第5讲 模与夹角的运算和垂直判定专项训练-2027届高三数学一轮复习

模与夹角的运算和垂直判定 平面向量 · 专题篇 一 模的平方展开 一、核心换算。 ，也可以写成 。反过来见到 要立刻认成模的平方。 二、两条展开式。 ； 。 带系数时把系数平方、交叉项带 ：。 三、两条推论（遇到就给分）。 两式相加：； 两式相减：。 ★ 这两条叫平行四边形两条对角线定理：「两条对角线的平方和等于四边的平方和」。 四、模的三角不等式。 ，右边取等当且仅当同向，左边取等当且仅当反向。 五、做题顺序。 第一步把模的等式两边同时平方；第二步按展开式拆成三类项；第三步代入已知的模与数量积；第四步解出目标量（可能是模、也可能是数量积）。 ★ 若目标量是夹角，解出数量积后用 再走一步。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知都是单位向量，夹角为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 若单位向量，满足，则 = （ ） A. 2 B. C. D. 1 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 向量，的夹角为，，，则 = （ ） A. B. C. 3 D. 7 变式1-3（单选·★★☆☆☆） 已知单位向量与的夹角为，则 = （ ） A. B. C. D. 变式1-4（单选·★★☆☆☆） 已知向量与的夹角为120°，，则 = （ ） A. 3 B. 7 C. D. 例2（单选·★★☆☆☆） 已知单位向量满足，则 = （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 变式2-1（填空·★★☆☆☆） 平面向量，满足，，，则 = ______。 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 已知向量，满足，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-3（单选·★★☆☆☆） 已知，向量与的夹角为，则 = （ ） A. 1 B. C. D. 变式2-4（单选·★★☆☆☆） 已知向量a，b满足，，且对，，则=（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 二 夹角公式 一、夹角公式。 设 、 为非零向量，夹角为 ，则 ，其中 。 ★ 分子是数量积（可为负），分母是两条模的乘积（恒正），所以夹角是锐角还是钝角只由数量积的符号决定。 二、夹角的范围与符号。 时 （锐角，含同向）； 时 ； 时 （钝角，含反向）。 三、数量积的三个来源。 ① 直接由定义 ；② 由模的等式平方后解出；③ 由垂直条件 得 或其变式。 四、「换基底」型。 若 、 是一组已知模与夹角的基底，而 、 是它们的线性组合，则先分别算出 、、 三个量，再代夹角公式。 五、求 型。 ，其中 （取正）。 ★ 求 时只需 ，不必把 本身解出来。 六、易错两处。 一是分母漏掉一条模；二是用 反算角度时只写主值 ——常考的答案集中在 、、、、、 这几个值上。 例3（单选·★★☆☆☆） 平面向量满足，且，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 变式3-2（单选·★★☆☆☆） 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 变式3-3（填空·★★☆☆☆） 已知非零向量，满足，，则与的夹角为________。 变式3-4（填空·★★☆☆☆） 已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为__________。 变式3-5（单选·★★☆☆☆） 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 变式3-6（单选·★★☆☆☆） 已知非零向量满足，且，则 = （ ） A. B. C. D. 例4（填空·★★☆☆☆） 若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为______。 变式4-1（单选·★★☆☆☆） 若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 变式4-2（单选·★★☆☆☆） 已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（ ） A. B. C. D. 三 垂直的判定 一、垂直的充要条件。 当且仅当 （、 为非零向量）。 ★ 数量积为零有三种可能：夹角为直角、有一条是零向量、或者两条向量中有一条被约定为与任何向量垂直；解题时默认讨论非零向量。 二、由垂直解参数。 把「」写成 ，再按分配律展开成「模的平方」与「数量积」两类项，最后代已知量解出参数。 ★ 展开时每一项的符号要与括号里的运算符一致，这是本题型最主要的失分点。 三、三条常用结论。 当且仅当 ； 等价于 ； 等价于 。 四、几何背景的翻译。 矩形的邻边垂直、正方形的邻边与对角线成 、等腰三角形底边上的中线垂直底边 ——这些图形条件都可以翻译成「某两条向量的数量积为零」。 五、判定与推证的区别。 判定是「算数量积看是否为零」；推证是「已知垂直去求某个量」。充要条件在题型上的两种用法要分清 ——「A 是 B 的什么条件」这类题两个方向都要推一次。 六、易错两处。 一是把「垂直」直接翻译成「夹角为 」而不写数量积为零，计算时无从下手；二是判断充分必要性时只推一个方向。 例5（单选·★★☆☆☆） 在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式5-1（填空·★★☆☆☆） 已知单位向量，满足，则 = ________。 变式5-2（填空·★★☆☆☆） 已知非零向量 ， 的夹角为 ，其中 ，且满足 ，则 = ______． 变式5-3（单选·★★☆☆☆） 已知向量满足,,且,则 = （ ） A. 1 B. C. D. 2 变式5-4（单选·★★☆☆☆） 已知向量满足，且，则 = （ ） A. B. C. D. 变式5-5（填空·★★☆☆☆） 已知向量满足，则与的夹角为__________。 变式5-6（单选·★★☆☆☆） 已知向量 和 是单位向量，且 . 设向量 ，若向量 与 的夹角为 ，则 = （ ） A. B. C. D. 变式5-7（单选·★★☆☆☆） 已知平面向量，为单位向量，且，若，则 = （ ） A. B. 2 C. D. 例6（填空·★★☆☆☆） 已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 = ___________。 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 若单位平面向量夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（） A. B. C. D. 四 由模与夹角反求参数 一、反求的三类目标。 ① 求模（、）；② 求数量积；③ 求夹角（或 、）。 二、两条方程就够了。 一条「模的等式」平方后给出一条方程；一条「垂直」或「夹角」条件给出另一条。两个未知量配两条方程，解出来即可。 ★ 若条件是「 与 垂直」，则把它写成 ，这是一条关于 的一次方程。 三、带参数的模。 ，这是关于 的二次函数。 「对任意 恒成立」等价于「左边的最小值不小于右边」，最小值在 处取到。 四、几何载体题的两步。 先在图形里选一组基底（两条已知模与夹角的边），把目标向量表示出来；再按第一节的展开式算出模或夹角。 ★ 直角与垂直条件要主动用： 时交叉项整项消失，计算量减半。 五、检验的两种办法。 ① 把解出的参数回代原条件，看是否成立；② 检查符号与范围：模必须为正，夹角的余弦必须在 内。 六、易错两处。 一是解方程时丢根（模为正，负根要舍）；二是把「恒成立」读成「存在」，前者的判据是最值比较，后者只需有解。 例7（单选·★★☆☆☆） 已知平面向量满足与的夹角为，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 变式7-1（填空·★★☆☆☆） 已知向量与的夹角为，则 = __________。 变式7-2（填空·★★☆☆☆） 若向量满足，且，则的值为______。 变式7-3（填空·★★☆☆☆） 已知向量，的夹角为，，，则 = ______。 变式7-4（单选·★★☆☆☆） 若向量 满足 ，且 ，则向量 和向量 的夹角为（ ） A. B. C. D. 例8（单选·★★☆☆☆） 已知向量与的夹角为 ，，则 = （ ） A. 1 B. C. 2 D. 变式8-1（填空·★★☆☆☆） 已知两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________。 变式8-2（单选·★★☆☆☆） 已知，则向量与夹角为（ ） A. B. C. D. 变式8-3（单选·★★★☆☆） 已知向量均为单位向量，且向量夹角为，则 = （ ） A. B. 1 C. D. 变式8-4（填空·★★★★☆） 在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________。 学科网（北京）股份有限公司 $ 模与夹角的运算和垂直判定 平面向量 · 专题篇 一 模的平方展开 一、核心换算。 ，也可以写成 。反过来见到 要立刻认成模的平方。 二、两条展开式。 ； 。 带系数时把系数平方、交叉项带 ：。 三、两条推论（遇到就给分）。 两式相加：； 两式相减：。 ★ 这两条叫平行四边形两条对角线定理：「两条对角线的平方和等于四边的平方和」。 四、模的三角不等式。 ，右边取等当且仅当同向，左边取等当且仅当反向。 五、做题顺序。 第一步把模的等式两边同时平方；第二步按展开式拆成三类项；第三步代入已知的模与数量积；第四步解出目标量（可能是模、也可能是数量积）。 ★ 若目标量是夹角，解出数量积后用 再走一步。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知都是单位向量，夹角为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【切入点】已知两条向量的模与夹角，求它们之差的模 ——这是模的平方展开最标准的用法。把 平方，展开后会用到数量积，而数量积由定义式给出。 【关键】先求数量积：。 再平方展开：，所以 ，选 A。 【易错】第一处是中间项的系数是 ：，漏掉 会算出 （选项 C）。第二处是两条都是单位向量，所以两个平方项各为 ，合起来是 而不是 。第三处是最后要开平方：平方的结果是 ，模也是 ，别把过程量当答案。 【答案】A 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 若单位向量，满足，则 = （ ） A. 2 B. C. D. 1 【切入点】题目给的是和的模，问的是差的模。两条展开式只是中间项的符号不同 ——把给的平方解出数量积，再代另一条。 【关键】由 平方得 ，所以 。 于是 ，，选 C。 【易错】第一处是两条展开式只差中间项的符号，数量积为 时两者相等，所以本题的两个模相同。第二处是数量积为 说明两条向量垂直，这与「和与差长度相等」是同一件事（正方形的两条对角线等长）。第三处是别把 直接当答案，要开方。 【答案】C 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 向量，的夹角为，，，则 = （ ） A. B. C. 3 D. 7 【切入点】与例 1 同型，只是两条向量的模不再相等。先由夹角算数量积，再平方展开。 【关键】。于是 ，，选 A。 【易错】第一处是 ，不是 ；写成 会得到 。第二处是中间项 ，它是减去的（因为是差的平方）。第三处是选项 B 的 对应的是和的平方（），正是把减号看成加号的错。 【答案】A 变式1-3（单选·★★☆☆☆） 已知单位向量与的夹角为，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】、 是一组已知模与夹角的单位向量， 是它们的线性组合 ——直接套带系数的展开式。 【关键】。于是 ，所以 ，选 B。 【易错】第一处是交叉项的系数：、，所以是 ，即「减 」。第二处是两个平方项分别是 与 ，别把 前面的 漏掉。第三处是结果是 ，不是 。 【答案】B 变式1-4（单选·★★☆☆☆） 已知向量与的夹角为120°，，则 = （ ） A. 3 B. 7 C. D. 【切入点】两条单位向量夹角 ，求 ——仍是先算数量积再平方展开，注意本题的系数是 与 。 【关键】。于是 ，所以 ，选 C。 【易错】第一处是 ，负号不能丢；交叉项因此是 。第二处是系数 要平方进常数项：。第三处是选项 D 的 对应 记成 的结果（），正是符号错。 【答案】C 例2（单选·★★☆☆☆） 已知单位向量满足，则 = （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【切入点】本题给的是数量积而不是夹角，仍然直接代展开式 —— 展开式只需要数量积，不需要把夹角单独求出来。 【关键】。两条都是单位向量、，代入得 ，所以 ，选 D。 【易错】第一处是 ，它是中间项，加上两端的 得 ；漏掉中间项会得到 。第二处是结果要开方， 而不是 （选项 C 就是没开方）。第三处是可以顺带看出夹角： 说明夹角是 ，与「和向量的模为 」正好对应边长为 的等边三角形。 【答案】D 变式2-1（填空·★★☆☆☆） 平面向量，满足，，，则 = ______。 【切入点】给的是带系数的模 ，平方展开后解出数量积，再代进 。 【关键】由 展开：。代入 、 得 ，所以 。 于是 ，。 【易错】第一处是带系数时系数要平方：，交叉项是 倍。第二处是解出的数量积为 （正的），说明两条向量夹角是锐角。第三处是最后一步用的是加的展开式，与题目问的 对应。 【答案】 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 已知向量，满足，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】题目同时给了「差的模」与「和的模」，而问的是两条向量模的平方和 ——这正好是「两式相加」那条推论。 【关键】把两条等式分别平方：、。两式相加：，所以 ，，选 B。 【易错】第一处是「两式相加」时中间项 与 正好抵消，所以结果与数量积无关。第二处是题目的 就是两个模的平方和，不要去找它的几何意义。第三处是 之后还要除以 ，答案是 而不是 。 【答案】B 变式2-3（单选·★★☆☆☆） 已知，向量与的夹角为，则 = （ ） A. 1 B. C. D. 【切入点】题目给了 、夹角与 ，唯一的未知量是 。把和的模平方，就得到它的一次与二次项。 【关键】设 。由 展开：，即 。 解得 。取正根 ，即 ，选 B。 【易错】第一处是交叉项的完整形式 ，系数别漏。第二处是解出两个根后要取正根，模不能为负。第三处是可以回代检验：，与题设吻合。 【答案】B 变式2-4（单选·★★☆☆☆） 已知向量a，b满足，，且对，，则=（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【切入点】「对任意实数 ，」里的 是变量，所以左边是一个关于 的二次函数。把它写成函数、求最小值、与右边比较，就得到关于 的不等式。 【关键】设 ，则 ，这是开口向上的二次函数，在 处取最小值 。 右边 。由恒成立得 ，移项得 ，即 ，所以 ，选 C。 【易错】第一处是要看出「恒成立」等价于「左边的最小值不小于右边」，而不是对某个 成立。第二处是二次函数的最值点在 ，代入得 。第三处是最后一个完全平方非负，只可能等于零，这一步是本题的关窍。 【答案】C 二 夹角公式 一、夹角公式。 设 、 为非零向量，夹角为 ，则 ，其中 。 ★ 分子是数量积（可为负），分母是两条模的乘积（恒正），所以夹角是锐角还是钝角只由数量积的符号决定。 二、夹角的范围与符号。 时 （锐角，含同向）； 时 ； 时 （钝角，含反向）。 三、数量积的三个来源。 ① 直接由定义 ；② 由模的等式平方后解出；③ 由垂直条件 得 或其变式。 四、「换基底」型。 若 、 是一组已知模与夹角的基底，而 、 是它们的线性组合，则先分别算出 、、 三个量，再代夹角公式。 五、求 型。 ，其中 （取正）。 ★ 求 时只需 ，不必把 本身解出来。 六、易错两处。 一是分母漏掉一条模；二是用 反算角度时只写主值 ——常考的答案集中在 、、、、、 这几个值上。 例3（单选·★★☆☆☆） 平面向量满足，且，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目给的是一个数量积的等式，问的是夹角。先把左边按分配律展开，解出 ，再代夹角公式。 【关键】展开：。代入 、：，所以 。 于是 ，，选 B。 【易错】第一处是展开时要合并同类项：，只剩一项。第二处是数量积为负说明夹角是钝角，答案在 与 之间，选项 A 可以直接排除。第三处是 对应 ，不是 （那是 ）。 【答案】B 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【切入点】给的是 ，平方展开后可解出 ，再代夹角公式。 【关键】平方：。两条都是单位向量，代入得 ，所以 。 于是 ，，选 C。 【易错】第一处是交叉项系数： 的中间是 倍，不是 。第二处是常数项 。第三处是最后用夹角公式时分母是两条模的乘积，两条都是 所以是 。 【答案】C 变式3-2（单选·★★☆☆☆） 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【切入点】与变 2-1 同一手法：把给的模的等式平方，解出数量积，再代夹角公式。 【关键】由 平方得 ，所以 。于是 ，，选 B。 【易错】第一处是 ，不是 。第二处是两条都是单位向量，所以两个平方项各为 ，合起来 。第三处是 的角是 ；写成 是把它与 弄混了。 【答案】B 变式3-3（填空·★★☆☆☆） 已知非零向量，满足，，则与的夹角为________。 【切入点】题目给了两条条件：模的倍数关系与一个数量积等式。把数量积代进夹角公式，模的倍数关系正好把模约掉。 【关键】由 ，且 ：，所以 。 【易错】第一处是 就是 ，见到它要立刻换算。第二处是分母上那条 来自 ，代换时别漏。第三处是结果与 无关，说明答案不依赖具体模长。 【答案】 变式3-4（填空·★★☆☆☆） 已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为__________。 【切入点】两条单位向量、给了差的模，平方后解数量积，再代夹角公式。 【关键】由 平方得 ，所以 。于是 ，。 【易错】第一处是差的平方中间项带负号：，所以解出的数量积是负的。第二处是答案写成弧度制 ，也可以写 ，两种写法都对。第三处是数量积为负与「差的模大于和的模」是同一件事。 【答案】 变式3-5（单选·★★☆☆☆） 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【切入点】垂直条件 就是数量积为零，展开后能直接给出 与模的关系。 【关键】由垂直得 ，即 ，所以 。 又 ，于是 ，，选 B。 【易错】第一处是垂直翻译成「数量积为零」，展开时别漏减号。第二处是解出的数量积为正，说明夹角是锐角，选项 C、D 可以直接排除。第三处是模的倍数关系把分母上的 消掉，所以结果与具体模长无关。 【答案】B 变式3-6（单选·★★☆☆☆） 已知非零向量满足，且，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】与变 2-7 同一手法，只是把夹角改成求余弦 ——其实 就是夹角公式算出来的那个数，不需要再反算角度。 【关键】由 得 ，所以 。 又 ，于是 ，选 A。 【易错】第一处是垂直的是 与 ，不是 与 。第二处是解出的数量积为负，所以余弦也是负的，选项 B 可以排除。第三处是分母上 ，约分后剩 。 【答案】A 例4（填空·★★☆☆☆） 若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为______。 【切入点】条件 把三条单位向量串在一起。把它改写成 ，再用「 也是单位向量」平方。 【关键】由 且三条都是单位向量，两边平方：，得 。 再求 ：由 得 。 于是 ，夹角为 。 【易错】第一处是要求的夹角是 与 ，不是 与 ：平方得到的 只是跳板。第二处是 里带一个 ，不要漏。第三处是三条向量的关系式有方向， 与 是两回事。 【答案】 变式4-1（单选·★★☆☆☆） 若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【切入点】、 都是 、 的组合，所以要先算三个量：、、。 【关键】。 ；，。 于是 ，，选 C。 【易错】第一处是展开 时四项都要算：、、、。第二处是两条模的平方都是 ，相乘得 （不是 ）。第三处是数量积为负，夹角是钝角。 【答案】C 变式4-2（单选·★★☆☆☆） 已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（ ） A. B. C. D. 【切入点】与例 4 同一结构：三条单位向量由一条等式串起来，把要求的两个向量单独留在一边，再平方。 【关键】由 且三者都是单位向量，平方得 ，所以 。于是 ，夹角为 ，选 C。 【易错】第一处是三条都是单位向量，所以 。第二处是本题问的是 与 的夹角，平方后直接得到的就是它，不必再绕。第三处是数量积为负 ⇒ 钝角 ⇒ ，不是 。 【答案】C 三 垂直的判定 一、垂直的充要条件。 当且仅当 （、 为非零向量）。 ★ 数量积为零有三种可能：夹角为直角、有一条是零向量、或者两条向量中有一条被约定为与任何向量垂直；解题时默认讨论非零向量。 二、由垂直解参数。 把「」写成 ，再按分配律展开成「模的平方」与「数量积」两类项，最后代已知量解出参数。 ★ 展开时每一项的符号要与括号里的运算符一致，这是本题型最主要的失分点。 三、三条常用结论。 当且仅当 ； 等价于 ； 等价于 。 四、几何背景的翻译。 矩形的邻边垂直、正方形的邻边与对角线成 、等腰三角形底边上的中线垂直底边 ——这些图形条件都可以翻译成「某两条向量的数量积为零」。 五、判定与推证的区别。 判定是「算数量积看是否为零」；推证是「已知垂直去求某个量」。充要条件在题型上的两种用法要分清 ——「A 是 B 的什么条件」这类题两个方向都要推一次。 六、易错两处。 一是把「垂直」直接翻译成「夹角为 」而不写数量积为零，计算时无从下手；二是判断充分必要性时只推一个方向。 例5（单选·★★☆☆☆） 在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】先由 看出四边形 是平行四边形；再把「」翻译成几何语言，与「正方形」比较。 【关键】由 知 是平行四边形。平行四边形中 、，所以 。 于是 等价于 ，即平行四边形是菱形。 「菱形」能推出「正方形」吗？不能（正方形还要求有一个直角）；「正方形」能推出「菱形」吗？能。所以是必要不充分条件，选 B。 【易错】第一处是 与四边形形状的对应：平行四边形中对角线垂直当且仅当它是菱形，而菱形不一定是正方形。第二处是充分必要性的方向：「」是条件，「正方形」是结论，条件弱、结论强 ⇒ 必要不充分。第三处是 这条式子（对角线数量积等于两邻边平方差）可以记住。 【答案】B 变式5-1（填空·★★☆☆☆） 已知单位向量，满足，则 = ________。 【切入点】单位向量、给了垂直条件、求夹角 ——把垂直展开成数量积的等式，解出 ，再代夹角公式。 【关键】由 得 ，即 。代入 得 。 于是 ，夹角为 。 【易错】第一处是垂直的第二个向量是 ，展开后有两项。第二处是 的系数 来自 。第三处是结果 与答案里的 只差一倍，可用「余弦是 」来核对。 【答案】 变式5-2（填空·★★☆☆☆） 已知非零向量 ， 的夹角为 ，其中 ，且满足 ，则 = ______． 【切入点】给的是模的倍数关系与一个垂直条件，求余弦。把垂直展开得到数量积与模的关系，再代夹角公式，模会被约掉。 【关键】由 得 ，所以 。 又 ，所以 ，。于是 。 【易错】第一处是先把 换成 ，否则分母约不掉。第二处是 ，分式化简别算错。第三处是余弦为正说明夹角是锐角，与垂直条件（ 与 垂直）并不矛盾。 【答案】 变式5-3（单选·★★☆☆☆） 已知向量满足,,且,则 = （ ） A. 1 B. C. D. 2 【切入点】题目给了 与 ，又给了一个垂直条件，两条条件联立就能解出 。 【关键】由 得 ，所以 。 再由 展开：，即 ，所以 ，选 A。 【易错】第一处是两个条件的顺序：先用垂直把 换成 ，再代进模的展开式。第二处是展开后 ，与常数项 合并成 。第三处是 ，不是 。 【答案】A 变式5-4（单选·★★☆☆☆） 已知向量满足，且，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】与变 3-3 同一结构：垂直条件给出数量积，模的等式给出方程。 【关键】由 得 ，即 。 再由 展开：，即 ，所以 ，，选 B。 【易错】第一处是 里数量积是负的，「减负」变成「加 」。第二处是 ，系数 要平方。第三处是最后要开方， 而不是 （选项 D 就是没开方）。 【答案】B 变式5-5（填空·★★☆☆☆） 已知向量满足，则与的夹角为__________。 【切入点】给了两条模与一个垂直条件，把垂直展开解出数量积，再代夹角公式。 【关键】由 得 ，所以 。 于是 ，。 【易错】第一处是垂直的第二个向量是 ，所以减号后面带的是 。第二处是数量积等于 （正），夹角是锐角。第三处是答案写 或 都对。 【答案】 变式5-6（单选·★★☆☆☆） 已知向量 和 是单位向量，且 . 设向量 ，若向量 与 的夹角为 ，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】单位向量 给了正交基底， 是它们的组合。用夹角公式立方程，解 。 【关键】因 ，，且 。，。 由 ，两边整理得 ，所以 ，取 ，选 D。 【易错】第一处是 ，系数 要平方。第二处是 ，代入后解的是 而不是 。第三处是 所以只取正根。 【答案】D 变式5-7（单选·★★☆☆☆） 已知平面向量，为单位向量，且，若，则 = （ ） A. B. 2 C. D. 【切入点】单位向量 是正交基底，。先算 与 的余弦，再转成正切。 【关键】；。所以 。 于是 ，，选 A。 【易错】第一处是求 不必把角解出来，用 即可（夹角是锐角，取正）。第二处是 ，带系数时要平方。第三处是选项 D 的 就是 ，那是余弦而不是正切。 【答案】A 例6（填空·★★☆☆☆） 已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 = ___________。 【切入点】、 是夹角 的单位向量，「」把它写成数量积为零即可。 【关键】把垂直写成数量积为零：。展开得 。 两条都是单位向量、夹角 ，所以 。代入：，解得 。 【易错】第一处是垂直的对象：是 与 垂直，所以数量积里乘的是 。第二处是展开后 ，前面还有系数 。第三处是 要乘上 ，得到 ，符号别丢。 【答案】 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 若单位平面向量夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（） A. B. C. D. 【切入点】单位向量 给了正交基底，、 是它们的和与差。逐项验算即可。 【关键】，。 A 项：，同理 ，两者相等，A 是真命题。 B 项：，B 是真命题。 C 项：，所以 而不平行，C 是假命题。 D 项由 C 项的计算可知为真。故选 C。 【易错】第一处是 用平方差：。第二处是「平行」与「垂直」不能混淆：数量积为零说明垂直，要判平行得看是否存在倍数关系。第三处是题目问的是假命题，别顺手选成真命题。 【答案】C 四 由模与夹角反求参数 一、反求的三类目标。 ① 求模（、）；② 求数量积；③ 求夹角（或 、）。 二、两条方程就够了。 一条「模的等式」平方后给出一条方程；一条「垂直」或「夹角」条件给出另一条。两个未知量配两条方程，解出来即可。 ★ 若条件是「 与 垂直」，则把它写成 ，这是一条关于 的一次方程。 三、带参数的模。 ，这是关于 的二次函数。 「对任意 恒成立」等价于「左边的最小值不小于右边」，最小值在 处取到。 四、几何载体题的两步。 先在图形里选一组基底（两条已知模与夹角的边），把目标向量表示出来；再按第一节的展开式算出模或夹角。 ★ 直角与垂直条件要主动用： 时交叉项整项消失，计算量减半。 五、检验的两种办法。 ① 把解出的参数回代原条件，看是否成立；② 检查符号与范围：模必须为正，夹角的余弦必须在 内。 六、易错两处。 一是解方程时丢根（模为正，负根要舍）；二是把「恒成立」读成「存在」，前者的判据是最值比较，后者只需有解。 例7（单选·★★☆☆☆） 已知平面向量满足与的夹角为，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【切入点】题目给了一组已知模与夹角的基底，又给了「」。把垂直写成数量积为零，就得到关于 的一次方程。 【关键】先算数量积：。 由垂直得 ，即 。代入得 ，所以 ，选 B。 【易错】第一处是 ，与 相乘得 ，别把两者弄混。第二处是 ，不是 。第三处是这是一次方程，只有一个解；若得到二次方程说明展开时把某一项写错了。 【答案】B 变式7-1（填空·★★☆☆☆） 已知向量与的夹角为，则 = __________。 【切入点】已知夹角与 ，又给了 ，平方展开后是关于 的二次方程。 【关键】。 由 展开：，即 ，化简得 ，解得 。 【易错】第一处是 ，所以数量积与 反号。第二处是 里数量积为负，「减负」变成「加 」。第三处是解出的两个根里只有正根符合「模为正」。 【答案】 变式7-2（填空·★★☆☆☆） 若向量满足，且，则的值为______。 【切入点】条件 是「两条对角线等长」，平方后中间项抵消，直接给出数量积为零。 【关键】两边平方：，所以 。 于是两条向量垂直，且 ，，所以 。 【易错】第一处是平方后要相减同类项：两个模的平方相等，交叉项互为相反数。第二处是数量积为零意味着垂直，所以目标式的展开只剩两个平方项。第三处是 ，系数要平方。 【答案】 变式7-3（填空·★★☆☆☆） 已知向量，的夹角为，，，则 = ______。 【切入点】题给夹角与 ，又给一个垂直条件 ——垂直条件先定出 ，再由夹角公式定出 ，最后求目标模。 【关键】由 得 ，即 。 又 ，所以 。 于是 ，。 【易错】第一处是垂直条件定出的是数量积 ，不是 。第二处是展开式里 ，系数 要进来。第三处是 ，要化成最简根式。 【答案】 变式7-4（单选·★★☆☆☆） 若向量 满足 ，且 ，则向量 和向量 的夹角为（ ） A. B. C. D. 【切入点】给了两条模与一个垂直条件，求夹角。垂直展开解出数量积，再代夹角公式。 【关键】由 得 ，所以 。 于是 ，，选 C。 【易错】第一处是垂直的两个向量是 与 ，所以数量积里乘的是 。第二处是 ，所以直接得到数量积为 。第三处是分母是两条模的乘积 ，漏掉一条会得到 。 【答案】C 例8（单选·★★☆☆☆） 已知向量与的夹角为 ，，则 = （ ） A. 1 B. C. 2 D. 【切入点】题目给了 、夹角与 ，先由夹角公式反解出 ，再平方展开求 。 【关键】由 得 ，所以 。 于是 ，所以 ，选 A。 【易错】第一处是反解 时 ，别算成 。第二处是展开式里中间项 ，它是负的。第三处是 恰好是完全平方，可以顺带看出 的模为 。 【答案】A 变式8-1（填空·★★☆☆☆） 已知两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________。 【切入点】两条单位向量、给了和的模，先解出数量积；再求目标向量与 的夹角 ——这是两条向量之间的夹角，仍用夹角公式。 【关键】由 平方得 ，所以 。 记 。；，。 于是 ，夹角为 。 【易错】第一处是本题要投影/夹角的是 与 ，所以先算这两个的数量积与两条模。第二处是 ，交叉项是负的。第三处是 对应 ，不是 （那是 ）。 【答案】 变式8-2（单选·★★☆☆☆） 已知，则向量与夹角为（ ） A. B. C. D. 【切入点】给了两条模与差的模，平方展开解数量积，再代夹角公式。 【关键】由 展开：，所以 。 于是 ，，选 B。 【易错】第一处是 ，与右边的 相减得 ，所以数量积是 。第二处是余弦为负 ⇒ 钝角，选项 A 可以直接排除。第三处是 对应 ，不是 （那是 ）。 【答案】B 变式8-3（单选·★★★☆☆） 已知向量均为单位向量，且向量夹角为，则 = （ ） A. B. 1 C. D. 【切入点】三条都是单位向量，条件 把已知夹角的 、 与未知的 联系起来，两边平方即可。 【关键】左边：；右边：。 两者相等：，所以 ，选 B。 【易错】第一处是两条等式都要先平方，不能直接把模相等当数量积相等。第二处是右边的常数项 ，系数 要平方。第三处是解出的数量积为 ，恰好等于两条单位向量模的乘积，说明 与 同向。 【答案】B 变式8-4（填空·★★★★☆） 在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________。 【切入点】等腰直角三角形给了正交的两条边，取它们作基底；再把 与 都用基底表示，最后代夹角公式。 【关键】取 与 为基底，，且 。 是 中点，； 得 ，。 。由垂直得交叉项为零，只剩 。 又 、，所以 。 【易错】第一处是 说明 占 的 ，不是 。第二处是分解时基底要同起点：取 与 （都以 为起点）最方便。第三处是垂直使交叉项消失，只剩两个平方项，这是本题计算量最小的关键。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $