培优专题12 空间几何体中的截面与交线问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

2026 届高三数学一轮复习培优专题 12　空间几何体中的截面与交线问题 （详细解析版） 满分 100 分　·　建议用时 90 分钟　·　适用：高三一轮复习（中档题及以上） 本专题聚焦平面与几何体相交产生的截面与交线问题，围绕“三点定面—平行线传递—延长找交点—坐标法求交点与面积—球与圆锥的截线”五条主线命制，共 16 题，全部为原创题或改编题，以正方体为主要载体，兼顾正四棱锥、圆锥面与球，突出空间想象与坐标运算相结合。建议先限时完成学生版，再逐题对照解析复盘。 方法导航 三点定面法　不共线的三点唯一确定一个平面。作截面时，先在同一表面内连接截面上的两点得到一条交线，再利用该交线与相邻表面的公共点逐步传递，直到围成封闭多边形；若两点的连线不在任何表面内，则先作第三点所在表面内的交线。 平行线传递法　若直线平行于截面，则截面与该直线所在表面的交线必平行于该直线。作图时常过截面上一已知点作已知直线的平行线，把交线传递到相邻表面，这是寻找截面顶点的核心手段。 延长交点法　将截面中某表面内的线段延长，与该表面的棱相交，交点既在截面上又在棱上，从而与表面内的另一点确定新的交线，反复使用即可画出完整截面；交点是否落在棱的内部需要单独检验。 坐标法　建立空间直角坐标系，设出截面所在平面的方程，与十二条棱逐一联立求出全部交点坐标，按绕行顺序排列顶点，即可判定截面形状，并计算边长、角度、面积与点到平面的距离，把空间想象转化为代数运算。 球截面与圆锥截线法　球心到截面的距离的平方加上截面圆半径的平方等于球的半径的平方，截面圆就是截面多边形的外接圆；用不过顶点的平面截圆锥面，平面与轴垂直得圆，与所有母线相交得椭圆，平行于一条母线得抛物线，平行于轴得双曲线。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在正方体 中，，，，，， 分别是棱 ，，，，， 的中点，则过这六个点的截面的形状是 A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．菱形 【答案】C　（难度：易） 【解析】取棱长为 ，以 为原点、，， 所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系，则六个中点的坐标依次为 ，，，，，，每个坐标都满足 ，故六点共面。 相邻两点的坐标差均为 型，故六条边长都等于 。 正方体中心 到六个顶点的距离也都等于 ，即六点共圆；六边相等且内接于圆的六边形是正六边形。故选 C。 【方法点睛】判定截面形状的坐标程序：设出平面方程，与十二条棱逐一求交点，把顶点按绕行顺序排列后比较边长与对角线长。本题的平面过正方体中心且垂直于体对角线 ，截得的正六边形边长为 （ 为棱长），这是一个常用结论。 2．在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点，则过点 ，， 的截面的形状是 A．三角形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】B　（难度：中档） 【解析】以 为原点、，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，，。设平面方程为 ：由点 得 ；由点 得 ，即 ；由点 得 ，即 。故平面方程为 。 逐棱求交点：棱 上的点为 ，代入得 ，，得交点 ，即 的中点；其余各棱经检验，交点均与 ，， 重合或不存在。故截面顶点恰为 ，，， 四点。 ，，故 且 ，四边形 为平行四边形；又 ，，四边相等，而 ，邻边不垂直，故截面为菱形。故选 B。 【易错警示】过 ，， 三点作图时， 与 的连线不在任何一个表面内，不能直接连接。正确程序：在面 内连接 、在面 内连接 ，再在面 内过 作 的平行线交 于中点 （平行线传递），最后连接 。误把截面当作三角形会漏掉交点 。 3．在棱长为 的正方体 中，棱 ，，，，， 的中点依次为 ，，，，，，则过这六个点的截面的面积为 A． B． C． D． 【答案】B　（难度：易） 【解析】由第 1 题的结论，过这六个中点的截面是正六边形，且该平面过正方体中心、垂直于体对角线 。 棱长为 时各中点坐标相应加倍，如 的中点为 ， 的中点为 ，相邻中点的坐标差为 型，故边长 。 