精品解析：山西省临汾市侯马市第五中学2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试卷

2025—2026学年度第一学期素养形成期中测试 初二数学 注意事项： 1本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，根据同类项的概念、同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方的运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A：不是同类项，无法合并，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确． 故选：D． 2. 关于命题“等角对等边”，下列说法错误的是（ ） A. 这个命题是真命题 B. 条件是“一个三角形有两个角相等” C. 结论是“这两个角所对的边也相等” D. 可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可． 【详解】解：在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”， 则选项A、B、C正确，不符合题意， 不可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，正确理解定义是关键． 3. 下列各式中，计算结果不正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式、多项式乘多项式．根据乘法公式、多项式乘多项式计算出结果，即可判断． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意． 故选：D． 4. 估算的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的大小估算．根据即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 即， 故选：C． 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，即可得出结果．找准对应角是解题的关键． 【详解】解：由图可知，为边长为的对角， ∵两个三角形全等， ∴； 故选D． 6. 如果a是的平方根，那么等于（　　） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，求一个数的立方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据平方根的意义求出a，再求出． 【详解】解：，9的平方根是， ∵a是的平方根， ∴， 当时，，当时，， 故选：D． 7. 如图，已知，，如果只添加一个条件使，则添加的条件不能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据全等三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A.根据，，，无法判定， 该选项符合题意； B.∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； C. ∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； D. ∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； 故选：A． 8. 已知，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，求代数式的值，熟练掌握多项式乘以多项式及整式的化简求值是解题的关键．先根据多项式乘以多项式的运算法则进行化简，然后将，代入计算即可． 【详解】解：， 当，时， 原式． 故选：C． 9. 在中，， ，点D在边上，，点E，F在线段 上，，若的面积为2，的面积为18，则的面积为（ ）． A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角和定理以及三角形的面积关系，解决本题的关键是证明与全等得到三角形面积的关系． 先由角边角的证明方法证明与全等，可得，再根据面积之间的关系求解即可． 【详解】解：∵，，， 又， ∴，， 又∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点D在边上，， 则，， 又的面积为18， ∴，， ∵的面积为2， ∴， ∴， 则的面积为8． 故选：B ． 10. 如图，在中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与，边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数为（ ）度． A. 30或60 B. 45或60 C. 60 D. 30或45 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 先确定是等腰三角形，得出，因为不确定是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，，，，然后分别利用角的关系得出答案即可． 【详解】解：∵中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 设， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∵ ∴，， ∴， 如图，当时，则， ∵， ∴， 解得， 此时； 如图，当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得， 此时； 时，则， 由得，，此方程无解， ∴不成立， 综上所述，或， 故选：． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的平方根是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，解答即可． 本题考查了平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故答案为：． 12. 把命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……，那么……”的形式： ____________________________． 【答案】如果两直线平行，那么内错角相等 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单． 根据命题“两直线平行，内错角相等”的题设和结论进行分析解答即可． 【详解】解：命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……，那么……”的形式为： 如果两直线平行，那么内错角相等． 故答案为：如果两直线平行，那么内错角相等． 13. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成二次分解即可． 【详解】解：． 14. 如图，已知线段，使用直尺和圆规作得直线l，交于点D，点C在直线l上，若，则的度数为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图一线段的垂直平分线，等腰三角形的判定与性质。根据尺规作图痕迹可知，直线垂直平分，点在直线上，是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据尺规作图痕迹可知，直线垂直平分，点在直线上，是等腰三角形， ． 故答案为：． 15. 如图，在等边中，于点D，F是直线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，若，则线段的最小值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，利用等边三角形的性质得到，，，进而证明，得到，再求出线段的最小值，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得：，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴线段的最小值，即为线段的最小值， 又∵F为直线上一动点，， ∴点F与点D重合时，最小， ∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为， 即线段的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算和幂的运算法则， 立方根求值，绝对值化简，平方根求解等．准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先将每项化简，再从左到右计算即可； （2）根据单项式乘法法则，同底数幂的除法法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值以及算术平方根、绝对值的非负性，解题关键是先根据非负数的性质求出的值，再化简整式后代入计算． 先通过多项式乘法、去括号、合并同类项化简整式；再利用算术平方根与绝对值的非负性，求出的值；最后将的值代入化简后的式子计算结果． 【详解】 将代入得： 原式= 18. 如图，，点 D在边上， 和相交于点O．且，，求证： ． 【答案】 证明：∵，即， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键． 先利用三角形外角性质证明，然后根据证明． 【详解】略 19. 如图，某城市利用一块长为米，宽为米的长方形地块开发商贸中心，计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个休闲文化广场，其余部分建设高层建筑． （1）用含，的式子表示“T”型休闲文化广场的面积并化简． （2）当，时，求该“T”型休闲文化广场的面积． 【答案】（1）平方米 （2）4800平方米 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的应用，求代数式的值，关键是表示“T”型休闲文化广场的面积； （1）用长方形的面积减去两个正方形的面积，利用多项式乘多项式的法则展开即可； （2）把x与y的值代入（1）中化简后的算式中求值即可． 【小问1详解】 解：“T”型休闲文化广场的面积为（平方米）； 【小问2详解】 解：当，时， 原式（平方米）； 20. 在学习了全等三角形和等腰三角形的相关性质后，我们通过进一步研究发现，等腰三角形中两腰上的高有相等关系，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在中，，交于点．利用尺规作图，过点作于点．（只保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在（1）作法下，求证：． 证明： ①___________ ②___________ 在和中 （④___________） ． 【答案】 （1）如图所示，图形即为所求： （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，等边对等角，全等三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据等边对等角得到，根据垂直的定义得到，结合证出，即可完成证明． 【详解】（1）略 （2）略 21. 定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． （1）若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， （2）若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______． ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． 【答案】（1） 是的“友好多项式”，理由如下： ， ∵的项数比多不超过项， ∴是的“友好多项式”； （2）①； ②， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”． 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义，掌握多项式乘多项式法则及新定义是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“友好多项式”的定义判断； （2）①根据“特别友好多项式”的定义解答； ②根据“特别友好多项式”的定义写出多项式，根据多项式乘多项式的法则证明即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”， 故答案为：； ② 略 22. 【问题背景】在如今信息快速发展的时代，“密码”与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如生日，连续数字等简单密码又容易被破解，密码过于复杂自己又容易忘记，因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了．某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种用因式分解产生的密码，方便记忆．其原理是将一个多项式分解因式，如将多项式分解因式的结果为，若取，则有，此时把由几个因式得到的数字按照从小到大的顺序排列得到数字密码091011（不足10的数字在其前补0）． 【实际应用】 （1）根据上述方法，小明同学设置了某软件登录密码：将多项式分解因式后利用x，y的数值设置密码，若取，请问小明该软件的登录密码是多少？ （2）根据上述方法，学校管理员设置了一个密码：一个等腰三角形的周长是12，其中腰长和底边长分别为不同的整数x，y，请你破解出对多项式分解因式后得到的密码． 【答案】（1）小明该软件的登录密码是060912； （2）对多项式分解因式后得到的密码是010509． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，二元一次方程的应用． （1）直接分解因式后根据题干解密方法作答即可； （2）根据等腰三角形的定义列出二元一次方程，再找出符合要求的解，因式分解后根据题干解密方法作答即可． 【小问1详解】 ， 若取，则有， ∴小明该软件的登录密码是060912； 【小问2详解】 ∵一个等腰三角形的周长是12，其中腰长和底边长分别为不同的整数 ． 都为整数， （不合题意的已舍去）． ， 当时，， ∴对多项式分解因式后得到的密码是010509． 23. 综合与实践 （1）超越学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线、直线，垂足分别为点、．研究小组探究出、、的关系是______． （2）组员小梦想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意钝角，请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决；如图3，过的边，向外作等腰和等腰．是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 【答案】（1）； （2）成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中． ， ， ，， ； （3）证明：延长，过D作于M，过作的延长线于N，如图： ， 由（1）和（2）的结论可知， ， 在和中， ， ， ， ∴是的中点． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由条件可证明，可得，可得； （2）由条件可知，可得，结合条件可证明，同（1）可得出结论； （3）过作于 过作的延长线于，由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论是的中点． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期素养形成期中测试 初二数学 注意事项： 1本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于命题“等角对等边”，下列说法错误的是（ ） A. 这个命题是真命题 B. 条件是“一个三角形有两个角相等” C. 结论是“这两个角所对的边也相等” D. 可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题 3. 下列各式中，计算结果不正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 估算的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如果a是的平方根，那么等于（　　） A. B. C. D. 或 7. 如图，已知，，如果只添加一个条件使，则添加的条件不能为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 在中，， ，点D在边上，，点E，F在线段 上，，若的面积为2，的面积为18，则的面积为（ ）． A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 10. 如图，在中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与，边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数为（ ）度． A. 30或60 B. 45或60 C. 60 D. 30或45 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的平方根是_________． 12. 把命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……，那么……”的形式： ____________________________． 13. 因式分解：__________． 14. 如图，已知线段，使用直尺和圆规作得直线l，交于点D，点C在直线l上，若，则的度数为_____________． 15. 如图，在等边中，于点D，F是直线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，若，则线段的最小值为 __． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算． （1） （2） 17. 先化简，再求值：其中 18. 如图，，点 D在边上， 和相交于点O．且，，求证： ． 19. 如图，某城市利用一块长为米，宽为米的长方形地块开发商贸中心，计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个休闲文化广场，其余部分建设高层建筑． （1）用含，的式子表示“T”型休闲文化广场的面积并化简． （2）当，时，求该“T”型休闲文化广场的面积． 20. 在学习了全等三角形和等腰三角形的相关性质后，我们通过进一步研究发现，等腰三角形中两腰上的高有相等关系，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在中，，交于点．利用尺规作图，过点作于点．（只保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在（1）作法下，求证：． 证明： ①___________ ②___________ 在和中 （④___________） ． 21. 定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． （1）若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， （2）若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______． ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． 22. 【问题背景】在如今信息快速发展的时代，“密码”与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如生日，连续数字等简单密码又容易被破解，密码过于复杂自己又容易忘记，因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了．某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种用因式分解产生的密码，方便记忆．其原理是将一个多项式分解因式，如将多项式分解因式的结果为，若取，则有，此时把由几个因式得到的数字按照从小到大的顺序排列得到数字密码091011（不足10的数字在其前补0）． 【实际应用】 （1）根据上述方法，小明同学设置了某软件登录密码：将多项式分解因式后利用x，y的数值设置密码，若取，请问小明该软件的登录密码是多少？ （2）根据上述方法，学校管理员设置了一个密码：一个等腰三角形的周长是12，其中腰长和底边长分别为不同的整数x，y，请你破解出对多项式分解因式后得到的密码． 23. 综合与实践 （1）超越学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线、直线，垂足分别为点、．研究小组探究出、、的关系是______． （2）组员小梦想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意钝角，请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决；如图3，过的边，向外作等腰和等腰．是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $