立体几何中的截面问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

立体几何中的截面问题专项训练 截面作图 · 周长面积 · 专项训练 【学生版】 适用：高三一轮复习 / 高二同步提高 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展链接」收纳超出教材本节范围的内容，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签名称与方法名逐字一致，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 这一节最忌「凭想象画图」。每题都先问一句：截面的每一个顶点分别落在哪一条棱上？凡是说不出位置的，一律改用方法 3 的建系求交点，不要硬凑。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 75 分钟完成。作图时每一步都要能说出「这条边落在哪个面内」，说不清就改用建系求交点。 立体几何中的截面问题专项训练 考点定位：人教 A 版必修第二册 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系，8.5 直线、平面平行的判定与性质。本节只做「确定截面 → 判断形状 → 求周长与面积」，不涉及体积、外接球与线面角的计算。 题源：本节 10 题以 2024—2025 学年各地统考中的截面类试题为主线编排，其中例题 2、例题 3、例题 4 分别取材于 2024 年福建福州高一期中、2024 年浙江杭州高一期中、2025 年山东威海高三一模的同型真题并重新设问，练习 6 为 2018 年全国Ⅰ卷（理）第 12 题；其余各题由编者按本节四条方法自编。所有答案与过程均已逐题独立演算核对。 一、知识要点 （一）截面的定义与作图的依据 1. 截面：用一个平面 去截多面体，平面与多面体各面的公共部分围成的平面图形叫做截面。所截的多面体是凸多面体时，截面一定是凸多边形。 2. 截面的每条边都落在多面体的某一个面内，因此它的每个顶点一定在几何体的棱上（也可能恰好多面体的顶点）。这是检验截面画得对不对的第一道关。 3. 作图的依据只有三条：两点确定一条直线；两条平行直线确定一个平面；两条相交直线确定一个平面。全部「作截面」的技巧都是这三条的反复使用。 4. 边数有上限：平面与多面体相交时，每个面最多交出一条线段，所以 面体的截面边数不超过 。正方体只有六个面，它的截面只能是三角形、四边形、五边形或六边形，说「七边形」一定错。 （二）确定截面的三种手法 5. 连线法：同一面内的两个已知点连成线段，这条线段就是截面的一条边，是每一步的起点。两个已知点若分处两个面，不能直接连线，必须先在同一面内找到第三个点。 6. 延长线法：把已画出的一条边所在的直线向两端延长，与相邻棱所在的直线相交；交点既在截面平面内又在相邻面内，连接它就得到下一条边。若在本面内延长得不到可用的交点，就换到相邻面去延长，切勿跨面直接连线。 7. 平行线法：截面若经过直线 ，就把 的方向平移过同一面内的已知点，得到的平行线就是截面与该面的交线，依据是「线面平行则线线平行」。对称的图形（正六边形截面一类）用它最快。 8. 坐标法（向量法）：当已知点在线段上运动、或截面由「与某某平面平行」给出、或者干脆描不准图形时，就建立空间直角坐标系，把截面平面的方程与 12 条棱的参数方程逐条联立求出全部交点坐标，再用向量算边长与面积。它是前三种手法的兜底办法。 （三）截面的计算 9. 判形状：先看边数，再查平行（平行四边形、梯形）、邻边相等（菱形、等腰梯形）、直角（矩形、直角梯形），判定依据要落到「边向量的点积为零」或「两向量平行」上，不靠眼看。 10. 求边长：把每条边放进一个直角三角形里算。正方体中要熟练换算棱长 、面对角线 、体对角线 三者。 