空间向量与立体几何：面面垂直的判定、面面垂直的性质专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦面面垂直判定与性质的逻辑递进，通过多几何体情境的证明与计算问题，系统覆盖空间垂直关系核心考法，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |面面垂直的判定|3例+3变式|结合直三棱柱、四棱锥等几何体证明面面垂直|从线面垂直推导面面垂直，体现判定定理的应用逻辑| |面面垂直的性质|3例+3变式|已知面面垂直条件下证明线线垂直、求线面角及二面角|以面面垂直为前提，运用性质定理转化空间关系，形成判定-性质应用链条|

空间向量与立体几何：面面垂直的判定、面面垂直的性质专项训练 空间向量与立体几何：面面垂直的判定、面面垂直的性质专项训练 考点目录 面面垂直的判定 面面垂直的性质 例1.(2026·云南玉溪模拟预测)如图，在直三棱柱 1BC-ABC中，点D、E分别是楼BC、CC上的点（点 考点一 面面垂直的判定 D异于点C),且AD⊥DE. A D ()求证：平面DE上平面 BCCB (2)若4ABC BC=CC 正三角形， ,且三棱柱 ABC-ABC 的体积是三枝锥5-10C的体积的12倍，求45与平 面ADE所成的角的余弦值. 例2.(2026：西藏林芝·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=3,BC=2,侧面PBC为 正三角形，平面PBC⊥平面ABCD,点E为棱PA上一点，O、G分别为BC,AD中点. D (I)求证：平面POG⊥平面BEC: (2)若点E为PA中点，求直线BE与平面PCD夹角的余弦值， 空间向量与立体几何：面面垂直的判定、面面垂直的性质专项训练 空间向量与立体几何：面面垂直的判定、面面垂直的性质专项训练 例3.(2026福建南平二模)如图所示，圆柱的一个轴截面为矩形 BCCB BC 是圆柱底面的直径，为底面圆 AA AB=AC=AA=2 心， 为圆柱的一条母线，E为C的中点，且 A B (1)求证：平面A0E⊥平面A0B； (2)求平 ABE与平面 夹角的大小 变式1。(2026安徽模拟祺测)如图1，已知△1C的边长分别为B=5,4C=25,BC=3,D为BC上的 高 M D 图1 图2 图3 ①如图2，将△1BD绕4D旅转至1DP,使CP=5.证明：平面4DP上平面4CP。 (2)如图3，M为CD中点，将△ACM绕AM旋转至△AM0,使DD=1.求三棱锥A-BMQ的体积. 空间向量与立体几何：面面垂直的判定、面面垂直的性质专项训练 ABC-ABC AA⊥ 变式2.(2026重庆沙坪坝模拟预测)如图，几何体 为圆柱的一部分，A为底面圆的圆心， 底面ABC,A411BB/CC,∠BAC-2 3,E为弧BC上任意一点，D为弧EC的中点，DD,I1A4: A BCE⊥ ADD (1)证明：平面 「平面 (②)己知二面角E-AA-B的大小为6，且AC=A4=2,求平面AEC与平面AD,C夹角的余弦值 变式3.(2026安徽合肥·三模)如图，己知梯形ABCD中，BC⊥AB,BC⊥CD,AB=2BC=2CD=2,点E 是AB中点；将△ADE沿DE折起到△PDE的位置 B (I)证明：平面PBC⊥平面PBE: 2π (②)若二面角P-DE-C的大小为3，求二面角B-PC-D正弦值： 空间向量与立体几何：面面垂直的判定、面面垂直的性质专项训练 考点二 面面垂直的性质 例1.(2026甘肃平凉模拟预测)如图，A4CD是边长为1的正三角形，在AMCB中，∠4CB=受，∠ABC-名 (I)将△ACD沿AC翻折，使二面角D-AC-B为直二面角 (i)求证：DA⊥BC: (ii)求直线DC与平面DAB所成角的正弦值. ②若将。4CD沿若AC折起后，使得∠ADB=受，求此时平面DMC与平面ABC所成角的余弦值 例2.(2026北京丰台三模)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD,PC=PD, O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角： D D (I)求证：PB⊥PD; (2)求平面POB与平面PAB所成角的余弦值： 5 空间向量与立体几何：面面垂直的判定、面面垂直的性质专项训练 例3.(2026北京房山二模)如图，三棱柱 BC-ABG中，BLBC,M=B=AB=BC=2,平面MBC上平面 AABB A B AA⊥BC (1)求证： 与平面HBC ACB (2)求平面 的夹角的余弦值： ③)设点E为线段MB上任意一点（且不与点1，B重合），求证：直线CE与平面 CB 相交。 变式1.(2026江苏盐城三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD⊥AB,BC1IAD, PA⊥AB 平面 PAC⊥，ABCD AD=2,PA=AB=BC=1 平面 M B C (1)证明：PA⊥AD; 3v13 (2)若点T是CD的中点，点M是线段PT上的点，点P到平面ABM的距离是13，求直线CD与平面ABM所成 角的正弦值 6 空间向量与立体几何：面面垂直的判定、面面垂直的性质专项训练 > 空间向量与立体几何：面面垂直的判定、面面垂直的性质专项训练 变式2.(2026·河北秦皇岛模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形， 平面PAD⊥平面ABCD,F是CD的中点 D D C B (I)证明：BD⊥PF: (2)若∠BAD=60°，求平面PBF与平面PBD夹角的余弦值： 变式3.(25-26高三下·云南昭通期中)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为 BD的中点， (1)证明：OA⊥CD； 7 (②)若OA=OC=CD=OD,点E在棱AD上，若二面角E-BC-D的大小为4，判断B点的位置 6空间向量与立体几何：面面垂直的判定、面面垂直的性质专项训练 空间向量与立体几何：面面垂直的判定、面面垂直的性质专项训练 考点目录 面面垂直的判定 面面垂直的性质 考点一 面面垂直的判定 例1．（2026·云南玉溪·模拟预测）如图，在直三棱柱中，点、分别是棱、上的点（点异于点），且． (1)求证：平面平面； (2)若是正三角形，，且三棱柱的体积是三棱锥的体积的12倍，求与平面所成的角的余弦值． 【答案】(1) 因为三棱柱是直三棱柱，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）根据题意，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面. （2）解法一：设，由，求得，以点为原点，建立空间直角坐标系，求得和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； 解法二：连接，过作平面，连接，得到就是直线与平面所成的角，取的中点，连接，取的中点，连接，根据题意，求得，在直角中，即可求解； 解法三：设是的中点，连接， 证得平面，得到点与到平面的距离相等，求得到平面的距离也为，设与平面所成的角为，结合，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解法一：由平面，平面，可知， 因为是正三角形，所以， 设，由，， 可得，解得， 以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则、、、， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设与平面所成的角为，则， 所以与平面所成的角的余弦值为. 解法二：连接，过作平面，垂足为，连接， 则就是直线与平面所成的角， 取的中点，连接，取的中点，连接， 因为为等边三角形，为的中点，所以， 因为分别为和的中点，所以，则， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以平面，且， 因为， 故， 因为平面，平面，所以， 又因为，， 所以， 所以，解得， 又， 故，所以与平面所成的角的余弦值为． 解法三：设是的中点，连接 因为，，故四边形为平行四边形， 所以，， 因为和分别为和的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 点与到平面的距离相等． 由四边形是正方形，，，分别为，，的中点， 故，所以，故，即， 又平面平面，平面，且平面平面， 故平面， 由，可得到平面的距离也为， 又由， 设与平面所成的角为，则， 所以与平面所成的角的余弦值为． 例2．（2026·西藏林芝·二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为正三角形，平面平面，点为棱上一点，、分别为，中点． (1)求证：平面平面； (2)若点E为中点，求直线与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正三角形的中线性质与矩形对边中点连线的垂直关系，推导出线面垂直；再结合面面垂直的判定定理，由线面垂直推出面面垂直； （2）取线段的中点，过点作，垂足为，求证以及平面，结合长度信息求出即可. 【详解】（1）因为侧面为正三角形，为的中点，所以， 因为是矩形，且分别为中点，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面 （2）取线段的中点，过点作，垂足为，连接， 因为E为中点，所以， 因为底面为矩形，所以， 因为为中点，所以， 则四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为，， 所以在中， 因为，所以在中，， 因为，， 所以， 则，则， 则直线与平面所成角的余弦值为. 例3．（2026·福建南平·二模）如图所示，圆柱的一个轴截面为矩形，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为圆柱的一条母线，为的中点，且. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的大小. 【答案】(1)思路一： 由BC是直径可知，则是等腰直角三角形，故， 由圆柱的特征可知平面ABC，又平面ABC，所以， 因为，，平面，则平面， 而平面，则， 因为，则，所以， ， 所以， 所以，即， 因为，，，，平面， 所以平面， 又平面，故平面平面. 思路二：因为，则，，， 所以， 所以，即， 同理可证， 在二面角中且， 所以为二面角的平面角， 由思路一知，所以二面角为直二面角，即平面平面 (2) 【分析】（1）根据图形特征结合勾股逆定理先证，，再由线线垂直得线面垂直，进而根据线面垂直的性质可得面面垂直；或根据定义证得为二面角是直二面角，进而得面面垂直. （2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由题意及（1）易知，AB，AC两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，，， 由（1）知平面，故平面的一个法向量是， 设是平面的一个法向量， 则有，取，可得 设平面与平面夹角为， 所以， 则平面与平面夹角的大小为. 变式1．（2026·安徽·模拟预测）如图1，已知的边长分别为，，，为上的高．    (1)如图2，将绕旋转至，使．证明：平面平面； (2)如图3，为中点，将绕旋转至，使．求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在中由余弦定理求得，进而求得，故，由勾股定理可得，由线面垂直的性质定理可得，进而可证平面，由面面垂直的判定定理得证； （2）以，所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，根据 ，，列方程求得点的坐标，利用向量法求出到平面的距离，再根据三棱锥等体积转换求得答案. 【详解】（1）由余弦定理得， 因为为三角形内角，所以， 因为，所以，故. 因为，所以，， 又平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，故，即， ，是平面内两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）以，所在直线分别为轴、轴，建立如图空间直角坐标系， 由题意可知，，，    设，由 ，， 得，解得，，， 即， 易知平面的一个法向量为，， 故到平面的距离为，又， 所以三棱锥的体积. 变式2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，几何体为圆柱的一部分，为底面圆的圆心，底面， ，，为弧上任意一点，为弧的中点，. (1)证明: 平面平面; (2)已知二面角的大小为，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)以为坐标原点如图建立空间直角坐标，设， 则， 则，， ∴ ，， ∴，且，平面，平面， ∴平面，∵平面， ∴平面平面. (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到点的坐标，由空间向量的数量积证明线线垂直，从而证明结论； （2）由二面角定义及题意求得点坐标，由空间向量的数量积求得面的法向量，然后利用法向量由空间向量的数量积求得面面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2） 由题意可知，， ∴二面角为，∴， ∴， ∴， 设向量分别为平面与平面的一个法向量， 则，令，则，即， ，令，则，即， 平面与平面夹角为， 则. 变式3．（2026·安徽合肥·三模）如图，已知梯形中，，，， 点E是中点；将沿折起到的位置 (1)证明：平面平面； (2)若二面角的大小为，求二面角正弦值. 【答案】(1)因为在梯形中，，点是的中点， 所以四边形是正方形，所以， 所以将沿折起到的位置时，， 又平面，所以平面． 因为,所以平面． 因为平面， 所以平面平面； (2) 【分析】（1）通过，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）以，为轴，轴，过与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设为平面的一个法向量，则 ，即 取，得 则， 设为平面的一个法向量，则 ，即 取，得 则， 所以， 所以二面角的正弦值为． 考点二 面面垂直的性质 例1．（2026·甘肃平凉·模拟预测）如图，是边长为1的正三角形，在中，，.    (1)将沿AC翻折，使二面角为直二面角. （ⅰ）求证：； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值. (2)若将沿着AC折起后，使得，求此时平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)（ⅰ）由二面角为直二面角，得平面平面，由， 得，而平面平面，平面，则平面， 又平面，所以. （ⅱ）； (2). 【分析】（1）（ⅰ）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证；（ⅱ）利用等体积法求出点到平面的距离，再利用线面角的定义法求解. （2）取中点，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】（1）（ⅰ）略 （ⅱ）由是边长为1的正三角形，得，由， 得，由（ⅰ）知平面，而平面，则，， 等腰的面积，而， 设点到平面的距离为，由，得， 即，解得，令直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为.    （2）取中点，连接，则，由，得， 由（1）知，则二面角的平面角为，由， 得， 即，解得， 所以平面与平面所成角的余弦值为.    例2．（2026·北京丰台·三模）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角. (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； 【答案】(1)因为二面角为直二面角，所以平面平面. 正方形中，. 又平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面，所以平面. 因为平面，所以. (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合面面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）在中，，为的中点，， 所以，. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 取中点，连接，因为平面，所以. 正方形中，为中点，所以. 所以两两垂直. 以为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，. 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 设平面的法向量为， 则，即，则，令，则， 所以. 设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 例3．（2026·北京房山·二模）如图，三棱柱中，，，平面平面． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设点 为线段 上任意一点（且不与点 ， 重合），求证：直线 与平面相交． 【答案】(1)证明：平面平面,平面平面， ，平面， 平面， 平面，. (2)； (3)证明：设，，， 平面的法向量为， 假设直线 与平面平行，则， 则，解得， 则，此时点 和 重合， 这与点 为线段 上任意一点（且不与点 ， 重合）相矛盾， 故直线 与平面不平行， 又点平面，故直线平面， 则直线 与平面相交. 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得到平面，利用线面垂直的定义得到. （2）求出平面的法向量，平面的法向量，利用向量夹角公式求结论. （3）假设直线 与平面平行，得到点 和 重合，再说明平面，从而得到直线 与平面相交. 【详解】（1）略 （2）取 的中点，连接， ，, 平面平面,平面平面,平面, 平面， ， 以为原点，为 轴，为轴， 过作平行于 的直线为轴建立空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量为， ， ， 设，则，则， 取平面的法向量为， 设平面和平面的夹角为 ，则， 则平面和平面的夹角的余弦值为. （3）略 变式1．（2026·江苏盐城·三模）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，， ，平面平面， (1)证明：； (2)若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：如图，作出符合题意的图形， 取的中点，连接. 在梯形中，，，， 四边形为平行四边形，又，， 四边形为正方形，，， ，， ，. 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，. 在梯形中，，且，必然相交. 又，平面，平面， 平面，； (2) 【分析】（1）先证明平面，从而得到，再证明平面，即可证明； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，根据点到平面的距离，确定点的位置，进而确定平面的法向量，设直线与平面所成的角为，再根据线面角的向量求法计算即可得解. 【详解】（1）略 （2）如图，作出符合题意的图形， 由（1）知平面，且，所以以为原点， 所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. ，，，. 设，则， ，则. 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，. 设点到平面的距离为， 则， 两边同时平方可得，整理可得，解得， 此时点是线段的中点，，取. 设直线与平面所成的角为， 则. 变式2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面，是的中点. (1)证明：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) 取线段的中点，连接、、，如下图所示： 因为为正三角形，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为、分别为、的中点，所以，故， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故. (2) 【分析】（1）取线段的中点，连接、、，推导出平面，可得出，利用菱形的几何性质和中位线的性质推导出，利用线面垂直的判定定理和性质可证得结论成立； （2）推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）因为四边形为菱形，所以， 又因为，故为等边三角形， 又因为为的中点，所以， 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 因为， 故平面与平面夹角的余弦值为. 变式3．（25-26高三下·云南昭通·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. (1)证明：； (2)若，点在棱上，若二面角的大小为，判断E点的位置. 【答案】(1) 因为平面平面，且平面平面， 因为，且点是的中点，所以， 所以平面，平面， 所以； (2)点在棱靠近点的三等分点处. 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，判断线面垂直，得到线线垂直； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法表示二面角，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由条件可知，，所以， 又因为，所以是等边三角形，， 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 设平面的法向量为， ，令，，， 所以平面的法向量为， 平面的法向量为， ，解得：， 所以点在棱靠近点的三等分点处. 2 学科网（北京）股份有限公司 $