精品解析：山东淄博市博山区第六中学2026-2027学年（五四制）七年级上学期期中考试数学

2026-2027学年度第一学期初二数学期中试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 下面图片是我国部分银行的标志，其中是轴对称图形有几个（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，由此判断即可． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知：是轴对称图形，共3个． 故选B． 2. 有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】验证两条较短边的长度和大于最长边的长度即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，只需比较两条较短边的和与最长边的大小关系， 、∵较短边为，，最长边为，， ∴能组成三角形，符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能组成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能组成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能组成三角形，不符合题意． 3. 下列各个图形中，是的高的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段即为该边上的高线，解答即可． 【详解】解：是的高的是： 4. 已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点、点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称点之间的连线被对称轴垂直平分即可求解． 【详解】解：点与点关于直线对称， 线段被直线垂直平分． 5. 如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A. 70m B. 80m C. 90m D. 100m 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得∠APB=180°-30°-60°=90°，，，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠APB=180°-30°-60°=90°， ，， ∴， 即20s后他们之间的距离为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 6. 给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的内角和等于求出最大角，判断即可． 【详解】解：A、最大角，是直角三角形，故不符合题意； B、最大角，是直角三角形，故不符合题意； C、设，则，， 所以， 解得， 最大角，是直角三角形，故不符合题意； D、设，则，， 所以， 解得：，是钝角三角形，故符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，求出各选项中的最大角是解题的关键． 7. 如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于． 根据两点之间，线段最短，可知选项铺设的管道，所需管道最短． 故选：D． 8. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法．上述作法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据尺规作图痕迹可得，，结合公共边，利用判定三角形全等． 【详解】解：由作图步骤可知，． 在和中， ，，， ． ． 依据为． 9. 如图所示，于点C，于点B，交于点F，且．下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； 证明即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， 无法得出， 故选：B． 10. 如图，在三角形中，，的平分线交于点D，垂直的延长线于点E．若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】延长，两线交于点F，证明，再证明，利用等腰三角形的性质解答即可． 本题考查了直角三角形的全等判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：延长，两线交于点F， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 解得， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共计32分） 11. 若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识点，先根据或为腰求出三角形的三边，再根据三角形三边关系判断是不是三角形，最后求周长即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别为和， ∴当以为腰时，三角形三边为，，，此时，不构成三角形； 当以为腰时，三角形三边为，，，此时构成三角形，周长为． 故答案为： 12. 已知等腰三角形两个内角度数比是，则其顶角的度数是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，分两种情况：①顶角与底角的比是；②顶角与底角的比是，分别表示出顶角和底角，再根据“三角形的内角和为”建立方程求解即可．掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键． 【详解】解：①顶角与底角的比是， 设等腰三角形的三个角分别为、、， ∴， 解得：， ∴此时顶角的度数为； ②顶角与底角的比是， 设等腰三角形的三个角分别为、、， ∴， 解得：， ∴， ∴此时顶角的度数为； 综上所述，其顶角的度数是或， 故答案为：或． 13. 如图，等腰中，，周长是11，的垂直平分线交于点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，从而得到，进一步即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， 在等腰中，， ∴， ∵的周长为， ∴． 14. 如图，平分，点是上一点，于点，点是射线上的一个动点，若，，则的最小值为__________ 【答案】5 【解析】 【分析】利用勾股定理计算的长，根据垂线段最短确定取得最小值时的位置，结合角平分线的性质得出即可求解． 【详解】解：∵，， ∴在中，． 根据垂线段最短可知，当时，的值最小． ∵平分，，， ∴． 即的最小值为5． 15. 如图，已知△ABC的面积为16，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是 ___． 【答案】8 【解析】 【分析】如图所示，延长AP交BC于D，可证明，由全等三角形的性质得，故可得，，从而得出算出即可． 【详解】 如图所示，延长AP交BC于D， BP平分∠ABC， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质以及三角形面积公式是解题的关键． 16. 如图，，则下列条件①②③④中，能使成立的序号是__________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】已知即，且隐含公共边，需结合全等三角形判定定理、、进行筛选，注意不能判定全等． 【详解】解：由图可知，，且为公共边 ∵ ∴ 对于①，若，结合，，属于，不能判定 对于②，若， ∵，， ∴ 对于③，若， ∵，， ∴ 对于④，若， ∵，， ∴ 综上所述，能使成立的序号是②③④ 17. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于、，，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 根据等腰三角形两底角相等求出，连接，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再利用等边对等角求出，然后求出，由直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：，， ， 连接， 的垂直平分线交于， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18. 下图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图①，一个边长为的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了②；如此继续“生长”下去，则第2023次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式求出第一个正方形的面积，根据勾股定理求出经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和，总结规律，根据规律解答． 【详解】解：如图， 第一个正方形的边长为， 第一个正方形的面积为， 由勾股定理得，， ，即经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和为， “生长”第1次后所有正方形的面积和为， 同理，“生长”第2次后所有正方形的面积和为， 则“生长”第2023次后所有正方形的面积和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理、图形的变化，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共78分） 19. 求出图中直角三角形未知边的长度． 【答案】左侧直角三角形的未知斜边长度为，右侧直角三角形的未知边的长度为． 【解析】 【详解】解：对于左侧直角三角形，∵该三角形为直角三角形，两条直角边长度分别为和， ∴由勾股定理得未知边为， 对于右侧直角三角形，∵该三角形为直角三角形，斜边长度为，一条直角边长度为，未知边为另一条直角边， ∴由勾股定理得． 20. 已知，如图中，，，是边上的高，是的平分线． 求 （1）的度数； （2）的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先得出，再根据三角形的内角和定理求解即可； （2）先求出，则可得，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 由（1）已得：， ∴． 21. 已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，．     （1）求证：； （2）当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 即：， 在和中 ， （）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、线段的和差． （1）由线段的和差得，由即可得证； （2）由线段的和差得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ， ， ． 22. 如图，要在公路旁建一个大型超市，超市应设在什么地方，才能使超市到、两村的距离相等，且到两条公路的距离相等？请你用尺规作图画出超市的位置，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】如图，点即为所要求作的超市的位置． 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，超市建在的平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知超市应建在的垂直平分线上，所以作出两线的交点即可． 【详解】略 23. 如图，C在上，，． （1）求证：平分； （2）连接，若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质． （1）根据平行线的性质可得，，结合即可证明； （2）根据三角形外角的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平分， ∴， ∵， ∴． 24. 在拓展训练过程中，小明和组员为了完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出下面的方案：小明面向河对岸的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸一点；然后，他转过身，保持刚才的姿态，这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是河的宽度． 【数学建模】将小明看成一条线段，河对岸一点为点，自己所在岸的那个点为点，示意图如图所示，请你根据示意图帮助小明同学解释其中的道理． 【答案】 解：根据设计出的方案可知，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，即小明用步测的方法量出自己（点）与那个点（点）的距离，这个距离就是河的宽度（的长）． 【解析】 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】略 25. 完成下面的证明． 如图，在中，平分，平分，，． 求证：是等腰三角形． 证明：平分，平分（已知）， ，（______________）． 又（__________） __________（等量代换）． 又（已知）， __________，（___________________________） （__________） __________（__________）即是等腰三角形 【答案】角平分线的定义；已知；；；两直线平行，同位角相等；等量代换；；等角对等边 【解析】 【分析】由角平分线的定义得出，结合已知得出，由平行线的性质得出，据此即可得证． 【详解】略 26. 综合与实践 问题情境： 如图1，在四边形中，，，E是一点，连接，，，． 问题探究： （1）求证：是等腰直角三角形； （2）“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形，，，点B，E，C在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； （3）“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点B，E，C在直线上，，，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形． （2） ，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）12 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先运用证明可得，再说明即可证明结论； （2）证明可得，然后根据线段的和差即可解答； （3）先根据三角形外角的性质、角的和差以及已知条件可得，再证明可得，最后根据即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期初二数学期中试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 下面图片是我国部分银行的标志，其中是轴对称图形有几个（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列各个图形中，是的高的是（     ） A. B. C. D. 4. 已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点、点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A. 70m B. 80m C. 90m D. 100m 6. 给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A. B. C. D. 8. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法．上述作法的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，于点C，于点B，交于点F，且．下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在三角形中，，的平分线交于点D，垂直的延长线于点E．若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共计32分） 11. 若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为______． 12. 已知等腰三角形两个内角度数比是，则其顶角的度数是___________． 13. 如图，等腰中，，周长是11，的垂直平分线交于点，则__________． 14. 如图，平分，点是上一点，于点，点是射线上的一个动点，若，，则的最小值为__________ 15. 如图，已知△ABC的面积为16，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是 ___． 16. 如图，，则下列条件①②③④中，能使成立的序号是__________． 17. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于、，，则的长为________． 18. 下图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图①，一个边长为的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了②；如此继续“生长”下去，则第2023次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和为________． 三、解答题（本题共8小题，共78分） 19. 求出图中直角三角形未知边的长度． 20. 已知，如图中，，，是边上的高，是的平分线． 求 （1）的度数； （2）的度数． 21. 已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，．     （1）求证：； （2）当，时，求的长． 22. 如图，要在公路旁建一个大型超市，超市应设在什么地方，才能使超市到、两村的距离相等，且到两条公路的距离相等？请你用尺规作图画出超市的位置，保留作图痕迹，不写作法． 23. 如图，C在上，，． （1）求证：平分； （2）连接，若，，求的度数． 24. 在拓展训练过程中，小明和组员为了完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出下面的方案：小明面向河对岸的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸一点；然后，他转过身，保持刚才的姿态，这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是河的宽度． 【数学建模】将小明看成一条线段，河对岸一点为点，自己所在岸的那个点为点，示意图如图所示，请你根据示意图帮助小明同学解释其中的道理． 25. 完成下面的证明． 如图，在中，平分，平分，，． 求证：是等腰三角形． 证明：平分，平分（已知）， ，（______________）． 又（__________） __________（等量代换）． 又（已知）， __________，（___________________________） （__________） __________（__________）即是等腰三角形 26. 综合与实践 问题情境： 如图1，在四边形中，，，E是一点，连接，，，． 问题探究： （1）求证：是等腰直角三角形； （2）“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形，，，点B，E，C在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； （3）“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点B，E，C在直线上，，，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $