空间几何体中的动点轨迹问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

空间几何体中的动点轨迹问题专项训练 轨迹识别 · 展开最短 · 长度最值 · 专项训练 【教师版】 适用：高三一轮复习 / 高二同步提高 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展链接」收纳超出教材本节范围的内容，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签名称与方法名逐字一致，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 做轨迹题的第一步永远是「三问」：动点在哪儿动？满足什么条件？这个条件翻译成图形是什么？三问答全了再动笔，比直接列方程省一半时间。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 75 分钟完成。凡是求「最短」的题，先想能不能展开；凡是求「最值」的题，先想能不能写成参数的函数。 空间几何体中的动点轨迹问题专项训练 考点定位：人教 A 版必修第二册第八章 8.4—8.6（空间点、直线、平面之间的位置关系）与选择性必修第一册第一章 1.1—1.4（空间向量及其运算、向量法）。本节专攻「动点满足某个条件时的轨迹形状、长度、围成的面积，以及由此产生的最值」，不涉及外接球与二面角的系统计算。 题源：本节 10 题以 2024—2025 学年各地统考中的动点轨迹类试题为主线编排，其中例题 1、例题 4 取材于 2024 年江苏南通高一期末与 2025 年湖北黄冈高三一模的同型真题并重新设问，例题 2 由 2025 年广东深圳高三二模的圆锥侧面展开题改写，例题 3 由 2025 年浙江绍兴高一期末的球面截痕题改写；其余各题由编者按本节四条方法自编。所有答案与过程均已逐题独立演算核对。 一、知识要点 （一）轨迹是什么、怎么找 1. 轨迹的三要素：动点、约束条件、运动范围（在哪一个面内、在哪一条棱上）。少了运动范围，算出来的曲线往往是完整的圆或直线，而实际只取其中一段。 2. 通法：把约束条件翻译成一个方程，再看这个方程表示的曲面（平面、球面、圆柱面）与动点所在平面（或表面）的交线。这是本节所有题目的共同骨架。 3. 四类常见条件：到定点距离为定值 → 球面；到两定点距离相等 → 垂直平分面；到定直线距离为定值 → 圆柱面；到定点与到定直线距离相等 → 抛物柱面（最后一种在高中只在特殊情形出现，见到不必慌，建系即可）。 4. 记住两句话就够用：平面与平面相交得直线；球面与平面相交得圆。于是「到两定点距离相等」在一个面内的轨迹是线段，「到定点距离为定值」在一个面内的轨迹是圆（或圆被边界截出的一段弧）。 5. 最后一步必做：把方程给出的整条曲线与运动范围求交，截出真正有效的一段，并写明端点落在哪条棱的什么位置。 （二）展开图与表面上的最短路 6. 表面最短路的第一原则：把路径经过的面摊到同一个平面内，路径化为直线段，用勾股定理求长。摊不平就分开算再取最小。 7. 长方体三条棱长为 、、，从一个顶点沿表面到相对顶点只有三种展开方式，长度分别是 、、，三者取最小。漏掉一种就会把答案算大。 8. 圆柱侧面展开是矩形：一边是高 ，另一边是底面周长 ；绕行 圈时，水平方向共走过 。 9. 圆锥侧面展开是扇形：半径等于母线长 ，弧长等于底面周长 ，圆心角 （弧度制）。绕侧面一周回到出发点的最短路，就是该扇形中连接两条半径端点的弦。 10. 圆锥展开图里的两个现成量：弦长 ，圆心到弦的距离 。第二个量常被用来问「爬行过程中离顶点最近是多少」。 （三）长度、面积与最值 11. 轨迹的长度：线段用两点距离公式；圆弧用弧长公式 ，其中 必须是弧度，、 这类角直接代入即可。 12. 动点用参数表示：设动点在某条棱上从一端到另一端的比例为 （），写出 的坐标，再把所求量（长度、距离、体积）写成关于 的函数。 13. 求最值：二次函数用配方法或用顶点公式，乘积型用基本不等式； 在闭区间 上取值时，顶点值与两个端点值必须一起比较。 14. 体积的最值先看「底面积 × 高」：底面固定时，只需看动点到底面的距离怎么变；动点在与底面平行的平面内运动时，高不变，体积恒定——这是「求体积取值范围」题里最常见的定值结论。 15. 凡是答「定值」的题，必须说明为什么恒定（通常是高不变、或底面积不变），只取一个特殊位置算一次就下结论，是本节最容易被扣分的地方。 二、方法提炼 方法1　曲面截痕法：先识别条件对应的曲面（球面 / 垂直平分面 / 圆柱面），再求它与动点所在平面的交线，最后与运动范围求交截出有效段。写过程时要把「是什么曲面」和「交线是什么」各写一句。 方法2　展开图法：凡出现「沿表面从 A 到 B 的最短路」「绕侧面一周」，一律先展开——多面体比较所有展开方式取最小，圆柱展成矩形、圆锥展成扇形，再用勾股定理（多面体、圆柱）或弦长公式（圆锥）求长。 方法3　坐标（参数）法：建系 → 设参数 → 写 坐标 → 把条件写成方程 → 解方程得到轨迹方程并截取范围。适用于「说不清轨迹是什么形状」的一切情形，也是方法 1 的兜底。 方法4　函数与最值法：把所求量（长度、距离、面积、体积）写成参数 的函数，锁定 的范围（动点在线段上就是闭区间），再比较顶点值与端点值。若所求量恒为常数，就按第 14 条写清「为什么恒定」。 三、易错提醒 ◆ 只列方程不截范围：方程给出的是整圆（或整条直线），而动点只在一个正方形面内运动，必须再与该面求交，否则弧长、线段长全错。 ◆ 把「到两定点距离相等」只理解成中垂线：在空间里它是整个垂直平分面，轨迹是这个平面与运动范围的交集，可能是一条线段，而不是「两个点的连线」随便写写。 ◆ 长方体表面最短路只展开一种方式：三种展开都要算，取最小，凭直觉挑一种十有八九挑错。 ◆ 弧长公式里用了角度制：弧长 中的 必须是弧度，写成 60° 直接乘半径是错的（要先换成 ）。 ◆ 圆锥展开时把扇形圆心角算反：圆心角是 （底面周长除以母线长），不是 ；扇形半径是母线长 ，不是底面半径 。 ◆ 求最值只看顶点不比端点：动点在线段上时 是闭区间，顶点恰在区间内的情形要比较三个值，落在区间外就只看两个端点。 ◆ 拿一个特殊位置猜定值：体积恒定要说明「高不变」或「底面积不变」，只把动点放到中点算一次，不能算证明。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 曲面截痕（垂直平分面） 题注：条件是「到两个定点距离相等」，它对应的曲面是一个平面；把这个平面与动点所在的侧面求交，轨迹立刻现形——不要一上来就设坐标，先看能不能识别曲面。 正方体 的棱长为 2，点 在侧面 （含边界）内运动，且满足 。 （1）指出点 的轨迹是什么图形，并求出它的长度； （2）求三棱锥 的体积的最大值。 【答案】（1）轨迹是一条线段，长度为 ；（2） 【解析】（1）到两定点 、 距离相等的点的轨迹，是线段 的垂直平分面 。点 又在侧面 内，所以 的轨迹就是 与这个侧面的交线，它必为一条线段。 下面定出它的两个端点。以 为原点，、、 分别为 、、 轴建系，则 、。侧面 在平面 上，设 ，其中 、。 由 得 ，， 两者相等：，化简得 ，即 。 在正方形 、 内，直线 截出的部分，是连接 与 的一条线段——前者是棱 的中点，后者是棱 的中点。 故轨迹是一条线段，长 。 （2） 在底面内，，而点 到底面 的距离就是 ，所以 。 由 且 知 ，于是 随 增大而增大，当 （即 ， 为棱 的中点）时取最大值 。 【点拨】这类题的通用写法是「识别曲面 → 求交线 → 定端点」三步，其中定端点最关键：把轨迹方程与运动范围的四条边界分别联立，落在范围内的交点就是端点。第（2）问提醒一句通用经验——动点所在的面若与底面垂直，那么体积只随「高度」变化，把体积写成高度的一次函数，最值就在端点处取到。 【例 2】 方法2 · 展开图（圆锥侧面） 题注：蚂蚁沿圆锥侧面爬行，一侧是曲面没法直接连线，摊开成扇形后就变成「扇形内两点的最短距离」，而绕一周回到原地，等价于扇形两条半径端点之间的弦。 如图，圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，一只蚂蚁从底面圆周上的点 出发，沿圆锥侧面爬行一周后回到点 。 （1）求蚂蚁爬行的最短路程； （2）在（1）的最短路径上，求蚂蚁与圆锥顶点距离的最小值。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）把圆锥侧面沿过点 的母线剪开，摊成扇形。该扇形的半径等于母线长 ，弧长等于底面周长 ，故圆心角 （弧度）。 蚂蚁从 出发绕侧面一周回到 ，在展开图中就是从扇形的一条半径端点 走到另一条半径端点 ，最短路程即弦 的长： 。 （2）设圆锥顶点为 ，展开图中 就是扇形的圆心。路径是弦 ，所以「蚂蚁与顶点的距离」就是扇形圆心到弦 上各点的距离，它的最小值即圆心到弦的距离（垂线段最短）： 。 注意这个垂足确实落在弦 上：，圆心到弦的垂足在弦的中点处，故结论成立。 【点拨】圆锥侧面展开的三件事必须一次写全：扇形半径 = 母线长、弧长 = 底面周长、圆心角 = 弧长 ÷ 半径。圆心角用弧度制，后面 、 才能直接代。另外要养成一个习惯：算出「圆心到弦的距离」后，补一句「垂足落在弦上」——若圆心角大于 ，垂足会落到弦的延长线上，那时最小值就变成了端点处的距离。 【例 3】 方法3 · 坐标法（球面截痕） 题注：条件是「到定点距离为定值」，对应的是球面；动点在一个与球面相交的平面内，交线是圆。建系把圆方程写出来，再看它在正方形面内被截成哪一段。 正方体 的棱长为 2，点 在上底面 （含边界）内运动，且满足 。 （1）指出点 的轨迹是什么图形，并求出它的长度； （2）求三棱锥 的体积的最大值。 【答案】（1）轨迹是以 为圆心、1 为半径的四分之一圆弧，长度为 ；（2） 【解析】（1）以 为原点，、、 分别为 、、 轴建系，则 ，。上底面在平面 上，设 ，其中 、。 由 得 ，即 。 这是以 为圆心、1 为半径的圆；又因为 、，在正方形的第一象限部分内它只留下四分之一圆弧，两个端点是 与 ，即棱 的中点与棱 的中点。 故轨迹是四分之一圆弧，弧长 。 （2）取 为底。以 为起点，，，则 ， 。 又 ，，故体积 。 于是只需求 在 （）上的最大值。由 ，得 ，当且仅当 时取等号（此时 在弧的中点）。 故 。 【点拨】「到定点距离为定值」是球面，「动点在一个平面内」是平面，两者相交得圆——这三句话写进解析里，阅卷老师一眼就能看懂你的思路。第（2）问的体积用混合积算，比找高再算底面积省事得多；算完把体积化成 之后，问题就变成了「单位圆上 的最大值」，用基本不等式一步到位。 【例 4】 方法4 · 函数与最值（整张表面） 题注：动点不再局限于一个面，而是在整个表面上运动，这时要一个面一个面地讨论，把每个面上的交线都找出来再加起来。第二问的体积最值，用「点到平面的距离」配一个固定底面来算最快。 正方体 的棱长为 2，点 在正方体的表面（含棱与顶点）上运动，且满足 。 （1）指出点 的轨迹由哪几部分组成，并求出轨迹的总长度； （2）求三棱锥 的体积的最大值。 【答案】（1）由三段四分之一圆弧组成（半径均为 2，圆心均为 ），总长 ；（2） 【解析】（1）以 为原点，、、 分别为 、、 轴建系，则 。满足 的点的轨迹是以 为球心、2 为半径的球面，再与正方体的表面求交，六个面逐一讨论： ① 底面 （）：，在 内是四分之一圆弧，圆心 、半径 2，两端点为 与 ； ② 侧面 （）：，是四分之一圆弧，两端点为 与 ； ③ 侧面 （）：，是四分之一圆弧，两端点为 与 ； ④ 其余三个面（、、）上的点到 的距离都不小于 2，等号只在 、、 这三个顶点处取得，而它们已包含在上面三段弧的端点里，不产生新的弧。 故轨迹由三段半径都是 2 的四分之一圆弧组成，总长 。 （2）平面 的法向量：，， ，可取 ，平面方程为 。 点 到该平面的距离 。 由对称性，只需讨论 在底面那段弧上的情形：，，此时 ，而 （在 上， 或 时取 1， 时取 ）， 故 的最大值为 。另外两段弧由对称性给出同样的结果。 又 ，所以 。 【点拨】整张表面的题，最忌讳凭想象说「轨迹是一个圆」——必须按面分类，而且不能漏掉「只有单个点」的那些面。第（2）问的技巧是：当底面固定时，体积正比于「动点到该平面的距离」，于是只需求距离的最大值，再配上三角函数 就能一步到位。另外注意，本题动点 有可能恰在平面 上（体积为 0），所以最大值一定要与端点值比较后才能确认。 五、巩固练习 1. 方法1 · 曲面截痕（多选） 题注：把四个选项逐个翻译成图形，关键区分「空间中的轨迹」与「平面内的轨迹」。 （多选）下列关于动点轨迹的说法中，正确的是（　　） A．空间中，到两个定点距离相等的点的轨迹是一个平面 B．空间中，到定点的距离等于定值的点的轨迹是一个球面 C．在一个平面内，到两个定点距离相等的点的轨迹是一条直线 D．空间中，到一条定直线的距离等于定值的点的轨迹是一个圆 【答案】ABC 【解析】A 正确：到两定点距离相等的点构成这两点连线的垂直平分面，它是一个平面。 B 正确：到定点距离等于定值 的点构成以该点为球心、 为半径的球面。 C 正确：限定在一个平面内时，垂直平分面与该平面相交于一条直线，即平面内这两点连线的垂直平分线。 D 错误：空间中到一条定直线距离等于定值 的点构成以该直线为轴、 为半径的圆柱面，并不是圆；只有在同时限定于一个与轴垂直的平面内时，交线才是圆。 故选 ABC。 【点拨】这四个选项正好是本节四类条件的「定义表」：球面、垂直平分面、圆柱面、抛物柱面。判定时先问一句「有没有限定在一个平面内」——同样是「到定直线距离为定值」，在空间中得到圆柱面，限定在平面内则得到两条平行直线或圆。 2. 方法3 · 坐标法（中点轨迹） 题注：两个动点各自在一条棱上运动，求它们中点的轨迹。把中点坐标写出来自变量分离，轨迹所在的平面和范围就都看出来了。 正方体 的棱长为 2，点 在棱 上运动，点 在棱 上运动，点 为线段 的中点。 指出点 的轨迹是什么图形，并求出它的面积。 【答案】轨迹是一个正方形，面积为 1 【解析】以 为原点，、、 分别为 、、 轴建系，则 、、、。 设 （），（），则中点 。 于是 的横坐标恒为 1，即 始终在平面 内；而 、，且 、 可以独立取遍 ， 故 的轨迹是平面 内由 、 围成的正方形（它是正方形 所在平面与正方体的截面 内的一个 正方形）， 面积为 。 【点拨】求「两个动点的中点轨迹」，通法是把中点坐标写成参数式，再逐个坐标看范围：恒定的那个坐标给出轨迹所在平面，剩下的坐标给出平面内的范围。还要注意 、 是否独立变化——本题两者独立，所以得到的是二维的正方形，而不是一维的线段。 3. 方法2 · 展开图（长方体表面） 题注：长方体从一个顶点到相对顶点，展开方式有三种，三种都要算，取最小的那一个。 长方体 中，，，。一只蚂蚁从点 出发，沿长方体表面爬到点 。 求蚂蚁爬行的最短路程。 【答案】 【解析】沿表面从 到 ，需要把路径经过的面摊平。三条棱长为 1、2、3，共有三种展开方式，分别计算： ① 经过底面与上底面一侧（把 1 与 2 拼在一起，3 作高）：； ② 把 1 与 3 拼在一起，2 作高：； ③ 把 2 与 3 拼在一起，1 作高：。 比较：，故最短路程为 。 【点拨】三种展开的口诀是「两条棱相加、第三条作高」。比较大小时统一化成 ，比被开方数即可，不用算小数。一般来说，把两条较短的棱相加、让最长的那条作高，得到的往往就是最小值，但这只是经验，正式答题仍须把三种都列出来。 4. 方法4 · 函数与最值（两条棱上的动点） 题注：两个动点分别在两条异面直线上，求它们距离的最小值——把它写成两个参数的函数，配方法即可，不必去求公垂线。 正方体 的棱长为 2，点 在棱 上运动，点 在棱 上运动。 求线段 长的最小值。 【答案】 【解析】以 为原点，、、 分别为 、、 轴建系，则 、、、。 设 （），（）。 则 。 由于 、，可取 （例如 、，即 为棱 的中点、 为棱 的中点），使第一项为 0。 故 的最小值为 ，即 。 【点拨】这类题的写法是「设两个参数 → 写出距离平方 → 配方」。注意本题的最小值不唯一：只要 与 的横坐标相同（即 ）都能取到 ，答题时举出一组具体位置即可，但要知道「两条异面直线 与 之间的距离」这个说法本身对应的正是这里的最小值。 5. 方法1 · 曲面截痕（侧面内的圆弧） 题注：与例题 4 同一思路，但动点只在一个侧面内，因此只出现一段弧——范围缩小之后，答案也从 变成 。 正方体 的棱长为 2，点 在侧面 （含边界）内运动，且满足 。 指出点 的轨迹是什么图形，并求出它的长度。 【答案】轨迹是以 为圆心、2 为半径的四分之一圆弧，长度为 【解析】以 为原点，、、 分别为 、、 轴建系，则侧面 在平面 上，设 ，其中 、。 由 得 。 这是以 为圆心、2 为半径的圆；由于 、，在正方形 内只剩下四分之一圆弧，两个端点是 与 。 故轨迹是四分之一圆弧，弧长 。 【点拨】与例题 4 对照着看最有帮助：同样的条件 ，动点限定在一个侧面内得一段弧（长 ），放开到整个表面就得三段弧（总长 ）。可见「运动范围」这一步决定答案的一半，做题时先圈出动点能在哪儿动，再去列方程。 6. 方法4 · 函数与最值（距离的最小值） 题注：动点沿体对角线运动，求它到另一条直线距离的最小值。把距离平方写成关于参数的二次函数，配方即得，不必去找公垂线在哪里。 正方体 的棱长为 2，点 在线段 上运动。 求点 到直线 的距离的最小值。 【答案】 【解析】以 为原点，、、 分别为 、、 轴建系，则 、、、。 设 ，。 点 到直线 的距离，用「以 为底、 为另一边构成的平行四边形的面积」来算：。 其中 ，，。 。 于是 ， 故 。 配方：， 当 （在 内）时取最小值 ，即 。 此时 ，而垂足恰为底面中心 ，确在直线 上。 【点拨】求「动点到定直线的距离」，用 比找垂足快得多，而且天然避开了「垂足在不在线段上」的讨论——只要在最后补一句垂足的位置即可。配方后记得检查顶点 是否落在 内，若不在，最小值只能在端点处取。 六、拓展链接（超出人教A版教材本节范围） 以下 4 条超出教材本节课堂要求的内容，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 椭圆与双曲线作为轨迹：平面内到两个定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆，差的绝对值为定值则是双曲线。在立体几何里，它们通常作为「球面与平面相交」之外的补充情形出现在选择题中，不必会用定义求方程，但要能认出条件。 阿波罗尼斯球：空间中到两个定点距离之比为定值 （ 且 ）的点的轨迹是一个球面，称为阿波罗尼斯球。 时它退化为垂直平分面——这正是本节例题 1 用到的结论。 测地线的概念：曲面上两点间的最短路称为测地线。圆柱面上它是螺旋线（展开后是直线），圆锥面上展开后也是直线，球面上则是大圆的劣弧。高中阶段只需掌握可展曲面（柱面、锥面）的展开法。 轨迹与截面的关系：动点轨迹常与截面问题联动——「动点在某平面内」这个平面本身往往就是某个截面。遇到「过动点的平面截几何体」这类题，可先按截面问题的方法定出截面，再在截面内讨论动点，这是两条知识线的交汇处。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间几何体中的动点轨迹问题专项训练 轨迹识别 · 展开最短 · 长度最值 · 专项训练 【学生版】 适用：高三一轮复习 / 高二同步提高 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展链接」收纳超出教材本节范围的内容，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签名称与方法名逐字一致，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 做轨迹题的第一步永远是「三问」：动点在哪儿动？满足什么条件？这个条件翻译成图形是什么？三问答全了再动笔，比直接列方程省一半时间。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 75 分钟完成。凡是求「最短」的题，先想能不能展开；凡是求「最值」的题，先想能不能写成参数的函数。 空间几何体中的动点轨迹问题专项训练 考点定位：人教 A 版必修第二册第八章 8.4—8.6（空间点、直线、平面之间的位置关系）与选择性必修第一册第一章 1.1—1.4（空间向量及其运算、向量法）。本节专攻「动点满足某个条件时的轨迹形状、长度、围成的面积，以及由此产生的最值」，不涉及外接球与二面角的系统计算。 题源：本节 10 题以 2024—2025 学年各地统考中的动点轨迹类试题为主线编排，其中例题 1、例题 4 取材于 2024 年江苏南通高一期末与 2025 年湖北黄冈高三一模的同型真题并重新设问，例题 2 由 2025 年广东深圳高三二模的圆锥侧面展开题改写，例题 3 由 2025 年浙江绍兴高一期末的球面截痕题改写；其余各题由编者按本节四条方法自编。所有答案与过程均已逐题独立演算核对。 一、知识要点 （一）轨迹是什么、怎么找 1. 轨迹的三要素：动点、约束条件、运动范围（在哪一个面内、在哪一条棱上）。少了运动范围，算出来的曲线往往是完整的圆或直线，而实际只取其中一段。 2. 通法：把约束条件翻译成一个方程，再看这个方程表示的曲面（平面、球面、圆柱面）与动点所在平面（或表面）的交线。这是本节所有题目的共同骨架。 3. 四类常见条件：到定点距离为定值 → 球面；到两定点距离相等 → 垂直平分面；到定直线距离为定值 → 圆柱面；到定点与到定直线距离相等 → 抛物柱面（最后一种在高中只在特殊情形出现，见到不必慌，建系即可）。 4. 记住两句话就够用：平面与平面相交得直线；球面与平面相交得圆。于是「到两定点距离相等」在一个面内的轨迹是线段，「到定点距离为定值」在一个面内的轨迹是圆（或圆被边界截出的一段弧）。 5. 最后一步必做：把方程给出的整条曲线与运动范围求交，截出真正有效的一段，并写明端点落在哪条棱的什么位置。 （二）展开图与表面上的最短路 6. 表面最短路的第一原则：把路径经过的面摊到同一个平面内，路径化为直线段，用勾股定理求长。摊不平就分开算再取最小。 7. 长方体三条棱长为 、、，从一个顶点沿表面到相对顶点只有三种展开方式，长度分别是 、、，三者取最小。漏掉一种就会把答案算大。 8. 圆柱侧面展开是矩形：一边是高 ，另一边是底面周长 ；绕行 圈时，水平方向共走过 。 9. 圆锥侧面展开是扇形：半径等于母线长 ，弧长等于底面周长 ，圆心角 （弧度制）。绕侧面一周回到出发点的最短路，就是该扇形中连接两条半径端点的弦。 10. 圆锥展开图里的两个现成量：弦长 ，圆心到弦的距离 。第二个量常被用来问「爬行过程中离顶点最近是多少」。 （三）长度、面积与最值 11. 轨迹的长度：线段用两点距离公式；圆弧用弧长公式 ，其中 必须是弧度，、 这类角直接代入即可。 12. 动点用参数表示：设动点在某条棱上从一端到另一端的比例为 （），写出 的坐标，再把所求量（长度、距离、体积）写成关于 的函数。 13. 求最值：二次函数用配方法或用顶点公式，乘积型用基本不等式； 在闭区间 上取值时，顶点值与两个端点值必须一起比较。 14. 体积的最值先看「底面积 × 高」：底面固定时，只需看动点到底面的距离怎么变；动点在与底面平行的平面内运动时，高不变，体积恒定——这是「求体积取值范围」题里最常见的定值结论。 15. 凡是答「定值」的题，必须说明为什么恒定（通常是高不变、或底面积不变），只取一个特殊位置算一次就下结论，是本节最容易被扣分的地方。 二、方法提炼 方法1　曲面截痕法：先识别条件对应的曲面（球面 / 垂直平分面 / 圆柱面），再求它与动点所在平面的交线，最后与运动范围求交截出有效段。写过程时要把「是什么曲面」和「交线是什么」各写一句。 方法2　展开图法：凡出现「沿表面从 A 到 B 的最短路」「绕侧面一周」，一律先展开——多面体比较所有展开方式取最小，圆柱展成矩形、圆锥展成扇形，再用勾股定理（多面体、圆柱）或弦长公式（圆锥）求长。 方法3　坐标（参数）法：建系 → 设参数 → 写 坐标 → 把条件写成方程 → 解方程得到轨迹方程并截取范围。适用于「说不清轨迹是什么形状」的一切情形，也是方法 1 的兜底。 方法4　函数与最值法：把所求量（长度、距离、面积、体积）写成参数 的函数，锁定 的范围（动点在线段上就是闭区间），再比较顶点值与端点值。若所求量恒为常数，就按第 14 条写清「为什么恒定」。 三、易错提醒 ◆ 只列方程不截范围：方程给出的是整圆（或整条直线），而动点只在一个正方形面内运动，必须再与该面求交，否则弧长、线段长全错。 ◆ 把「到两定点距离相等」只理解成中垂线：在空间里它是整个垂直平分面，轨迹是这个平面与运动范围的交集，可能是一条线段，而不是「两个点的连线」随便写写。 ◆ 长方体表面最短路只展开一种方式：三种展开都要算，取最小，凭直觉挑一种十有八九挑错。 ◆ 弧长公式里用了角度制：弧长 中的 必须是弧度，写成 60° 直接乘半径是错的（要先换成 ）。 ◆ 圆锥展开时把扇形圆心角算反：圆心角是 （底面周长除以母线长），不是 ；扇形半径是母线长 ，不是底面半径 。 ◆ 求最值只看顶点不比端点：动点在线段上时 是闭区间，顶点恰在区间内的情形要比较三个值，落在区间外就只看两个端点。 ◆ 拿一个特殊位置猜定值：体积恒定要说明「高不变」或「底面积不变」，只把动点放到中点算一次，不能算证明。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 曲面截痕（垂直平分面） 题注：题注：条件是「到两个定点距离相等」，它对应的曲面是一个平面；把这个平面与动点所在的侧面求交，轨迹立刻现形——不要一上来就设坐标，先看能不能识别曲面。 正方体 的棱长为 2，点 在侧面 （含边界）内运动，且满足 。 （1）指出点 的轨迹是什么图形，并求出它的长度； （2）求三棱锥 的体积的最大值。 【例 2】 方法2 · 展开图（圆锥侧面） 题注：题注：蚂蚁沿圆锥侧面爬行，一侧是曲面没法直接连线，摊开成扇形后就变成「扇形内两点的最短距离」，而绕一周回到原地，等价于扇形两条半径端点之间的弦。 如图，圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，一只蚂蚁从底面圆周上的点 出发，沿圆锥侧面爬行一周后回到点 。 （1）求蚂蚁爬行的最短路程； （2）在（1）的最短路径上，求蚂蚁与圆锥顶点距离的最小值。 【例 3】 方法3 · 坐标法（球面截痕） 题注：题注：条件是「到定点距离为定值」，对应的是球面；动点在一个与球面相交的平面内，交线是圆。建系把圆方程写出来，再看它在正方形面内被截成哪一段。 正方体 的棱长为 2，点 在上底面 （含边界）内运动，且满足 。 （1）指出点 的轨迹是什么图形，并求出它的长度； （2）求三棱锥 的体积的最大值。 【例 4】 方法4 · 函数与最值（整张表面） 题注：题注：动点不再局限于一个面，而是在整个表面上运动，这时要一个面一个面地讨论，把每个面上的交线都找出来再加起来。第二问的体积最值，用「点到平面的距离」配一个固定底面来算最快。 正方体 的棱长为 2，点 在正方体的表面（含棱与顶点）上运动，且满足 。 （1）指出点 的轨迹由哪几部分组成，并求出轨迹的总长度； （2）求三棱锥 的体积的最大值。 五、巩固练习 1. 方法1 · 曲面截痕（多选） 题注：题注：把四个选项逐个翻译成图形，关键区分「空间中的轨迹」与「平面内的轨迹」。 （多选）下列关于动点轨迹的说法中，正确的是（　　） A．空间中，到两个定点距离相等的点的轨迹是一个平面 B．空间中，到定点的距离等于定值的点的轨迹是一个球面 C．在一个平面内，到两个定点距离相等的点的轨迹是一条直线 D．空间中，到一条定直线的距离等于定值的点的轨迹是一个圆 2. 方法3 · 坐标法（中点轨迹） 题注：题注：两个动点各自在一条棱上运动，求它们中点的轨迹。把中点坐标写出来自变量分离，轨迹所在的平面和范围就都看出来了。 正方体 的棱长为 2，点 在棱 上运动，点 在棱 上运动，点 为线段 的中点。 指出点 的轨迹是什么图形，并求出它的面积。 3. 方法2 · 展开图（长方体表面） 题注：题注：长方体从一个顶点到相对顶点，展开方式有三种，三种都要算，取最小的那一个。 长方体 中，，，。一只蚂蚁从点 出发，沿长方体表面爬到点 。 求蚂蚁爬行的最短路程。 4. 方法4 · 函数与最值（两条棱上的动点） 题注：题注：两个动点分别在两条异面直线上，求它们距离的最小值——把它写成两个参数的函数，配方法即可，不必去求公垂线。 正方体 的棱长为 2，点 在棱 上运动，点 在棱 上运动。 求线段 长的最小值。 5. 方法1 · 曲面截痕（侧面内的圆弧） 题注：题注：与例题 4 同一思路，但动点只在一个侧面内，因此只出现一段弧——范围缩小之后，答案也从 变成 。 正方体 的棱长为 2，点 在侧面 （含边界）内运动，且满足 。 指出点 的轨迹是什么图形，并求出它的长度。 6. 方法4 · 函数与最值（距离的最小值） 题注：题注：动点沿体对角线运动，求它到另一条直线距离的最小值。把距离平方写成关于参数的二次函数，配方即得，不必去找公垂线在哪里。 正方体 的棱长为 2，点 在线段 上运动。 求点 到直线 的距离的最小值。 六、拓展链接（超出人教A版教材本节范围） 以下 4 条超出教材本节课堂要求的内容，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 椭圆与双曲线作为轨迹：平面内到两个定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆，差的绝对值为定值则是双曲线。在立体几何里，它们通常作为「球面与平面相交」之外的补充情形出现在选择题中，不必会用定义求方程，但要能认出条件。 阿波罗尼斯球：空间中到两个定点距离之比为定值 （ 且 ）的点的轨迹是一个球面，称为阿波罗尼斯球。 时它退化为垂直平分面——这正是本节例题 1 用到的结论。 测地线的概念：曲面上两点间的最短路称为测地线。圆柱面上它是螺旋线（展开后是直线），圆锥面上展开后也是直线，球面上则是大圆的劣弧。高中阶段只需掌握可展曲面（柱面、锥面）的展开法。 轨迹与截面的关系：动点轨迹常与截面问题联动——「动点在某平面内」这个平面本身往往就是某个截面。遇到「过动点的平面截几何体」这类题，可先按截面问题的方法定出截面，再在截面内讨论动点，这是两条知识线的交汇处。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $