精品解析：山西临汾市2026-2027学年第一学期期中学业水平监测八年级数学试卷

2026—2027学年第一学期期中学业水平监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页（答案另附），考试时间120分钟，满分120分． 2．答题前，考生先将自己的姓名及考号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名和考号． 3．所有试题均在答题卡上作答，写在试卷上无效．选择题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑，如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案． 本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分 Ⅰ（客观卷） 30 分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. 5 C. 5或 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是“算术平方根”的定义：“对于一个非负数x，若，则x叫做a的算术平方根”是解答本题的关键． 根据“算术平方根”的定义进行分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是5． 故选B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】针对同底数幂乘法的选项，使用同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加，判断运算是否正确．针对合并同类项的选项，使用合并同类项法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，判断运算是否正确．针对积的乘方的选项，使用积的乘方法则：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，判断运算是否正确．针对完全平方公式的选项，使用完全平方和公式展开，判断运算是否正确． 【详解】A：，错误． B：，错误． C：，正确． D：，错误． 3. 公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现：边长为1的正方形的对角线长既不是整数，也不是分数，这一发现引发了数学史上的第一次危机．关于这个对角线长的说法，错误的是（ ） A. 是2的算术平方根 B. 是无限不循环小数 C. 可以用数轴上的点表示 D. 是有理数 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、是2的算术平方根，说法正确，该选项不符合题意； B、是无限不循环小数，说法正确，该选项不符合题意； C、可以用数轴上的点表示，说法正确，该选项不符合题意； D、是无理数，原说法错误，该选项符合题意． 4. 如图，若，点、、、在同一条直线上，，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的对应边相等得到，计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 5. 数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回家，小刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被墨水弄污了．你认为□内应填写（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵左边， ∴右边， ∴□内应填写. 6. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式法则，把所求代数式展开，再整体代入计算，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 7. 下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线处应填的内容． 分解因式：． 解： ………… ① ………… ② 其中，从①到②所依据的运算律是　　　　　　　　　　． 下列回答错误的是（ ） A. ①处依据的是 B. ②处的结果是 C. “运算律”一空应填“乘法分配律” D. ②处的结果还能继续分解 【答案】D 【解析】 【分析】先明确因式分解步骤的变形依据：因为和互为相反数，所以原式中可变形为，对应①步的变形依据．分析①到②的变形：因为①式两项有公因式，所以提取公因式得到②式，判断该过程对应的运算律．逐一判断各选项描述是否符合因式分解的要求和步骤逻辑，选出错误选项． 【详解】对选项A，由， 可得，A正确． 对选项B，提取公因式， 得，B正确． 对选项C，从①到②逆用乘法分配律提取公因式，依据的运算律为乘法分配律，C正确. 对选项D，的各因式均不能继续分解， 故该多项式无法再分解，D错误． 8. 学完全等三角形后，兴趣小组到湖边测量池塘两端、的距离，三位同学分别设计了如下方案．甲：如图①，在空地上取一个能直接到达和的点，连接并延长到，使；连接并延长到，使；最后测出的长即为、的距离．乙：如图②，过点作，在上取点，使；再过点作，使、、三点在同一条直线上；最后测出的长即为、的距离．丙：如图③，连接并延长到，使，连接，测出的长即为、的距离． 以上三位同学所设计的方案中，可行的是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 三人的方案都可行 【答案】A 【解析】 【分析】在前两个图中分别根据全等三角形的判定方法证明三角形全等，再根据全等三角形的性质即可得证；第三个图形添加时可说明，而题目没有给出这一条件，则可判断丙的说法错误． 【详解】解：在和中， ， ， ，故甲的方案可行； ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故乙的方案可行； 当时， ， 而题目没有给出这一条件，故丙的方案不可行； 综上可知，甲和乙的方案都可行. 9. 如图，大正方形的边长为，它由两个边长分别为、的正方形和两个长为、宽为的长方形拼成，阴影部分为其中的两个长方形．若，，则阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 29 C. 20 D. 49 【答案】C 【解析】 【分析】阴影部分是两个长为、宽为的长方形，据此计算面积即可． 【详解】解：阴影部分是两个长为、宽为的长方形， ∴阴影部分的面积为． 10. 定义新运算“”：，则的值为（ ） A. B. 24 C. 676 D. 26 【答案】D 【解析】 【详解】解：因为， 所以， 所以． Ⅱ（主观卷） 90 分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 用一组、的值说明命题“若，则”是假命题，这组值可以是__________，__________． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】选取满足但的一组数，取非零的互为相反数的两个数即可符合要求． 【详解】解：取，， ∵，， ∴，满足命题的条件， ∵ ∴，不满足， ∴这组值可证明该命题为假命题． 12. 已知，则______________． 【答案】72 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法的逆用以及幂的乘方的逆用求解即可． 【详解】解：． 13. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．若测得，则工件内槽宽为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，连接，根据为和的中点，且即可判定，即可求得，即可解题． 【详解】解：连接，设是和的中点， 为和的中点， ， ， ， ∴， 故， 故答案为：． 14. 观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干得出规律，再结合规律计算即可得出结果． 【详解】解：∵； ； ； …… ∴， ∴ ． 15. 如图，在长方形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，当与全等时，点运动的时间__________秒． 【答案】5 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定，解答即可． 【详解】解：，，， 时，， （秒）． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据立方根、算术平方根的定义及绝对值的性质先化简，再进行加法运算即可； （）先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后进行加法运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． （2）利用多项式乘多项式法则展开，然后合并同类项，运用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 请根据小宇同学整式化简求值的过程，完成下面各项任务： 先化简，再求值：，其中． 解：原式………… 步骤 ………… 步骤 当时，原式． ………… 步骤 （1）任务一：以上解题过程中，从步骤　　　　　开始出现错误，错误的原因是　　　　　　　　； （2）任务二：请把正确的解答过程完整地写出来． 【答案】（1）从步骤开始出现错误；原因是去括号时括号前是“”号，括号内各项没有都改变符号，应等于，而错写成了； （2）解： ； 当时， 原式 ． 【解析】 【分析】根据运算过程即可求解； 根据整式混合运算的法则计算即可． 【小问1详解】 解：从步骤开始出现错误；原因是去括号时括号前是“”号，括号内各项没有都改变符号，应等于，而错写成了； 【小问2详解】 略． 19. 如图，工人师傅要检查人字梁的和是否相等，但他手边没有量角器，只有一把刻度尺．他是这样操作的：分别在和上取点、，使；在上取点、，使；量出的长为米，的长为米．如果，则说明． （1）请说明“如果，则”的理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）在和中， ， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】证明，然后通过全等三角形的性质即可解答； 由，则，然后通过三角形内角和定理求出度数即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， 即的度数为． 20. 山西应县木塔是我国现存最古老、最高的木结构塔式建筑，塔身不用一颗铁钉，全靠榫卯咬合．如图①是某种榫卯结构零件的示意图，图②是它的截面图：该零件是一个长为、宽为的长方体，中间凿去一个边长为的正方形通孔（孔的深度与零件的高相同），零件的高为．求这个零件的体积． 【答案】这个零件的体积为 【解析】 【详解】零件的体积． 答：这个零件的体积为． 21. 阅读材料 材料1 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例：①；②． 材料2 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题过程用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把因式分解． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①因式分解：； ②因式分解：． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）①令，然后利用十字相乘法因式分解即可； ②令，然后利用十字相乘法因式分解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：①把“”看成一个整体，令 ∴ ； ②把看成一个整体，令 ∴ ． 22. 综合与实践 如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图2中、两点表示的数分别为　　　　　　，　　　　　． （2）请你参照上面的方法： ①把图3中长为4、宽为2的长方形剪拼成一个大正方形．在图3中画出剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长　　；（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上用点表示数．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）， （2） ① ； ②如图所示，点即为所求作． 【解析】 【小问1详解】 解：由题意知，， ∴、两点表示的数分别为，； 【小问2详解】 解：①图略； 该正方形的边长； ②略． 23. 综合与探究 【初步探索】 （1）如图①，在中，，，直线经过点，于点，于点，且、在直线的同侧．求证：，且． 【灵活运用】 （2）如图②，将直线绕点旋转，使、分别在直线的两侧，其余条件不变．（）中与、之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）在图②中，若，，求的长；若在图①的位置，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）解：不成立，正确的数量关系是，理由如下： 同（）可证， ∴，， ∴； （3）； 【解析】 【分析】（）利用余角性质可证，进而由判定定理“”可证，得到，，再根据线段的和差关系及等量代换即可求证； （）同理（）解答即可； （）利用（）、（）所得的数量关系计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在图②中，； 在图①中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期期中学业水平监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页（答案另附），考试时间120分钟，满分120分． 2．答题前，考生先将自己的姓名及考号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名和考号． 3．所有试题均在答题卡上作答，写在试卷上无效．选择题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑，如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案． 本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分 Ⅰ（客观卷） 30 分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. 5 C. 5或 D. 25 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现：边长为1的正方形的对角线长既不是整数，也不是分数，这一发现引发了数学史上的第一次危机．关于这个对角线长的说法，错误的是（ ） A. 是2的算术平方根 B. 是无限不循环小数 C. 可以用数轴上的点表示 D. 是有理数 4. 如图，若，点、、、在同一条直线上，，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回家，小刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被墨水弄污了．你认为□内应填写（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线处应填的内容． 分解因式：． 解： ………… ① ………… ② 其中，从①到②所依据的运算律是　　　　　　　　　　． 下列回答错误的是（ ） A. ①处依据的是 B. ②处的结果是 C. “运算律”一空应填“乘法分配律” D. ②处的结果还能继续分解 8. 学完全等三角形后，兴趣小组到湖边测量池塘两端、的距离，三位同学分别设计了如下方案．甲：如图①，在空地上取一个能直接到达和的点，连接并延长到，使；连接并延长到，使；最后测出的长即为、的距离．乙：如图②，过点作，在上取点，使；再过点作，使、、三点在同一条直线上；最后测出的长即为、的距离．丙：如图③，连接并延长到，使，连接，测出的长即为、的距离． 以上三位同学所设计的方案中，可行的是（ ） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 三人的方案都可行 9. 如图，大正方形的边长为，它由两个边长分别为、的正方形和两个长为、宽为的长方形拼成，阴影部分为其中的两个长方形．若，，则阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 29 C. 20 D. 49 10. 定义新运算“”：，则的值为（ ） A. B. 24 C. 676 D. 26 Ⅱ（主观卷） 90 分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 用一组、的值说明命题“若，则”是假命题，这组值可以是__________，__________． 12. 已知，则______________． 13. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．若测得，则工件内槽宽为_______． 14. 观察下列各式： ； ； ； …… 根据规律计算：____________． 15. 如图，在长方形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，当与全等时，点运动的时间__________秒． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 18. 请根据小宇同学整式化简求值的过程，完成下面各项任务： 先化简，再求值：，其中． 解：原式………… 步骤 ………… 步骤 当时，原式． ………… 步骤 （1）任务一：以上解题过程中，从步骤　　　　　开始出现错误，错误的原因是　　　　　　　　； （2）任务二：请把正确的解答过程完整地写出来． 19. 如图，工人师傅要检查人字梁的和是否相等，但他手边没有量角器，只有一把刻度尺．他是这样操作的：分别在和上取点、，使；在上取点、，使；量出的长为米，的长为米．如果，则说明． （1）请说明“如果，则”的理由； （2）若，，求的度数． 20. 山西应县木塔是我国现存最古老、最高的木结构塔式建筑，塔身不用一颗铁钉，全靠榫卯咬合．如图①是某种榫卯结构零件的示意图，图②是它的截面图：该零件是一个长为、宽为的长方体，中间凿去一个边长为的正方形通孔（孔的深度与零件的高相同），零件的高为．求这个零件的体积． 21. 阅读材料 材料1 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例：①；②． 材料2 因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题过程用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把因式分解． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①因式分解：； ②因式分解：． 22. 综合与实践 如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． （1）图2中、两点表示的数分别为　　　　　　，　　　　　． （2）请你参照上面的方法： ①把图3中长为4、宽为2的长方形剪拼成一个大正方形．在图3中画出剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长　　；（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上用点表示数．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法） 23. 综合与探究 【初步探索】 （1）如图①，在中，，，直线经过点，于点，于点，且、在直线的同侧．求证：，且． 【灵活运用】 （2）如图②，将直线绕点旋转，使、分别在直线的两侧，其余条件不变．（）中与、之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）在图②中，若，，求的长；若在图①的位置，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $