6.2 二次函数的图像与性质 专题讲义 ——2026—2027学年苏科版九年级下册数学

二次函数的图像与性质 2⁠0⁠2⁠6—2⁠0⁠2⁠7学年九年级下册数学专题讲义（苏科版） 内容导航 板块 内容 起始页 题型一 二次函数的表达式与图像 2 题型二 由已知条件求二次函数表达式 4 题型三 对称性与函数值的比较 7 题型四 由图像判断系数及代数式的符号 9 题型五 抛物线的平移 1⁠1 题型六 图像交点与函数值的取值范围 1⁠3 题型七 自变量在给定范围内的最值 1⁠5 题型八 含参数的最值问题 1⁠6 A组 基础达标 1⁠9 B组 综合进阶 2⁠0 C组 挑战突破 2⁠3 姓名： ________ 班级： ________ 一 题型精讲 题型一 二次函数的表达式与图像 知识要点：形如、b、c为常数，的函数叫作二次函数。自变量x可以取任意实数；实际问题或题目另有限制时，应按给定范围讨论。 一般式为；顶点式为，其中，。对称轴是直线，顶点为（h，k）。当方程有两个实数根、时，还可写成，允许。 时开口向上，在时y随x增大而减小，在时y随x增大而增大，最小值为k；时开口向下，在时y随x增大而增大，在时y随x增大而减小，最大值为k。不能跨过对称轴直接套用一侧的增减性。 同一坐标系中，顶点相同且开口方向相同的抛物线，|a|越大，开口越窄。画图时先定顶点、对称轴及与坐标轴的交点，再在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。图上截取的一段不表示函数只在这一段有意义。 图像经过哪些象限，要结合顶点、与坐标轴交点和各段函数值的正负判断，不能只看a的正负。坐标轴上的点不属于任何象限。 比较项目 开口方向 向上 向下 对称轴左侧 y随x增大而减小 y随x增大而增大 对称轴右侧 y随x增大而增大 y随x增大而减小 最值 时，最小值为k 时，最大值为k 典例1 已知二次函数。（1）⁠把表达式化成顶点式，写出对称轴、顶点坐标及增减情况；（2）⁠求图像与坐标轴的交点坐标，并画出函数图像；（3）⁠写出图像经过的象限。 解：。对称轴为直线，顶点为（2，。 因为，所以当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大。 （2）令，得，所以或4。图像与x轴交于（0，0）、（4，0），与y轴的交点也是（0，0）。 取顶点及两组对称点：（0，0）、（1，、（2，、（3，、（4，0），描点并用平滑曲线连接，图像如下。 时，图像在第二象限；时，在第四象限；时，在第一象限。因此经过第一、第二、第四象限。 变式1⁠.⁠1 已知二次函数。求其顶点坐标、最大值，并写出y随x增大而减小的自变量取值范围。 变式1⁠.⁠2 抛物线经过点，6）。（1）⁠求a的值；（2）⁠在同一坐标系中，它与抛物线相比，哪一条的开口较宽？ 题型二 由已知条件求二次函数表达式 知识要点：已知顶点坐标，优先设顶点式；已知与x轴两个交点的横坐标，优先设交点式；已知三个一般点，可设一般式，代入求系数。求出的二次项系数必须不为0。 同一抛物线上两个不同点的纵坐标相等时，这两点关于对称轴对称，其横坐标的平均数就是对称轴对应的x值。表格中相等的函数值也可提供对称信息。 典例2 抛物线的顶点为A（1，，经过点B（3，4）。求该抛物线的表达式，并求它与y轴交点的坐标。 解：由顶点A（1，，设。 代入B（3，4），得，所以。 因此。 当时，，所以图像与y轴交于（0，。 变式2⁠.⁠1 抛物线与x轴交于，0）、B（4，0），与y轴交于C（0，。求其表达式和顶点坐标。 变式2⁠.⁠2 二次函数的部分对应值如下表。求这个函数的表达式，并写出当时的函数值。 x 0 1 2 y 7 2 题型三 对称性与函数值的比较 知识要点：对抛物线，横坐标为x的点关于对称轴的对称点横坐标是。两点到对称轴的水平距离相等时，函数值相等。 时，点到对称轴的水平距离越大，函数值越大；时相反。两点在对称轴同侧时可用增减性，分处两侧时应比较到对称轴的距离。 设，则。含字母的比较题，可根据各因式的符号判断差的正负。 典例3 点，、B（0，、C（3，都在抛物线上。将、、按从小到大的顺序排列。 示意图：比较三点到对称轴的水平距离。 解：对称轴为直线。A、B、C到对称轴的水平距离分别为4、1、2。 因为，距离对称轴越远，函数值越小。 由，得。 变式3⁠.⁠1 抛物线经过，5）、Q（4，5）、R（0，。求对称轴，并求这条抛物线上纵坐标为的所有点的坐标。 变式3⁠.⁠2 点，、，在抛物线上，且，。比较与的大小，并说明理由。 题型四 由图像判断系数及代数式的符号 知识要点：在中，a决定开口方向，c是图像与y轴交点的纵坐标。结合对称轴，可以判断b的符号。 、、分别是、、2时的函数值。判断这些式子的符号，应找对应横坐标处的图像是在x轴上方、下方还是恰好在x轴上。 令，得到。判别式Δ、、时，抛物线与x轴分别有两个、一个、没有公共点。 典例4 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于，0）及B，且开口向下。判断下列结论是否正确：①；②；③；④；⑤。 解：开口向下，得。对称轴，所以，得。①正确，④正确。 点A的横坐标为，由对称性可得B的横坐标为5。位于与5之间，图像在x轴上方，所以。②错误。 把，0）代入，得。③正确。 图像与x轴有两个不同交点，所以。⑤正确。 因此正确的是①③④⑤。 变式4⁠.⁠1 如图，抛物线开口向上，对称轴为直线，与x轴交于，0）、B（1，0）。下列结论中，正确的是（      ）。 A． B． C． D． 变式4⁠.⁠2 二次函数的对称轴为直线，图像经过（0，2）和（3，5）。求的值，并判断图像是否经过第三象限。 题型五 抛物线的平移 知识要点：平移不改变抛物线的开口方向和形状，即二次项系数a不变。先把表达式化成顶点式，再平移顶点，通常比直接展开运算更清楚。 将的图像向右平移p个单位、向上平移q个单位，得到；向左或向下平移时，对应坐标减少。 平移后的图像经过某点，应把该点坐标代入新表达式；只知道经过一个点时，可能有不止一种平移方式。 典例5 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位。（1）⁠求平移后抛物线的表达式；（2）⁠写出平移前后顶点的坐标。 解：（1）原函数，顶点为，。 向右平移3个单位、向上平移2个单位后，顶点变为（2，，二次项系数仍为2。 因此平移后的函数为，即。 （2）平移前顶点A为，，平移后顶点B为（2，。 变式5⁠.⁠1 将抛物线向左平移m个单位，再向下平移n个单位，，所得抛物线的顶点为，。求m、n的值及平移后的表达式。 变式5⁠.⁠2 将抛物线沿水平方向平移，使平移后的图像经过原点。求所有符合条件的平移方式及对应的函数表达式。 题型六 图像交点与函数值的取值范围 知识要点：抛物线与直线的交点坐标同时满足两个函数表达式。比较两条图像的上下位置，可以转化为相同x对应的函数值大小。 抛物线与水平直线的交点个数，取决于m与顶点纵坐标的关系；若x另有限制，还必须检查交点的横坐标是否在允许范围内。 用图像解不等式时，先找相等时的分界点，再根据图像的上下位置写出范围。“大于”不含分界点，“大于或等于”包含分界点。 典例6 已知二次函数。（1）⁠求图像与x轴的交点坐标；（2）⁠当时，求x的取值范围；（3）⁠当时，求x的取值范围。 解：（1）令，得，所以交点为，0）、（3，0）。 （2）抛物线开口向下，当x在两个交点的横坐标之间时，图像在x轴上方，故时，。 （3）令，得，所以与直线的交点横坐标为0、2。 在这两个横坐标之间（含端点），抛物线在直线上方或与之相交，故。 变式6⁠.⁠1 如图，抛物线与直线交于A、B两点。（1）⁠求A、B的坐标；（2）⁠当抛物线在直线下方时，求x的取值范围。 变式6⁠.⁠2 抛物线与直线只有一个公共点。求m的值及这个公共点的坐标。 题型七 自变量在给定范围内的最值 知识要点：自变量限定在一个闭区间内时，不能直接把顶点的纵坐标当作最值；要先看顶点的横坐标是否在该区间内。 对，在区间内寻找离h最近、最远的x。时，最近处取得最小值，最远处取得最大值；时相反。 顶点在区间内时，要比较两端点的函数值；顶点在区间外时，利用该区间上的增减性比较两个端点。端点可以取到时，应写清取得最值时的x值。 典例7 当时，求二次函数的最大值、最小值，以及分别取得这些值时的x值。 解：。因为，顶点在给定范围内，所以时取得最小值。 当时，；当时，。 图像开口向上，在给定范围内离对称轴最远的端点为，因此最大值为5，在时取得。 变式7⁠.⁠1 当时，求二次函数的最大值和最小值。 变式7⁠.⁠2 二次函数在时的最小值为。求m的值及这个范围内的最大值。 题型八 含参数的最值问题 知识要点：对称轴或自变量范围中含参数时，先比较对称轴与区间两端的位置，再分类讨论。分类应包括边界，不能出现重复或遗漏。 求最大值与最小值的差时，常数项会相消，但两种最值分别在哪个x处取得，仍需先确定。 先根据各类情况列出参数方程或不等式，再把所得参数代回本类条件；不符合所在类别的值应舍去。 典例8 已知二次函数。当时，该函数的最小值为2，求m的值。 解：对称轴为直线。按它与区间的位置关系分类。 ①当时，图像在该区间上随x增大而增大，最小值在时取得。由，得±1；结合，取。 ②当时，顶点在区间内，最小值为1，不符合最小值为2的条件。 ③当时，图像在该区间上随x增大而减小，最小值在时取得。由，得或3；结合，取。 综上，或3。 对称轴在区间左侧 以为例；虚线表示区间外图像 对称轴在区间内部 以为例；虚线表示区间外图像 对称轴在区间右侧，以为例；虚线表示区间外图像 变式8⁠.⁠1 二次函数在时的最大值与最小值之差为5，求t的值。 变式8⁠.⁠2 二次函数在时的最小值为，求m的值。 二 综合训练 【A组·基础达标】 A1 下列函数中，是二次函数的是（      ）。 A． B． C． D． A2 抛物线的对称轴是 ________ ，最大值是 ________ 。 A3 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的表达式是 ________ 。 A4 点，、B（2，在抛物线上，则 ________ 填“”“”或“”）。 【B组·综合进阶】 B1 已知抛物线经过，2）、（1，、（3，2）。（1）⁠求表达式；（2）⁠求图像与x轴的交点坐标；（3）⁠写出函数值为负数时x的取值范围。 B2 如图，开口向下的抛物线与x轴交于，0）、B（6，0），与y轴交于C。过C作平行于x轴的直线，与抛物线交于另一点D。（1）⁠求点D的横坐标；（2）⁠若，求该抛物线的表达式。 B3 二次函数在时的最大值为7。（1）⁠求c的值；（2）⁠求这个范围内的最小值；（3）⁠在同一范围内，求时x的取值范围。 B4 已知二次函数，当时，y随x增大而增大。求m的取值范围。 【C组·挑战突破】 C1 抛物线沿y轴向上平移n个单位。（1）⁠若平移后的抛物线与x轴只有一个公共点，求n；（2）⁠若平移后的抛物线在时的最大值与最小值之和为2，求n。 C2 已知二次函数。当时，函数的最小值为0，最大值为，求t的值。 C3 已知二次函数，其中。若直线与这段函数图像恰有一个公共点，求m的取值范围。 C4 二次函数。（1）⁠求顶点坐标；（2）⁠当时，函数的最大值为4，求m的值。 第 1 页 共 2⁠5 页 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数的图像与性质 2026一2027学年九年级下册数学专题讲义（苏科版） 内容导航 板块 内容 起始页 题型一 二次函数的表达式与图像 2 题型二 由已知条件求二次函数表达式 ￥ 题型三 对称性与函数值的比较 7 题型四 由图像判断系数及代数式的符号 9 题型五 抛物线的平移 11 题型六 图像交点与函数值的取值范围 13 题型七 自变量在给定范围内的最值 15 题型八 含参数的最值问题 16 A组 基础达标 19 B组 综合进阶 20 C组 挑战突破 23 姓名： 班级： 第1页共25页 题型精讲 题型一二次函数的表达式与图像 知识要点：形如y=ax+br+c(a、b、c为常数，a≠0)的函数叫作二次函数。 自变量×可以取任意实数；实际问题或题目另有限制时，应按给定范围讨论。 极武为y=8X+bx+C:顶点武为y=ax-+k,其中五=二2 k=(4ac-b2) 4a。对称轴是直线x=五，顶点为(h,。当方程 ax2+bx+c=0有两个实数根x1、x2时，还可写成y=a(x-x1)(x-x2),允 许X1=X20 a>0时开口向上，在x≤h时y随x增大而减小，在x≥h时y随x增大而增大， 最小值为k;a<0时开口向下，在x≤h时y随x增大而增大，在x≥h时y随x 增大而减小，最大值为K。不能跨过对称轴直接套用一侧的增减性。 同一坐标系中，顶点相同且开口方向相同的抛物线，Iα越大，开口越窄。画▣图 时先定顶点、对称轴及与坐标轴的交点，再在对称轴两侧取对称点，用平滑曲 线连接。图上截取的一段不表示函数只在这一段有意义。 图像经过哪些象限，要结合顶点、与坐标轴交点和各段函数值的正负判断，不 能只看ā的正负。坐标轴上的点不属于任何象限。 比较项目 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴左侧(x≤五) y随x增大而减小 y随x增大而增大 对称轴右侧(x≥五 y随x增大而增大 y随x增大而减小 最值 x=h时，最小值为k x=h时，最大值为k 典侧1已知二次函数y=号x2-2x。 (1)把表达式化成顶点式，写出对称轴、 顶点坐标及增减情况；(2)求图像与坐标轴的交点坐标，并画出函数图像； (3)写出图像经过的象限。 解：(1)y=2x2-4x)=号x-22-2。对称轴为直线x=2,顶点为亿， -2)。 第2页共25页 因为a=>0,所以当x≤2时，y随×增大而减小：当x≥2时，y随×增大而 增大。 (2)令y=0,得7xx-4)-0,所以x=0或4。图像与×轴交于0,0)、 (4,0),与y轴的交点也是(0,0）。 取顶点及两组对称点：(00)、1，-多、2，-2、g,-多、4， 0)，描点并用平滑曲线连接，图像如下。 (3)x<0时>0，图像在第二象限；0<X<4时y<0,在第四象限；x>4时 y>0,在第一象限。因此经过第一、第二、第四象限。 y 3 2 1 0 A >X 1 2 3 45 1 -2 第3页共25页 变式1.1已知二次函数y=-2x2-4x+6。求其顶点坐标、最大值，并写出y 随x增大而减小的自变量取值范围。 变式1.2抛物线y=ax经过点(-2,6)。(1)求a的值；(2）在同一坐标 系中，它与抛物线y=3x相比，哪一条的开口较宽？ 题型二由已知条件求二次函数表达式 知识要点：已知顶点坐标，优先设顶点式；已知与×轴两个交点的横坐标，优 先设交点式；已知三个一般点，可设一般式，代入求系数。求出的二次项系数 必须不为0。 同一抛物线上两个不同点的纵坐标相等时，这两点关于对称轴对称，其横坐标 的平均数就是对称轴对应的×值。表格中相等的函数值也可提供对称信息。 第4页共25页 典例2抛物线的顶点为A(1,一4)，经过点B(3,4)。求该抛物线的表达式， 并求它与y轴交点的坐标。 B 0 →X 解：由顶点A(（1,-4,设y=a(x-1)2-4。 代入B(3,4),得4=4a-4,所以a=2。 因此y=2(x-12-4=2x2-4x-2。 当x=0时，y=一2，所以图像与y轴交于(0，一2)。 第5页共25页 变式2.1抛物线与×轴交于A(-2,0)、B(4,0),与y轴交于C(0,-8)。 求其表达式和顶点坐标。 A 0 B X 第6页共25页 变式2.2二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表。求这个函数的表达式， 并写出当x=4时的函数值。 -1 0 2 2 -1 -2 题型三对称性与函数值的比较 知识要点：对抛物线y=ax一h)2+k,横坐标为x的点关于对称轴的对称点横 坐标是2五一x。两点到对称轴的水平距离相等时，函数值相等。 a>0时，点到对称轴的水平距离越大，函数值越大；a<0时相反。两点在对称 轴同侧时可用增减性，分处两侧时应比较到对称轴的距离。 设X1<X2,则y2一y1=a(x2-X1)(X1+X2-2h)。含字母的比较题，可根据 各因式的符号判断差的正负。 第7页共25页 典例3点A(-3,y1人、B(0,y2人、C(3,y3都在抛物线 y=a(x-12+k(a<0)上。将y1、y2、y3按从小到大的顺序排列。 y B A 0 示意图：比较三点到对称轴的水平距离。 解：对称轴为直线x=1。A、B、C到对称轴的水平距离分别为4、1、2。 因为a<0,距离对称轴越远，函数值越小。 由4>2>1，得y1<y3<y2。 变式3.1抛物线经过P(-2,5)、Q(4,5)、R(0,-3)。求对称轴，并求 这条抛物线上纵坐标为一3的所有点的坐标。 第8页共25页 变式3.2点A(x1,y1人、B(x2,y2)在抛物线y=x2-4X+1上，且X1<X2, x1+X2>4。比较y1与y2的大小，并说明理由。 题型四由图像判断系数及代数式的符号 知识要点：在y=ax+bx+c中，a决定开口方向，c是图像与y轴交点的纵坐 b 标。结合对称轴=一2日，可以判断b的符号。 a+b+c、a-b+c、4a+2b+c分别是x=1、-1、2时的函数值。判断这些 式子的符号，应找对应横坐标处的图像是在×轴上方、下方还是恰好在×轴上。 令y=0,得到ax2+bx+c=0。判别式△=b2-4ac>0、=0、<0时，抛物线 与x轴分别有两个、一个、没有公共点。 第9页共25页 典例4如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,与×轴交于A(一1， 0）及B,且开口向下。判断下列结论是否正确：①b>0;②c<0;③ a-b+c=0;④4a+b=0;⑤b2-4ac>0。 →X 2 解：开口向下，得a<0。对称轴x=2,所以二222，得力=-4a>0。①正 确，④正确。 点A的横坐标为一1，由对称性可得B的横坐标为5。x=0位于一1与5之间， 图像在×轴上方，所以C>0。②错误。 把A(-1,0)代入，得a-b+C=0。③正确。 图像与×轴有两个不同交点，所以b2-4ac>0。⑤正确。 因此正确的是①③④⑤。 第10页共25页 变式4.1如图，抛物线y=ax2+bx+c开口向上，对称轴为直线x=一1，与× 轴交于A(一3,0)、B(1,0)。下列结论中，正确的是（)。 A.abc>0 B.2a-b=0 C.a-b+cx0 D.b2-4ac<0 A O B 变式4.2二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,图像经过(0,2)和 (3,5)。求a+b+c的值，并判断图像是否经过第三象限。 题型五抛物线的平移 知识要点：平移不改变抛物线的开口方向和形状，即二次项系数ā不变。先把 表达式化成顶点式，再平移顶点，通常比直接展开运算更清楚。 第11页共25页 将y=ax一h2+k的图像向右平移p个单位、向上平移q个单位，得到 y=a[x-(h+p)]2+k+q;向左或向下平移时，对应坐标减少。 平移后的图像经过某点，应把该点坐标代入新表达式；只知道经过一个点时， 可能有不止一种平移方式。 典例5将抛物线y=2x2+4x-1先向右平移3个单位，再向上平移2个单位。 (1)求平移后抛物线的表达式；(2)写出平移前后顶点的坐标。 解：(1)原函数y=2(x+12-3,顶点为(-1，-3)。 向右平移3个单位、向上平移2个单位后，顶点变为(2，一1)，二次项系数仍 为2。 因此平移后的函数为y=2(x-22-1,即y=2x2-8x+7。 (2）平移前顶点A为(-1，-3)，平移后顶点B为(2，-1)。 0 ⊙ 变式5.1将抛物线y=-(x一22+3向左平移m个单位，再向下平移n个单位 (m>0,n>0),所得抛物线的顶点为（一1，一2）。求m、n的值及平移后的表 达式。 第12页共25页 变式5.2将抛物线y=x2-2x-3沿水平方向平移，使平移后的图像经过原点。 求所有符合条件的平移方式及对应的函数表达式。 题型六图像交点与函数值的取值范围 知识要点：抛物线与直线的交点坐标同时满足两个函数表达式。比较两条图像 的上下位置，可以转化为相同×对应的函数值大小。 抛物线与水平直线y=m的交点个数，取决于与顶点纵坐标的关系；若×另 有限制，还必须检查交点的横坐标是否在允许范围内。 用图像解不等式时，先找相等时的分界点，再根据图像的上下位置写出范围。 “大于”不含分界点，“大于或等于”包含分界点。 典例6已知二次函数y=一x+2x+3。(1)求图像与x轴的交点坐标； (2）当y>0时，求x的取值范围；(3)当y≥3时，求×的取值范围。 V=3 第13页共25页 解：（1)令-x2+2x+3=0,得(x-3)(x+1)=0,所以交点为(-1,0)、 (3,0)。 (2）抛物线开口向下，当×在两个交点的横坐标之间时，图像在×轴上方，故 y>0时，-1<x<3。 (3)令-x2+2x+3=3,得x(x一2)=0，所以与直线y=3的交点横坐标为0、 2。 在这两个横坐标之间（含端点)，抛物线在直线V=3上方或与之相交，故 0≤x≤2。 变式6.1如图，抛物线y=x2-2x-3与直线y=x+1交于A、B两点。 (1)求A、B的坐标；(2)当抛物线在直线下方时，求x的取值范围。 0 第14页共25页 变式6.2抛物线y=(x-1)2-4与直线y=m只有一个公共点。求m的值及这 个公共点的坐标。 题型七自变量在给定范围内的最值 知识要点：自变量限定在一个闭区间内时，不能直接把顶点的纵坐标当作最值； 要先看顶点的横坐标是否在该区间内。 对y=a(x-h)2+k,在区间内寻找离h最近、最远的x。a>0时，最近处取得 最小值，最远处取得最大值；a<0时相反。 顶点在区间内时，要比较两端点的函数值；顶点在区间外时，利用该区间上的 增减性比较两个端点。端点可以取到时，应写清取得最值时的X值。 典例7当-1≤x≤4时，求二次函数y=x2-2x-3的最大值、最小值，以及 分别取得这些值时的X值。 解：y=(x-12-4。因为-1≤1≤4，顶点在给定范围内，所以x=1时取得 最小值-4。 当x=-1时，y=0;当x=4时，y=5。 图像开口向上，在给定范围内离对称轴最远的端点为X=4,因此最大值为5， 在X=4时取得。 第15页共25页 变式7.1当0≤x≤2时，求二次函数y=一x2-2x+3的最大值和最小值。 变式7.2二次函数y=x2-4x+m在-1≤x≤3时的最小值为-1。求m的值 及这个范围内的最大值。 题型八含参数的最值问题 知识要点：对称轴或自变量范围中含参数时，先比较对称轴与区间两端的位置， 再分类讨论。分类应包括边界，不能出现重复或遗漏。 求最大值与最小值的差时，常数项会相消，但两种最值分别在哪个×处取得， 仍需先确定。 先根据各类情况列出参数方程或不等式，再把所得参数代回本类条件；不符合 所在类别的值应舍去。 典例8已知二次函数y=(x-m2+1。当0≤x≤2时，该函数的最小值为2， 求m的值。 解：对称轴为直线x=m。按它与区间0≤x≤2的位置关系分类。 ①当m<0时，图像在该区间上随×增大而增大，最小值在x=0时取得。由 m2+1=2,得m=±1；结合m<0,取m=-1。 ②当0≤m≤2时，顶点在区间内，最小值为1，不符合最小值为2的条件。 第16页共25页 ③当m>2时，图像在该区间上随×增大而减小，最小值在x=2时取得。由 (2-m)2+1=2,得m=1或3；结合m>2,取m=3。 综上，m=-1或3。 个 11111111111111111111111 2 2 A+1 1 102 02 对称轴在区间左侧 对称轴在区间内部 以m=-1为例；虚线表示区间外图像 以m=1为例；虚线表示区间外图像 2 1 2 对称轴在区间右侧，以m=3为例；虚线表示区间外图像 第17页共25页 变式8.1二次函数y=x2-4x+1在t≤x≤t+1时的最大值与最小值之差为5， 求t的值。 变式8.2二次函数y=(x-m2-m在0≤x≤2时的最小值为-1，求m的值。 第18页共25页 二综合训练 【A组基础达标】 A1下列函数中，是二次函数的是()。 4 B.y=(x+12-x2 C.y=-3x2+2x D.y=x3-1 A2抛物线y=-3(x+22+5的对称轴是，最大值是 A3将抛物线y=x向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的表 达式是 A4点A(-1,y1人、B(2,y2)在抛物线y=(x-32+1上，则y1 y2填“>”“"或“=")。 第19页共25页 【B组·综合进阶】 B1已知抛物线y=ax2+bx+c经过(-1,2)、(1，一2入、(3,2）。 (1)求表达式；(2)求图像与×轴的交点坐标；(3)写出函数值为负数时× 的取值范围。 A 第20页共25页 B2如图，开口向下的抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A(-2,0)、B(6, 0)，与y轴交于C。过C作平行于x轴的直线，与抛物线交于另一点D。 (1）求点D的横坐标；(2)若CD=OC,求该抛物线的表达式。 0 D A B >X 第21页共25页 B3二次函数y=-x2+4x+c在1≤x≤5时的最大值为7。(1)求c的值； (2）求这个范围内的最小值；(3)在同一范围内，求y≥6时×的取值范围。 B4已知二次函数y=x2-2mx+1,当x≥3时，y随x增大而增大。求m的取 值范围。 第22页共25页 【C组挑战突破】 C1抛物线y=x2-2x-3沿y轴向上平移n个单位(n>0)。(1)若平移后的 抛物线与×轴只有一个公共点，求；(2）若平移后的抛物线在一1≤x≤2时 的最大值与最小值之和为2，求n。 C2已知二次函数y=(x一12。当t≤x≤t+2时，函数的最小值为0，最大值 为星，求t的值。 第23页共25页 C3已知二次函数y=x2-2x-3,其中-1≤x≤2。若直线y=m与这段函数 图像恰有一个公共点，求m的取值范围。 12 第24页共25页 C4二次函数y=x2-2mx+m2-2m。(1)求顶点坐标；(2)当 一1≤x≤1时，函数的最大值为4，求m的值。 第25页共25页 二次函数的图像与性质 2⁠0⁠2⁠6—2⁠0⁠2⁠7学年九年级下册数学专题讲义（苏科版） 内容导航 板块 内容 起始页 题型一 二次函数的表达式与图像 2 题型二 由已知条件求二次函数表达式 4 题型三 对称性与函数值的比较 6 题型四 由图像判断系数及代数式的符号 7 题型五 抛物线的平移 9 题型六 图像交点与函数值的取值范围 1⁠0 题型七 自变量在给定范围内的最值 1⁠2 题型八 含参数的最值问题 1⁠3 A组 基础达标 1⁠5 B组 综合进阶 1⁠6 C组 挑战突破 1⁠7 一 题型精讲 题型一 二次函数的表达式与图像 知识要点：形如、b、c为常数，的函数叫作二次函数。自变量x可以取任意实数；实际问题或题目另有限制时，应按给定范围讨论。 一般式为；顶点式为，其中，。对称轴是直线，顶点为（h，k）。当方程有两个实数根、时，还可写成，允许。 时开口向上，在时y随x增大而减小，在时y随x增大而增大，最小值为k；时开口向下，在时y随x增大而增大，在时y随x增大而减小，最大值为k。不能跨过对称轴直接套用一侧的增减性。 同一坐标系中，顶点相同且开口方向相同的抛物线，|a|越大，开口越窄。画图时先定顶点、对称轴及与坐标轴的交点，再在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。图上截取的一段不表示函数只在这一段有意义。 图像经过哪些象限，要结合顶点、与坐标轴交点和各段函数值的正负判断，不能只看a的正负。坐标轴上的点不属于任何象限。 比较项目 开口方向 向上 向下 对称轴左侧 y随x增大而减小 y随x增大而增大 对称轴右侧 y随x增大而增大 y随x增大而减小 最值 时，最小值为k 时，最大值为k 典例1 已知二次函数。（1）⁠把表达式化成顶点式，写出对称轴、顶点坐标及增减情况；（2）⁠求图像与坐标轴的交点坐标，并画出函数图像；（3）⁠写出图像经过的象限。 解：。对称轴为直线，顶点为（2，。 因为，所以当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大。 （2）令，得，所以或4。图像与x轴交于（0，0）、（4，0），与y轴的交点也是（0，0）。 取顶点及两组对称点：（0，0）、（1，、（2，、（3，、（4，0），描点并用平滑曲线连接，图像如下。 时，图像在第二象限；时，在第四象限；时，在第一象限。因此经过第一、第二、第四象限。 变式1⁠.⁠1 已知二次函数。求其顶点坐标、最大值，并写出y随x增大而减小的自变量取值范围。 解：。 顶点为，8），开口向下，最大值为8。 在时，y随x增大而减小。 变式1⁠.⁠2 抛物线经过点，6）。（1）⁠求a的值；（2）⁠在同一坐标系中，它与抛物线相比，哪一条的开口较宽？ 解：（1）把，6）代入，得，所以。 （2）两条抛物线的顶点都是原点，且开口均向上。因为，所以的开口较宽。 题型二 由已知条件求二次函数表达式 知识要点：已知顶点坐标，优先设顶点式；已知与x轴两个交点的横坐标，优先设交点式；已知三个一般点，可设一般式，代入求系数。求出的二次项系数必须不为0。 同一抛物线上两个不同点的纵坐标相等时，这两点关于对称轴对称，其横坐标的平均数就是对称轴对应的x值。表格中相等的函数值也可提供对称信息。 典例2 抛物线的顶点为A（1，，经过点B（3，4）。求该抛物线的表达式，并求它与y轴交点的坐标。 解：由顶点A（1，，设。 代入B（3，4），得，所以。 因此。 当时，，所以图像与y轴交于（0，。 变式2⁠.⁠1 抛物线与x轴交于，0）、B（4，0），与y轴交于C（0，。求其表达式和顶点坐标。 解：由图像与x轴的交点横坐标为、4，设。 把C（0，代入，得，所以。 因此，顶点为（1，。 变式2⁠.⁠2 二次函数的部分对应值如下表。求这个函数的表达式，并写出当时的函数值。 x 0 1 2 y 7 2 解：由时，得。由及时的函数值，得，。 两式相加得，所以，。故。 代入，得到，与表中数据相符。代入，得。 题型三 对称性与函数值的比较 知识要点：对抛物线，横坐标为x的点关于对称轴的对称点横坐标是。两点到对称轴的水平距离相等时，函数值相等。 时，点到对称轴的水平距离越大，函数值越大；时相反。两点在对称轴同侧时可用增减性，分处两侧时应比较到对称轴的距离。 设，则。含字母的比较题，可根据各因式的符号判断差的正负。 典例3 点，、B（0，、C（3，都在抛物线上。将、、按从小到大的顺序排列。 示意图：比较三点到对称轴的水平距离。 解：对称轴为直线。A、B、C到对称轴的水平距离分别为4、1、2。 因为，距离对称轴越远，函数值越小。 由，得。 变式3⁠.⁠1 抛物线经过，5）、Q（4，5）、R（0，。求对称轴，并求这条抛物线上纵坐标为的所有点的坐标。 解：P、Q纵坐标相等且为不同点，所以对称轴为直线。 R（0，关于直线的对称点为（2，，它也在抛物线上。 二次函数取同一函数值时至多有两个不同的x，因此所求的所有点为（0，、（2，。 变式3⁠.⁠2 点，、，在抛物线上，且，。比较与的大小，并说明理由。 解： 。 由及，两个因式都大于0，所以。 故。 题型四 由图像判断系数及代数式的符号 知识要点：在中，a决定开口方向，c是图像与y轴交点的纵坐标。结合对称轴，可以判断b的符号。 、、分别是、、2时的函数值。判断这些式子的符号，应找对应横坐标处的图像是在x轴上方、下方还是恰好在x轴上。 令，得到。判别式Δ、、时，抛物线与x轴分别有两个、一个、没有公共点。 典例4 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于，0）及B，且开口向下。判断下列结论是否正确： ①； ②； ③； ④； ⑤。 解：开口向下，得。对称轴，所以，得。①正确，④正确。 点A的横坐标为，由对称性可得B的横坐标为5。位于与5之间，图像在x轴上方，所以。②错误。 把，0）代入，得。③正确。 图像与x轴有两个不同交点，所以。⑤正确。 因此正确的是①③④⑤。 变式4⁠.⁠1 如图，抛物线开口向上，对称轴为直线，与x轴交于，0）、B（1，0）。下列结论中，正确的是（      ）。 A． B． C． D． 解：由开口向上得；由对称轴，得，即。 因，时图像在x轴下方，得。所以，A错误；，B正确。 时函数值为负，故，C错误。图像与x轴有两个不同交点，故判别式大于0，D错误。选B。 变式4⁠.⁠2 二次函数的对称轴为直线，图像经过（0，2）和（3，5）。求的值，并判断图像是否经过第三象限。 解：图像经过（0，2），所以。对称轴为直线，得。 代入（3，5），得，即，所以，。 因此，函数为。 对任意x都有，故图像不经过第三象限。 题型五 抛物线的平移 知识要点：平移不改变抛物线的开口方向和形状，即二次项系数a不变。先把表达式化成顶点式，再平移顶点，通常比直接展开运算更清楚。 将的图像向右平移p个单位、向上平移q个单位，得到；向左或向下平移时，对应坐标减少。 平移后的图像经过某点，应把该点坐标代入新表达式；只知道经过一个点时，可能有不止一种平移方式。 典例5 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位。（1）⁠求平移后抛物线的表达式；（2）⁠写出平移前后顶点的坐标。 解：（1）原函数，顶点为，。 向右平移3个单位、向上平移2个单位后，顶点变为（2，，二次项系数仍为2。 因此平移后的函数为，即。 （2）平移前顶点A为，，平移后顶点B为（2，。 变式5⁠.⁠1 将抛物线向左平移m个单位，再向下平移n个单位，，所得抛物线的顶点为，。求m、n的值及平移后的表达式。 解：原顶点为（2，3），平移后为，。 由，，得，。 平移后的二次项系数仍为，所以表达式为。 变式5⁠.⁠2 将抛物线沿水平方向平移，使平移后的图像经过原点。求所有符合条件的平移方式及对应的函数表达式。 解：原函数为。沿水平方向平移后，可设。 新图像经过原点，得，所以或。 时，顶点由（1，变为（2，，即向右平移1个单位，表达式为。 时，顶点变为，，即向左平移3个单位，表达式为。 题型六 图像交点与函数值的取值范围 知识要点：抛物线与直线的交点坐标同时满足两个函数表达式。比较两条图像的上下位置，可以转化为相同x对应的函数值大小。 抛物线与水平直线的交点个数，取决于m与顶点纵坐标的关系；若x另有限制，还必须检查交点的横坐标是否在允许范围内。 用图像解不等式时，先找相等时的分界点，再根据图像的上下位置写出范围。“大于”不含分界点，“大于或等于”包含分界点。 典例6 已知二次函数。（1）⁠求图像与x轴的交点坐标；（2）⁠当时，求x的取值范围；（3）⁠当时，求x的取值范围。 解：（1）令，得，所以交点为，0）、（3，0）。 （2）抛物线开口向下，当x在两个交点的横坐标之间时，图像在x轴上方，故时，。 （3）令，得，所以与直线的交点横坐标为0、2。 在这两个横坐标之间（含端点），抛物线在直线上方或与之相交，故。 变式6⁠.⁠1 如图，抛物线与直线交于A、B两点。（1）⁠求A、B的坐标；（2）⁠当抛物线在直线下方时，求x的取值范围。 解：（1）联立两个表达式，得，即。 因式分解得，所以或4。代入，得，0）、B（4，5）。 （2）两函数值之差为。当时，这个差为负，抛物线在直线下方。故所求范围为。 变式6⁠.⁠2 抛物线与直线只有一个公共点。求m的值及这个公共点的坐标。 解：抛物线开口向上，顶点为（1，，最小值为。 时没有公共点；时有一个公共点；时有两个公共点。 因此，唯一公共点为（1，。 题型七 自变量在给定范围内的最值 知识要点：自变量限定在一个闭区间内时，不能直接把顶点的纵坐标当作最值；要先看顶点的横坐标是否在该区间内。 对，在区间内寻找离h最近、最远的x。时，最近处取得最小值，最远处取得最大值；时相反。 顶点在区间内时，要比较两端点的函数值；顶点在区间外时，利用该区间上的增减性比较两个端点。端点可以取到时，应写清取得最值时的x值。 典例7 当时，求二次函数的最大值、最小值，以及分别取得这些值时的x值。 解：。因为，顶点在给定范围内，所以时取得最小值。 当时，；当时，。 图像开口向上，在给定范围内离对称轴最远的端点为，因此最大值为5，在时取得。 变式7⁠.⁠1 当时，求二次函数的最大值和最小值。 解：，对称轴为直线。 在对称轴右侧，y随x增大而减小。 时取得最大值3；时取得最小值。 变式7⁠.⁠2 二次函数在时的最小值为。求m的值及这个范围内的最大值。 解：。对称轴在区间内，所以最小值为。 由，得。 区间左端到对称轴的距离为3，右端3到对称轴的距离为1，故最大值在时取得。 此时，所以最大值为8。 题型八 含参数的最值问题 知识要点：对称轴或自变量范围中含参数时，先比较对称轴与区间两端的位置，再分类讨论。分类应包括边界，不能出现重复或遗漏。 求最大值与最小值的差时，常数项会相消，但两种最值分别在哪个x处取得，仍需先确定。 先根据各类情况列出参数方程或不等式，再把所得参数代回本类条件；不符合所在类别的值应舍去。 典例8 已知二次函数。当时，该函数的最小值为2，求m的值。 解：对称轴为直线。按它与区间的位置关系分类。 ①当时，图像在该区间上随x增大而增大，最小值在时取得。由，得±1；结合，取。 ②当时，顶点在区间内，最小值为1，不符合最小值为2的条件。 ③当时，图像在该区间上随x增大而减小，最小值在时取得。由，得或3；结合，取。 综上，或3。 对称轴在区间左侧 以为例；虚线表示区间外图像 对称轴在区间内部 以为例；虚线表示区间外图像 对称轴在区间右侧，以为例；虚线表示区间外图像 变式8⁠.⁠1 二次函数在时的最大值与最小值之差为5，求t的值。 解：，对称轴为直线。 ①当，即时，给定区间在对称轴左侧（允许右端为顶点）。最大值与最小值之差为。令，得，符合。 ②当时，给定区间在对称轴右侧。两种最值之差为。令，得，符合。 ③当时，顶点在区间内部。两个端点到对称轴的距离都小于1，因此最大值与最小值之差小于1，不可能为5。 所以或4。 变式8⁠.⁠2 二次函数在时的最小值为，求m的值。 解：①当时，对称轴在区间左侧，最小值在时取得，为，不可能等于。 ②当时，顶点在区间内，最小值为。由，得，符合本类范围。 ③当时，最小值在时取得，由，得。 解得或。后者小于2，不符合本类范围；前者大于2，符合条件。 综上，或。 二 综合训练 【A组·基础达标】 A1 下列函数中，是二次函数的是（      ）。 A． B． C． D． 解：A的自变量在分母中；B化简为；D的最高次数为3。只有C是二次函数。选C。 A2 抛物线的对称轴是 ________ ，最大值是 ________ 。 解：顶点为，5），开口向下，所以对称轴为直线，最大值为5。 A3 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的表达式是 ________ 。 解：原顶点（0，0）移到，，二次项系数不变，得。 A4 点，、B（2，在抛物线上，则 ________ 填“”“”或“”）。 解：A、B到对称轴的水平距离分别为4、1，开口向上，因此。 填“”。 【B组·综合进阶】 B1 已知抛物线经过，2）、（1，、（3，2）。（1）⁠求表达式；（2）⁠求图像与x轴的交点坐标；（3）⁠写出函数值为负数时x的取值范围。 解：，2）与（3，2）关于对称轴对称，所以对称轴。又（1，在图像上，因此它是顶点。 设，代入，2），得，所以。故。 （2）令，得，所以交点坐标为，0）、，0）。 （3）抛物线开口向上，当x在两个交点的横坐标之间时，函数值为负，因此。 B2 如图，开口向下的抛物线与x轴交于，0）、B（6，0），与y轴交于C。过C作平行于x轴的直线，与抛物线交于另一点D。（1）⁠求点D的横坐标；（2）⁠若，求该抛物线的表达式。 解：（1）由A、B的横坐标，得对称轴。C的横坐标为0，D与C关于对称轴对称，所以D的横坐标为4。 （2）由C⁠D平行于x轴，得。抛物线开口向下，且0介于两个交点的横坐标之间，所以C在y轴正半轴上。 由，得C（0，4）。设，代入C得，所以。 故表达式为。 B3 二次函数在时的最大值为7。（1）⁠求c的值；（2）⁠求这个范围内的最小值；（3）⁠在同一范围内，求时x的取值范围。 解：。顶点横坐标2在区间内，故最大值为。由，得。 （2）此时。两个端点到对称轴的距离分别为1和3，故时取得最小值。 （3）由，得，即。这一范围已包含于中，故所求为。 B4 已知二次函数，当时，y随x增大而增大。求m的取值范围。 解：，对称轴为直线，开口向上。 要使的整个范围都在对称轴右侧（可含顶点），应有。 若，则这一段函数值随x增大而减小，不符合条件；时从顶点开始递增，符合条件。故。 【C组·挑战突破】 C1 抛物线沿y轴向上平移n个单位。（1）⁠若平移后的抛物线与x轴只有一个公共点，求n；（2）⁠若平移后的抛物线在时的最大值与最小值之和为2，求n。 解：原函数，向上平移n个单位后为。 （1）与x轴只有一个公共点时，顶点恰在x轴上，故，得。 （2）在内，顶点给出最小值；左端点离对称轴最远，给出最大值n。 由，得，且，符合条件。 C2 已知二次函数。当时，函数的最小值为0，最大值为，求t的值。 解：最小值为0，说明顶点在区间内，即，所以。 左、右端点到对称轴的距离分别为、，均非负。最大值为，说明两者中较大的一个为。 若，则，由，得。 若，则，由，得。 两值都满足，故或。 C3 已知二次函数，其中。若直线与这段函数图像恰有一个公共点，求m的取值范围。 解：，给定区间为。顶点为（1，，左端点为，0），右端点为（2，。 当或时没有公共点；当时，只有顶点这一个公共点。 当时，两条分支各有一个公共点，且时右端点也应计入，因此共有两个。 当时，只有左侧分支与直线相交，因此有一个公共点。 综上，或。 C4 二次函数。（1）⁠求顶点坐标；（2）⁠当时，函数的最大值为4，求m的值。 解：，所以顶点为（m，。 （2）抛物线开口向上，在闭区间上的最大值在离对称轴较远的端点取得。 当时，离m不小于1离m的距离，最大值为。由，结合，得。 当时，1离m更远，最大值为。由，得±；结合，得。 综上，或。 第 1 页 共 1⁠9 页 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数的图像与性质 2026一2027学年九年级下册数学专题讲义（苏科版） 内容导航 板块 内容 起始页 题型一 二次函数的表达式与图像 2 题型二 由已知条件求二次函数表达式 ￥ 题型三 对称性与函数值的比较 6 题型四 由图像判断系数及代数式的符号 7 题型五 抛物线的平移 9 题型六 图像交点与函数值的取值范围 10 题型七 自变量在给定范围内的最值 12 题型八 含参数的最值问题 13 A组 基础达标 15 B组 综合进阶 16 C组 挑战突破 17 第1页共19页 题型精讲 题型一二次函数的表达式与图像 知识要点：形如y=ax+br+c(a、b、c为常数，a≠0)的函数叫作二次函数。 自变量×可以取任意实数；实际问题或题目另有限制时，应按给定范围讨论。 极武为y=8X+bx+C:顶点武为y=ax-+k,其中五=二2 k=(4ac-b2) 4a。对称轴是直线x=五，顶点为(h,。当方程 ax2+bx+c=0有两个实数根x1、x2时，还可写成y=a(x-x1)(x-x2),允 许X1=X20 a>0时开口向上，在x≤h时y随x增大而减小，在x≥h时y随x增大而增大， 最小值为k;a<0时开口向下，在x≤h时y随x增大而增大，在x≥h时y随x 增大而减小，最大值为K。不能跨过对称轴直接套用一侧的增减性。 同一坐标系中，顶点相同且开口方向相同的抛物线，Iα越大，开口越窄。画▣图 时先定顶点、对称轴及与坐标轴的交点，再在对称轴两侧取对称点，用平滑曲 线连接。图上截取的一段不表示函数只在这一段有意义。 图像经过哪些象限，要结合顶点、与坐标轴交点和各段函数值的正负判断，不 能只看ā的正负。坐标轴上的点不属于任何象限。 比较项目 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴左侧(x≤五) y随x增大而减小 y随x增大而增大 对称轴右侧(x≥五 y随x增大而增大 y随x增大而减小 最值 x=h时，最小值为k x=h时，最大值为k 典侧1已知二次函数y=号x2-2x。 (1)把表达式化成顶点式，写出对称轴、 顶点坐标及增减情况；(2)求图像与坐标轴的交点坐标，并画出函数图像； (3)写出图像经过的象限。 解：(1)y=2x2-4x)=号x-22-2。对称轴为直线x=2,顶点为亿， -2)。 第2页共19页 因为a=>0,所以当x≤2时，y随×增大而减小：当x≥2时，y随×增大而 增大。 (2)令了=0，得2xx-4)=0,所以x=0或4。图像与×轴交于(0,0)、 (4,0),与y轴的交点也是(0,0)。 取顶点及两组对称点：(0,0)、(1，-多、么，-2、8，-多、4， 0)，描点并用平滑曲线连接，图像如下。 (3)x<0时y>0,图像在第二象限；0<x<4时y<0,在第四象限；X>4时 y>0,在第一象限。因此经过第一、第二、第四象限。 2 3 4 变式1.1已知二次函数y=-2x2-4x+6。求其顶点坐标、最大值，并写出y 随x增大而减小的自变量取值范围。 解：y=-2(x2+2x)+6=-2(x+1)2+8。 顶点为（一1,8），开口向下，最大值为8。 在x≥-1时，y随×增大而减小。 第3页共19页 变式1.2抛物线y=ax经过点(-2,6)。(1)求a的值；(2）在同一坐标 系中，它与抛物线y=3x相比，哪一条的开口较宽？ 解：(0把-2,6代入=ax,得4a-6,所以a-。 (2)两条抛物线的顶点都是原点，且开口均向上。因为子<3，所以y=多x的 开口较宽。 题型二由已知条件求二次函数表达式 知识要点：已知顶点坐标，优先设顶点式；已知与×轴两个交点的横坐标，优 先设交点式；已知三个一般点，可设一般式，代入求系数。求出的二次项系数 必须不为0。 同一抛物线上两个不同点的纵坐标相等时，这两点关于对称轴对称，其横坐标 的平均数就是对称轴对应的×值。表格中相等的函数值也可提供对称信息。 典例2抛物线的顶点为A(1,一4)，经过点B(3,4)。求该抛物线的表达式， 并求它与y轴交点的坐标。 B 解：由顶点A(1,-4),设y=a(x-12-4。 代入B(3,4),得4=4a-4,所以a=2。 第4页共19页 因此y=2(x-12-4=2x2-4x-2。 当x=0时，y=一2，所以图像与y轴交于(0，-2)。 变式2.1抛物线与x轴交于A(-2,0)、B(4,0),与y轴交于C(0,-8)。 求其表达式和顶点坐标。 →X 解：由图像与×轴的交点横坐标为一2、4，设y=a(x+2)(x-4)。 把C(0,-8)代入，得-8a=-8,所以a=1。 因此y=x2-2x-8=(x-12-9,顶点为(1，-9)。 变式2.2二次函数y=ax+bx+c的部分对应值如下表。求这个函数的表达式， 并写出当x=4时的函数值。 X -1 0 2 2 -1 -2 解：由x=0时y=2,得c=2。由x=1及x=-1时的函数值，得a+b=-3, a-b=5。 两式相加得2a=2,所以a=1,b=-4。故y=x2-4x+2。 代入x=2,得到y=一2，与表中数据相符。代入x=4,得y=2。 第5页共19页 题型三对称性与函数值的比较 知识要点：对抛物线y=ax一h2+k,横坐标为×的点关于对称轴的对称点横 坐标是2五一x。两点到对称轴的水平距离相等时，函数值相等。 a>0时，点到对称轴的水平距离越大，函数值越大；a<0时相反。两点在对称 轴同侧时可用增减性，分处两侧时应比较到对称轴的距离。 设X1<X2,则y2-y1=a(x2一X1)(x1+x2-2h)。含字母的比较题，可根据 各因式的符号判断差的正负。 典例3点A(-3,y1人、B(0,y2、C(3,y3都在抛物线 y=a(x-12+k(a<0)上。将y1、y2、y3按从小到大的顺序排列。 B C A 示意图：比较三点到对称轴的水平距离。 解：对称轴为直线x=1。A、B、C到对称轴的水平距离分别为4、1、2。 因为a<0,距离对称轴越远，函数值越小。 由4>2>1，得y1<y3<y2o 变式3.1抛物线经过P(-2,5)、Q(4,5)、R(0,-3)。求对称轴，并求 这条抛物线上纵坐标为一3的所有点的坐标。 解：P、Q纵坐标相等且为不同点，所以对称轴为直线x=一2+4-1。 2 第6页共19页 R(0,-3)关于直线x=1的对称点为(2，一3)，它也在抛物线上。 二次函数取同一函数值时至多有两个不同的x,因此所求的所有点为(0，一3)、 (2,-3)0 变式3.2点A(X1,y1入、B(X2,y2)在抛物线y=x2-4X+1上，且X1<X2, x1+x2>4。比较y1与y2的大小，并说明理由。 解：y2-y1=x2-4x2+1-(x1-4x1+1) =(X2-X1)(x1+X2-4)。 由x1<X2及x1+x2>4,两个因式都大于0，所以y2-y1>0。 故y1<Yy20 题型四由图像判断系数及代数式的符号 知识要点：在y=ax+bx+c中，a决定开口方向，c是图像与y轴交点的纵坐 b 标。结合对称轴x=一2a,可以判断b的符号。 a+b+c、a-b+c、4a+2b+c分别是x=1、-1、2时的函数值。判断这些 式子的符号，应找对应横坐标处的图像是在×轴上方、下方还是恰好在×轴上。 令y=0,得到ax+bx+c=0。判别式△=b2-4ac>0、=0、<0时，抛物线 与x轴分别有两个、一个、没有公共点。 典例4如图，抛物线y=ax2+bx+C 的对称轴为直线x=2,与×轴交于 A(-1,0)及B,且开口向下。判断 下列结论是否正确： ①b>0; ②c<0; ③a-b+c=0; B ④4a+b=0; ⑤b2-4ac>0。 b 解：开口向下，得a<0。对称轴x=2,所以2日-2，得b=-4a>0。①正 确，④正确。 第7页共19页 点A的横坐标为一1，由对称性可得B的横坐标为5。x=0位于一1与5之间， 图像在x轴上方，所以C>0。②错误。 把A(-1,0)代入，得a-b+C=0。③正确。 图像与×轴有两个不同交点，所以b2-4aC>0。⑤正确。 因此正确的是①③④⑤。 变式4.1如图，抛物线y=ax2+bx+c开口向上，对称轴为直线x=一1，与× 轴交于A(-3,0)、B(1,0)。下列结论中，正确的是（)。 A.abc>0 B.2a-b=0 C.a-b+c>0 D.b2-4ac<0 A B b 解：由开口向上得a>0;由对称轴x=-1,得-2a-1,即b=2a>0。 因-3<0<1，x=0时图像在×轴下方，得c<0。所以abc<0,A错误； 2a-b=0,B正确。 x=一I时函数值为负，故a-b+c<0,C错误。图像与×轴有两个不同交点， 故判别式大于0，D错误。选B。 变式4.2二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,图像经过(0,2)和 (3,5)。求a+b+c的值，并判断图像是否经过第三象限。 解：图像经过(0,2），所以c=2。对称轴为直线x=1,得b=-2a。 代入(3,5)，得9a+3b+2=5,即3a=3,所以a=1,b=-2。 因此a+b+c=1,函数为y=x2-2X+2=(x-12+1。 对任意×都有y≥1>0，故图像不经过第三象限。 第8页共19页 题型五抛物线的平移 知识要点：平移不改变抛物线的开口方向和形状，即二次项系数ā不变。先把 表达式化成顶点式，再平移顶点，通常比直接展开运算更清楚。 将y=ax一h2+k的图像向右平移p个单位、向上平移q个单位，得到 y=a[x-(h+p)2+k+q;向左或向下平移时，对应坐标减少。 平移后的图像经过某点，应把该点坐标代入新表达式；只知道经过一个点时， 可能有不止一种平移方式。 典例5将抛物线y=2x2+4x一1先向右平移3个单位，再向上平移2个单位。 (1)求平移后抛物线的表达式；(2)写出平移前后顶点的坐标。 解：(1)原函数y=2(x+12-3,顶点为(-1，-3)。 向右平移3个单位、向上平移2个单位后，顶点变为(2，一1)，二次项系数仍 为2。 因此平移后的函数为y=2(x-22-1,即y=2x2-8x+7。 (2)平移前顶点A为（一1，-3，平移后顶点B为(2，-1）。 变式5.1将抛物线y=-(x-22+3向左平移m个单位，再向下平移n个单位 (m>0,n>0),所得抛物线的顶点为（一1，一2）。求m、n的值及平移后的表 达式。 解：原顶点为(2,3)，平移后为(2-m,3-n)。 由2-m=-1,3-n=-2,得m=3,n=5。 平移后的二次项系数仍为一1，所以表达式为y=-(x+12-2。 第9页共19页 变式5.2将抛物线y=x2-2x-3沿水平方向平移，使平移后的图像经过原点。 求所有符合条件的平移方式及对应的函数表达式。 解：原函数为y=(x-1)2-4。沿水平方向平移后，可设y=(x-h)2-4。 新图像经过原点，得h2-4=0,所以h=2或-2。 h=2时，顶点由(1，-4)变为(2，-4)，即向右平移1个单位，表达式为 y=(x-22-4。 五=-2时，顶点变为（一2，一4），即向左平移3个单位，表达式为 y=(x+2)2-4。 题型六图像交点与函数值的取值范围 知识要点：抛物线与直线的交点坐标同时满足两个函数表达式。比较两条图像 的上下位置，可以转化为相同×对应的函数值大小。 抛物线与水平直线y=m的交点个数，取决于与顶点纵坐标的关系；若×另 有限制，还必须检查交点的横坐标是否在允许范围内。 用图像解不等式时，先找相等时的分界点，再根据图像的上下位置写出范围。 “大于”不含分界点，“大于或等于”包含分界点。 典例6已知二次函数=一x2+2x+3。(1)求图像与×轴的交点坐标； (2）当y>0时，求×的取值范围；(3)当y≥3时，求×的取值范围。 y=3 解：(1)令-x2+2x+3=0,得x-3)(x+1)=0,所以交点为(-1,0)、 (3,0)。 第10页共19页 (2)抛物线开口向下，当×在两个交点的横坐标之间时，图像在×轴上方，故 y>0时，-1<x<3。 (3)令一x2+2x+3=3,得x(x-2)=0,所以与直线y=3的交点横坐标为0、 2。 在这两个横坐标之间（含端点)，抛物线在直线y=3上方或与之相交，故 0≤x≤2。 变式6.1如图，抛物线y=x2-2x-3与直线y=X+1交于A、B两点。 (1)求A、B的坐标；(2)当抛物线在直线下方时，求×的取值范围。 解：（1)联立两个表达式，得x2-2x-3=x+1,即x2-3x-4=0。 因式分解得(x+1)(x-4)=0,所以x=-1或4。代入y=x+1,得A(-1, 0)、B(4,5)。 (2)两函数值之差为(x+1)(x-4)。当一1<x<4时，这个差为负，抛物线在 直线下方。故所求范围为-1<x<4。 变式6.2抛物线y=(x-1)2-4与直线y=m只有一个公共点。求m的值及这 个公共点的坐标。 解：抛物线开口向上，顶点为(1，一4)，最小值为一4。 m<-4时没有公共点；m=一4时有一个公共点；m>-4时有两个公共点。 因此m=-4,唯一公共点为(1，-4)。 第11页共19页 题型七自变量在给定范围内的最值 知识要点：自变量限定在一个闭区间内时，不能直接把顶点的纵坐标当作最值； 要先看顶点的横坐标是否在该区间内。 对y=ax一h2+k,在区间内寻找离h最近、最远的x。a>0时，最近处取得 最小值，最远处取得最大值；a<0时相反。 顶点在区间内时，要比较两端点的函数值；顶点在区间外时，利用该区间上的 增减性比较两个端点。端点可以取到时，应写清取得最值时的X值。 典例7当-1≤x≤4时，求二次函数y=x2-2x-3的最大值、最小值，以及 分别取得这些值时的x值。 解：y=(x-12-4。因为-1≤1≤4，顶点在给定范围内，所以x=1时取得 最小值-4。 当x=-1时，y=0；当x=4时，y=5。 图像开口向上，在给定范围内离对称轴最远的端点为X=4,因此最大值为5， 在X=4时取得。 变式7.1当0≤x≤2时，求二次函数y=-x2-2x+3的最大值和最小值。 解：y=-(x+12+4,对称轴为直线x=一1。 0≤x≤2在对称轴右侧，y随×增大而减小。 x=0时取得最大值3；x=2时取得最小值-5。 第12页共19页 变式7.2二次函数y=x2-4x+m在-1≤x≤3时的最小值为-1。求m的值 及这个范围内的最大值。 解：y=(x-22+m-4。对称轴x=2在区间-1≤x≤3内，所以最小值为 m-4。 由m-4=-1,得m=3。 区间左端一1到对称轴的距离为3，右端3到对称轴的距离为1，故最大值在 x=一1时取得。 此时y=1+4+3=8,所以最大值为8。 题型八含参数的最值问题 知识要点：对称轴或自变量范围中含参数时，先比较对称轴与区间两端的位置， 再分类讨论。分类应包括边界，不能出现重复或遗漏。 求最大值与最小值的差时，常数项会相消，但两种最值分别在哪个×处取得， 仍需先确定。 先根据各类情况列出参数方程或不等式，再把所得参数代回本类条件；不符合 所在类别的值应舍去。 典例8已知二次函数y=(x-m2+1。当0≤x≤2时，该函数的最小值为2， 求m的值。 解：对称轴为直线x=m。按它与区间0≤x≤2的位置关系分类。 ①当m<0时，图像在该区间上随×增大而增大，最小值在x=0时取得。由 m2+1=2,得m=±1；结合m<0,取m=-1。 ②当0≤m≤2时，顶点在区间内，最小值为1，不符合最小值为2的条件。 ③当m>2时，图像在该区间上随×增大而减小，最小值在x=2时取得。由 (2-m2+1=2,得m=1或3；结合m>2,取m=3。 综上，m=-1或3。 第13页共19页 A◆1 →X →X 012 对称轴在区间左侧 对称轴在区间内部 以m=一1为例；虚线表示区间外图像 以m=1为例；虚线表示区间外图像 对称轴在区间右侧，以m=3为例；虚线表示区间外图像 变式8.1二次函数y=x2-4x+1在t≤x≤t+1时的最大值与最小值之差为5， 求t的值。 解：y=(x-22-3,对称轴为直线x=2。 ①当t+1≤2，即t≤1时，给定区间在对称轴左侧（允许右端为顶点）。最大 值与最小值之差为(t-22-(t-12=3-2t。令3-2t=5,得t=-1,符合 t≤1. ②当t≥2时，给定区间在对称轴右侧。两种最值之差为 (t-12-(t-22=2t-3。令2t-3=5,得t=4,符合t≥2。 第14页共19页 ③当1<t<2时，顶点在区间内部。两个端点到对称轴的距离都小于1，因此最 大值与最小值之差小于1，不可能为5。 所以t=-1或4。 变式8.2二次函数y=(x-m2-m在0≤x≤2时的最小值为-1，求m的值。 解：①当m<0时，对称轴在区间左侧，最小值在x=0时取得，为m一m>0, 不可能等于-1。 ②当0≤m≤2时，顶点在区间内，最小值为-m。由-m=一1，得m=1,符 合本类范围。 ③当m>2时，最小值在x=2时取得，由(2-m2-m=-1,得 m2-5m+5=0。 解得m-5+5或55。后者小于2，不符合本类范围：前者大于2，符 2 2 合条件。 综上，m=1或5+5) 2 二 综合训练 A组·基础达标】 A1下列函数中，是二次函数的是()。 4少3 B.y=(x+12-x2 C.y=-3x2+2x D.y=x3-1 解：A的自变量在分母中；B化简为y=2x+1;D的最高次数为3。只有C是 二次函数。选C。 A2抛物线y=-3(x+22+5的对称轴是 ,最大值是 解：顶点为(-2,5)，开口向下，所以对称轴为直线x=一2，最大值为5。 A3将抛物线y=x向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的表 达式是 解：原顶点(0,0)移到-2，-3)，二次项系数不变，得y=(x+22-3。 第15页共19页 A4点A(-1,y1、B(2,y2在抛物线y=(x-3)+1上，则y1 y2填“>“<“”或“=")。 解：A、B到对称轴x=3的水平距离分别为4、1，开口向上，因此y1>y2o 填“>”。 【B组·综合进阶】 B1已知抛物线y=ax2+bx+c经过 (-1,2）、(1,-2、(3,2)。 A (1)求表达式；(2)求图像与x轴 的交点坐标；(3)写出函数值为负数 时x的取值范围。 解：(1)（一1,2）与(3,2）关于对称轴对称，所以对称轴x=1。又(1， 一2)在图像上，因此它是顶点。 设y=ax-1)2-2,代入(-1,2)，得4a-2=2,所以a=1。故 y=(x-1)2-2=x2-2x-1。 (2)令y=0,得(x-12=2,所以交点坐标为(1-2,0)、(1+V2,0)。 (3)抛物线开口向上，当×在两个交点的横坐标之间时，函数值为负，因此 1-W2<x<1+2。 y B2如图，开口向下的抛物线 y=ax2+bx+C与x轴交于A(-2, 0)、B(6,0),与y轴交于C。过 C作平行于×轴的直线，与抛物线交 于另一点D。(1)求点D的横坐标； B (2)若CD=OC,求该抛物线的表 达式。 第16页共19页 解：()由AB的横坐标，得对称轴x=-2+6=2。C的横坐标为0，D 2 与C关于对称轴对称，所以D的横坐标为4。 (2)由CD平行于x轴，得CD=4。抛物线开口向下，且0介于两个交点的横 坐标之间，所以C在y轴正半轴上。 由OC=CD=4,得C(0,4)。设y=a(x+2)(x-6),代入C得-12a=4, 所以a=是。 故表这式为y-子考x+4, B3二次函数y=-x2+4x+c在1≤x≤5时的最大值为7。(1)求c的值； (2）求这个范围内的最小值；(3)在同一范围内，求y≥6时×的取值范围。 解：(1)y=-(x-2)2+c+4。顶点横坐标2在区间1≤x≤5内，故最大值为 C+4。由C+4=7,得c=3。 (2)此时y=-(x-22+7。两个端点到对称轴的距离分别为1和3，故x=5 时取得最小值-9+7=-2。 (3)由-(x-22+7≥6，得x-22≤1，即1≤x≤3。这一范围已包含于 1≤x≤5中，故所求为1≤x≤3。 B4已知二次函数=x2-2mx+1,当x≥3时，y随x增大而增大。求m的取 值范围。 解：y=(x-m)2+1-m2,对称轴为直线x=m,开口向上。 要使x≥3的整个范围都在对称轴右侧（可含顶点），应有m≤3。 若m>3,则3≤x≤m这一段函数值随x增大而减小，不符合条件；m=3时从 顶点开始递增，符合条件。故m≤3。 【C组挑战突破】 C1抛物线y=x2-2x-3沿y轴向上平移n个单位n>0)。(1)若平移后的 抛物线与×轴只有一个公共点，求n；(2)若平移后的抛物线在一1≤x≤2时 的最大值与最小值之和为2，求n。 解：原函数y=(x-12-4,向上平移n个单位后为y=(x-1)2+n-4。 (1）与×轴只有一个公共点时，顶点恰在x轴上，故n一4=0，得n=4。 (2)在-1≤x≤2内，顶点x=1给出最小值n-4；左端点-1离对称轴最远， 给出最大值n 由n+(n-4)=2,得n=3,且n>0,符合条件。 第17页共19页 C2已知二次函数y=(x-12。当t≤x≤t+2时，函数的最小值为0，最大值 为是，求t的值。 解：最小值为0，说明顶点x=1在区间内，即t≤1≤t+2,所以-1≤t≤1。 左、右端点到对称轴的距离分别为1一t、t+1,均非负。最大值为，说明两 者中较大的一个为。 若ts0,则1-t2t+1,1-t多得t=-0 若t≥0，则t+1≥1-6，由t+1-是得t-2 1 两值都满足-1≤t≤1，故t=-2或20 1 C3已知二次函数y=x2-2x-3,其中-1≤x≤2。若直线y=m与这段函数 图像恰有一个公共点，求m的取值范围。 解：y=(x-12-4,给定区间为-1≤x≤2。顶点为(1，-4)，左端点为 (-1,0),右端点为(2，-3)。 当m<一4或m>0时没有公共点；当m=一4时，只有顶点这一个公共点。 当-4<m≤-3时，两条分支各有一个公共点，且m=-3时右端点也应计入， 因此共有两个。 当一3<m≤0时，只有左侧分支与直线相交，因此有一个公共点。 综上，m=-4或-3<m≤0。 第18页共19页 C4二次函数y=x2-2mx+m2-2m。(1)求顶点坐标；(2)当 一1≤x≤1时，函数的最大值为4，求m的值。 解：(1)y=(x-m2-2m,所以顶点为(m,-2m)。 (2)抛物线开口向上，在闭区间上的最大值在离对称轴较远的端点取得。 当m≥0时，-1离m不小于1离m的距离，最大值为 (-1-m)2-2m=m+1。由m+1=4,结合m20,得m=V3。 当m<0时，1离m更远，最大值为(1-m2-2m=m2-4m+1。由 m2-4m+1=4,得m=2±V7;结合m<0,得m=2-V7。 综上，m=V3或2-V7。 第19页共19页