零，此时只能得到一次或常值函数，不存在符合条件的二次函数。含参数时，先处理除数可能为零的分支，不能约掉后再补猜。数据比确定表达式所需的条件多时，多出的数据用于回验；若发现冲突而题目没有指定哪一条可错，不能擅自认定最后一条出错。结论可以是唯一一个、多个、无穷多个或不存在，必⁠须⁠由⁠条⁠件⁠证⁠明⁠。 简短示范：要求同时经过和无需列三元方程组，就能判断不存在这样的函数，因为同一个不能有两个不同的 例16、某抛物线的对称轴为并经过（写出全部符合条件的表达式；（若还经过求此时的表达式。 变式16-1、一条抛物线的对称轴为并经过（符合这些条件的抛物线共有______条；（仅将对称轴改为另一条与轴平行的直线，写出一个满足修改后条件的二次函数表达式及其对称轴。 变式16-2、经过三个点的二次函数共有______个。 变式16-3、一张记录表中，当时，对应的分别为已知恰有一个值抄错，其余三个值来自同一个二次函数。求所有可能的正确表达式及相应改值。 三、A 基础通关 1、以下均讨论二次函数，且下列根据条件所作的设式，正确的是（　　）。 A．轴为时，可设 B．经过原点时，可设 C．顶点为时，可设 D．经过时，可设 2、二次函数的顶点式为________，交点式为________；当时，函数值为________。 3、已知的图象经过则________；把该式展开后，一次项系数为________，常数项为________。 4、下列与表示同一条抛物线的是（　　）。 A． B． C． D． 5、某二次函数在和时的函数值都为在全体实数范围内的最小值为求它在时的函数值。 6、二次函数满足且图象经过求它的表达式。 7、如图，矩形的顶点在原点，在轴正半轴上，在轴正半轴上。矩形的周长为比长一条抛物线经过两点，对称轴为直线求其表达式。 8、直线与轴、轴分别交于两点，为线段的中点。一条抛物线经过原点及两点，求其表达式。 9、一座拱门的截面近似抛物线，两脚在同一水平地面上，间距为米，拱顶距地面米。以左脚为原点，沿地面向右为轴，竖直向上为轴，求拱门所在抛物线的表达式，并写出拱门实际部分对应的的取值范围；（改以两脚之间地面线段的中点为原点，坐标轴方向不变，求新坐标系中的表达式及相应范围。 （1）以左脚为原点。 （2）以地面中点为原点。 四、B 难点突破 10、能够唯一确定一个二次函数的一组条件是（　　）。 A．顶点为并经过 B．轴为经过 C．零点为并经过原点 D．经过 11、把抛物线先关于轴对称，再向下平移个单位长度，所得图象与轴交于原抛物线的表达式为________。 12、某二次函数的对称轴为当时在范围内，函数的最小值为求它的表达式。 13、对于某二次函数，把和对应的函数值相加，总得到已知其图象经过该二次函数的表达式为________。 14、某二次函数满足：对任意实数自变量从增加到时，函数值的变化量（后值减前值）都为且当时求表达式。 15、抛物线及其关于原点对称后所得的图象，都经过求⁠原⁠抛⁠物⁠线⁠的⁠表⁠达⁠式⁠。 16、如图，在等腰梯形中，点位于轴上方，在左侧，梯形的高为一条抛物线经过三点，求其表达式。 17、如图，平行四边形中，在第一象限，且在直线上，两条对角线交于一条抛物线经过三点，求其表达式。 18、一股水流从距水平地面米的喷口向右上方喷出，运动轨迹近似抛物线。在距离喷口水平距离分别为米和米的位置，测得水流距地面的高度都为米。以喷口正下方的地面点为原点，水平方向向右为轴，竖直向上为轴。（求水流轨迹的表达式，并写出从喷口到首次落地这段水流对应的的取值范围；（求水流最高点距地面的高度。 五、C 综合进阶 19、一条抛物线与直线交于并要求它与轴有两个不同的交点。设这两个交点之间的距离为分别在三种情形下，求所有符合条件的抛物线表达式。 20、某抛物线经过且顶点在直线上。求所有符合条件的表达式。 21、将一条抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度。若原图象与新图象都经过则满足上述条件的抛物线共有______条。 22、某函数拟写成并满足时的函数值依次为（求（求使它成为二次函数的的取值范围，并写出相应图象的开口方向；（求其中对称轴是轴的二次函数表达式。 23、某二次函数在与时的函数值均为并且对所有实数都有（求所有符合条件的表达式及其中参数的取值范围；（若图象与轴恰有一个公共点，求⁠表⁠达⁠式⁠。 24、把某抛物线先关于轴对称，再向右平移个单位长度，所得图象与原图象重合。原图象经过求它的表达式。 25、如图，正方形的顶点为边所在直线为在第一象限，与均在直线的上方。一条抛物线经过三点，求其表达式。 26、为直线上位于轴上方的点，过作垂直于轴，垂足为且一条抛物线经过三点，求所有满足条件的抛物线表达式。 27、一座抛物线形花架的两脚在同一水平地面上，拱顶距地面米。在距左脚水平米处，花架距地面的高度为米。两脚间距记为米，其中以左脚为原点，地面向右为轴，竖直向上为轴。（用含的式子表示花架所在抛物线，并写出花架实际部分对应的的取值范围；（求所有可能的值及相应的表达式。 图中标出了左脚及测量点。 六、D 中考真题精选 28、（2023年江苏省徐州市中考第7题 全题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　） A. 　B. 　C. 　D. 29、（2023年江苏省扬州市中考第28题 (1)① 节选整理）在平面直角坐标系中，四个点中恰有三个点在二次函数（为常数，且的图象上。 ①______。 30、（2023年江苏省无锡市中考第28题 (1)）已知二次函数的图象与轴交于点且经过点和点 请直接写出的值。 31、（2024年江苏省南京市中考第25题 (1)(2)）已知二次函数的图象经过点它的顶点在函数的图象上。 当取最小值时，______。 用含的代数式表示 32、（2023年江苏省盐城市中考第26题 (1)(2)）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数。 【初步理解】 现有以下两个函数：①②其中，______为函数的轴⁠点⁠函⁠数⁠。⁠（⁠填⁠序⁠号⁠） 【尝试应用】 函数（为常数，的图象与轴交于点其轴点函数与轴的另一交点为点若求的值。 33、（2023年江苏省连云港市中考第26题 (1)(2)）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为直线过点（，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）。将抛物线沿直线翻折得到抛物线抛物线交轴于点顶点为 当时，求点的坐标； 连接若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式。 34、（2024年江苏省苏州市中考第27题 (1)(3) 节选整理）二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点 求图象对应的函数表达式； 如图，分别为二次函数图象的顶点，连接过点作交图象于另一点连接当时，求图象对应的函数表达式。 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $