精品解析：天津市宁河区潘庄中学2026-2027学年高二上学期10月阶段性练习数学试题

潘庄中学2025级高二第一学期数学学科阶段性练习一 一、单选题（共45分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，故可得倾斜角的正切值，故可求倾斜角. 【详解】直线移项可得：，斜率为， 设倾斜角为，则，解得. 倾斜角为. 故选：A. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据空间点关于轴对称的结论即可得到答案. 【详解】根据空间点关于轴对称，则轴上坐标不变，轴上坐标取相反数， 故点P关于x轴的对称点的坐标是. 故选：C. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加法坐标运算可得. 【详解】因为，， 所以， 故选：D 4. 已知是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点和点关于点的对称点分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题与关于点对称问题直接求解. 【详解】设点关于平面对称的点为，易知两个点的横坐标与竖坐标相同，纵坐标相反，故点； 设点关于点对称的点为，则点为线段的中点，故有：，解得，即. 故选：A. 5. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加、减法和数乘运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 6. 直线 与曲线只有一个公共点，则实数范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定直线恒过定点，确定曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点，由直线与圆位置关系解决即可. 【详解】由题知，直线 恒过定点，曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点， 当直线经过点时，与曲线有2个交点，此时，不满足题意，直线记为， 当直线经过点时，与曲线有1个交点，此时，满足题意，直线记为， 如图，当直线与半圆相切时，由，解得，直线记为， 由图知，当或，与曲线有1个交点， 故选：C 7. 已知正方体的棱长为，则点到对角线所在的直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接用向量的方法求点到线的距离可得. 【详解】如图：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以， 所以向量在向量上投影向量的模为， ， 所以点到直线的距离为. 8. 已知实数满足，则的最小值是（　　） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为点到直线的距离即可求解. 【详解】当取最小值时，即为点到直线的距离; 故选：A 9. 向量，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的关系列式求解，的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模公式计算得出结果. 【详解】由，，则，解得， ，， ， . 故选：C. 二、填空题（共20分） 10. 已知空间向量＝（1，0，1），＝（1，1，2），则的值为 ___，向量的夹角为 ___． 【答案】 ①. 3 ②. ## 【解析】 【分析】利用向量的数量积的坐标公式计算即可得出结果. 【详解】 ＝（1，0，1），＝（1，1，2）， . . , . 故答案为：3，. 11. 已知直线：与：平行，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行列方程，验证后求得的值. 【详解】由于，所以，解得或. 当时，两直线方程为，两直线重合，不符合题意. 当时，两直线方程为，两直线平行，符合题意. 综上所述，的值为. 故答案为： 12. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】由于为等边三角形，且边长等于圆的半径2，所以可得圆心到直线的距离为，然后利用点到直线的距离公式列方程求解即可 【详解】圆的圆心为，半径为2， 因为为等边三角形， 所以三角形为等边三角形可知圆心到直线的距离为， 所以 故答案为： 13. 已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式求出，再结合图形求出直线l的斜率的取值范围. 【详解】根据题中条件画出图形，如图所示， 因为，，，设直线l的斜率为， 则， 直线l与以为端点的线段相交，结合图形， 则直线l的斜率的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题（共35分） 14. 已知的顶点． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程； （3）的中位线与边平行，求所在直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出BC边所在直线的斜率，则BC边上的高所在直的斜率可求，由点斜式写出直线方程； （2）求出BC的中点，由两点式求出BC边上中线所在直线的斜率，由点斜式写出方程. （3）求出AC的中点，求出BC的斜率，由点斜式即可写出方程. 【小问1详解】 三角形的三个顶点是． 所以BC斜率为：，所以BC边上的高AD的斜率为：，BC边上的高AD所在直线的方程为：，即； 【小问2详解】 顶点是则其中点，所以中线AP所在直线直线斜率， 所以中线AP所在直线方程为：，即. 【小问3详解】 求出的中点，求出BC的斜率为：，由点斜式即可写出方程,即 15. 已知点A（1，3），B（3，1），，求： （1）BC边所在直线的方程； （2）BC边上中线AD的方程； （3）三角形ABC的面积. 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）由B（3，1），，利用两点式求解； （2）先求得线段BC的中点，再写出中线AD的方程； （3）先求得点A到直线BC的距离和，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 解：因为B（3，1），， 所以直线BC的方程为：，即； 【小问2详解】 因为B（3，1），， 所以线段BC的中点为：， 所以BC边上中线AD的方程为； 【小问3详解】 点A到直线BC的距离为：， 又， 所以. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）构建如下图示的空间直角坐标系，则， 所以， 若是平面的一个法向量，则， 取，则， 所以，即，又平面， 所以平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）构建空间直角坐标系，应用向量法证明线面平行即可； （2）（3）求出相关直线方向向量、平面的法向量，应用向量法求线面角、面面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，设直线与平面所成角为， 则. 【小问3详解】 由上可知，设是平面的一个法向量，则， 取，则， 故平面和平面的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潘庄中学2025级高二第一学期数学学科阶段性练习一 一、单选题（共45分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点和点关于点的对称点分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 直线 与曲线只有一个公共点，则实数范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为，则点到对角线所在的直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则的最小值是（　　） A. B. C. 1 D. 9. 向量，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共20分） 10. 已知空间向量＝（1，0，1），＝（1，1，2），则的值为 ___，向量的夹角为 ___． 11. 已知直线：与：平行，则______. 12. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数___________． 13. 已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为______． 三、解答题（共35分） 14. 已知的顶点． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程； （3）的中位线与边平行，求所在直线的方程． 15. 已知点A（1，3），B（3，1），，求： （1）BC边所在直线的方程； （2）BC边上中线AD的方程； （3）三角形ABC的面积. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面和平面的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $