直线与平面垂直的判定与性质专项训练-2027届高三数学一轮复习

直线与平面垂直的判定与性质专项训练 判定定理 · 性质定理 · 专项训练 【教师版】 适用：高二同步新授 / 高三一轮复习 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展链接」收纳超出教材本节范围的内容，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签名称与方法名逐字对应，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 本节的核心动作只有两个：「找两条相交直线」和「找一条已知的垂线」。一道题如果两条路都走不通，多半是要用勾股逆定理把直角算出来，或者干脆建系。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 75 分钟完成。写判定定理时，「两条」「相交」「都在平面内」这三点必须逐条写全。 直线与平面垂直的判定与性质专项训练 考点定位：人教 A 版必修第二册 8.6 直线、平面垂直的判定与性质（直线与平面垂直部分）。本节只讨论「一条直线」与「一个平面」的垂直关系：怎样用判定定理证明垂直、怎样用性质定理与平行转移把结论搬来搬去，以及怎样求点到平面的距离；不涉及直线与平面所成的角，也不涉及平面与平面垂直的判定与性质。 题源：本节 10 题以 2024—2025 学年各地期中、期末与高考模拟中的线面垂直类试题为主线编排，其中例题 1、例题 4 取材于 2024 年浙江杭州高一期末与 2025 年湖南长沙高三一模的同型试题并重新设问，例题 2 由 2025 年广东广州高三一模的平行转移类试题改写；其余各题由编者按本节四条方法自编。所有答案与过程均已逐题独立演算核对。 一、知识要点 （一）定义与判定定理 1. 定义：如果一条直线 与一个平面 内的任意一条直线都垂直，就说直线 与平面 互相垂直，记作 。直线 叫做平面的垂线，唯一的公共点叫做垂足。 2. 定义中的「任意一条」也包含与 异面的直线；两条异面直线垂直指的是它们所成的角是 （把其中一条平移到与另一条相交后再量角）。 3. 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。符号语言：由 、、、、，可得 。 4. 两个易漏点：一是「两条」不能少成一条——只垂直于平面内一条直线远远不够；二是这两条必须相交，若平面内两条直线互相平行，垂直于它们的直线未必垂直于平面。 5. 垂直关系的常用来源：已知的线面垂直（由 可得 垂直于 内任意直线）、矩形与正方形的邻边、正方形与菱形对角线互相垂直、等腰三角形的三线合一、以及勾股逆定理。 （二）性质定理与两个推论 6. 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。符号语言：由 、，可得 。 7. 推论一（平行转移）：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。符号语言：由 、，可得 。它的作用是「把垂直关系整条搬走」。 8. 推论二（唯一性）：过一点有且只有一条直线垂直于已知平面；过一点有且只有一个平面垂直于已知直线。这两条保证了垂线与垂足的唯一性，也是题目里说「作 平面 于 」时不必讨论存在性的理由。 9. 点到平面的距离：从平面外一点向平面作垂线，该点与垂足之间线段的长度叫做点到平面的距离。在连接该点与平面内各点的所有线段中，垂线段最短。 10. 最基本的转化：由 且 ，可得 。这是「线面垂直」与「线线垂直」之间来回切换的开关，也是本节用得最频繁的一条结论。 （三）证明思路与常用计算 11. 证明线面垂直只有两条路：要么在平面内找出两条相交直线，分别证明与已知直线垂直；要么找一条已知的垂线，再证明它与已知直线平行（平行转移）。拿到题先判断走哪条。 12. 找不到现成的垂直关系时，就用勾股逆定理把直角算出来：算出三条边的长，验证 ，得到直角后再套判定定理。 13. 向量法： 的充要条件是 的方向向量与 的法向量平行（）。用坐标或用一组基底都可以，动点问题与「是否存在」的问题首选它。 14. 已知线面垂直时，求点到平面的距离最省事的是等体积法：把同一个三棱锥换一个底面，用 反解出高 。注意换底之后 不变，这是等体积法的全部依据。 15. 建系的最佳来源是「三条两两垂直且共点的直线」：长方体（正方体）从同一个顶点出发的三条棱，以及「侧棱垂直于底面」的棱柱与棱锥，都能一步把坐标系搭好。 二、方法提炼 方法1　判定定理（两条相交直线）：按「找线 → 证垂直 → 查相交 → 下结论」四步写。找线优先在已知图形里挑现成的垂直关系（正方形对角线、矩形邻边、已知的线面垂直）；查相交这一步不能省，两条平行线凑不成判定定理。 方法2　平行转移与性质定理：见到「已知某直线垂直于某平面」就想想能不能把它搬走。两个方向都要熟—— 且 得 （把垂直搬给平行线）； 且 得 （垂直同一平面的两直线平行）。 方法3　勾股逆定理与等体积法：没有现成垂直关系时，把三条边长算出来用 造直角；要求点到平面的距离时，用等体积法换底反解，比作垂线快。这两条都属于「算出来」，不依赖图形直觉。 方法4　向量法（坐标法 / 基底法）：建系（或取一组两两垂直的基底）→ 写出平面的法向量 → 令直线的方向向量 与 平行（对应坐标成比例）→ 解出参数。动点轨迹、探索存在性、线段比都用这一条；若题目问的是垂直，注意这里要求的是 而不是 。 三、易错提醒 ◆ 判定定理只用了平面内的一条直线：垂直于平面内一条直线，直线还可能斜着穿过平面，结论完全不成立。 ◆ 平面内的两条直线互相平行：判定定理要求的是两条相交直线，平行的两条只提供一个方向，等于只用了一条。 ◆ 忘记交代这两条直线「在平面内」：写在草稿上的辅助线如果不说明它属于哪个平面，判定定理的三个前提就缺了一个。 ◆ 由 、 直接推出 ：这是最常见的跳步，中间少了「再找一条与 相交的平面内直线」这一步。 ◆ 平行转移用反了方向：由 、 推不出 （ 完全可能在 内）；正确的用法是 、 得 。 ◆ 求点到平面的距离时拿斜线段当高：必须确认这条线段真的垂直于平面，否则要用等体积法或向量法重算。 ◆ 用向量法时把「垂直」和「平行」的条件记混：直线垂直于平面是 （方向向量与法向量平行），直线平行于平面才是 ，两者正好相反。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 判定定理（两条相交直线） 题注：要证一条体对角线垂直于一个平面，标准的做法是把它拆成两次「线面垂直推出线线垂直」：先让 垂直于一个过 的平面，再让 垂直于另一个过 的平面。 正方体 的棱长为 2。 （1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积。 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）先看 。因为 （正方形 的对角线互相垂直），且 （ 平面 ， 平面 ），而 与 相交于 ，且都在平面 内，所以 平面 。 又 平面 ，故 。 再看 。因为 、，且 与 相交于 ，都在平面 内，所以 平面 ，从而 ；又 （正方形 的对角线互相垂直）。 由 且 知 、、、 四点共面，即 与 都在平面 内且相交于 ，故 平面 。又 平面 ，故 。 因为 与 都在平面 内且相交于 ，由判定定理得 平面 。 （2）三棱锥 与三棱锥 是同一个三棱锥，只是换了一个顶点来看，所以只要求三棱锥 的体积。 △ 是直角三角形，它的面积 ；又 平面 ，所以以 △ 为底时，高就是棱长 2。故 。 【点拨】第（1）问的套路叫「两次中转」： 平面 ， 里有一条 ，于是 ；换一个平面再做一次，凑齐平面内两条相交直线。第（2）问用的是等体积法里最省事的一种——同一个三棱锥换个顶点，高就变成了棱长，不必去求点 到平面 的距离。 【例 2】 方法2 · 平行转移与性质定理 题注：底面是正方形、侧棱垂直于底面——这是本节最经典的背景。第（1）问用判定定理，第（2）问把结论整条搬给中位线，第（3）问再利用「距离沿线段线性变化」收尾。 在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 平面 ，，、 分别是棱 、 的中点。 （1）求证： 平面 ； （2）求证： 平面 ； （3）求点 到平面 的距离。 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】（1）因为 是正方形，所以 ；又 平面 ， 平面 ，故 。 而 与 都在平面 内且相交于 ，由判定定理得 平面 。 （2）在 中，、 分别是 、 的中点，所以 是中位线，。 由（1） 平面 ，根据平行转移（两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面），得 平面 。 （3）设 ，即正方形 的中心。由（1） 平面 ，且 平面 ，所以 平面 ，点 到平面 的距离就是 。 而 。 又 平面 ，即点 到平面 的距离为 0， 是 的中点，点 到平面 的距离等于点 到该平面距离的一半，故所求距离 。 【点拨】第（3）问用到的结论要单独记住：若点 在平面 内，点 在线段 上，则点 到平面 的距离等于点 到平面 距离的 倍——它把距离问题变成了比例问题，凡是出现中点的距离题都可以这么化简。 【例 3】 方法3 · 勾股逆定理与等体积法 题注：题目没有给出任何现成的垂直关系，只给了一堆棱长。这种题唯一的入口就是把边长代进勾股定理，把直角「算」出来。 在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形，，，。 （1）求证： 平面 ； （2）求四棱锥 的体积。 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）因为 ，，，所以 ，由勾股逆定理得 ，即 。 同理，，，，，得 ，即 。 又 与 都在平面 内且相交于 ，由判定定理得 平面 。 （顺带核对：，，与已知的 一致，说明这组数据自洽。） （2）由（1） 平面 ，所以 就是四棱锥的高，底面正方形面积 。 故 。 【点拨】这类题的关键是先问一句「题目给了什么」。给了长度就用勾股逆定理，给了角度就用角度关系，给了「侧棱与底面内两条相交直线垂直」就直接套判定定理。另外，算出 平面之后别忘了顺手核对一下第四条棱 ，能发现数据自洽与否，也能防止抄错数。 【例 4】 方法4 · 向量法（坐标法） 题注：第（2）问要在线段上定位一个点，几何上要作垂足、要找相似三角形，比较绕；用参数 把点 写出来，「垂直」就变成一个一元一次方程。 正方体 的棱长为 2， 是棱 的中点，点 在线段 上，且 。 （1）求证： 平面 ； （2）求 ； （3）求线段 的长，并指出 与 的位置关系。 【答案】（1）见解析；（2）；（3），且 （异面垂直） 【解析】（1）因为 （正方形 的对角线互相垂直），且 （ 平面 ），而 与 相交于 ，都在平面 内，所以 平面 。 （2）以 为原点，射线 、、 分别为 、、 轴建系，则 ，，。 设 分 的比为 ，即 ，则 （）。 于是 ，。 由 得 ，解得 。 所以 。 （3）把 代入，，，故 。 又 、，二者都在平面 内，所以 平面 ；由（1） 平面 ，得 。由于 与 不共面（ 在平面 内， 与该平面只交于一点），故它们是异面垂直。 【点拨】在线段上设点，统一写成「端点 + × 方向向量」的形式，既能一步得到坐标，又能直接读出线段的比： 就是。另外记住第（3）问的分工——线段的长度用坐标算，位置关系则回到第（1）问的结论，不必再算一次点积。 五、巩固练习 1. 方法1 · 判定定理的条件 已知 、 是平面 内的两条直线， 是空间中的一条直线，则下列条件中能推出 的是（　　） A．，　　　　B．， C． 与 相交，，　　D．， 【答案】C 【解析】A 错：没有说明 与 相交。若 ，则 只垂直于一个方向，它可能斜着穿过平面 。 B 错：只涉及平面内的一条方向，更是远远不够。 C 对：、 都在平面 内且相交， 与它们都垂直，判定定理的三个条件齐备，可得 。 D 错： 而 ，只能得到 ，与平面 是否垂直毫无关系。 故选 C。 【点拨】判定定理的三个关键词要背牢：两条、相交、在平面内。做选择题时把三个条件当成三条清单逐条打钩，缺任何一条就直接排除，不用再想反例。 2. 方法1 · 判定定理（两条相交直线） 在正方体 中，求证： 平面 。 【答案】见解析 【解析】先证 。因为 （正方形 的对角线互相垂直），且 （ 平面 ），而 与 相交于 ，都在平面 内，所以 平面 ；又 平面 ，故 。 再证 。因为 、，且 与 相交于 ，都在平面 内，所以 平面 ；由 得 平面 ，从而 。 又 （正方形 的对角线互相垂直），且 与 相交于 ，都在平面 内，所以 平面 ；又 平面 ，故 。 因为 与 都在平面 内且相交于 ，由判定定理得 平面 。 【点拨】正方体里有一个值得背下来的结论：体对角线 同时垂直于平面 与平面 这两个互相平行的平面，而体对角线 同时垂直于平面 与平面 。记住它们，遇到体对角线垂直的题就能一眼看出方向。 3. 方法3 · 勾股逆定理与等体积法 在三棱锥 中， 平面 ，，。 （1）求证： 平面 ； （2）求点 到平面 的距离。 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ；又已知 。 而 与 都在平面 内且相交于 ，由判定定理得 平面 。 （2）用等体积法。先算 ：△ 是直角三角形，，高 ，故 。 再算 △ 的面积：由（1） 平面 ，而 平面 ，所以 ，△ 是直角三角形。 其中 ，，故 。 设点 到平面 的距离为 ，由 得 ，解得 。 【点拨】等体积法的固定操作步骤：① 选一个「高已知」的底面算出体积；② 再选一个「含所求距离」的底面，把它对应的面的面积算出来；③ 用 反解 。本题第（1）问不只是为了证明——它保证了 △ 是直角三角形，面积才算得出来，两问是连着的。 4. 方法4 · 向量法（坐标法） 正方体 的棱长为 2， 是棱 的中点，点 在线段 上，且 。求 。 【答案】 【解析】以 为原点，射线 、、 分别为 、、 轴建系，则 ，，，，故 。 设 （），即 。 于是 ，。 由 得 ，解得 。 所以 。 【点拨】「点在线段上 + 一个垂直（或平行）条件」求比值，是向量法最典型的用场：设出参数 ，把垂直翻译成点积为 0，一次方程就出结果。写答案时注意 是「从起点量起的比例」，比值要写成 再化简。 5. 方法2 · 平行转移与性质定理 （多选）已知 、 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题中正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 【答案】ABD 【解析】A 对：由直线与平面垂直的定义， 垂直于平面 内的任意一条直线，当然也垂直于 。 B 对：这正是性质定理——垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 C 错：只垂直于平面内的一条直线，缺少「第二条相交直线」这一条件， 可能斜着穿过 ，甚至可能就在 内。 D 对：这是平行转移——两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面。 故选 ABD。 【点拨】把四条结论画成一张关系图最好记：「线面垂直」向下推出「线线垂直」（定义），向上被「两条相交直线」推出（判定定理）；横向则通过「平行」转移。C 之所以错，是因为它想从「一条」直接跳到「线面垂直」，跳过了判定定理。 6. 方法3 · 勾股逆定理与等体积法 在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 平面 ，， 是棱 的中点。 （1）求证： 平面 ； （2）求点 到平面 的距离。 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）因为 是正方形，所以 ；又 平面 ， 平面 ，故 。 而 与 都在平面 内且相交于 ，由判定定理得 平面 。 （2）先求点 到平面 的距离。，其中 。 又 ，，所以 △ 是边长为 的等边三角形，△ 的面积 。 设点 到平面 的距离为 ，由 得 ，解得 。 因为 平面 ， 是 的中点，所以点 到平面 的距离等于点 到该平面距离的一半，即 。 【点拨】这一问把两个技巧叠在了一起：先用等体积法算出端点 的距离，再用「中点把距离折半」的比例结论算 。如果直接对点 用等体积法，体积要先算成 ，绕了一圈，不如先算端点。 六、拓展链接（超出人教A版教材本节范围） 以下 4 条超出教材本节课堂要求的内容，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 1. 三条两两垂直且共点的直线，是空间直角坐标系的来源，也是本节所有计算的地基。长方体中，从同一个顶点出发的三条棱长为 、、 时，体对角线长为 ——它就是勾股定理在空间的直接推广，例题 3「用长度反推垂直」的思路正是它的逆用。 2. 正方体里值得背下来的两组垂直关系：体对角线 同时垂直于平面 与平面 （这两个平面互相平行），体对角线 同时垂直于平面 与平面 。此外，正方体的六个面中，每一个面都垂直于与它相邻的四个面，这是下一节「面面垂直」最直观的素材。 3. 三垂线定理及其逆定理：平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在该平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直；反过来也成立。它能把空间中的线线垂直判断压回平面内完成，是旧教材里的常用工具，新教材改用空间向量处理，但结论本身依然成立，学有余力的同学可以自己用向量证一遍。 4. 线面垂直与体积是一对固定搭档：一旦知道 ，以 内的一个多边形为底、以 上一点为顶点的棱锥，它的高就是 上从顶点到底面的那一段，体积可以直接写出来。例题 1 的 、练习 3 的 都出自这一条，它也是后面学习棱柱、棱锥体积时反复出现的思路。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与平面垂直的判定与性质专项训练 判定定理 · 性质定理 · 专项训练 【学生版】 适用：高二同步新授 / 高三一轮复习 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展链接」收纳超出教材本节范围的内容，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签名称与方法名逐字对应，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 本节的核心动作只有两个：「找两条相交直线」和「找一条已知的垂线」。一道题如果两条路都走不通，多半是要用勾股逆定理把直角算出来，或者干脆建系。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 75 分钟完成。写判定定理时，「两条」「相交」「都在平面内」这三点必须逐条写全。 直线与平面垂直的判定与性质专项训练 考点定位：人教 A 版必修第二册 8.6 直线、平面垂直的判定与性质（直线与平面垂直部分）。本节只讨论「一条直线」与「一个平面」的垂直关系：怎样用判定定理证明垂直、怎样用性质定理与平行转移把结论搬来搬去，以及怎样求点到平面的距离；不涉及直线与平面所成的角，也不涉及平面与平面垂直的判定与性质。 题源：本节 10 题以 2024—2025 学年各地期中、期末与高考模拟中的线面垂直类试题为主线编排，其中例题 1、例题 4 取材于 2024 年浙江杭州高一期末与 2025 年湖南长沙高三一模的同型试题并重新设问，例题 2 由 2025 年广东广州高三一模的平行转移类试题改写；其余各题由编者按本节四条方法自编。所有答案与过程均已逐题独立演算核对。 一、知识要点 （一）定义与判定定理 1. 定义：如果一条直线 与一个平面 内的任意一条直线都垂直，就说直线 与平面 互相垂直，记作 。直线 叫做平面的垂线，唯一的公共点叫做垂足。 2. 定义中的「任意一条」也包含与 异面的直线；两条异面直线垂直指的是它们所成的角是 （把其中一条平移到与另一条相交后再量角）。 3. 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。符号语言：由 、、、、，可得 。 4. 两个易漏点：一是「两条」不能少成一条——只垂直于平面内一条直线远远不够；二是这两条必须相交，若平面内两条直线互相平行，垂直于它们的直线未必垂直于平面。 5. 垂直关系的常用来源：已知的线面垂直（由 可得 垂直于 内任意直线）、矩形与正方形的邻边、正方形与菱形对角线互相垂直、等腰三角形的三线合一、以及勾股逆定理。 （二）性质定理与两个推论 6. 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。符号语言：由 、，可得 。 7. 推论一（平行转移）：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。符号语言：由 、，可得 。它的作用是「把垂直关系整条搬走」。 8. 推论二（唯一性）：过一点有且只有一条直线垂直于已知平面；过一点有且只有一个平面垂直于已知直线。这两条保证了垂线与垂足的唯一性，也是题目里说「作 平面 于 」时不必讨论存在性的理由。 9. 点到平面的距离：从平面外一点向平面作垂线，该点与垂足之间线段的长度叫做点到平面的距离。在连接该点与平面内各点的所有线段中，垂线段最短。 10. 最基本的转化：由 且 ，可得 。这是「线面垂直」与「线线垂直」之间来回切换的开关，也是本节用得最频繁的一条结论。 （三）证明思路与常用计算 11. 证明线面垂直只有两条路：要么在平面内找出两条相交直线，分别证明与已知直线垂直；要么找一条已知的垂线，再证明它与已知直线平行（平行转移）。拿到题先判断走哪条。 12. 找不到现成的垂直关系时，就用勾股逆定理把直角算出来：算出三条边的长，验证 ，得到直角后再套判定定理。 13. 向量法： 的充要条件是 的方向向量与 的法向量平行（）。用坐标或用一组基底都可以，动点问题与「是否存在」的问题首选它。 14. 已知线面垂直时，求点到平面的距离最省事的是等体积法：把同一个三棱锥换一个底面，用 反解出高 。注意换底之后 不变，这是等体积法的全部依据。 15. 建系的最佳来源是「三条两两垂直且共点的直线」：长方体（正方体）从同一个顶点出发的三条棱，以及「侧棱垂直于底面」的棱柱与棱锥，都能一步把坐标系搭好。 二、方法提炼 方法1　判定定理（两条相交直线）：按「找线 → 证垂直 → 查相交 → 下结论」四步写。找线优先在已知图形里挑现成的垂直关系（正方形对角线、矩形邻边、已知的线面垂直）；查相交这一步不能省，两条平行线凑不成判定定理。 方法2　平行转移与性质定理：见到「已知某直线垂直于某平面」就想想能不能把它搬走。两个方向都要熟—— 且 得 （把垂直搬给平行线）； 且 得 （垂直同一平面的两直线平行）。 方法3　勾股逆定理与等体积法：没有现成垂直关系时，把三条边长算出来用 造直角；要求点到平面的距离时，用等体积法换底反解，比作垂线快。这两条都属于「算出来」，不依赖图形直觉。 方法4　向量法（坐标法 / 基底法）：建系（或取一组两两垂直的基底）→ 写出平面的法向量 → 令直线的方向向量 与 平行（对应坐标成比例）→ 解出参数。动点轨迹、探索存在性、线段比都用这一条；若题目问的是垂直，注意这里要求的是 而不是 。 三、易错提醒 ◆ 判定定理只用了平面内的一条直线：垂直于平面内一条直线，直线还可能斜着穿过平面，结论完全不成立。 ◆ 平面内的两条直线互相平行：判定定理要求的是两条相交直线，平行的两条只提供一个方向，等于只用了一条。 ◆ 忘记交代这两条直线「在平面内」：写在草稿上的辅助线如果不说明它属于哪个平面，判定定理的三个前提就缺了一个。 ◆ 由 、 直接推出 ：这是最常见的跳步，中间少了「再找一条与 相交的平面内直线」这一步。 ◆ 平行转移用反了方向：由 、 推不出 （ 完全可能在 内）；正确的用法是 、 得 。 ◆ 求点到平面的距离时拿斜线段当高：必须确认这条线段真的垂直于平面，否则要用等体积法或向量法重算。 ◆ 用向量法时把「垂直」和「平行」的条件记混：直线垂直于平面是 （方向向量与法向量平行），直线平行于平面才是 ，两者正好相反。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 判定定理（两条相交直线） 题注：题注：要证一条体对角线垂直于一个平面，标准的做法是把它拆成两次「线面垂直推出线线垂直」：先让 垂直于一个过 的平面，再让 垂直于另一个过 的平面。 正方体 的棱长为 2。 （1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积。 【例 2】 方法2 · 平行转移与性质定理 题注：题注：底面是正方形、侧棱垂直于底面——这是本节最经典的背景。第（1）问用判定定理，第（2）问把结论整条搬给中位线，第（3）问再利用「距离沿线段线性变化」收尾。 在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 平面 ，，、 分别是棱 、 的中点。 （1）求证： 平面 ； （2）求证： 平面 ； （3）求点 到平面 的距离。 【例 3】 方法3 · 勾股逆定理与等体积法 题注：题注：题目没有给出任何现成的垂直关系，只给了一堆棱长。这种题唯一的入口就是把边长代进勾股定理，把直角「算」出来。 在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形，，，。 （1）求证： 平面 ； （2）求四棱锥 的体积。 【例 4】 方法4 · 向量法（坐标法） 题注：题注：第（2）问要在线段上定位一个点，几何上要作垂足、要找相似三角形，比较绕；用参数 把点 写出来，「垂直」就变成一个一元一次方程。 正方体 的棱长为 2， 是棱 的中点，点 在线段 上，且 。 （1）求证： 平面 ； （2）求 ； （3）求线段 的长，并指出 与 的位置关系。 五、巩固练习 1. 方法1 · 判定定理的条件 已知 、 是平面 内的两条直线， 是空间中的一条直线，则下列条件中能推出 的是（　　） A．，　　　　B．， C． 与 相交，，　　D．， 2. 方法1 · 判定定理（两条相交直线） 在正方体 中，求证： 平面 。 3. 方法3 · 勾股逆定理与等体积法 在三棱锥 中， 平面 ，，。 （1）求证： 平面 ； （2）求点 到平面 的距离。 4. 方法4 · 向量法（坐标法） 正方体 的棱长为 2， 是棱 的中点，点 在线段 上，且 。求 。 5. 方法2 · 平行转移与性质定理 （多选）已知 、 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题中正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 6. 方法3 · 勾股逆定理与等体积法 在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 平面 ，， 是棱 的中点。 （1）求证： 平面 ； （2）求点 到平面 的距离。 六、拓展链接（超出人教A版教材本节范围） 以下 4 条超出教材本节课堂要求的内容，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 1. 三条两两垂直且共点的直线，是空间直角坐标系的来源，也是本节所有计算的地基。长方体中，从同一个顶点出发的三条棱长为 、、 时，体对角线长为 ——它就是勾股定理在空间的直接推广，例题 3「用长度反推垂直」的思路正是它的逆用。 2. 正方体里值得背下来的两组垂直关系：体对角线 同时垂直于平面 与平面 （这两个平面互相平行），体对角线 同时垂直于平面 与平面 。此外，正方体的六个面中，每一个面都垂直于与它相邻的四个面，这是下一节「面面垂直」最直观的素材。 3. 三垂线定理及其逆定理：平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在该平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直；反过来也成立。它能把空间中的线线垂直判断压回平面内完成，是旧教材里的常用工具，新教材改用空间向量处理，但结论本身依然成立，学有余力的同学可以自己用向量证一遍。 4. 线面垂直与体积是一对固定搭档：一旦知道 ，以 内的一个多边形为底、以 上一点为顶点的棱锥，它的高就是 上从顶点到底面的那一段，体积可以直接写出来。例题 1 的 、练习 3 的 都出自这一条，它也是后面学习棱柱、棱锥体积时反复出现的思路。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $