16.2 整式的乘法 讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学“16.2 整式的乘法”核心内容，系统涵盖单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式法则及整式除法（同底数幂相除、单项式除以单项式、多项式除以单项式）。基于16.1幂的运算，为16.3乘法公式和16.4因式分解铺垫，构建知识递进支架。 资料亮点在于分层训练（A组基础、B组提高、C组挑战）适配不同学生，几何应用（面积分割图、无盖盒子问题）培养几何直观与模型意识，预习-探究-小结闭环设计提升推理意识。课中探究留白引导思考，课后参考答案助力查漏补缺，有效落实核心素养。

人教版数学八年级上册 · 第十六章 整式的乘法 · 16.2 整式的乘法(学生用书) 16.2 整式的乘法 学生用书 · 2026—2027学年 人教版数学八年级上册(2024版) · 4课时 亲爱的同学,本节我们学习"16.2 整式的乘法"。本节内容分为 4 课时: 单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、整式的除法。 每课时的结构: 学习目标 → 课前预习 → 课内探究 → 分层训练(A 组基础 / B 组提高 / C 组挑战) → 课堂小结 → 参考答案。 请按顺序使用本用书: 课前完成"预习导航",课堂跟随"课内探究"留白作答,课后独立完成"分层训练"对应题目,最后核对"参考答案"。 课时 1 · 16.2.1 单项式与单项式相乘 【一、学习目标】 1. 理解单项式乘单项式的法则(三句话: 系数相乘、同底数幂相乘、独有字母带指数)。 2. 能运用法则进行单项式乘单项式的运算,并能识别"积的乘方"或"幂的乘方"的隐藏结构。 3. 体会从特殊到一般的归纳思想。 【二、预习导航(课前填空)】 1. 课本 P103 引言: 光速约为 3× km/s,太阳光到地球时间约为 5× s,地球到太阳的距离约为 ____ km(用科学记数法表示)。 2. 把数字换成字母,计算 * = ____。 3. 单项式乘单项式的法则: 把它们的 ____ 和 ____ 分别相乘作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的 ____ 作为积的一个因式。 4. 单项式 3x 和 2 相乘,结果是 ____(写系数与指数)。 5. 单项式 (-5) 和 (-3a) 相乘,符号为 ____(填"正"或"负")。 【三、课内探究(课本 P103 例 1,留白作答)】 【探究一】 课本 P103 例 1 第(1)题: 计算 * 。 思路提示: 先____(系数相乘),再____(同底数幂相乘)。 解: 原式 = ____(请补全) 【探究二】 课本 P103 例 1 第(2)题: 计算 。 解: 原式 = ____ 【探究三】 课本 P103 例 1 第(3)题: 计算 * 。 提示: 先算 ____ = ____,再相乘。 解: 原式 = ____ 【探究四】 课本 P103 例 1 第(4)题: 计算 。 提示: 先算 ____(幂的乘方)= 与 ____(幂的乘方)= ,再相乘。 解: 原式 = ____(请补全) 图 16.2-1 课本 P103 引言: 光速 × 时间 = 距离 图 16.2-2 单项式乘单项式法则 【四、分层训练】 【A 组(基础过关,模仿例题)】 1. 课本 P104 练习第 1 题: 判断下列计算是否正确,不正确的改错。 (1) 3x * 2x = (2) 3x * (-4) = -12x (3) 5a * 3a = 15a (4) * = 2. 课本 P104 练习第 2-4 题: = ____ (3) (-) * = ____ * = ____ 【B 组(提高拓展,综合应用)】 1. 计算: b * (-3ab) * = ____。 2. 先化简,再求值: x * * ,其中 x = 。 3. 若单项式 - 与 * 是同类项,求这两个单项式的积。 【C 组(挑战题,中考衔接)】 1. 计算: = ____。 2. 已知 = 8, = 4, 求 2^(m+n) 与 2^(m-n) 的值。 【五、课堂小结(填空)】 1. 单项式乘单项式的三句话口诀: ____、____、____。 2. (-2)(-3x) = ____(写系数,各字母指数)。 3. 单项式 5a 与 的积为 ____。 【六、参考答案(课时 1)】 预习: 1. 1.5× km; 2. ; 3. 系数、同底数幂、指数; 4. 6x; 5. 正。 探究: (1) ;(2) b;(3) -;(4) 。 A 组: 1. (1)√ (2)√ (3)× (应 ) (4)√; 2. - / c / -。 B 组: 1. -; 2. = ; 3. 由 m=3, n=3,积为 -。 C 组: 1. ; 2. 2^(m+n) = = 128, 2^(m-n) = = 2。 小结: 1. 系数相乘、同底数幂相乘、独有字母带指数; 2. 6x; 3. 。 课时 2 · 16.2.2 单项式与多项式相乘 【一、学习目标】 1. 理解单项式乘多项式的分配律本质: p(a+b+c) = pa + pb + pc。 2. 能用分配律逐项展开,正确处理各项符号(包括常数项)。 3. 体会整式乘法的"转化思想": 把多项式乘法转化为单项式乘法。 【二、预习导航(课前填空)】 1. 课本 P104 图16.2-1: 面积分割图表明 p(a+b+c) = ____。 2. 单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的 ____,再把所得的积 ____。 3. 写出 3x(2x+5) = ____ + ____(两项分别)。 4. (-2)(3a-5) = ____(两项分别)。 5. = ____(展开两项)。 【三、课内探究(课本 P105 例 2,留白作答)】 【探究一】 课本 P105 例 2 第(1)题: 计算 (-4)(3x+1)。 提示: 用分配律,先乘 3x,再乘 1,符号由 -4 决定。 解: 原式 = ____ 【探究二】 课本 P105 例 2 第(2)题: 计算 * ab。 提示: 逐项相乘,系数为分数需化简为最简分数。 解: 原式 = ____ 【探究三】 课本 P105 例 2 第(3)题: 计算 (x - 3y) * 。 提示: 系数 1×4 = 4,字母按同底数幂相乘。 解: 原式 = ____ 【探究四】 课本 P105 例 2 第(4)题: 计算 x(y-z) - y(z-x) + z(x-y)。 提示: 整式混合运算,先乘后加减,合并同类项。 解: 原式 = ____ 图 16.2-3 课本 P104 图16.2-1 面积分割图 图 16.2-4 单项式乘多项式法则 【探究五】 课本 P105 例 3: 一张长方形硬纸片,长为 ( + ) m,宽为 m,四角各剪去一个边长为 () m 的小正方形,折成无盖盒子,求盒子表面积。 图 16.2-5 课本 P105 例 3 剪角折盒 解: 硬纸片面积 = ____;小正方形面积 = ____;无盖盒子表面积 = ____。 【四、分层训练】 【A 组(基础过关)】 1. 课本 P106 练习第 1-2 题: (1) 计算: -2x = ____; (2) 计算: a = ____。 2. 课本 P106 练习第 3 题: 化简 x(x-1) + 2x(x+1) - 3x(2x-5) = ____。 3. 课本 P106 练习第 4 题: 化简求值 x(x+1) - x(x-1),其中 x = ,结果 = ____。 【B 组(提高拓展)】 1. 计算: ( y - + 5xy) * (-6xy) = ____。 2. 先化简,再求值: 2a(a+b) - 3a(a-b),其中 a = 2, b = -1,结果 = ____。 3. 课本 P105 例 3 拓展: 若硬纸片长改为 ( + ) m,宽为 m,剪去边长 () m 的小正方形,求无盖盒子表面积。 【C 组(挑战题)】 1. 已知 (2-nx++) 的结果中不含 x 的五次项,求 m 的值。 2. 若 a+b = 3,ab = 2,求 b + 的值。 【五、课堂小结(填空)】 1. 单项式乘多项式的法则: 用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积 ____。 2. 2x(3x-1) = ____ + ____(两项分别)。 3. = ____(两项分别,化简)。 【六、参考答案(课时 2)】 预习: 1. pa+pb+pc; 2. 每一项、相加; 3. , 15x; 4. -6a, 10; 5. -, b。 探究: (1) -12x-4; (2) - ; (3) - ; (4) 2xy - 2yz。 探究 5: 硬纸片面积 = +;小正方形面积 = ;无盖盒子表面积 = +。 A 组: 1. (1) -+-8x; (2) -b+; 2. -+18x; 3. 1。 B 组: 1. -+-; 2. +5ab, 代入 a=2,b=-1 得 8-10 = -2; 3. (+)* = +,小正方形 = ,表面积 = + - 4* = - + 。 C 组: 1. 由不含 项得 m = 0; 2. ab(a+b) = 2*3 = 6。 小结: 1. 相加; 2. , -2x; 3. -, 。 课时 3 · 16.2.3 多项式与多项式相乘 【一、学习目标】 1. 理解多项式乘多项式的法则(逐项相乘后合并)。 2. 能正确展开并合并同类项,做到"不漏不重"。 3. 掌握规律 (x+p)(x+q) = + (p+q)x + pq,为后续乘法公式与因式分解铺垫。 【二、预习导航(课前填空)】 1. 课本 P106 图16.2-2: 面积分割图表明 (a+b)(p+q) = ____。 2. 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的 ____ 乘另一个多项式的每一项,再把所得的积 ____。 3. 写出 (x+2)(x+3) = ____(按 项、x 项、常数项分别写)。 4. (x-4)(x+1) = ____(展开)。 5. (a+b)(a-b) = ____(提示: 按多项式相乘展开,观察规律)。 【三、课内探究(课本 P106 例 3,留白作答)】 【探究一】 课本 P106 例 3 第(1)题: 计算 (a+3)(a-2)。 解: 原式 = ____(展开后合并) 【探究二】 课本 P106 例 3 第(2)题: 计算 (3x+1)(x+2)。 解: 原式 = ____ 【探究三】 课本 P106 例 3 第(3)题: 计算 (x-8y)(x-y)。 解: 原式 = ____ 【探究四】 课本 P106 例 3 第(4)题: 计算 (a+b)( - ab + )。 提示: 展开后共 6 项,中间项抵消,得 + (立方和公式的雏形,下一节 16.3 乘法公式会专门学)。 解: 原式 = ____ 图 16.2-6 课本 P106 图16.2-2 面积分割图 图 16.2-7 多项式乘多项式法则 【四、分层训练】 【A 组(基础过关,模仿例题)】 1. 课本 P107 练习第 1 题: (1) (x+2)(x+3) = + 5x + 6;(2) (x-4)(x+1) = - 3x - 4; (3) (x+4)(x-2) = ____;(4) (x-5)(x-3) = ____。 2. 课本 P107 练习第 2 题: 找规律。 (x+p)(x+q) = + ____ * x + ____。 3. 课本 P107 练习第 3 题: 化简求值。 (1) (x+1)(x-1) = ____;(2) (x-2)(x+3) = ____。 【B 组(提高拓展,综合应用)】 1. 计算: (2x+3)(x-5) = ____。 2. 计算: (a+b+c)(a+b-c) = ____(提示: 把 (a+b) 看作整体,展开后找规律)。 3. 已知 (x+2)(x-3) = - x - 6,类比写出 (x+a)(x+b) = + ____ x + ____,其中 a+b=5, ab=-24,求 a、b 的值。 【C 组(挑战题,中考衔接)】 1. 计算: (a+b+c)(a+b-c) = ____(先展开验证规律)。 2. 已知 (x+p)(x+q) = + mx - 6,求所有可能的 m、p、q 值(分类讨论)。 【五、课堂小结(填空)】 1. 多项式与多项式相乘的法则: ____。 2. 检验项数: 合并前积的项数 = ____。 3. (x+p)(x+q) = + (____)x + ____。 【六、参考答案(课时 3)】 预习: 1. ap+aq+bp+bq; 2. 每一项、相加; 3. +5x+6; 4. -3x-4; 5. -(平方差公式的雏形)。 探究: (1) +a-6;(2) +7x+2;(3) -9xy+;(4) +。 A 组: 1. (3) +2x-8; (4) -8x+15; 2. (p+q), pq; 3. (1) -1; (2) +x-6。 B 组: 1. -7x-15; 2. - ; 3. +5x-24,a=8,b=-3 或 a=-3,b=8。 C 组: 1. +2ab+-(把 a+b 看作整体,展开后观察规律); 2. pq=-6: 1*(-6), 2*(-3), 3*(-2), 6*(-1);对应 m = p+q = -5,-1,1,5。 小结: 1. 用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加; 2. 两个多项式项数之积; 3. p+q, pq。 课时 4 · 16.2.4 整式的除法 【一、学习目标】 1. 理解同底数幂相除的法则 / = (a ≠ 0, m > n)。 2. 掌握零指数幂 = 1 (a ≠ 0)。 3. 掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则。 【二、预习导航(课前填空)】 1. 同底数幂相除: / = ____ (a ≠ 0, m > n)。 2. 特殊地, = ____ (a ≠ 0)。 3. 单项式除以单项式: 把 ____ 和 ____ 分别相除作为商的因式。 4. 多项式除以单项式: 先把这个多项式的每一项除以 ____,再把所得的商 ____。 5. 计算 / = ____。 【三、课内探究(课本 P109 例 5-6,留白作答)】 【探究一】 课本 P109 例 5: 计算 (- + b - ) / 。 提示: 逐项除以 -,符号由 - 决定。 解: 原式 = / + / + (-)/ = ____ + ____ + ____ 【检验】 商 × 除式 = × (____) = ____,应等于被除式。 【探究二】 课本 P109 例 6: 一个多项式与 - 的积为 - + ,求这个多项式。 解: 设多项式为 A, A = ( - + ) / (-) = ____ 图 16.2-8 整式除法三个法则 图 16.2-9 课本 P109 例 5-6 【四、分层训练】 【A 组(基础过关,模仿例题)】 1. 课本 P109-110 练习第 1-2 题: (1) 计算: / = ____; (2) / = ____; = ____。 2. 课本 P109-110 练习第 3 题: 单项式除以单项式。 (1) / 3ab = ____; = ____。 3. 课本 P109-110 练习第 4 题: 多项式除以单项式。 ( - + 8a) / 2a = ____。 【B 组(提高拓展,综合应用)】 1. 计算: ( c) / ( ab) = ____。 2. 一个长方形面积为 - ,长为 2ab,求宽。 3. 已知一个多项式除以 - 的商为 2x - 4 + ,求这个多项式。 【C 组(挑战题,中考衔接)】 1. 若 ( * ) / = ,求 n 的值。 2. 一个三角形的面积为 (b + ) ,底边为 3ab m,求这条底边上的高(单位: m)。 【五、课堂小结(填空)】 1. 同底数幂相除: / = ____(注明条件)。 2. 单项式除以单项式: 系数相除,同底数幂相除,只在 ____ 里含有的字母,连同其指数作为商的一个因式。 3. 多项式除以单项式: ____。 【六、参考答案(课时 4)】 预习: 1. ; 2. 1; 3. 系数, 同底数幂; 4. 这个单项式, 相加; 5. 。 探究: (1) 3a, -4b, ; 检验: * = -+b- ✓。(2) - + y - 。 A 组: 1. (1) ; (2) 1; (3) 4。2. (1) b; (2) 4x。3. -2a+4。 B 组: 1. c; 2. (-)/(2ab) = b-; 3. * = -+-。 C 组: 1. 由 n+2n-9=3, 得 3n=12, n=4; 2. 高 = 2(面积) / 底 = 2(b+)/(3ab) = 2a + 4b (m)。 小结: 1. (a≠0, m>n); 2. 被除式; 3. 各项除以这个单项式,再把商相加。 整体回顾: 16.2 整式的乘法 知识网络 本节我们学习了 16.2 整式的乘法,核心内容如下: ① 三个乘法法则: 单项式×单项式 / 单项式×多项式 / 多项式×多项式 ② 整式除法: 同底数幂相除 / 单项式除以单项式 / 多项式除以单项式 ③ 几何应用: 面积分割图(P104/P106)与情境几何(无盖盒子、阴影面积) 所有法则都基于 16.1 同底数幂的乘除与积的乘方。下一节 16.3 乘法公式(平方差、完全平方)将从中提炼出更高效的特殊公式;16.4 因式分解则是这些公式的"逆过程"。 图 16.2-10 16.2 节四法则对比复习表 全章综合 · 课本 P110-P111 习题16.2 选做 【一、复习巩固(必做)】 课本 P110 习题16.2 第 1-5 题: 第 1 题(单项式×单项式): 4×、×(-8abc)、(-2xy)×xy 等六组。 第 2 题(单项式×多项式): (-4)(3x+1)、× ab 等四组。 第 3 题(多项式×多项式): (x-3)(x+7)、(3x+5)(2x-1) 等四组。 第 4 题(整式除法): / 3ab、- / (-8x) 等四组。 第 5 题(化简求值): x(x+1) - x(x-1),其中 x = 5。 【二、综合运用(选做)】 课本 P110-111 习题16.2 第 6-9 题: 第 6 题: 整式混合运算后再化简(2 道)。第 7 题: 化简求值(2 道)。 第 8 题: 已知 x - 2y = 3,求 - + 4y 的值。 第 9 题: 求图中阴影部分面积(长方形挖去小长方形)。 【三、拓广探索(挑战)】 课本 P111 习题16.2 第 10-11 题: 第 10 题: 长方形纸板切去四角折成无盖纸盒的逆向问题。 第 11 题: 确定 (x+p)(x+q) = + mx - 6 中 m、p、q 的所有可能值(分类讨论)。 【四、本节答题注意事项】 1. 单项式运算: 先定符号,再算系数绝对值,最后用同底数幂法则合并;独有字母带指数不能漏。 2. 分配律展开: 多项式有几项就用单项式乘几项(包括常数项);每一项都带着它前面的符号参与运算。 3. 多项式乘多项式: 可分两步化为单项式乘多项式,或直接"逐项相乘后合并";合并前项数 = 两式项数之积。 4. 整式除法: 各项除以单项式,被除式有几项商就有几项;同底数幂相除,指数相减;检验: 商×除式 = 被除式。 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学八年级上册 · 第十六章 整式的乘法 · 16.2 整式的乘法(教师讲义) 16.2 整式的乘法 教师讲义 · 2026—2027学年 人教版数学八年级上册(2024版) · 4课时 一、教学导航 【教材分析】 16.2 整式的乘法是第十六章的核心,承接 16.1 幂的运算,内容分为四个子节: 16.2.1 单项式乘单项式、16.2.2 单项式乘多项式、16.2.3 多项式乘多项式、16.2.4 整式的除法。本节的核心思想是"分配律 + 同底数幂的乘除",三个乘法法则本质上都是把问题转化为单项式乘单项式,而除法是乘法的逆运算。 教材以课本 P103 引言"光速 × 时间 = 地球到太阳的距离"作为导入,把数字换成字母 * 后抽象出单项式乘单项式法则,符合"具体 — 字母 — 法则"的教学认知规律。课本 P104 图16.2-1 与 P106 图16.2-2 是分配律的几何直观模型,把抽象法则建立在面积分割的视觉基础上。 【学情分析】 学生在 16.1 已掌握同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方,为本节的指数运算奠定基础。但易错点突出: ① 单项式相乘时系数与同底数幂混淆; ② 分配律展开多项式时常漏乘某一项(尤其是常数项); ③ 符号判断失误(如负号相乘得正); ④ 不能识别"积的乘方"或"幂的乘方"的隐藏结构。 【教学目标】 ① 掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则,能熟练进行相关计算; ② 理解整式除法与乘法的内在联系(为零指数幂与同底数幂相除打基础),掌握整式除法的运算法则; ③ 通过面积模型与转化思想,体会数式通观与类比思想,发展数学抽象与逻辑推理的核心素养。 【重难点】 教学重点: 三个乘法法则的建立与综合应用(含混合运算与化简求值),整式除法法则的应用。教学难点: 多项式乘多项式的不漏不重、合并同类项化最简、几何应用题中的代数建模。 【教学策略】 本节采用"情境 — 探究 — 例题 — 巩固 — 反思"五环节教学法,辅以"P104/P106 面积分割图"作为分配律的几何直观,辅以课本引言(光速 × 时间)作为法则的现实原型。每课时结尾设找错活动,纠正常见错误。 【课时建议】 本节建议安排 4 课时。第1课时 16.2.1 单项式乘单项式; 第2课时 16.2.2 单项式乘多项式; 第3课时 16.2.3 多项式乘多项式; 第4课时 16.2.4 整式的除法 + 习题综合。每课时 40 分钟,新授约 25 分钟,巩固与作业 15 分钟。 二、教学过程 【第1课时 · 16.2.1 单项式与单项式相乘】 一、情境引入(3分钟)【情境】课本 P103 引言: 光速约为 3× km/s,太阳光照射到地球需要的时间约为 5× s,你能求出地球到太阳的距离吗? 【教师活动】 先让两位学生板演乘法交换律、结合律: 3×5 = 5×3,3×(5×2) = (3×5)×2,提问: 分配律对字母是否同样适用? 给出引言问题。 【学生活动】 在练习本上写出(3×)×(5×) = (3×5)×(×) = 15× = 1.5× (km),口述用到的运算律: 交换律、结合律、同底数幂相乘。 【预设与对策】 部分学生可能先算 × 时指数写错,提醒"先把能合并的合并,再定数量级"。若学生疑惑 15× 如何化为 1.5×,可补充科学记数法的位数调整: 15.×10. = 1.5×10.。 图 16.2.1 课本 P103 引言 距离 = 速度 × 时间 二、探究新知(8分钟) 【教师活动】 将引言中的数字换为字母: * = ? 引导学生把数字的计算经验平移过来,先用交换律/结合律把系数与同底数幂分离,再用同底数幂相乘。提问: 若把 a、b、c 推广到任意单项式,法则如何概括? 【学生活动】 独立完成 * = (a×b)×(×) = ,小组讨论法则文字表述。 【板演】 法则: 单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。 口诀 (三句话): ① 系数相乘;② 同底数幂相乘(底数不变,指数相加);③ 只在某个单项式里出现的字母,连同其指数作为积的一个因式,不能漏。 图 16.2.2 单项式乘单项式法则三句话 三、典型例题(15分钟) 【课本 P103 例1】 计算: 图 16.2.3 课本 P103 例1 完整解答 【板演示范】 第(1)题: * = (3×2)×(x)×(×) = 。第(3)题: 先算 = ,再 * = -。第(4)题两种解法: 解法一: * = ; 解法二: 先合为 = 。 【学生活动】 独立完成第(2)题,小组互改。 【预设与对策】 第(3)题学生易把 与 - 相乘时漏掉 x 字母——强调"出现的所有字母都要乘"。第(4)题易把 与 相乘时漏乘某个字母——强调"逐字母检查是否都乘到"。 四、巩固与找错(10分钟) 【课本 P104 练习】 第 1-4 题: (1) 判断改错: ① 3x * 2x = (对); ② 3x * (-4) = -12x (对); ③ 5a * 3a = 15a (错,应为 ); ④ * = (对)。 = -; (3) (-) * = c; * = -。 图 16.2.4 课本 P104 练习 1-4 题解答 【找错活动】 教师故意在黑板上写三个错例: 错例 1: 5a * 3a = 15a (指数误算,实际应为 ); 错例 2: 3x * 2 = (把常数 2 当成 2x,实际应为 6x); 错例 3: * = (漏算 = 中系数 8,误把 2 与 -5 直接相乘)。 让学生先独立发现错误并改正,再请一位学生上板纠错。 【学生活动】 完成课本 P104 练习,组长收齐批改。 【作业布置】 课本 P104 练习第 1-4 题;预习 16.2.2,尝试用长方形面积模型理解单项式乘多项式。 【第2课时 · 16.2.2 单项式与多项式相乘】 一、复习引入(3分钟)【复习】 上节课我们学了"系数相乘、同底数幂相乘"的口诀。今天要把它推广到"单项式乘多项式"——本质上是把"乘多个项"的问题转化为"乘一个项"。 【提问】 乘法分配律的字母形式是什么? m(a+b+c) = ma + mb + mc。请两位学生上板板演。 二、探究新知(8分钟) 【情境】 课本 P104 图16.2-1: 街心花园有一块长方形绿地(长 p,宽 a),现将长增加 b、宽增加 c,请用两种方法表示扩大后的面积。 方法一: 新长方形面积 = (p+b)×(a+c);方法二: 分四小块,新面积 = pa + pb + ca + cb。由于两种算法表示同一块面积,所以 p(a+b+c) = pa + pb + pc,即"用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加"。 图 16.2.5 课本 P104 图16.2-1 面积分割图 图 16.2.6 单项式乘多项式法则 【板演】 法则: p(a+b+c) = pa + pb + pc。 【追问】 负号如何处理? 师生共议: -2x* = -2x* = -() y - 6xy + 2x。强调"每一项都带着它前面的符号参与运算"。 核心要点 — 不漏不重: 多项式有几项就用单项式乘几项(包括常数项);多项式相乘的结果仍为多项式,积的项数 = 原多项式的项数。 三、典型例题(15分钟) 【课本 P105 例2】 计算: * (4) x(y-z) - y(z-x) + z(x-y) 图 16.2.7 课本 P105 例2 4 小题解答 【教师讲解】 第(1)题: (-4)(3x+1) = -12x - 4;第(2)题: 系数为分数,需化简为最简分数;第(3)题: 先算系数 1×4 = 4,字母 x 乘 = ,3y 乘 = ,得 - ;第(4)题是整式混合运算,要按"先乘后加减,合并同类项"的顺序处理,得 2xy - 2yz。 【课本 P105 例3】 一张长方形硬纸片,长为 ( + ) m,宽为 m。在它的四个角上分别剪去一个边长为 () m 的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,求这个无盖盒子的表面积。 图 16.2.8 课本 P105 例3 情境图(剪角折盒) 【板演】 硬纸片面积 = ( + ) * = + 。小正方形面积 = = () 。无盖盒子表面积 = 纸片面积 - 4×小正方形面积 = + - 4×() = + 。 四、巩固与反思(10分钟) 【课本 P106 练习】 第 1-4 题(判断改错 + 计算 + 化简求值)。重点看第 3 题"化简 x(x-1) + 2x(x+1) - 3x(2x-5)"和第 4 题"化简求值 x(x+1) - x(x-1),其中 x = "。 【找错活动】 教师故意在黑板上写一个错例: 2x(x+1) - x(2x-1) = 2x*x + 2x*1 - x*2x + x*1 = + 2x - + x = 3x。学生要发现 -x(2x-1) 漏了负号,展开时应为 - + x,而非 - - x。 【学生活动】 完成 P106 练习,组间互改。 易错提醒: ① 多项式只乘前两项漏掉第三项(尤其是常数项);② 漏乘后系数或符号出错;③ (a+b)*(-c) 时漏处理 -c 的负号。 【作业布置】 课本 P106 练习第 1-4 题;补充: 化简(2x-1)(3x+2)并求当 x = -1 时的值(下节课前交)。 【第3课时 · 16.2.3 多项式与多项式相乘】 一、情境引入(4分钟)【情境】 课本 P106 图16.2-2: 绿地原长 a、宽 p,现把长增加 b、宽增加 q,用两种方法表示扩大后的面积。 方法一: (a+b)(p+q);方法二: ap + aq + bp + bq。两种算法表示同一块面积,所以 (a+b)(p+q) = ap + aq + bp + bq。 图 16.2.9 课本 P106 图16.2-2 面积分割图 图 16.2.10 多项式乘多项式法则 【追问】 这个等式能否由单项式乘多项式法则推出? 答: 可以。先把(p+q)看作整体,(a+b)(p+q) = a(p+q) + b(p+q) = ap + aq + bp + bq——多项式乘多项式可以分两步化为单项式乘多项式。 二、探究新知(6分钟) 【板演】 法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。 【师生共议】 如何保证"不漏不重"? 答: 用"树形图"或"列表法"——把每个多项式的每一项依次相乘,二项式 × 二项式 = 2×2 = 4 项,二项式 × 三项式 = 2×3 = 6 项,等等。 检验技巧: 检验项数: 合并同类项之前,积的项数 = 两个多项式项数之积;合并后项数减少(同类项合并)。 三、典型例题(15分钟) 【课本 P106 例3】 计算: (1) (a+3)(a-2) (2) (3x+1)(x+2) (3) (x-8y)(x-y) (4) (a+b)( - ab + ) 图 16.2.11 课本 P106 例3 4 小题解答 【教师讲解】 第(1)题展开后 4 项: a*a + a*(-2) + 3*a + 3*(-2) = - 2a + 3a - 6 = + a - 6。第(4)题展开后共 6 项,合并后得到 + ,这就是著名的"立方和公式"(下一节 16.3 乘法公式会专门学)。 【课本 P107 练习】 第 1-3 题,重点讲解第 2 题的找规律: (1) (x+2)(x+3) = + 5x + 6; (2) (x-4)(x+1) = - 3x - 4; (3) (x+4)(x-2) = + 2x - 8; (4) (x-5)(x-3) = - 8x + 15。 图 16.2.12 课本 P107 练习 1-3 题解答 规律总结: (x+p)(x+q) = + (p+q)x + pq——一次项系数为两常数之和,常数项为两常数之积。这为下一节 16.3 乘法公式的推导以及 16.4 因式分解的"十字相乘"埋下伏笔。 四、巩固与反思(10分钟) 【补充题】 计算: (1) (x+1)(x-1) = ? (2) (x+2)(x-2) = ? (3) (2x+3)(x-5) = ? (4) (a+b+c)(a+b-c) = ? 【找错活动】 错例: (x+2)(x-3) = - 3x + 2x - 6 = - x - 6(无误)。改一个真的错例: (x+2)(x-3) = + 5x - 6(漏变号,实为 - x - 6),让学生纠错。 【学生活动】 完成 P107 练习第 1-3 题。 易错提醒: ① (a-b)(c-d) 漏处理 c 或 d 的负号;② 漏乘某一项;③ 合并同类项时漏项或错并。 【作业布置】 课本 P107 练习第 1-3 题;课本 P110 习题16.2 复习巩固 第 1-5 题(下节课前交)。 【第4课时 · 16.2.4 整式的除法】 一、复习引入(3分钟)【复习】 上节课学了三个乘法法则,本节反过来研究"除法"。先回忆同底数幂相除: / = ? (提示: 用整式乘法的逆推——一个式子乘 等于 ,则 / = ,其中底数不为 0,指数 7 > 2) 二、探究新知(8分钟) 【情境】 课本 P108 引言: 如同用数的乘法研究数的除法,可以用整式的乘法研究整式的除法。 【法则一: 同底数幂相除】 / = (a ≠ 0, m、n 都是正整数, m > n)。特殊地,当 m = n 时, = 1 (a ≠ 0),引入零指数幂。 【法则二: 单项式除以单项式】 把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。 【法则三: 多项式除以单项式】 先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。 核心要点: 多项式除以单项式 = 逐项除以:商项数 = 被除式项数。例如: ( + b) / = 3a + 2b(各项分别除,不能漏)。 图 16.2.13 整式除法三个法则 三、典型例题(12分钟) 【课本 P109 例5】 计算: (- + b - ) / 。 图 16.2.14 课本 P109 例5-6 完整解答 【教师讲解】 逐项相除: - / = 3a;b / = -4b;- / = 。所以原式 = 3a - 4b + 。 【检验方法】 商 × 除式 = = - + b - ,与被除式一致,正确。 【课本 P109 例6】 一个多项式与 - 的积为 - + ,求这个多项式。 【教师讲解】 设多项式为 A,A = ( - + ) / (-)。逐项: / (-) = -;- / (-) = y; / (-) = -。所以 A = - + y - 。 四、巩固与反思(10分钟) 【课本 P109-110 练习】 练习第 1-4 题,涵盖同底数幂相除、单项式除以单项式、多项式除以单项式。 【找错活动】 错例: (- + b - 6ab) / 2ab = - + 2a - 3(漏除某项后符号写反)。正确解法应得 - + 2a - 3。 易错提醒: ① 多项式除以单项式时漏除某一项(尤其最后一项);② 符号判断出错(负负得正);③ 指数相减时算成相加。 【作业布置】 课本 P109-110 练习第 1-4 题;课本 P110-111 习题16.2 第 1-11 题(本节综合题,选做)。 三、四个运算法则对比(易混点辨析) 为帮助学生辨析 16.2 节的四个核心运算法则,特设下表作总结,供学生复习时使用。 图 16.2.15 本节四个运算法则对比 辨析要点: 同底数幂相乘只有"指数相加";幂的乘方才是"指数相乘"。整式乘法的核心是"分配律 + 同底数幂的乘法"两个工具。整式除法是整式乘法的逆运算,关键在于"逐项除"与"系数同除、指数相减"。 四、课堂小结 【学生说】(小组代表发言,教师适当补充) ① 单项式乘单项式: 三句话——系数相乘、同底数幂相乘、独有的字母带指数留下。 ② 单项式乘多项式: 用分配律逐项相乘后相加,关键是"不能漏乘"。 ③ 多项式乘多项式: 可分两步化为单项式乘多项式,或直接"逐项相乘后合并"。 ④ 整式除法: 除以单项式 = 各项除以这个单项式,被除式有几项商就有几项(不会变多)。 【教师补】 本节核心思想是"转化与化归"——所有整式乘法都回到"单项式乘单项式",而所有单项式运算都回到"乘法交换律/结合律/分配律"与"同底数幂的乘除"这两个工具。 五、板书设计 【主板书(随课时推进书写顺序)】 课时 1: 16.2.1 单项式与单项式相乘 (1) 课本 P103 引言: 速度 × 时间 = 距离 = (3×)×(5×) = 1.5× (km) (2) 字母化: * = (a×b)×(×) = (3) 法则: 系数相乘、同底数幂相乘、独有字母带指数 (4) 课本 P103 例 1: 4 小题(板演(1)(3)(4),其余自主) 课时 2: 16.2.2 单项式与多项式相乘 (1) 课本 P104 图16.2-1: 面积分割图 → p(a+b+c) = pa+pb+pc (2) 法则: 用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加 (3) 课本 P105 例 2: 4 小题 + 例 3 无盖盒子 课时 3: 16.2.3 多项式与多项式相乘 (1) 课本 P106 图16.2-2: 四小块面积 → (a+b)(p+q) = ap+aq+bp+bq (2) 法则: 逐项相乘后合并;检验: 合并前项数 = 两个多项式项数之积 (3) 课本 P106 例 3: 4 小题 + P107 第 2 题找规律 (x+p)(x+q) 公式 课时 4: 16.2.4 整式的除法 (1) 同底数幂相除: / = (a ≠ 0) (2) 单项式除以单项式: 系数相除、同底数幂相除 (3) 多项式除以单项式: 各项分别除以这个单项式再相加 【副板书(学生板演 / 错例纠正 / 读法对照)】 错例栏: 错例 1: 5a * 3a = 15a → 应为 (学生 X 上板纠错) 错例 2: 2x(x+1) - x(2x-1) = + 2x - + x = 3x → 应为 + 2x - + x = 3x(本例正确,但易把 -x(2x-1) 错展为 - - x) 错例 3: (- + b - ) / = 3a + 4b - → 应为 3a - 4b + (第二项漏处理符号) 读法栏: 读作"a 的 3 次方";(a+b)(p+q) 读作"a+b 与 p+q 的积"; 读作"10 的 5 次方" 对比栏: 乘法分配律(数): 24×( + - ) = 12 + 8 - 6 = 14 乘法分配律(式): p(a+b+c) = pa + pb + pc(同形式,可推广) 六、作业布置(真实还原《习题16.2》P110–P111, 2024版) 【基础层(必做,所有学生)】 1. 课本 P104 练习第 1-4 题(对应 16.2.1); 2. 课本 P106 练习第 1-4 题(对应 16.2.2); 3. 