16.2 整式的乘法 高频考点讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

16.2 整式的乘法 学习目标和重难点 1、掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，能用运算律解释算理。 2、能正确进行整式乘法运算，做到符号准确、不漏项，并能合并同类项得到最简结果。 3、会用整式乘法解决简单的几何面积、代数求值等问题，体会从“数”到“式”的运算推广。 重点：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则；乘法分配律在整式乘法中的应用。 难点：多项式乘多项式时做到不重不漏；正确处理各项符号，尤其是负号参与运算时的符号变化；区分系数相乘与同底数幂相乘，避免与幂的运算法则混淆。 高频考点题型◆归纳 知识梳理 针对训练 题型01 整式的乘法的运算 题型02 利用整式的乘法运算求值 题型03 整式的乘法的化简及化简求值 题型04 整式的乘法中的不含项与无关 题型05 整式的乘法的看错或错解 题型06 整式的乘法的运用 题型07 同底数幂的除法运算 题型08 同底数幂的除法的逆运用 题型09 零指数幂的计算及成立条件 题型10 整式的除法计算 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 洞悉◆教材核心知识 知识点一 整式的乘法 单项式与单项式相乘 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．其实质是运用了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质 示例 单项式与多项式相乘 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 示例 多项式与多项式相乘 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是把多项式相乘转化为单项式乘多项式 示例 【针对训练】 【典例精讲】如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面分开可组合成不同的图形．桌面的图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为，七张桌子总面积为，则与的关系可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式乘以单项式的应用，设每张桌面的宽为，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，可得大长方形的长与宽，结合面积公式可得答案. 【详解】解：由题意可得，设每张桌面的宽为，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方和单项式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键； 原式先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式训练2】规定“★”为一种新运算：．例如：．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减，单项式的乘法．原式利用题中的新定义化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 知识点二 整式的除法 1、同底数幂的除法 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 2、 单项式除以单项式 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．其实质是把单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，所得结果仍是单项式． 3、 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【针对训练】 【典例精讲】已知，则m和n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式法则可得，进而得到，，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， 故选：D． 【变式训练1】若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则 ． 【答案】 【分析】利用可求出，进一步可得：，，，进一步可求出，，，相加即可求出． 【详解】解：由题意可知： ， ∴， ∴，，， 解之得：，，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查多项式系数中的字母求值，单项式乘多项式，解题的关键是理解题意，找出，令其系数对应相等即可解答． 【变式训练2】若被除后余3，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据被除后余3，判断出为的一个因式，再根据特殊值法求得的值． 【详解】解：∵被除后余3， ∴可被整除， ∴为的一个因式， ∴当，即时，， 即， 解得． 故答案为：． 高频考题典例精析 题型01 整式的乘法的运算 【典例1】计算： （1）x2y⋅（﹣2x3y）2； （2）（﹣a2b）3+a4b⋅（﹣2ab）2． 【答案】（1）4x8y3；（2）3a6b3． 【解答】解：（1）x2y⋅（﹣2x3y）2 ＝x2y×4x6y2 ＝4x8y3； （2）（﹣a2b）3+a4b⋅（﹣2ab）2 ＝﹣a6b3+a4b×4a2b2 ＝﹣a6b3+4a6b3 ＝3a6b3； 【变式1】计算： （1）； （2）（﹣2m）2•（﹣m•m2+3m3）． 【答案】（1）24a2b﹣8ab2． （2）8m5． 【解答】解：（1） ＝24a2b﹣8ab2． （2）（﹣2m）2•（﹣m•m2+3m3） ＝4m2•（﹣m3+3m3） ＝4m2•2m3 ＝8m5． 题型02 利用整式的乘法运算求值 【典例1】若（x+3）（x﹣2）＝x2+kx﹣6，则k的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1 【答案】D 【解答】解：展开左边的多项式乘积可得： （x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6＝x2+kx﹣6， ∴k＝1， 故选：D． 【变式1】若（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n，则m，n的值分别为（　　） A．m＝1，n＝﹣6 B．m＝5，n＝6 C．m＝1，n＝6 D．m＝5，n＝﹣6 【答案】A 【解答】解：∵（y+3）（y﹣2）＝y2﹣2y+3y﹣6＝y2+y﹣6， ∵（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n， ∴y2+my+n＝y2+y﹣6， ∴m＝1，n＝﹣6． 故选：A． 题型03 整式的乘法的化简及化简求值 【典例1】化简：． 【答案】． 【解答】解：原式 ． 【变式1】化简： （1）（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4； （2）（﹣3ab）（2a2b+ab﹣1）． 【答案】（1）3m8；（2）﹣6a3b2﹣3a2b2+3ab． 【解答】解：（1）（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4 ＝m8+m8+m4•m4 ＝m8+m8+m8 ＝3m8； （2）（﹣3ab）（2a2b+ab﹣1） ＝﹣3ab•2a2b﹣3ab•ab+3ab ＝﹣6a3b2﹣3a2b2+3ab． 题型04 整式的乘法中的不含项与无关 【典例1】若多项式2x2﹣（2x+m）（x﹣2n）+3的值与x的取值无关，则m和n满足（　　） A．m＝4n B．m＝0且n＝0 C．4m＝n D．m+4n＝0 【答案】A 【解答】解：2x2﹣（2x+m）（x﹣2n）+3 ＝2x2﹣（2x2﹣4nx+mx﹣2mn）+3 ＝2x2﹣2x2+4nx﹣mx+2mn+3 ＝（4n﹣m）x+2mn+3， ∵多项式2x2﹣（2x+m）（x﹣2n）+3的值与x的取值无关， ∴4n﹣m＝0， ∴m＝4n． 故选：A． 【变式1】已知A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，若A•B+C的值与x的取值无关，当x＝﹣4时，A的值为（　　） A．0 B．4 C．﹣4 D．2 【答案】B 【解答】解：∵A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5， ∴A•B+C ＝（x2+3x﹣a）（﹣x）+（x3+3x2+5） ＝﹣x3﹣3x2+ax+x3+3x2+5 ＝ax+5， ∵A•B+C的值与x的取值无关， ∴a＝0， ∴A＝x2+3x﹣a＝x2+3x， 当x＝﹣4时，A＝（﹣4）2+3×（﹣4）＝4， 故选：B． 题型05 整式的乘法的看错或错解 【典例1】在计算（ax+1）（2x+b）时，小泉同学看错了b的值，计算结果为2x2+6x+4；小张同学看错了a的值，计算结果为4x2+12x+5． （1）求a，b的值． （2）计算（ax+1）（2x+b）的正确结果． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵（ax+1）（2x+b） ＝2ax2+abx+2x+b， ∴2a＝2，b＝5， 解得a＝1，b＝5； （2）由（1）题结果可得， （ax+1）（2x+b） ＝（x+1）（2x+5） ＝2x2+5x+2x+5 ＝2x2+7x+5． 【变式1】在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果：x2+x﹣6． （1）求出a，b的值； （2）在（1）的条件下，计算（x+a）（x+b）的结果． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12， （x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2+x﹣6， 所以6+a＝8，﹣a+b＝1， 解得：a＝2，b＝3； （2）当a＝2，b＝3时，（x+a）（x+b）＝（x+2）（x+3）＝x2+5x+6． 题型06 整式的乘法的运用 【典例1】从前，一位庄园主把一块长为（a+5）米，宽为（b+6）米（a＞b＞0）的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：（a+5）（b+6） ＝ab+6a+5b+30， （a+5+5）（b+6﹣5） ＝（a+10）（b+1） ＝ab+a+10b+10， ∴（a+5）（b+6）﹣（a+10）（b+1） ＝ab+6a+5b+30﹣ab﹣a﹣10b﹣10 ＝5a﹣5b+20 ＝5（a﹣b）+20＞0， ∴（a+5）（b+6）＞（a+5+5）（b+6﹣5）， ∴张老汉的租地面积会变小， 故选：A． 【变式1】如图所示的是人民公园的一块长为（2m+n）米，宽为（m+2n）米的空地．计划在空地上建造一个网红打卡观景台，如图中阴影部分所示． （1）请用含m，n的式子表示观景台的面积；（结果化为最简，单位：m） （2）已知修建观景台每平方米的费用为200元．若m＝5，n＝4，则修建观景台的费用为多少元？ 【答案】（1）（7mn+2n2﹣m2）m2； （2）29400元． 【解答】解：（1）观景台的面积＝（2m+n）（m+2n﹣m+n）﹣（m﹣n）2﹣mn ＝（2m+n）×3n﹣m2+2mn﹣n2﹣mn ＝6mn+3n2﹣m2+2mn﹣n2﹣mn ＝7mn+2n2﹣m2． 答：观景台的面积为（7mn+2n2﹣m2）m2． （2）当m＝5，n＝4时， 修建观景台的费用为：200×（7mn+2n2﹣m2） ＝200×（7×5×4+2×16﹣25） ＝200×（140+32﹣25） ＝200×147 ＝29400（元）． 答：若m＝5，n＝4，修建观景台的费用为29400元． 题型07 同底数幂的除法运算 【典例1】计算：（1）﹣m9÷m3；（2）（﹣a）6÷（﹣a）3；（3）（﹣8）6÷（﹣8）5；（4）62m+3÷6m． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）﹣m9÷m3＝﹣1×m9﹣3＝﹣m6； （2）（﹣a）6÷（﹣a）3＝（﹣a）6﹣3＝（﹣a）3＝﹣a3； （3）（﹣8）6÷（﹣8）5＝（﹣8）6﹣5＝（﹣8）1＝﹣8； （4）62m+3÷6m＝6（2m+3）﹣m＝6m+3． 【变式1】计算： （1）（﹣a）5÷a3． （2）xm÷x÷x． （3）﹣x11÷（﹣x）6•（﹣x）5． （4）（x﹣2y）4÷（2y﹣x）2÷（x﹣2y）． （5）a4÷a2+a•a﹣（3a）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝﹣a5÷3＝﹣a2； （2）原式＝xm﹣1﹣1＝xm﹣2； （3）原式＝﹣x11÷x6•（﹣x5） ＝x11﹣6+5 ＝x10； （4）原式＝（x﹣2y）4÷（x﹣2y）2÷（x﹣2y） ＝（x﹣2y）1 ＝x﹣2y； （5）原式＝a2+a2﹣9a2 ＝﹣7a2． 题型08 同底数幂的除法的逆运用 【典例1】已知am﹣n＝2，am＝8，则an的值是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【解答】解：∵am﹣n＝am÷an＝2， am＝8， ∴8÷an＝2， ∴an＝4． 故答案为：D． 【变式1】已知xa＝3，xb＝5，则x2a﹣3b＝（　　） A． B． C． D．15 【答案】A 【解答】解：∵xa＝3，xb＝5， ∴x2a﹣3b＝x2a÷x3b＝（xa）2÷（xb）3＝32÷53． 故选：A． 题型09 零指数幂的计算及成立条件 【典例1】计算（﹣2024）0＝（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2024 【答案】A 【解答】解：（﹣2024）0＝1． 故选：A． 【变式1】（π﹣2025）0的值为（　　） A．π﹣2025 B．1 C．2025﹣π D．0 【答案】B 【解答】解：（π﹣2025）0＝1， 故选：B． 题型10 整式的除法计算 【典例1】若长方形面积是3a2﹣3ab+9a，一边长为3a，则这个长方形的宽是（　　） A．8a﹣2b+6 B．2a﹣2b+6 C．a+b+3 D．a﹣b+3 【答案】D 【解答】解：根据长方形面积除以其一边长可得： （3a2﹣3ab+9a）÷3a ＝3a2÷3a﹣3ab÷3a+9a÷3a ＝a﹣b+3， 故选：D． 【变式1】计算： （1）（n3﹣7mn2n5）n2＝nm+n3 ； （2）（12x4y6﹣8x2y4﹣16x3y5）÷4x2y3＝　3x2y3﹣2y﹣4xy2 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（n3﹣7mn2n5）n2， n3n2﹣7mn2n2n5n2， ＝nm+n3； （2）（12x4y6﹣8x2y4﹣16x3y5）÷4x2y3， ＝12x4y6÷4x2y3﹣8x2y4÷4x2y3﹣16x3y5÷4x2y3， ＝3x2y3﹣2y﹣4xy2． 故填空答案：（1）nm+n3；（2）3x2y3﹣2y﹣4xy2． 1．下列运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，A错误． ，B错误． ，C错误． ，D正确． 故答案为D． 2．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式运算的基本法则，需要根据同底数幂的乘除法、积的乘方、单项式乘多项式的运算法则，逐一验证选项得到正确结果． 【详解】对于A选项，，计算结果正确，所以A符合要求； 对于B选项，，所以B错误； 对于C选项，，所以C错误； 对于D选项，，所以D错误． 综上，正确选项为A． 4．小明家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的长方形示意图如图所示．现要进行修补，有三种地砖可供选择，则需要砖（     ） A．张 B．张 C．张 D．张 【答案】D 【分析】根据题意计算出破损的总面积，然后计算分别需要三种砖的数量即可求解． 【详解】解：根据题意得：破损的总面积， 计算每一块三种砖的面积为：砖的面积；砖的面积；砖的面积， ∴需要三种砖的数量分别为：0，6，2块． 5．若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则展开左边表达式，比较同类项系数求即可. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：C. 6．若，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴，． 7．若展开式中不含有的一次项，则的值为______． 【答案】 【分析】展开原式，令的一次项系数为，即可求解的值． 【详解】解：， 展开式中不含有的一次项， ， 解得． 8．已知的展开式中，不含有和，则_______，_______． 【答案】 【分析】这个式子可化简为，由题意得，和两项的系数为零，代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 其展开式中，不含有和， ，解得． 9．已知，，则的值为_____． 【答案】3 【详解】解：∵，， ∴ ． 10．用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要______张． 【答案】6 【分析】根据长方形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：由题可知：，，类卡片的面积分别为，，， 长方形的长为，宽为， 长方形的面积：， ，，类卡片一共需要（张）． 11．先化简，再求值：，其中． 【答案】；10 【分析】先根据单项式乘多项式运算法则，多项式乘多项式运算法则，合并同类项法则，进行化简，然后代入数值计算即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 12．定义新运算：，，等式右边是通常的加法、乘法运算． (1)求的值； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算以及整式的乘法运算： （1）根据有理数的运算法则计算即可； （2）根据整式乘法的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 13．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据单项式除法法则化简左边，得， ∵等式右边为， ∴对应字母的指数相等， ∴，， 由解得，将代入，得， 解得． 14．下列运算错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，故此选项错误，符合题意； B、，故此选项正确，不符合题意； C、，故此选项正确，不符合题意； D、，故此选项正确，不符合题意． 15．记p进制数a在p进制下表示为，例如，若，则（     ） A．154 B．155 C．156 D．157 【答案】C 【分析】根据进制转换规则，将不同进制数转为十进制数，列方程求b，再计算目标数的十进制值． 【详解】解：由进制转换规则得：，， ∵， ∴， 化简得：， 解得：， ∵进制基数需大于各位数字，，符合要求， ∴． 16．如图，将两个正方形并排放在一起，大正方形的边长为，小正方形的边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个空白三角形的面积． 【详解】解：图中阴影部分的面积可表示为： ． 17．若，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：， ∵ ， ∴ ，， 解得，． 18．按照图①的程序进行计算，按照图②的程序进行计算．下列说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算每个选项中等式左右两边式子，再比较即可． 【详解】解：，，即，故A正确；      ， ， 故，B错误； ，，故C错误；      ， ， ，故D错误． 19．已知的展开式中不含的一次项，且的系数为，则的值为________． 【答案】8 【分析】根据展开式中不含的一次项，且的系数为，求得m、n值，然后代入计算即可求解． 【详解】解：， ∵展开式中不含的一次项，且的系数为， ∴，， 解得，， ∴． 20．若，，则________． 【答案】 【分析】将所求指数式利用幂的运算法则变形为用已知和表示的形式，再代入数值计算即可. 【详解】解：， ， 将，代入得. 21．如图，长方形是由两个长为，宽为的长方形和，两个相同的大正方形和，以及小正方形无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，则的值是________． 【答案】 【分析】设小正方形的边长为，先根据边长关系得出，再根据阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍建立等式，化简即可得． 【详解】解：设小正方形的边长为， 由图可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∵阴影部分（四个直角三角形）的面积为，正方形的面积为，且阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍， ∴，即， 整理得：， ∴， ∴， ∴． 22．若，，，则__________． 【答案】100 【分析】利用幂的运算法则将所求式子变形，转化为已知幂的乘除运算，代入数值计算即可． 【详解】解：先变形已知的，可得， 由题意得， ∵， ∴将，，代入得：． 23．已知，． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴． ∴， ∴. 24．张如图的长为，宽为的小长方形纸片，按图的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设长为，长为，分别表示出左上角与右下角阴影部分的面积，作差后令含项的系数为0即可求解． 【详解】解：设，， 由图可知，左下角2个小长方形竖放，总宽为，高为，右上角4个小长方形横放，总高为，长为，左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ∴ ， ∵始终保持不变，与的长度无关， ∴， ∴． 25．根据等式：， ， ， ……的规律， 则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要先观察题干给出的等式，归纳出通用规律：．令，套用规律求出的值，再减去多余的，即可算出所求式子． 【详解】解：∵， ， ， …… ∴， 令，得 ， ∴， 26．某工厂生产一批产品，第批次的成本为万元，其中是原材料单价（万元/吨），从第2批次到第批次的累计成本为万元，则的值为（     ） A． B． C．40 D．44 【答案】B 【分析】先展开第k批次成本的多项式，再根据累计成本的系数特征确定批次个数，求出p和m的值，最终计算． 【详解】解：， ∵展开后每个批次成本的一次项系数均为，题目给出累计成本的一次项系数为， ∴从第2批次开始共有个批次相加． ∵展开后每个批次的二次项系数都是， ∴累计二次项系数， ， ∴， ∴， ∴． 27．已知整式，其中n，为正整数，，…，，为自然数，，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，下列说法： ①当时，满足条件的所有整式M为单项式； ②当时，满足所有条件的M中二次三项式共有3个； ③当，，时，； ④当时，存在，，，，，使得M可以写出的形式，其中p，q为正整数． 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据题意确定系数和与次数和的表达式，，，再结合条件，逐个判断四个说法即可． 【详解】解：① 当时，，，即． 为正整数，为自然数，， 只有，是单项式，①正确． ② 当时，，，即． 二次三项式要求，且，列举得： ，共3个，②正确． ③ 当时，，，即． 当时，，整理得． 联立两式得：，解得，③正确． ④ 当时，，． 展开， ∴． ∴系数和， ，由得， ． 取，得，满足，符合所有条件，④正确． 四个说法都正确，故正确个数为． 28．已知多项式，其中，，，，，均为整数，则__________． 【答案】5或 【分析】将展开，对应相等得出，，，，，，再结合，，，，，均为整数，分情况讨论即可得出结果． 【详解】解： ， ∵多项式， ∴，，，，，， ∵，，，，，均为整数， ∴或， 当时，则，结合可得，或，， 当时，则，结合可得，，或，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，； 当时，则，结合可得，，或，， 当时，则，结合可得，，或，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，； 综上所述，或． 29．若关于的代数式的展开式中的系数为3，则的值为_______． 【答案】2 【分析】先化简代数式，根据的系数求出的值，再计算所求绝对值式子的值，得到最终的值． 【详解】解：设，则原代数式化为， 将代回，展开得， ∵展开式中的系数为， ∴，解得， 将代入，得， ∴所求的值为． 30．如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 【答案】 36 【分析】设，，利用a，b表示出图中的阴影部分面积与长方形面积，然后根据可得a，b的关系式，然后可求周长． 【详解】解：设，， 由图可得，，， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， ∴． 31．设多项式，，其中，，，为常数，和表示取某数时对应多项式的值，如：．已知两个多项式恒满足：，则称为对称积对． (1)根据对称积对定义，写出，，，之间的关系式________． (2)已知为对称积对，，，，为整数． ①若，证明：． ②当，，求的值． ③若，当，时，求的最小值． 【答案】(1) (2)①证明：由（1）可得 当时， ∵，则 ∴； ②； ③ 【分析】（1）分别计算，，，的值，代入条件，即可求解； （2）①，将代入第一问得到的关系式，因为，所以可以对等式进行变形推导，得到和的关系。 ②，先利用和联立方程求解的值，再利用得到的关系式，结合第一问的参数关系式，联立求解，最后计算； 对于③，先由得到的一个等式，结合第一问的关系式，推导与的关系，再代入，得出，，进而求得关于的代数式，根据随的增大而减小，取得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， ， ∵ ∴ ∴ 即， ∴； （2）①略； ②由，得：，则 由，得，则 联立，解得： 由，得 ∴ 代入得， 解得： ∴ ∴； ③∵ ∴ ∴ 设，则 ∵ ∴， 代入得， ∴ ∵，即，即 ∴ ∴ ∴ ∴， 代入得 ∴ 即 ∴ ∵， ∴， 又∵为整数，则 ∵ ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.2 整式的乘法 学习目标和重难点 1、掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，能用运算律解释算理。 2、能正确进行整式乘法运算，做到符号准确、不漏项，并能合并同类项得到最简结果。 3、会用整式乘法解决简单的几何面积、代数求值等问题，体会从“数”到“式”的运算推广。 重点：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则；乘法分配律在整式乘法中的应用。 难点：多项式乘多项式时做到不重不漏；正确处理各项符号，尤其是负号参与运算时的符号变化；区分系数相乘与同底数幂相乘，避免与幂的运算法则混淆。 高频考点题型◆归纳 知识梳理 针对训练 题型01 整式的乘法的运算 题型02 利用整式的乘法运算求值 题型03 整式的乘法的化简及化简求值 题型04 整式的乘法中的不含项与无关 题型05 整式的乘法的看错或错解 题型06 整式的乘法的运用 题型07 同底数幂的除法运算 题型08 同底数幂的除法的逆运用 题型09 零指数幂的计算及成立条件 题型10 整式的除法计算 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 洞悉◆教材核心知识 知识点一 整式的乘法 单项式与单项式相乘 法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．其实质是运用了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的性质 示例 单项式与多项式相乘 法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式 示例 多项式与多项式相乘 法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．其实质是把多项式相乘转化为单项式乘多项式 示例 【针对训练】 【典例精讲】如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面分开可组合成不同的图形．桌面的图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为，七张桌子总面积为，则与的关系可以表示为 ． 【变式训练1】计算： ． 【变式训练2】规定“★”为一种新运算：．例如：．计算： ． 知识点二 整式的除法 1、同底数幂的除法 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 2、 单项式除以单项式 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．其实质是把单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，所得结果仍是单项式． 3、 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【针对训练】 【典例精讲】已知，则m和n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练1】若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则 ． 【变式训练2】若被除后余3，则的值为 ． 高频考题典例精析 题型01 整式的乘法的运算 【典例1】计算： （1）x2y⋅（﹣2x3y）2； （2）（﹣a2b）3+a4b⋅（﹣2ab）2． 【变式1】计算： （1）； （2）（﹣2m）2•（﹣m•m2+3m3）． 题型02 利用整式的乘法运算求值 【典例1】若（x+3）（x﹣2）＝x2+kx﹣6，则k的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1 【变式1】若（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n，则m，n的值分别为（　　） A．m＝1，n＝﹣6 B．m＝5，n＝6 C．m＝1，n＝6 D．m＝5，n＝﹣6 题型03 整式的乘法的化简及化简求值 【典例1】化简：． 【变式1】化简： （1）（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4； （2）（﹣3ab）（2a2b+ab﹣1）． 题型04 整式的乘法中的不含项与无关 【典例1】若多项式2x2﹣（2x+m）（x﹣2n）+3的值与x的取值无关，则m和n满足（　　） A．m＝4n B．m＝0且n＝0 C．4m＝n D．m+4n＝0 【变式1】已知A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，若A•B+C的值与x的取值无关，当x＝﹣4时，A的值为（　　） A．0 B．4 C．﹣4 D．2 题型05 整式的乘法的看错或错解 【典例1】在计算（ax+1）（2x+b）时，小泉同学看错了b的值，计算结果为2x2+6x+4；小张同学看错了a的值，计算结果为4x2+12x+5． （1）求a，b的值． （2）计算（ax+1）（2x+b）的正确结果． 【变式1】在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果：x2+x﹣6． （1）求出a，b的值； （2）在（1）的条件下，计算（x+a）（x+b）的结果． 题型06 整式的乘法的运用 【典例1】从前，一位庄园主把一块长为（a+5）米，宽为（b+6）米（a＞b＞0）的长方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【变式1】如图所示的是人民公园的一块长为（2m+n）米，宽为（m+2n）米的空地．计划在空地上建造一个网红打卡观景台，如图中阴影部分所示． （1）请用含m，n的式子表示观景台的面积；（结果化为最简，单位：m） （2）已知修建观景台每平方米的费用为200元．若m＝5，n＝4，则修建观景台的费用为多少元？ 题型07 同底数幂的除法运算 【典例1】计算：（1）﹣m9÷m3；（2）（﹣a）6÷（﹣a）3；（3）（﹣8）6÷（﹣8）5；（4）62m+3÷6m． 【变式1】计算： （1）（﹣a）5÷a3． （2）xm÷x÷x． （3）﹣x11÷（﹣x）6•（﹣x）5． （4）（x﹣2y）4÷（2y﹣x）2÷（x﹣2y）． （5）a4÷a2+a•a﹣（3a）2． 题型08 同底数幂的除法的逆运用 【典例1】已知am﹣n＝2，am＝8，则an的值是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式1】已知xa＝3，xb＝5，则x2a﹣3b＝（　　） A． B． C． D．15 题型09 零指数幂的计算及成立条件 【典例1】计算（﹣2024）0＝（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2024 【变式1】（π﹣2025）0的值为（　　） A．π﹣2025 B．1 C．2025﹣π D．0 题型10 整式的除法计算 【典例1】若长方形面积是3a2﹣3ab+9a，一边长为3a，则这个长方形的宽是（　　） A．8a﹣2b+6 B．2a﹣2b+6 C．a+b+3 D．a﹣b+3 【变式1】计算： （1）（n3﹣7mn2n5）n2＝ ； （2）（12x4y6﹣8x2y4﹣16x3y5）÷4x2y3＝ 1．下列运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．小明家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的长方形示意图如图所示．现要进行修补，有三种地砖可供选择，则需要砖（     ） A．张 B．张 C．张 D．张 5．若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 6．若，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 7．若展开式中不含有的一次项，则的值为______． 8．已知的展开式中，不含有和，则_______，_______． 9．已知，，则的值为_____． 10．用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要______张． 11．先化简，再求值：，其中． 12．定义新运算：，，等式右边是通常的加法、乘法运算． (1)求的值； (2)化简：． 13．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．下列运算错误的是（     ） A． B． C． D． 15．记p进制数a在p进制下表示为，例如，若，则（     ） A．154 B．155 C．156 D．157 16．如图，将两个正方形并排放在一起，大正方形的边长为，小正方形的边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（     ） A． B． C． D． 17．若，则（     ） A．， B．， C．， D．， 18．按照图①的程序进行计算，按照图②的程序进行计算．下列说法正确的有（     ） A． B． C． D． 19．已知的展开式中不含的一次项，且的系数为，则的值为________． 20．若，，则________． 21．如图，长方形是由两个长为，宽为的长方形和，两个相同的大正方形和，以及小正方形无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，则的值是________． 22．若，，，则__________． 23．已知，． (1)求的值． (2)若，求的值． 24．张如图的长为，宽为的小长方形纸片，按图的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足（     ） A． B． C． D． 25．根据等式：， ， ， ……的规律， 则等于（     ） A． B． C． D． 26．某工厂生产一批产品，第批次的成本为万元，其中是原材料单价（万元/吨），从第2批次到第批次的累计成本为万元，则的值为（     ） A． B． C．40 D．44 27．已知整式，其中n，为正整数，，…，，为自然数，，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，下列说法： ①当时，满足条件的所有整式M为单项式； ②当时，满足所有条件的M中二次三项式共有3个； ③当，，时，； ④当时，存在，，，，，使得M可以写出的形式，其中p，q为正整数． 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．已知多项式，其中，，，，，均为整数，则__________． 29．若关于的代数式的展开式中的系数为3，则的值为_______． 30．如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 31．设多项式，，其中，，，为常数，和表示取某数时对应多项式的值，如：．已知两个多项式恒满足：，则称为对称积对． (1)根据对称积对定义，写出，，，之间的关系式________． (2)已知为对称积对，，，，为整数． ①若，证明：． ②当，，求的值． ③若，当，时，求的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $