3.1.2 第2课时 椭圆的简单几何性质分层梯度课时练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

新课标高中数学分层梯度题型精练 第三章 圆锥曲线的方程 椭圆 第 课时 椭圆的简单几何性质 人教A版（）高中数学选择性必修第一册 · 第三章 圆锥曲线的方程 分层梯度题型精练 一、单选题（共 题：中等题型 题、提高题型 题、近三年高考题型 题、创新题型 题） .（中等题型） 若直线 与椭圆 相切，且 ，则 （　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】联立 ，整理得 。相切等价于 解得 ，又 ，所以 。 故选 A。 .（中等题型） 直线 被椭圆 截得的弦长为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】C 【解析】联立 ，整理得 ，得 、，交点为 、，所以 故选 C。 .（提高题型） 若直线 与椭圆 相交，则实数 的取值范围是（　） A．　　 B．4 C． 或 　　 D． 或 【答案】D 【解析】联立 ，整理得 ，相交等价于 即4 ， 或 。 故选 D。 .（提高题型） 已知椭圆 与直线 交于 、 两点，线段 的中点为 ，则直线 的斜率为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】D 【解析】由点差法，。 （检验：直线 联立椭圆得 ，，弦存在。） 故选 D。 .（提高题型） 过椭圆 的焦点作直线与椭圆交于 、 两点，则 的最小值为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】过焦点的弦中，最短的是垂直于长轴的通径，长为 故选 A。 .（近三年高考题型） 【 · 新课标Ⅰ卷 · 高考真题】已知椭圆 的焦点为 、，过 的直线与 交于 、 两点。若 ，，则 的方程为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】B 【解析】设 ，则 ，。由椭圆定义： 得 ，。 又 ，所以 到 、 距离相等， 在 轴上，即 为椭圆的上（下）顶点，。 在等腰三角形 中（，），设 ，则 ，且 。由余弦定理 即 ，得 ；又 ，。所以 的方程为 。 故选 B。 .（近三年高考题型） 【 · 新课标Ⅱ卷 · 同源变式】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，直线 与 交于 、 两点，若 的面积是 面积的 倍，则 （　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】C 【解析】联立 ，整理得 ，相交要求 ，即 。 仿照例 ，，平方整理得 ，解得 或 ， 由 舍去 ，故 。 故选 C。 .（创新题型） 已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 、 两点， 为原点，则 面积的最大值为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】B 【解析】把椭圆 看作圆 上各点横坐标拉伸 倍得到。 圆中 面积的最大值为 （当且仅当 ，即圆心角为 时取得）， 拉伸后面积变为原来的 倍，所以最大面积为 。 （或用参数方程 、： ，当 即 时取等。） 故选 B。 二、多选题（共 题：高考题型） .（高考题型） 已知椭圆 与直线 （，），则下列说法正确的是（　） A．若 与 相切，则 B．当 且 时， 与 相交 C．当 时， 与 相切 D．若 与 交于 、 两点，则 的最大值为 【答案】ABD 【解析】联立 ，整理得 ，判别式 · A：相切 ，A正确； · B： 且 时，，，相交，B正确； · C： 时，： 时相切， 时相交， 时相离，「相切」说法片面，C错误； · D：椭圆的任何弦长不超过长轴 （长轴处的弦取到），D正确。 故选 ABD。 .（高考题型） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点， 为原点，则下列说法正确的是（　） A．直线 与 相切 B．若线段 的中点为 ，则直线 的斜率为 C．在 的条件下， D．若 是某弦的中点，则点 可以在椭圆 外部 【答案】ABC 【解析】A：联立 与 ：， · 即 ，，，相切（切点 恰在椭圆上），A正确； · B：由点差法，，B正确； · C：直线 与 联立得 ，，， · ，C正确； · D：弦的中点必在椭圆内部（在椭圆上时弦退化为切点，在椭圆外时无弦），D错误。 故选 ABC。 三、填空题（共 题：中等题型 题、提高题型 题） .（中等题型） 直线 被椭圆 截得的弦长为 ． 【答案】 【解析】把 代入椭圆方程：，得 ，。斜率不存在， 弦长为 .（提高题型） 过椭圆 的左焦点且倾斜角为 的直线与椭圆交于 、 两点，则 ． 【答案】 【解析】，左焦点 ，直线为 ，即 ，。 由焦点弦公式（推导 ）： （也可直接联立 ，得 ， ，，。） 四、解答题（共 题：中等题型 题、近三年高考题型 题、创新题型 题） .（中等题型） 已知椭圆 。 （）判断直线 与 的位置关系； （）求直线 被 截得的弦长。 【解析】（）联立 ，整理得 判别式 ，直线与椭圆相交。 （几何解释：直线过点 ，恰为椭圆的上顶点，故必相交； 两个交点的横坐标为 与 。） （）联立 ，整理得 判别式 ，，所以 .（中等题型） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点， 为原点。 （）求弦长 ； （）求 的面积。 【解析】（）联立 ，整理得 判别式 ，，所以 （2） 原点 到直线 的距离 ， 所以 .（近三年高考题型） 【 · 新课标Ⅱ卷 · 同源考法】已知椭圆 ，直线 。 （）若直线 与 相交，求实数 的取值范围； （）当 时，求直线 被 截得的弦长。 【解析】（）联立 ，整理得 。相交等价于 即 ，所以 。 （）当 时，方程为 ，解得 、，交点为 、， 所以 .（近三年高考题型） 【 · 新高考Ⅱ卷 · 同源考法】已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点，且线段 的中点为 。 （）求直线 的方程； （）求弦长 。 【解析】（）设 、，代入椭圆方程并作差： 由中点 知 、，代入得 所以直线 ：，即 （或 ）。 检验：联立得 ，，弦存在。 （）由 得 ，所以 弦长 （用 表示：，结果一致。） .（创新题型） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点， 为原点。 （）证明： 的充要条件是 ； （）在 的条件下，证明点 到直线 的距离为定值，并求 面积的取值范围。 【解析】（）设 、。联立 ，整理得 由韦达定理 ，，且 。 于是 ，即 。此时判别式 恒成立，充要条件成立。 （）由 得为定值。 弦长 记 ，则 。令 ，求导可得 ， 故 在 上递增、在 上递减，，。 所以 （ 在 时取得， 在 时取得）。由 ，得 即 面积的取值范围为 ，最大值 在 （此时 ）时取得。 第1页　共1页 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学分层梯度题型精练 第三章 圆锥曲线的方程 椭圆 第 课时 椭圆的简单几何性质 人教A版（）高中数学选择性必修第一册 · 第三章 圆锥曲线的方程 分层梯度题型精练 一、单选题（共 题：中等题型 题、提高题型 题、近三年高考题型 题、创新题型 题） .（中等题型） 若直线 与椭圆 相切，且 ，则 （　） A．　　 B． C．　　 D． .（中等题型） 直线 被椭圆 截得的弦长为（　） A．　　 B． C．　　 D． .（提高题型） 若直线 与椭圆 相交，则实数 的取值范围是（　） A．　　 B．4 C． 或 　　 D． 或 .（提高题型） 已知椭圆 与直线 交于 、 两点，线段 的中点为 ，则直线 的斜率为（　） A．　　 B． C．　　 D． .（提高题型） 过椭圆 的焦点作直线与椭圆交于 、 两点，则 的最小值为（　） A．　　 B． C．　　 D． .（近三年高考题型） 【 · 新课标Ⅰ卷 · 高考真题】已知椭圆 的焦点为 、，过 的直线与 交于 、 两点。若 ，，则 的方程为（　） A．　　 B． C．　　 D． .（近三年高考题型） 【 · 新课标Ⅱ卷 · 同源变式】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，直线 与 交于 、 两点，若 的面积是 面积的 倍，则 （　） A．　　 B． C．　　 D． .（创新题型） 已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 、 两点， 为原点，则 面积的最大值为（　） A．　　 B． C．　　 D． 二、多选题（共 题：高考题型） .（高考题型） 已知椭圆 与直线 （，），则下列说法正确的是（　） A．若 与 相切，则 B．当 且 时， 与 相交 C．当 时， 与 相切 D．若 与 交于 、 两点，则 的最大值为 .（高考题型） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点， 为原点，则下列说法正确的是（　） A．直线 与 相切 B．若线段 的中点为 ，则直线 的斜率为 C．在 的条件下， D．若 是某弦的中点，则点 可以在椭圆 外部 三、填空题（共 题：中等题型 题、提高题型 题） .（中等题型） 直线 被椭圆 截得的弦长为 ． .（提高题型） 过椭圆 的左焦点且倾斜角为 的直线与椭圆交于 、 两点，则 ． 四、解答题（共 题：中等题型 题、近三年高考题型 题、创新题型 题） .（中等题型） 已知椭圆 。 （）判断直线 与 的位置关系； （）求直线 被 截得的弦长。 .（中等题型） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点， 为原点。 （）求弦长 ； （）求 的面积。 .（近三年高考题型） 【 · 新课标Ⅱ卷 · 同源考法】已知椭圆 ，直线 。 （）若直线 与 相交，求实数 的取值范围； （）当 时，求直线 被 截得的弦长。 .（近三年高考题型） 【 · 新高考Ⅱ卷 · 同源考法】已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点，且线段 的中点为 。 （）求直线 的方程； （）求弦长 。 .（创新题型） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点， 为原点。 （）证明： 的充要条件是 ； （）在 的条件下，证明点 到直线 的距离为定值，并求 面积的取值范围。 第1页　共1页 学科网（北京）股份有限公司 $