正六边形可以分成六个边长为 的正三角形，每个正三角形的面积为 ，故截面面积 。故选 B。 【方法点睛】正六边形面积公式 （拆成六个正三角形）。正方体中过六棱中点的正六边形边长为 （ 为棱长），故面积为 ；本题 ，面积为 。 4．用平面截正方体 ，若该平面不经过正方体的任何顶点，则截面多边形与正方体的棱的交点个数的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C　（难度：中档） 【解析】上界论证：截面多边形的每一条边都落在正方体的某一个表面上，而一个平面与一个表面至多相交于一条直线，故每个表面至多贡献一条边；正方体只有 个表面，所以截面多边形至多有 条边，与棱的交点至多 个。 上界可以达到：由第 1 题，取棱长为 ，平面 不经过任何顶点（八个顶点处 的值为 ，，，，均不等于 ），且与六条棱 ，，，，， 各交于中点，恰有 个交点，截面为正六边形。 故交点个数的最大值为 。故选 C。 【方法点睛】上界论证的要点：截面多边形的每条边对应一个不同的表面，边数不超过表面数 ；再构造一个六边形截面即可说明上界可达。逐棱检验时，观察棱的两个端点处 的值是否分居 两侧，十二棱中恰有六条满足。 5．在正方体 中， 为棱 的中点， 为棱 的中点，则过点 ，， 的截面的形状是 A．三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 【答案】C　（难度：中档） 【解析】取棱长为 ，以 为原点、，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，，。设平面方程为 （过原点 ）：代入 得 ，代入 得 ，取 得 ，，故平面方程为 。 逐棱求交点：底面内 与棱 交于 ；面 内 时 ，与棱 交于 ，，即顶点 ；上底面内 时 ，与棱 交于 ；面 内 时 ，交线过 。其余各棱经检验无新的交点，故截面为四边形 。 ，，故 且 ，四边形 为平行四边形。故选 C。 【易错警示】本题最易漏掉顶点 ：只在面 与面 内连线，会误把截面画成三角形。防漏手段是逐棱把棱的参数方程代入平面方程，看是否有解；几何解释是“截面与面 已有两个公共点 与 ，两平面有公共点则交线为过这两点的直线”，据此补出顶点 。 6．在棱长为 的正方体 中，点 在棱 上移动，则过点 ，， 的截面面积的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A　（难度：中档偏难） 【解析】以 为原点、，， 所在直线为 ，， 轴建系，设 （），且 ，。设截面所在平面为 ，代入三点整理得 。令 ， 得该平面与棱 交于 ；再检验其余各棱，交点均重合于 ，，，故截面为四边形 。 ，，故 ，且 ，；两腰 ，截面为等腰梯形，高为 ，故 记 ，求导得 （因 ），故 在 上单调递增，最小值 ，最大值 。故截面面积的取值范围是 。故选 A。 【易错警示】端点情形要单独认识： 时 与 重合，截面退化为等边三角形 （边长 ，面积 ）； 时 与 重合，截面为平行四边形 （面积 ），公式对二者仍然适用。面积随 单调递增，最值在端点取得，不要凭直觉认为最值在中间某处。 7．在圆锥曲线的几何来源中，用不过顶点的平面去截圆锥面，若所得交线为双曲线，则该平面与圆锥的轴的位置关系是 A．垂直 B．平行 C．平行于某一条母线 D．与所有母线都相交 【答案】B　（难度：中档） 【解析】取圆锥面 ，其轴为 轴。用与轴平行的平面 去截，代入得 ，即 ，这是双曲线，故平面平行于轴时交线为双曲线。 对照其他位置：与轴垂直的平面 代入得 ，交线为圆；与一条母线平行的平面如 ，代入得 ，即 ，为抛物线；与轴斜交且与所有母线都相交的平面截得椭圆。故选 B。 【方法点睛】圆锥截线的四种位置：平面垂直于轴得圆；斜交且与所有母线相交得椭圆；平行于一条母线得抛物线；平行于轴得双曲线。这正是“圆锥曲线”名称的由来，判断时盯住平面与轴、母线的相对方向即可。 8．已知球 的半径为 ，平面 截球 所得截面圆的面积为 ，则球心 到平面 的距离为 A． B． C． D． 【答案】A　（难度：易） 【解析】设截面圆的半径为 ，则 ，得 。 球心与截面圆心的连线垂直于截面。设球心到平面的距离为 ，由勾股关系 得 ，故 。故选 A。 【方法点睛】球的截面问题抓住直角三角形：球心 O、截面圆心 M、截面圆上任一点 A 构成直角三角形，斜边为球半径 ，两条直角边为 与 。由截面圆面积得 ，与 一起定出 ；反之已知 也能求截面圆的周长或面积。 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点，过点 ，， 作截面 ，则下列结论正确的是 A． 是等腰三角形 B． 的面积为 C．直线 与平面 平行 D．点 到平面 的距离为 【答案】ABD　（难度：中档） 【解析】以 为原点、，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，，。设平面 ：代入 得 ，即 ；代入 得 ，即 。取 得平面方程 。逐棱检验知截面顶点恰为 ，， 三点， 即三角形 。 ，，两边相等，A 正确。又 ， 在 的垂直平分面上，垂足为 的中点 ，，故面积 ，B 正确。 对 C：，平面 的法向量为 ，数量积为 ，且 不在 上，故 与 相交，C 错误。 对 D：点 到平面 的距离为 ，D 正确。故选 ABD。 选项 A．，两边相等，等腰三角形，正确。 选项 B．，高 ，，正确。 选项 C．，不平行，相交，错误。 选项 D．，正确。 【方法点睛】截面三角形的面积用“底乘高”：底取面内对角线 ，高用坐标直接计算 ；点面距用公式 。两者的前提都是先求出正确的平面方程，并确认截面就是三角形 而非多边形。 10．在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点， 为棱 的中点，过点 ，， 作截面 ，则下列结论正确的是 A． 是五边形 B． 与棱 的交点到点 的距离为 C． 与棱 无公共点 D．直线 与平面 平行 【答案】ABC　（难度：中档偏难） 【解析】以 为原点、，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，，。设平面 ，代入三点整理得 （验证： 处 ， 处 ， 处 ）。 逐棱求交点：棱 上（，）：，得交点 ；棱 上：，，得交点 ；加上 ，， 共五个顶点，截面为五边形，A 正确；棱 上的交点到 的距离为 ，B 正确。 对 C：棱 上的点为 ，代入平面方程得 ，无解，故 与棱 无公共点，C 正确。对 D： 与法向量 的数量积为 ，不平行，D 错误。故选 ABC。 选项 A．五个顶点依次为 ，，，，，五边形，正确。 选项 B．交点 在棱 上，到 的距离为 ，正确。 选项 C． 关于 无解，棱 与 无公共点，正确。 选项 D．，不平行，错误。 【易错警示】五边形截面最易漏掉棱 上的交点 ：只在 ， 所在的两个面内连线，会误判为三角形或四边形。把每条棱的参数方程代入平面方程逐一求解，是防漏点的唯一可靠手段。 11．已知正四棱锥 的底面 是边长为 的正方形，侧棱长均为 ，过底面对角线 且与侧棱 平行的平面截该正四棱锥所得的截面为 ， 与棱 交于点 ，则下列结论正确的是 A． 是等腰三角形 B． 与 的比为 C． 的面积为 D． 的周长为 【答案】ACD　（难度：较难） 【解析】以底面中心 为原点、平行于 ， 的直线为 ， 轴、 所在直线为 轴建系，则 ，，，，（由 得 ）。 截面过 ， 且平行于 ，可得平面方程 。棱 上的点为 ，代入得 ，，故 为 的中点， 与 的比为 ，B 错误。 ，同理 ，故 为等腰三角形，A 正确。， 到 的垂足为 的中点 ，，故 ，C 正确；周长为 ，D 正确。故选 ACD。 选项 A．，等腰三角形，正确。 选项 B．E 为 的中点， 与 的比为 ，错误。 选项 C．，正确。 选项 D．周长 ，正确。 【方法点睛】“过对角线、平行于侧棱”的截面必与另一条侧棱相交，交点可用中位线逆定理速定：设 与 交于 ，则 也是 的中点且在截面内，在三角形 中 ，故 为 的中点，与坐标法结论一致。纯几何法与坐标法互相印证是处理截面问题的稳妥策略。 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．在棱长为 的正方体 中，过六条棱 ，，，，， 的中点的截面与正方体表面交线的总长度为________。 【答案】　（难度：易） 【解析】由第 1 题的结论，过这六个中点的截面为正六边形，截面与正方体表面交线的总长度就是该正六边形的周长。 棱长为 时相邻中点的距离为 ，故周长为 。 一般地，棱长为 的正方体中，该正六边形的边长为 ，周长为 ；本题 ，故填 。 【方法点睛】“截面与几何体表面的交线总长”就是截面多边形的周长；正方体中过六棱中点的正六边形，边长恰为面对角线长的一半，记牢这个关系可直接写出周长与面积。 13．在棱长为 的正方体 中， 为棱 上靠近 的三等分点，过点 ，， 的平面与棱 交于点 ，则 与 的长度之比为________。 【答案】　（难度：中档偏难） 【解析】以 为原点、，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，，。设平面 ：由 得 ；由 得 ；由 得 ，故 。取 得平面方程 。 棱 上的点为 ，代入得 ，，故 ，，。 检验： 与 平行，截面 为梯形，与逐棱求交的结果吻合（其余各棱均无新的交点）。故 与 的长度之比为 ，故填 。 【易错警示】“靠近 的三等分点”意味着 ，以 为原点时 D 为 、C 为 ，故 E 为 ，勿写成 。求出 后应检验 ，确认交点在棱的内部而非延长线上。 14．已知棱长为 的正方体 的外接球为球 ，过点 ，， 的平面截球 所得截面圆的半径为________。 【答案】　（难度：中档偏难） 【解析】正方体的外接球直径等于体对角线长 ，故 ，球心 O 为正方体中心。以 为原点、，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，，，，过三点的平面方程为 。 球心到平面的距离 ，故截面圆半径 。 检验：三角形 的三边 ，为等边三角形，其外接圆半径为 ，与截面圆半径吻合（截面圆即该三角形的外接圆）。故填 。 【方法点睛】球被平面所截，截面圆就是截面多边形的外接圆。程序：求截面平面方程，求球心到平面的距离 ，再用 。等边三角形外接圆半径等于边长除以 ，可用来快速校验。 四、解答题（本大题共 2 小题，共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点， 为棱 的中点。(1) 指出过点 ，， 的截面的各顶点，并写出确定截面的作图依据；(2) 建立空间直角坐标系，求该截面的面积。 【答案】(1) 截面为四边形 ，其中 为棱 的中点，依据是三点定面与平行线传递；(2) 面积为 　（难度：中档偏难） 【解析】(1) 连接 （在面 内），连接 ；因为 ， 都在底面 内，截面与底面的交线就是直线 ，而 ， 都在直线 上，故截面包含整条棱 ， 是截面的一个顶点。 由 ， 在截面内而 不在截面内，得 平行于截面；截面与面 有公共点 ，故截面与该面的交线过 且平行于 ，即过 作 交 于其中点 ，再连接 （在面 内）。于是截面为四边形 ，作图依据是“三点定面”与“直线平行于截面则交线平行于该直线（平行线传递）”。 (2) 以 为原点、，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，，，。，，故 且 ， 为平行四边形；又 ，邻边垂直，故 为矩形。 ，，故截面面积 。 【方法点睛】叙述作图依据的规范用语：先指出“两点在某表面内，其连线即交线”；再指出“某直线平行于截面，则交线平行于该直线”。本题中 是平行传递的桥梁。坐标法求面积前先用向量判定形状（矩形），可避免余弦定理等繁琐计算。 16．已知正四棱锥 的底面 是边长为 的正方形，侧棱长均为 ，动点 在线段 上。(1) 当 为棱 的中点时，证明： 平面 ；(2) 求过点 ，， 的截面的面积的最小值与最大值。 【答案】(1) 取 中点 O，连接 ，由中位线得 ，且 O 在平面 内，故 平面 ；(2) 最小值为 ，最大值为 　（难度：较难） 【解析】(1) 当 M 为 的中点时，设 与 交于点 O，则 O 为 的中点，也是 的中点，故 O 在直线 上，从而 O 在平面 内。在三角形 中，O，M 分别为 ， 的中点，由中位线定理得 ；又 在平面 内， 不在平面 内，所以 平面 。 (2) 以 O 为原点、平行于 ， 的直线为 ， 轴、 所在直线为 轴建系，则 ，，，。设 （），则 。 截面三角形 的底边 。直线 过原点且方向向量为 ，，其在 方向上的投影为 ，故 M 到直线 的距离的平方为 ，距离为 。 于是面积 。当 （M 为 的中点）时取最小值 ；当 或 （M 与 重合时截面为三角形 ，M 与 重合时截面为三角形 ）时取最大值 。故截面面积的最小值为 ，最大值为 。 【方法点睛】动截面面积最值的通用程序：用参数表示动点坐标，把面积表示为参数的函数再求最值。本题的最小值位置恰是第 11 题中“平行于侧棱”的截面，二者互为印证； 与 的端点截面分别是底面上的三角形 与侧面上的三角形 ，求最值时勿遗漏端点。 专题结语 截面问题是空间想象力的试金石：抓住“三点定面”与“平行线传递”两大程序，配合延长找交点，任何复杂截面都能精确作出；建系后用平面方程逐棱求交点，则形状、面积、距离全部代数化。复盘时优先重温第 1、5、9、14、16 题，体会作图叙述与坐标计算两条腿走路的方法。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 届高三数学一轮复习培优专题 12　空间几何体中的截面与交线问题 （学生版） 满分 100 分　·　建议用时 90 分钟　·　适用：高三一轮复习（中档题及以上） 本卷共 16 题（8 单选、3 多选、3 填空、2 解答），围绕空间几何体中的截面与交线问题命制，均为中档题及以上，建议 90 分钟限时独立完成。完成后对照《详细解析版》逐题复盘，重点体会“三点定面—平行传递—延长找点”的作图程序与坐标法求截面面积、点面距的完整流程。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在正方体 中，，，，，， 分别是棱 ，，，，， 的中点，则过这六个点的截面的形状是 A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．菱形 2．在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点，则过点 ，， 的截面的形状是 A．三角形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 3．在棱长为 的正方体 中，棱 ，，，，， 的中点依次为 ，，，，，，则过这六个点的截面的面积为 A． B． C． D． 4．用平面截正方体 ，若该平面不经过正方体的任何顶点，则截面多边形与正方体的棱的交点个数的最大值为 A． B． C． D． 5．在正方体 中， 为棱 的中点， 为棱 的中点，则过点 ，， 的截面的形状是 A．三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 6．在棱长为 的正方体 中，点 在棱 上移动，则过点 ，， 的截面面积的取值范围是 A． B． C． D． 7．在圆锥曲线的几何来源中，用不过顶点的平面去截圆锥面，若所得交线为双曲线，则该平面与圆锥的轴的位置关系是 A．垂直 B．平行 C．平行于某一条母线 D．与所有母线都相交 8．已知球 的半径为 ，平面 截球 所得截面圆的面积为 ，则球心 到平面 的距离为 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点，过点 ，， 作截面 ，则下列结论正确的是 A． 是等腰三角形 B． 的面积为 C．直线 与平面 平行 D．点 到平面 的距离为 10．在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点， 为棱 的中点，过点 ，， 作截面 ，则下列结论正确的是 A． 是五边形 B． 与棱 的交点到点 的距离为 C． 与棱 无公共点 D．直线 与平面 平行 11．已知正四棱锥 的底面 是边长为 的正方形，侧棱长均为 ，过底面对角线 且与侧棱 平行的平面截该正四棱锥所得的截面为 ， 与棱 交于点 ，则下列结论正确的是 A． 是等腰三角形 B． 与 的比为 C． 的面积为 D． 的周长为 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．在棱长为 的正方体 中，过六条棱 ，，，，， 的中点的截面与正方体表面交线的总长度为________。 13．在棱长为 的正方体 中， 为棱 上靠近 的三等分点，过点 ，， 的平面与棱 交于点 ，则 与 的长度之比为________。 14．已知棱长为 的正方体 的外接球为球 ，过点 ，， 的平面截球 所得截面圆的半径为________。 四、解答题（本大题共 2 小题，共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点， 为棱 的中点。(1) 指出过点 ，， 的截面的各顶点，并写出确定截面的作图依据；(2) 建立空间直角坐标系，求该截面的面积。 16．已知正四棱锥 的底面 是边长为 的正方形，侧棱长均为 ，动点 在线段 上。(1) 当 为棱 的中点时，证明： 平面 ；(2) 求过点 ，， 的截面的面积的最小值与最大值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $