期中模拟卷（第一章-第五章）（较难卷）-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

苏教版必修第一册综合测试卷 （第一章～第五章）　较难卷 满分 150 分　　考试用时 120 分钟 （原卷版：答案与解析见对应解析版） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.高一班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为(    ) A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 2.任何一个正实数N可以表示成，此时，当时，N是位数，则是参考数据：，(    ) A. 24位数 B. 33位数 C. 34位数 D. 43位数 3.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量单位：焦耳与地震里氏震级M之间的关系为年3月11日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是2024年11月20日俄罗斯东南部发生的地震的32000倍，则俄罗斯东南部地震震级大约是   参考数据： A. 5级 B. 6级 C. 7级 D. 8级 4.若命题“，”是真命题，则实数a的取值集合为    A. B. C. D. 5.已知，若在上恒成立，则实数a的取值范围是     A. − B. C. D. 6.已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离单位：与速度单位：之间有如下关系式：，其中k是比例系数，且，M是汽车质量单位：若某辆卡车不装货物司机体重忽略不计以的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面20 m处有障碍物时能在离障碍物5 m以外处停车，则最高速度应低于假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过    A. 16 B. 18 C. 24 D. 27 7.设奇函数的定义域为R，对任意的，，且，都有不等式，且，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 8.已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题是真命题的是(    ) A. ， B. ∈N， C. ， D. ∈， 10.已知a，b为正实数，且，则    A. 的最小值为1 B. 的最小值为4 C. ab的最大值为4 D. 的最小值为 11.已知函数，，用表示，中的较大者，记为，设则  A. B. 若函数在区间上单调递减，则 C. 方程的所有实数根之和为− D. 若当时，的取值范围为，则的最大值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数，不恒为零，对于，满足，若，则=          . 13.设是定义在R上的函数，对任意∈R，均有，当−时，，则当，∈Z时，=          . 14.设函数若不等式对恒成立，则实数a的值为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知不等式的解集为A，集合 当时，求 若，求实数a的取值范围. 16.本小题15分 已知函数 若不等式在上恒成立，求a的取值范围; 若在−上单调递减，求a的取值范围; 若函数在上的最大值为6，求a的值. 17.本小题15分 已知函数， 解关于x的不等式 当时，求的最小值; 对任意，不等式恒成立，求x的取值范围. 18.本小题17分 对于函数，若在区间I内存在实数，满足，则称函数是区间I上的“局部倒负函数”. 判断函数是否为上的“局部倒负函数”; 设函数是否存在实数k，使得是区间上的“局部倒负函数”.若存在，请求出 k的取值范围;若不存在，请说明理由; 对任意的x，，都有，且若函数是区间上的“局部倒负函数”，求实数a的取值范围. 19.本小题17分 定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”. 判断是否为“伴随函数”，并说明理由； 若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； 已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求k的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏教版必修第一册综合测试卷 （第一章～第五章）　较难卷 满分 150 分　　考试用时 120 分钟 （解析版：每题后附参考答案与解析） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.高一班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为(    ) A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 【答案】B  【解析】解：设同时参加的人数有x人， 则由容斥原理可得：， 解得， 故选： 2.任何一个正实数N可以表示成，此时，当时，N是位数，则是参考数据：，(    ) A. 24位数 B. 33位数 C. 34位数 D. 43位数 【答案】C  【解析】解：因为 = ≈， 故， 则是34位数. 故选C 3.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量单位：焦耳与地震里氏震级M之间的关系为年3月11日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是2024年11月20日俄罗斯东南部发生的地震的32000倍，则俄罗斯东南部地震震级大约是   参考数据： A. 5级 B. 6级 C. 7级 D. 8级 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查对数函数模型解决实际问题，属于基础题. 设未知量，求出，代入，利用对数运算即可求解. 【解答】 解：设日本东北部海域发生里氏级地震所释放出来的能量为，震级为， 俄罗斯东南部发生的地震的能量为，震级为， 则， 又， 则 =， 由 则 故选： 4.若命题“，”是真命题，则实数a的取值集合为    A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查不等式恒成立问题、函数的零点.考查了学生的计算能力与逻辑思维能力. 设函数，，进行分类讨论，进而可得结果. 【解答】 解：设函数，， 当时，，， 故，， 故不等式不成立; 当时，由，解得， 由，由求根公式解得，， 要使不等式成立，则需解得 当时，，， 要使“，”， 则需在上恒成立， 因为是开口向上的抛物线，所以在上不恒成立. 综上，实数a的取值集合为， 故选 5.已知，若在上恒成立，则实数a的取值范围是     A. − B. C. D. 【答案】C  【解析】解：作出，在上的图象如下图所示： 因为在上恒成立，所以的图象在的图象的上方可以部分点重合， 且，令，所以，所以， 根据图象可知：当经过点时，a有最小值，， 当经过点时，a有最大值，， 综上可知a的取值范围是， 故选： 6.已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离单位：与速度单位：之间有如下关系式：，其中k是比例系数，且，M是汽车质量单位：若某辆卡车不装货物司机体重忽略不计以的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面20 m处有障碍物时能在离障碍物5 m以外处停车，则最高速度应低于假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过    A. 16 B. 18 C. 24 D. 27 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查利用一元二次不等式解决实际问题，考查一元二次不等式的解法，正确理解题意是关键，是中档题． 由已知结合，求得，再求出汽车行驶1秒的距离，然后列不等式求解v的趋势范围，则答案可求． 【解答】 解：由， 取，，可得， ， 司机发现障碍物到踩刹车经过1s，汽车行驶的距离为， 由，得， 即，解得− 则最高速度应低于 故选： 7.设奇函数的定义域为R，对任意的，，且，都有不等式，且，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查抽象函数的应用，注意构造新函数，并分析的奇偶性与单调性，属于综合题． 根据题意，设，分析可得为偶函数且在上为增函数，即，结合函数的奇偶性，分析可得答案． 【解答】 解：根据题意，设， 若函数是定义在R上的奇函数，即， 则，则为R上的偶函数， 又对任意，，且时，都有成立， 即，即函数在上为增函数，在上为减函数， 由得， 由得，即 所以当，，，当， 由函数的单调性和奇偶性得或− 即或− 综合可得：不等式的解集是； 故选： 8.已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了函数的零点和方程根的关系，是中档题． 因为 ，对a 进行分类讨论，利用数形结合的方法即可得到结果. 【解答】 解：因为  ， ①当 时，作出两段抛物线的图象如图： 此时函数 只有两个零点，不满足题意; ②当 时， ，作出两段抛物线的图象如图： 此时函数 恰有三个零点，满足题意; ③当 时，因为 在 有两个零点，且当 时两段抛物线的函数值相等， 若要满足题意，则两段抛物线的图象应该如图： 此时 ，满足题意; 综上实数a 的取值范围为 . 故选： 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题是真命题的是(    ) A. ， B. ∈N， C. ， D. ∈， 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查命题的真假判断，属于基础题. 分别判断选项得出结论. 【解答】 解：的解为1，2，故A错误； ∈N， ，B正确； ，，C错误； ∈，，D正确. 故选 10.已知a，b为正实数，且，则    A. 的最小值为1 B. 的最小值为4 C. ab的最大值为4 D. 的最小值为 【答案】ABD  【解析】【分析】由，得到，再结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】由得， 则，当且仅当时，取等号，A正确， ， 当且仅当时，取等号，B正确， ， 即，又a，b为正实数， 得，则ab的最大值为2，C错误， 由，得且，即， 所以 = 当且仅当时，取等号，故D正确， 故选：ABD 11.已知函数，，用表示，中的较大者，记为，设则  A. B. 若函数在区间上单调递减，则 C. 方程的所有实数根之和为− D. 若当时，的取值范围为，则的最大值为5 【答案】ACD  【解析】解：因为函数，，， 所以若 ，得，即−， 因此：当时， 当时，， 选项A：，A正确； 选项B：时，，单调递减； 时，，单调递增；时，，单调递减. 若在上单调递减，则，B错误； 选项C： 时，−，得； 时：时：，得， 时：，得， 所有根为−、−、，和为−，C正确； 选项D：易得的点：、，的点：， 要使取最大值，可取时，此时满足取值范围为， 此时，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数，不恒为零，对于，满足，若，则=          . 【答案】8  【解析】【分析】 本题考查抽象函数求函数值，属于中档题. 利用赋值法即可求解. 【解答】 解：令，可得，解得， 令，，可得， 即， 又，则， 令，，可得， 即， 令， 可得，即， 因为，所以， 将，代入， 可得：， 所以 故答案为： 13.设是定义在R上的函数，对任意∈R，均有，当−时，，则当，∈Z时，=          . 【答案】−  【解析】解：由题意，得， ，故是周期为4的函数， 当时， 由， 代入已知解析式得：， 对任意，当，令，则因周期为， 由周期性，代入得： 故答案为：− 14.设函数若不等式对恒成立，则实数a的值为          . 【答案】−  【解析】【分析】 本题主要考查函数的单调性，分段函数的恒成立问题，属于中档题. 不等式对恒成立，即当时，，可得；当时，由，可得=，再进行求解即可. 【解答】 解：不等式对恒成立，即， ①当时，， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 则在上单调递减， 又，可得， 由恒成立，可得， ②当时，， 由①知， 则时，在处取得最小值，=， 又恒成立，即−≥，解得−， 又因为，所以 故答案为：− 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知不等式的解集为A，集合 当时，求 若，求实数a的取值范围. 【答案】解：当时，得； 得， ； 因为，所以， 所以， 所以a的取值范围为  【解析】本题考查了交集运算和含参数的并集运算问题，是基础题. 先解不等式得出集合A，B，再取交集即可； 因为，所以，求解即可. 16.本小题15分 已知函数 若不等式在上恒成立，求a的取值范围; 若在−上单调递减，求a的取值范围; 若函数在上的最大值为6，求a的值. 【答案】解：由条件，在上恒成立， 当，，不符合， 当时，显然也不符合， 所以，且，解得， 综上所述，a的取值范围是； 由条件，在−上单调递减， 当时，，其在−上单调递减，符合， 当时，显然不符合， 当时，则−，解得−， 综上所述，a的取值范围是−； 由，即， 由条件在上的最大值为6， 当−，即时， ，即，解得，符合， 当−，即时， ，即，解得，符合， 所以符合条件的a的取值为−或  17.本小题15分 已知函数， 解关于x的不等式 当时，求的最小值; 对任意，不等式恒成立，求x的取值范围. 【答案】解：化简得：， ①当时，不等式的解集为， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为 ①当，即时，在上为增函数， 所以 ②当，即时，在上为减函数， 所以 ③当，即−时， 综上所述，的最小值为， 因为恒成立， 所以，且， 即，解得x的取值范围为  18.本小题17分 对于函数，若在区间I内存在实数，满足，则称函数是区间I上的“局部倒负函数”. 判断函数是否为上的“局部倒负函数”; 设函数是否存在实数k，使得是区间上的“局部倒负函数”.若存在，请求出 k的取值范围;若不存在，请说明理由; 对任意的x，，都有，且若函数是区间上的“局部倒负函数”，求实数a的取值范围. 【答案】解： ， 令，整理为， 解得，满足， 故是上的“局部倒负函数”；  设存在，使得， 显然，不满足， 当时，， ， 令，解得， 因，故， 当时，此时， ， 令， 化简得， 因为，故， 综上所述，k的取值范围为；  令，得， 由，带入得， 因此， 若函数是区间上的“局部倒负函数”， 需存在，使得， 代入得：， 令，， 由基本不等式得， 利用，原方程可化为：， 将方程变形为，，时无意义， 令，则， 代入得， 由基本不等式， 当且仅当时取等号， 故， 因此，a的取值范围为  19.本小题17分 定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”. 判断是否为“伴随函数”，并说明理由； 若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； 已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求k的取值范围. 【答案】解：函数的定义域为， 取，则， 此时，不存在，使得， 因此，函数不是“伴随函数”； 证明：因为函数在定义域上单调递增且为“伴随函数”， 则存在，使得， 若则， 根据题意，存在使得，矛盾， 故， 所以， 所以，即； 若，则当时，， 此时，不存在，使得， 则函数不是“伴随函数”， 所以，函数在上单调递增， 则，， 由“伴随函数”的定义可得， 因为，解得，即，， 当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，，恒有， 则，所以， 令，则， 由题意可得， 令，，函数在上单调递增， 所以，则， 因此，实数k的取值范围是− 1 学科网（北京）股份有限公司 $