精品解析：河南永城市酂阳镇初级中学2026-2027学年第一学期阶段性复习作业（四分之一）九年级数学

集团承印第一学期阶段性复习作业（A） 九年级数学（RJ） 注意事项： 1．校本教研，内部资料，严禁外传． 2．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 3．请用水笔按要求答在试卷上或答题卡上． 4．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列选项中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 6. 点，，均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 8. 深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若max=，则x的值是（ ） A. －1 B. －1或 C. D. 1或 10. 已知二次函数（）在时的最小值为，则m等于（ ） A. 5 B. 或 C. 5或 D. 或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将一元二次方程化为一般式为______． 12. 若、是方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 13. 若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 14. 如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米． 15. 在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线（）与线段有两个不同的交点，则的取值范围是________ 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解一元二次方程： （1） （2） 17. 二次函数的图象与直线y＝2x－1交于点P（1，m）． （1）求a、m的值； （2）写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？ （3）指出抛物线的顶点坐标和对称轴． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求的取值范围． （2）若方程的两个实数根为，，且，求的值． 19. 已知二次函数． （1）用配方法将其化为的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （3）根据图象，当时，直接写出y的取值范围； （4）根据图象，当时，直接写出x的取值范围． 20. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． （1）当_______时，的长度等于（直接填结果）； （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 21. 有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，拱顶距水面5米，如图是拱桥的截面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与水位正常的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离为1.8米． （1）求桥拱截线所在抛物线的表达式； （2）求达到警戒线位置时水面的宽度． 22. 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． （1）求与与的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 23. 如图，已知抛物线过点，，交y轴于点C，顶点为 D． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． （3）设点，当的值最小时，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集团承印第一学期阶段性复习作业（A） 九年级数学（RJ） 注意事项： 1．校本教研，内部资料，严禁外传． 2．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 3．请用水笔按要求答在试卷上或答题卡上． 4．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列选项中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程”判断即可． 【详解】解：A、含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 2. 若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：A． 3. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的意义是解题的关键．能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将已知根代入方程即可求出m的值. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为1， ∴将代入方程得：， 即， 整理得：， 解得：， 故选：A． 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴所得抛物线的解析式是， 故选：B． 5. 用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式与方程的对应关系，将题目给出的根的表达式与求根公式对比，确定、、的值，从而得到原方程． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为()，其求根公式为． 题目中给出的根的表达式为，与求根公式对比可得： ，故； ，故； ，故． 因此，该一元二次方程为； 故选：C． 6. 点，，均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性，解题的关键是利用对称性求解．根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向下，根据函数图象上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越大，可判断的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为，开口向下， ∵，，， ∴． 故选：D． 7. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】计算根的判别式，根据其符号判断方程根的情况． 【详解】解：方程中，，，， ， 该方程有两个不相等的实数根． 8. 深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键，设下载量的日平均增长率为．根据首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次，列方程即可得解． 【详解】解：设下载量的日平均增长率为． 根据题意，得， 故选：C． 9. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若max=，则x的值是（ ） A. －1 B. －1或 C. D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，进行分类讨论即可． 【详解】解：若，即：时，， ∴， 解得：或（舍去）， 若，即：时，， ∴， 解得：或（舍去）， 若，即：时，， ∴得，不成立，舍去， ∴x的值为－1或， 故选：B． 【点睛】本题考查新定义以及一元二次方程，理解材料中的定义，准确进行分类讨论，并准确求解一元二次方程是解题关键． 10. 已知二次函数（）在时的最小值为，则m等于（ ） A. 5 B. 或 C. 5或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】将一般式化为顶点式，求出对称轴，分和，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：， 二次函数图象的对称轴为直线， 由题可知，分两种情况： ①当时，抛物线开口向上，时，y有最小值，，解得； ②当时，抛物线开口向下， 对称轴为直线，且， 时，y有最小值，，解得； 综上所述，m的值为5或． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将一元二次方程化为一般式为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据单项式乘多项式法则展开方程左边，再通过移项整理得到一元二次方程的一般式． 【详解】解： ， ， 移项，得 ． 12. 若、是方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由根与系数的关系，得 ， ∴． 13. 若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而得出该二次函数与轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解， 故答案为：． 14. 如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米． 【答案】1 【解析】 【分析】设石板小径的宽度为米，利用平移法将剩余草坪拼成一个长方形，根据剩余草坪面积等于总面积乘以剩余比例列出一元二次方程，求解并取合适的值即可． 【详解】解：设石板小径的宽度为米， 根据题意，利用平移法，剩余草坪可视为长为米，宽为米的长方形， 草坪总面积为平方米， 石板小径的总面积占草坪总面积的，则剩余草坪面积占总面积的， 列方程得： ， 解得： ， 当时，，不合题意，舍去， 所以． 即石板小径的宽度为1米． 15. 在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线（）与线段有两个不同的交点，则的取值范围是________ 【答案】1≤a＜或a≤-2． 【解析】 【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围． 【详解】设线段AB所在的直线解析式为：y=kx+b ∵点A(-1,0)，点B(1,1)， ∴ 解得， ∴ ∵抛物线y=ax2-x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点， ∴令=ax2-x+1，则2ax2-3x+1=0 ∴△=9-8a＞0 ∴a＜ ①当a＜0时， 解得：a≤-2 ∴a≤-2 ②当a＞0时， 解得：a≥1 ∴1≤a＜ 综上所述：1≤a＜或a≤-2． 故答案为：1≤a＜或a≤-2． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接运用配方法求解； （2）把右侧整体移到左边，整理后提取公因式，用因式分解法降次解方程． 【小问1详解】 解： 移项： 配方： 开平方： 解得：； 【小问2详解】 解： 变形： 移项： 提取公因式： 或 解得：． 17. 二次函数的图象与直线y＝2x－1交于点P（1，m）． （1）求a、m的值； （2）写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？ （3）指出抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）a=1， （2）当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小 （3）顶点坐标为(0，0)，对称轴直线x=0（或轴） 【解析】 【分析】（1）把P代入y=2x-1，求得的值，然后将代入二次函数解析式即可求解； （2）根据（1）的结论可写出二次函数解析式，根据解析式求得对称轴为，进而即可求解； （3）根据函数解析式直接写出顶点坐标与对称轴． 【小问1详解】 解： 把P代入y=2x-1中得：m=2×1-1=1， 则P(1，1)， 把P代入中得：1=a×1， ∴a=1； 【小问2详解】 解： 由题（1）得， ∵a=1>0， 对称轴为直线x=0， ∴当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：由可得，抛物线的顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x=0（或轴） 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，一次函数的性质，的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求的取值范围． （2）若方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得 ，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到 ，解之即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意，得，， ∵， ， ∴． 19. 已知二次函数． （1）用配方法将其化为的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （3）根据图象，当时，直接写出y的取值范围； （4）根据图象，当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2）函数图象，如图所示： （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）用配方法将抛物线解析式变为顶点式即可； （2）先列表，再描点，然后连线即可； （3）根据函数图象写出答案即可； （4）根据函数图象写出答案即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：列表： … … … … 画图略 【小问3详解】 解：当时，由图象可知，y的取值范围为； 【小问4详解】 解：当时，由图象可知，x的取值范围为或． 20. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． （1）当_______时，的长度等于（直接填结果）； （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程解决问题． （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒， ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； 故答案为：． 【小问2详解】 由题意得：， 的面积等于， ， ， ， 或（舍去）， 当时，使得的面积等于． 21. 有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，拱顶距水面5米，如图是拱桥的截面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与水位正常的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离为1.8米． （1）求桥拱截线所在抛物线的表达式； （2）求达到警戒线位置时水面的宽度． 【答案】（1）； （2）达到警戒线位置时水面的宽度为12米． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，抛物线与轴的交点为，，顶点坐标为，设抛物线解析式为，再将代入求解即可； （2）将代入抛物线，求解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，抛物线与轴的交点为，，顶点坐标为， 设抛物线解析式为 将代入可得，解得， 即 【小问2详解】 解：由题意可得，、两点的纵坐标为， 将代入，可得， 化简可得， 解得：， 即， 则米， 答：达到警戒线位置时水面的宽度为12米． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求得二次函数解析式． 22. 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． （1）求与与的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】（1）； （2）能， （3）的最大值为800，此时 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ； （3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【小问1详解】 解：∵篱笆长， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵墙长42m， ∴， 解得，， ∴； 又矩形面积 ； 【小问2详解】 解：令，则， 整理得：， 此时，， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为； ∴ ∴ ∵， ∴； 【小问3详解】 解： ∵ ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800 23. 如图，已知抛物线过点，，交y轴于点C，顶点为 D． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． （3）设点，当的值最小时，求m的值． 【答案】（1） （2）最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出直线 的解析式，然后设出抛物线上动点 的坐标，用 点坐标表示出 的面积，再根据二次函数的性质求出面积的最大值； （3）利用对称点的性质，找到点 关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 的交点即为使得 最小的点 ，进而求出 的值． 【小问1详解】 解：抛物线过点，， 将点A，点B的坐标分别代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：将代入，得， ， 设直线的解析式为， 将点A，点C的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图1，过P作轴交于， 则， ， ， ∴当时，有最大值为； 【小问3详解】 解：抛物线，顶点， 如图2，点关于直线的对称点， 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得：， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $