3.1.2 椭圆的简单几何性质 分层作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时）　分层作业 人教A版 · 选择性必修第一册 · 3.1.2（第 1 课时） 椭圆的简单几何性质 分 层 作 业 项目 内容 适用章节 第三章　圆锥曲线的方程　3.1.2（第 1 课时） 授课对象 高二年级 分层设计 基础巩固（4 题）、能力提升（4 题）、拓展探究（2 题）、完整参考答案 配套资源 课件（19 页）、教学设计、导学案 适用学年 2026—2027 学年 本作业单与课件、教学设计、导学案配套使用 · 数学教研组 学科网（北京）股份有限公司 一、基础巩固（必做） 目标：会用标准方程读出椭圆的范围、对称性、顶点、焦点与离心率；会比较两椭圆的“扁圆”。所有题目方法与教材例题、练习一致，数据经核对。 1. 求椭圆 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标与顶点坐标。　［教材 3.1 练习 2 改编］ 2. 求椭圆 的长半轴长、短半轴长、离心率与焦点坐标。（提示：先化为标准形式，再比较分母） 3. 已知椭圆的焦点在 轴上，求它的标准方程。　［习题 3.1 复习巩固 3 改编］ 4. 比较椭圆 与 哪个更扁，并说明理由。　［复习巩固 5 改编］ 二、能力提升（选做） 目标：强化“先化标准再判轴”、由性质求方程、焦点弦与焦点三角形的综合应用。 5. 求椭圆 的焦点坐标与离心率。 6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：经过点 与 　［教材 3.1 练习 3 改编］ 7. 已知椭圆 的左焦点为 过 且倾斜角为 的直线与椭圆交于 两点，求 　［教材 3.1 练习 2］ 8. 设 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点，且 求 的面积。　［焦点三角形］ 三、拓展探究（挑战） 目标：综合运用方程与几何意义，体会“数形结合”与“范围反求离心率”。 9. 用数形结合说明：椭圆上到中心距离最大和最小的点分别是什么？为什么？ 10. 若椭圆 上存在点 使 为钝角，求离心率 的取值范围。 四、参考答案 以下解答与题干一一对应，步骤完整，可直接作为讲评稿使用。 说明 · 判断焦点位置必须先化标准形式（两边同除以常数），再比较分母：分母大的那一项对应 焦点就在该项所在的轴上； 始终是较大分母的平方根。 · 离心率 且 ；椭圆的关系恒为 （区别于圆的 与双曲线的 ）。 · 焦点弦类问题固定套路：联立消元、韦达定理、弦长公式 切勿漏掉 学科网（北京）股份有限公司 $3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时）　分层作业 人教A版 · 选择性必修第一册 · 3.1.2（第 1 课时） 椭圆的简单几何性质 分 层 作 业 项目 内容 适用章节 第三章　圆锥曲线的方程　3.1.2（第 1 课时） 授课对象 高二年级 分层设计 基础巩固（4 题）、能力提升（4 题）、拓展探究（2 题）、完整参考答案 配套资源 课件（19 页）、教学设计、导学案 适用学年 2026—2027 学年 本作业单与课件、教学设计、导学案配套使用 · 数学教研组 学科网（北京）股份有限公司 一、基础巩固（必做） 目标：会用标准方程读出椭圆的范围、对称性、顶点、焦点与离心率；会比较两椭圆的“扁圆”。所有题目方法与教材例题、练习一致，数据经核对。 1. 求椭圆 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标与顶点坐标。　［教材 3.1 练习 2 改编］ 2. 求椭圆 的长半轴长、短半轴长、离心率与焦点坐标。（提示：先化为标准形式，再比较分母） 3. 已知椭圆的焦点在 轴上，求它的标准方程。　［习题 3.1 复习巩固 3 改编］ 4. 比较椭圆 与 哪个更扁，并说明理由。　［复习巩固 5 改编］ 二、能力提升（选做） 目标：强化“先化标准再判轴”、由性质求方程、焦点弦与焦点三角形的综合应用。 5. 求椭圆 的焦点坐标与离心率。 6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：经过点 与 　［教材 3.1 练习 3 改编］ 7. 已知椭圆 的左焦点为 过 且倾斜角为 的直线与椭圆交于 两点，求 　［教材 3.1 练习 2］ 8. 设 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点，且 求 的面积。　［焦点三角形］ 三、拓展探究（挑战） 目标：综合运用方程与几何意义，体会“数形结合”与“范围反求离心率”。 9. 用数形结合说明：椭圆上到中心距离最大和最小的点分别是什么？为什么？ 10. 若椭圆 上存在点 使 为钝角，求离心率 的取值范围。 四、参考答案 以下解答与题干一一对应，步骤完整，可直接作为讲评稿使用。 1. 由 知 故 长轴长 短轴长 离心率 项分母较大，焦点在 轴上，焦点坐标为 ；顶点为 。（对照关系 ） 2. 两边同除以 得 故 长半轴 短半轴 离心率 项分母较大，焦点在 轴上，坐标为 。（易错：必须先把系数化为分母形式，不能直接把 当 而判错轴。） 3. 焦点在 轴上，设标准方程为 由 得 由 得 于是 故标准方程为 。（若未指定焦点轴，则还需写出焦点在 轴的 ） 4. 对 对 化为 因为 而 越大椭圆越扁，所以 更扁。（比较扁圆看离心率大小，不看分母本身。） 5. 化为 故 项分母较大，焦点在 轴上，坐标为 ；离心率 。（注意：方程系数 与 不是分母，必须先改写成 ） 6. 设椭圆方程为 （先尝试焦点在 轴）。 代入 得 故 代入 得 故 此时 满足 成立。 故标准方程为 。（若先设焦点在 轴会得到 与 矛盾，故舍去，说明焦点确在 轴。） 7. 由 知 故 左焦点 倾斜角 斜率 直线 代入椭圆方程：两边乘 得 即 判别式 。（关键点： 是极易漏掉的因子。） 8. 由 知 设 由椭圆定义 又 故 即 得 所以 的面积 。（焦点三角形常用：定义 + 余弦定理/勾股定理 + 面积公式。） 9. 设椭圆上点 到中心距离平方 由 得 代入得 其中 当 时取最小值 （此时 ），最小距离点为 短轴端点 ； 当 时取最大值 （此时 ），最大距离点为 长轴端点 。（结论：到中心最近的是短轴端点、最远的是长轴端点。） 10. 为钝角 点 在以 为直径的圆内 短轴端点 处的角已大于 即 也就是 由 得 即 故 又椭圆 所以 。（提示：椭圆上使 最大的点恰为短轴端点，判断“存在钝角点”只需看该最大角。） 说明 · 判断焦点位置必须先化标准形式（两边同除以常数），再比较分母：分母大的那一项对应 焦点就在该项所在的轴上； 始终是较大分母的平方根。 · 离心率 且 ；椭圆的关系恒为 （区别于圆的 与双曲线的 ）。 · 焦点弦类问题固定套路：联立消元、韦达定理、弦长公式 切勿漏掉 学科网（北京）股份有限公司 $