课本 P107 练习第 1-3 题(对应 16.2.3); 4. 课本 P109-110 练习第 1-4 题(对应 16.2.4)。 【巩固层(必做,中等及以上学生) — 课本 P110 习题16.2 复习巩固 第 1-5 题】 第 1 题: 4×、×(-8abc)、(-2xy)×xy 等六组单项式乘法; 第 2 题: (-4)(3x+1)、× ab 等四组单项式乘多项式; 第 3 题: (x-3)(x+7)、(3x+5)(2x-1) 等四组多项式乘多项式; 第 4 题: / 3ab、- / (-8x) 等四组单项式除法; 第 5 题: 先化简,再求值: x(x+1) - x(x-1),其中 x = 5(整式代入)。 图 16.2.16 习题16.2 第 6 题 整式混合运算 图 16.2.17 习题16.2 第 7 题 化简求值 【综合层(选做,学有余力学生) — 课本 P110-111 习题16.2 综合运用 第 6-9 题】 第 6 题: 整式混合运算后再化简(两道综合题,见上图); 第 7 题: 化简求值(两道,涉及多项式乘法与代入); 第 8 题: 已知 x - 2y = 3,求 - + 4y 的值; 第 9 题: 求图中阴影部分面积(几何应用题,长方形挖去小长方形)。 图 16.2.18 习题16.2 第 9 题 求阴影面积 【拓广层(挑战,尖子生) — 课本 P111 习题16.2 拓广探索 第 10-11 题】 第 10 题: 长方形纸板切去四角折成无盖纸盒的逆向问题(已知容积与剪去边长,求原纸板长宽); 第 11 题: 确定 (x+p)(x+q) = + mx - 6 中 m、p、q 的所有可能值(分类讨论)。 图 16.2.19 习题16.2 第 11 题 拓广探索 七、教学反思 本节教学成功的关键在于"面积分割图"的直观性——课本 P104/P106 两个图把抽象的分配律建立在可视的基础上,学生容易理解"为什么"是逐项相乘。后续章节 16.3 乘法公式与 16.4 因式分解都将沿用这一几何直观。 预设改进点: ① 课时 1 的"找错活动"三个错例较为密集,后续可拆成两节课,先用一个错例教方法,再用一个错例巩固; ② 课时 3 第(4)题(a+b)( - ab + ) = + 是后续立方和公式的雏形,可顺势预告"以后会专门学这两个公式"; ③ 课时 4 的多项式除以单项式,若学生基础薄弱,可补充"被除式只有两项时逐项相除"的练习(如。 八、参考答案(巩固训练) 【课时 1(16.2.1) 课本 P104 练习】 第 1 题: ① √ ② √ ③ × ④ √; 第 2 题: -;第 3 题: c;第 4 题: -。 【课时 2(16.2.2) 课本 P105-106 例题与练习】 例 2: (1) -12x-4;(2) - ;(3) - ;(4) 2xy - 2yz。 例 3: + 。 练习: 1-4 题计算正确答案为 P106 所给(见教材)。 【课时 3(16.2.3) 课本 P106-107 例题与练习】 例 3: (1) + a - 6;(2) + 7x + 2;(3) - 9xy + ;(4) + 。 练习: 第 1 题 4 小题见上图;第 2 题规律: (x+p)(x+q) = + (p+q)x + pq;第 3 题: (x+1)(x-1) = - 1,(x+2)(x-2) = - 4,(2x+3)(x-5) = - 7x - 15,(a+b+c)(a+b-c) = - 。 【课时 4(16.2.4) 课本 P109-110 例题与练习】 例 5: 3a - 4b + 。 例 6: - + y - 。 练习: 见 P109-110 课本(此处略)。 【A 组基础(原创,与讲义同步)】 1. 单项式乘单项式: b * (-2ab) = -; = 。 2. 单项式乘多项式: 2x = - + 2x。 3. 多项式乘多项式: (x+1)(x-2) = - x - 2。 4. 多项式除以单项式: ( - + 8a) / 2a = - 2a + 4。 【B 组提高】 1. 先化简再求值: x(x-1) - x(x+1),其中 x = 3。原式 = - x - - x = -2x,代入 x = 3 得 -6。 2. 整式混合运算: (x+2)(x-3) - (x-1)(x+4) = - = -4x - 2。 3. 几何应用: 一块长(3a+b)m、宽(2a+b)m 的长方形草地,挖去一个边长 b m 的正方形,剩余面积 = (3a+b)(2a+b) - = + 5ab。 【C 组拓展】 1. 已知 (x+p)(x+q) = - 5x - 6,求 p、q 的值。由 pq = -6,p+q = -5,得 p = -6,q = 1 或 p = 1,q = -6 或 p = -3,q = 2 或 p = 2,q = -3。 2. 课本 P110 习题16.2 第 8 题: 已知 x - 2y = 3,求 - + 4y 的值。原式 = (x-2y)(x+2y) + 4y = 3(x+2y) + 4y = 3x + 6y + 4y = 3x + 10y。由 x = 2y+3,代入 3x+10y = 3(2y+3)+10y = 16y+9(因缺 y 具体值,只能到此步或根据其他条件求值)。 3. 课本 P110 习题16.2 第 9 题: 长(3a+b)m、宽(2a+b)m 的长方形广场,挖去边长 b m 的正方形,剩余(硬化部分)面积 = + 5ab。当 a=30, b=10 时 = 5400 + 1500 = 6900 。 学科网（北京）股份有限公司 $