11. 求面积：多边形一律分割成若干个三角形，或补成一个大三角形再减去小块；三角形面积用 （两边及其夹角）或求底与高。 12. 面积也可以直接用坐标算：若多边形顶点按顺序为 ，则 ；三角形就是 。 13. 面积最值：先用一个参数 （通常是某条棱上的比）把截面表出，把面积写成关于 的函数，并写明 的取值范围；再用配方法或基本不等式求最值。 在闭区间上取值时，端点值必须一起比较。 14. 常用结论一：正方体棱长为 ，过同一个顶点出发的三条棱的另一端点（如 、、）的平面截得正三角形，边长 ，面积 。 15. 常用结论二：正方体棱长为 ，过六条棱的中点且与一条体对角线垂直的平面截得正六边形，边长 ，面积 ；而整个正方体的截面中，面积的最大值是由两条相对的平行棱确定的矩形，最大面积为 。 二、方法提炼 方法1　连线—延长—封闭三步法：先在同一个面内把能直接连的点连起来；再把这条边延长到与相邻棱所在的直线相交得到新点；把新点与它所在面内的已知点相连，重复到图形封闭。每连一条新边都要回答一句「这条边落在哪个面内」。 方法2　平行线法：见到「过某点作与某某平行的截面」或一串对称的点，不急着延长，先作平行线：过已知点作已知直线的平行线，落在当前面内的那一段就是截面与该面的交线；写过程时把依据写成「线面平行的性质定理」。 方法3　坐标法：建系 → 求法向量 → 写平面方程 → 与各棱的参数方程联立求交点 → 用两点距离求边长、用叉积求面积。适用于动点、平行条件、以及一切画不准的情形。 方法4　面积函数与最值：把面积写成参数 的二次函数或可用基本不等式的式子，先锁定 的取值范围（动点在线段上就是闭区间），再比较顶点值与两个端点值。另外记住一个现成的上界：棱长为 的正方体，任何截面的面积都不超过 。 三、易错提醒 ◆ 跨面连线：截面的一条边必须整个落在几何体的某一个面内，把分处两个面的点直接连起来，是本节最典型的错误。 ◆ 认为正方体的截面只能是三角形或四边形：耐心延长，边数可以到六边形；反过来写「七边形」也一定错——平面最多只能和六个面各交出一条线段。 ◆ 忽略参数的范围：动点在线段上时 ，忘了范围就会把线段延长线上的点也算成可行解，最值随之算错。 ◆ 凭「边数越多面积越大」下结论：与同一个方向平行的截面里，面积最大的未必是边数最多的那一个，一定要按 或梯形的公式算出来再比。 ◆ 混淆面对角线与棱：正方体中面对角线是 而不是棱长 ，体对角线是 ；求三角形的高时挑错了母线段，结果就会差一个 。 ◆ 面积公式漏掉 ：分割成三角形时最容易这一步出错；用梯形面积公式时要先确认哪两条边真的平行，不能只看「长得像」。 ◆ 判定矩形、菱形时只凭图形「看着周正」：要用边的平方关系（勾股）或向量点积检验，等腰梯形也必须验证两条腰相等，而不是认为对称就一定等腰。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 连线—延长—封闭三步法 题注：题注：三点分处三个面，底面内已经有一条现成的边；要补齐中间的两个顶点，只能把这条边延长到与棱的延长线相交。这是画出五边形截面的标准手法。 正方体 的棱长为 2，、 分别是棱 、 的中点， 是棱 的中点。 （1）指出过 、、 三点的平面截正方体所得截面的顶点位置与形状； （2）求该截面的周长。 【例 2】 方法2 · 平行线法 题注：题注：三个已知点沿着棱依次排开，图形高度对称。先判断形状，再算面积。 （2024·福建福州·高一期中·改编）正方体 的棱长为 2，、、 分别是棱 、、 的中点，则过 、、 三点的平面截正方体所得截面的面积为（　　） A．　　B． C．　　D． 【例 3】 方法3 · 坐标法求面积 题注：题注：这里的位置不是中点也不是三等分点，靠作图说不清，直接建系求交点最稳；得到五边形后用对角线切成三个三角形算面积。 （2024·浙江杭州·高一期中·改编）正方体 的棱长为 6， 为棱 的中点， 为棱 的中点，则过点 、、 的平面截正方体所得截面的面积为 ______。 【例 4】 方法4 · 面积的最值 题注：题注：动点在线段上，先把它最特殊的位置（端点、中点）算出来，再用一个现成的上界直接判定它就是最大值。 （2025·山东威海·高三一模·改编）正方体 的棱长为 2，、 分别是棱 、 的中点，点 在线段 上运动（含端点），则过 、、 三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为（　　） A．　　B． C．　　D． 五、巩固练习 1. 方法1 · 三步法（判断形状） 正方体 的棱长为 2，、 分别是棱 、 的中点，则过 、、 三点的平面截正方体所得截面是（　　） A．直角三角形　　B．直角梯形 C．等腰梯形　　　D．平行四边形 2. 方法2 · 平行线法 正方体 的棱长为 2，过棱 的中点 作平面 ，使 平面 ，则 截正方体所得截面的周长为（　　） A．　　B． C．　　D． 3. 方法3 · 坐标法（非正方体） 正三棱柱 的底面边长为 2，侧棱长为 3，则过点 、、 的平面截该三棱柱所得截面的面积为（　　） A．　　B． C．　　D． 4. 方法4 · 面积的取值范围 正方体 的棱长为 2，点 在线段 上运动（含端点），过 作平面 使 平面 ，记 截正方体所得截面的面积为 ，则 的取值范围是（　　） A．　　B． C．　　D． 5. 方法1 + 方法2 · 综合判断（多选） （多选）在棱长为 的正方体 中，用平面 去截它，下列结论正确的是（　　） A． 截得的截面可以是正三角形 B． 截得的截面可以是正六边形 C．存在这样的 ，使得截面是直角三角形 D． 截得的截面面积的最大值为 6. 方法4 · 面积的最值（高考真题） （2018·全国Ⅰ卷·理 第 12 题）正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（　　） A．　　B． C．　　D． 六、拓展链接（超出人教A版教材本节范围） 以下 4 条超出教材本节课堂要求的内容，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 1. 「所有截面里面积最大的是 」：这个结论 2024 年浙江温州的模拟题直接考过。它的证法是把截面正交投影到某个面上——任何截面的投影都不超过该面的外接矩形，再估计投影与原面积的比值，取等条件是截面经过两条相对的平行棱。 2. 截面周长的最大值：与面积不同，周长的极值往往出现在「切过最多条棱」的位置。有兴趣的同学可以对棱长为 1 的正方体，在 这一族里把周长写成 的函数，看看最大周长与最大面积是否由同一个平面取得。 3. 圆锥曲线的来源：用平面去截圆柱，斜面得到的交线是椭圆，截圆锥可以得到椭圆、抛物线、双曲线。这与多面体截面的区别在于：曲面的交线是曲线，需要先用「截线的轴」把空间问题压成平面问题（丹迪林双球）才能算，是选择性必修的内容。 4. 截面与体积：知道截面面积随某个参数的变化规律后，可以用「祖暅原理」把两个几何体的体积比转化为截面面积之比；下一节讲棱柱、棱锥体积时，这条思路还会反复出现。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 立体几何中的截面问题专项训练 截面作图 · 周长面积 · 专项训练 【教师版】 适用：高三一轮复习 / 高二同步提高 使用说明 • 本册专项训练按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展链接」收纳超出教材本节范围的内容，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号（第 1—15 条）；例题与练习的标签名称与方法名逐字一致，做题时可以按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 这一节最忌「凭想象画图」。每题都先问一句：截面的每一个顶点分别落在哪一条棱上？凡是说不出位置的，一律改用方法 3 的建系求交点，不要硬凑。 • 例题与练习都请先自己动手做一遍再对答案；本册 10 题建议限时 75 分钟完成。作图时每一步都要能说出「这条边落在哪个面内」，说不清就改用建系求交点。 立体几何中的截面问题专项训练 考点定位：人教 A 版必修第二册 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系，8.5 直线、平面平行的判定与性质。本节只做「确定截面 → 判断形状 → 求周长与面积」，不涉及体积、外接球与线面角的计算。 题源：本节 10 题以 2024—2025 学年各地统考中的截面类试题为主线编排，其中例题 2、例题 3、例题 4 分别取材于 2024 年福建福州高一期中、2024 年浙江杭州高一期中、2025 年山东威海高三一模的同型真题并重新设问，练习 6 为 2018 年全国Ⅰ卷（理）第 12 题；其余各题由编者按本节四条方法自编。所有答案与过程均已逐题独立演算核对。 一、知识要点 （一）截面的定义与作图的依据 1. 截面：用一个平面 去截多面体，平面与多面体各面的公共部分围成的平面图形叫做截面。所截的多面体是凸多面体时，截面一定是凸多边形。 2. 截面的每条边都落在多面体的某一个面内，因此它的每个顶点一定在几何体的棱上（也可能恰好多面体的顶点）。这是检验截面画得对不对的第一道关。 3. 作图的依据只有三条：两点确定一条直线；两条平行直线确定一个平面；两条相交直线确定一个平面。全部「作截面」的技巧都是这三条的反复使用。 4. 边数有上限：平面与多面体相交时，每个面最多交出一条线段，所以 面体的截面边数不超过 。正方体只有六个面，它的截面只能是三角形、四边形、五边形或六边形，说「七边形」一定错。 （二）确定截面的三种手法 5. 连线法：同一面内的两个已知点连成线段，这条线段就是截面的一条边，是每一步的起点。两个已知点若分处两个面，不能直接连线，必须先在同一面内找到第三个点。 6. 延长线法：把已画出的一条边所在的直线向两端延长，与相邻棱所在的直线相交；交点既在截面平面内又在相邻面内，连接它就得到下一条边。若在本面内延长得不到可用的交点，就换到相邻面去延长，切勿跨面直接连线。 7. 平行线法：截面若经过直线 ，就把 的方向平移过同一面内的已知点，得到的平行线就是截面与该面的交线，依据是「线面平行则线线平行」。对称的图形（正六边形截面一类）用它最快。 8. 坐标法（向量法）：当已知点在线段上运动、或截面由「与某某平面平行」给出、或者干脆描不准图形时，就建立空间直角坐标系，把截面平面的方程与 12 条棱的参数方程逐条联立求出全部交点坐标，再用向量算边长与面积。它是前三种手法的兜底办法。 （三）截面的计算 9. 判形状：先看边数，再查平行（平行四边形、梯形）、邻边相等（菱形、等腰梯形）、直角（矩形、直角梯形），判定依据要落到「边向量的点积为零」或「两向量平行」上，不靠眼看。 10. 求边长：把每条边放进一个直角三角形里算。正方体中要熟练换算棱长 、面对角线 、体对角线 三者。 11. 求面积：多边形一律分割成若干个三角形，或补成一个大三角形再减去小块；三角形面积用 （两边及其夹角）或求底与高。 12. 面积也可以直接用坐标算：若多边形顶点按顺序为 ，则 ；三角形就是 。 13. 面积最值：先用一个参数 （通常是某条棱上的比）把截面表出，把面积写成关于 的函数，并写明 的取值范围；再用配方法或基本不等式求最值。 在闭区间上取值时，端点值必须一起比较。 14. 常用结论一：正方体棱长为 ，过同一个顶点出发的三条棱的另一端点（如 、、）的平面截得正三角形，边长 ，面积 。 15. 常用结论二：正方体棱长为 ，过六条棱的中点且与一条体对角线垂直的平面截得正六边形，边长 ，面积 ；而整个正方体的截面中，面积的最大值是由两条相对的平行棱确定的矩形，最大面积为 。 二、方法提炼 方法1　连线—延长—封闭三步法：先在同一个面内把能直接连的点连起来；再把这条边延长到与相邻棱所在的直线相交得到新点；把新点与它所在面内的已知点相连，重复到图形封闭。每连一条新边都要回答一句「这条边落在哪个面内」。 方法2　平行线法：见到「过某点作与某某平行的截面」或一串对称的点，不急着延长，先作平行线：过已知点作已知直线的平行线，落在当前面内的那一段就是截面与该面的交线；写过程时把依据写成「线面平行的性质定理」。 方法3　坐标法：建系 → 求法向量 → 写平面方程 → 与各棱的参数方程联立求交点 → 用两点距离求边长、用叉积求面积。适用于动点、平行条件、以及一切画不准的情形。 方法4　面积函数与最值：把面积写成参数 的二次函数或可用基本不等式的式子，先锁定 的取值范围（动点在线段上就是闭区间），再比较顶点值与两个端点值。另外记住一个现成的上界：棱长为 的正方体，任何截面的面积都不超过 。 三、易错提醒 ◆ 跨面连线：截面的一条边必须整个落在几何体的某一个面内，把分处两个面的点直接连起来，是本节最典型的错误。 ◆ 认为正方体的截面只能是三角形或四边形：耐心延长，边数可以到六边形；反过来写「七边形」也一定错——平面最多只能和六个面各交出一条线段。 ◆ 忽略参数的范围：动点在线段上时 ，忘了范围就会把线段延长线上的点也算成可行解，最值随之算错。 ◆ 凭「边数越多面积越大」下结论：与同一个方向平行的截面里，面积最大的未必是边数最多的那一个，一定要按 或梯形的公式算出来再比。 ◆ 混淆面对角线与棱：正方体中面对角线是 而不是棱长 ，体对角线是 ；求三角形的高时挑错了母线段，结果就会差一个 。 ◆ 面积公式漏掉 ：分割成三角形时最容易这一步出错；用梯形面积公式时要先确认哪两条边真的平行，不能只看「长得像」。 ◆ 判定矩形、菱形时只凭图形「看着周正」：要用边的平方关系（勾股）或向量点积检验，等腰梯形也必须验证两条腰相等，而不是认为对称就一定等腰。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 连线—延长—封闭三步法 题注：三点分处三个面，底面内已经有一条现成的边；要补齐中间的两个顶点，只能把这条边延长到与棱的延长线相交。这是画出五边形截面的标准手法。 正方体 的棱长为 2，、 分别是棱 、 的中点， 是棱 的中点。 （1）指出过 、、 三点的平面截正方体所得截面的顶点位置与形状； （2）求该截面的周长。 【答案】（1）五边形，五个顶点分别在棱 、、、、 上，其中后两个点 、 满足 ；（2） 【解析】以 为原点，射线 、、 分别为 、、 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ，，，，；，，。 设所求平面为 。，，故 的法向量 ， 的方程为 。 把十二条棱的参数方程逐条代入 ： 与棱 、 交于 、，与棱 交于 ，与棱 交于 ，与棱 交于 ；其余七条棱上的交点都落在线段之外。 所以截面是五边形，按顺序为 ：五条边分别落在面 、面 、面 、面 、面 内，每条边都真正落在某个面上，检验通过。 于是 ，，，周长为 。 【点拨】不用坐标也能画出来，而且更锻炼作图能力：在底面内连 并把 向 外延长，与棱 的延长线交于点 （，恰为棱长的一半）； 与 同在面 内，连 与棱 交于 ，由相似得 。另一侧同法得到 。一句话记住：本面内延长没有路，就延长到相邻棱所在的直线上去找点，绝不在空中连一条跨面的线。 【例 2】 方法2 · 平行线法 题注：三个已知点沿着棱依次排开，图形高度对称。先判断形状，再算面积。 （2024·福建福州·高一期中·改编）正方体 的棱长为 2，、、 分别是棱 、、 的中点，则过 、、 三点的平面截正方体所得截面的面积为（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】D 【解析】建系同例 1，则 ，，。，，法向量可取 ，故平面方程为 。 逐棱求交，可得六个交点分别是棱 、、、、、 的中点：，，，，，，它们都满足 ；其余六条棱上的交点落在线段之外，故截面是六边形 。 由两点距离，，六边相等；再算相邻两边的夹角，例如 ，，，故 ，每个内角都是 120°，所以截面是正六边形。 正六边形面积等于六个边长为 的正三角形面积之和：，故选 D。 【点拨】本例的手法叫平行线法：在三角形 中，、 是两边中点，故 ；在三角形 中，、 是两边中点，故 。有了这两条方向，就把它们平移到相对的面里去——由 、，在其余相邻面上按同样的平行关系补齐，自然出现六个中点。凡是见到「相邻棱上连续取点」的题目，都先查是不是中点的一半一半。 【例 3】 方法3 · 坐标法求面积 题注：这里的位置不是中点也不是三等分点，靠作图说不清，直接建系求交点最稳；得到五边形后用对角线切成三个三角形算面积。 （2024·浙江杭州·高一期中·改编）正方体 的棱长为 6， 为棱 的中点， 为棱 的中点，则过点 、、 的平面截正方体所得截面的面积为 ______。 【答案】 【解析】以 为原点，、、 为 、、 轴建系。，，。 ，，取法向量，故平面方程为（代入 得 ）。 逐棱求交，得到五个顶点：、（棱 上，）、、、（棱 上，）；按顺序为 ，五条边分别落在五个不同的面内，故截面是五边形。 把五边形沿对角线 、 切成三个三角形，用 计算：；；。 合计 。 【点拨】这一题的答数不好看，正说明它不适合「拼凑巧方法」——遇到既不是中点、也不是三等分点的位置，或者截面顶点超过四个、以及大量根式混杂的情形，一律交给坐标法：建系 → 法向量 → 平面方程 → 逐棱求交点 → 叉积求面积，五步都一样，写过程既稳又好检查。 【例 4】 方法4 · 面积的最值 题注：动点在线段上，先把它最特殊的位置（端点、中点）算出来，再用一个现成的上界直接判定它就是最大值。 （2025·山东威海·高三一模·改编）正方体 的棱长为 2，、 分别是棱 、 的中点，点 在线段 上运动（含端点），则过 、、 三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】C 【解析】建系同例 1。，；设 ，其中 （ 时 ）。 ，，取法向量，故平面方程为 。 先取端点 ：此时平面为 ，它经过 、、、 四点，截面即矩形 ，面积 。 再说明它已经到顶：棱长为 的正方体，任何截面的面积都不超过由两条相对的平行棱确定的矩形的面积 （知识要点第 15 条）。本题 ，上界正是 ，而上一步达到的截面恰好取到这个值。 因此截面面积的最大值为 ，故选 C。 【点拨】求「最大值」不一定非要先写出面积函数。本题的通行解法是先把位置特殊的点（端点、中点）算出来，再拿一个可靠的结论去判定「不可能更大」——截面面积的上界 就是这样的结论，它是本节的常备工具。反过来，如果求的是最小值，端点值就只能作为候选之一，必须把函数表达式写出来才能定，不能套同一套话。 五、巩固练习 1. 方法1 · 三步法（判断形状） 正方体 的棱长为 2，、 分别是棱 、 的中点，则过 、、 三点的平面截正方体所得截面是（　　） A．直角三角形　　B．直角梯形 C．等腰梯形　　　D．平行四边形 【答案】C（其面积为 ） 【解析】建系：，，。，，法向量，平面方程为 。 逐棱求交，得四个顶点：、、、，按顺序为 ，四条边分别落在四个不同的面内。 因 ，，故 且 ，两组对边中只有这一组平行，所以是梯形；又 ，，两腰相等，故为等腰梯形，选 C。 补充算出面积：，，高 ，。 【点拨】判定梯形的关键只有两步：证一组对边平行（这里用 ），再证另一组对边不平行。判定「等腰」必须算两条腰的长度，判定「直角」则必须算出高并与腰比较——本题高为 、腰为 ，两者不等，所以不是直角梯形，选项 B 排除得很有根据。 2. 方法2 · 平行线法 正方体 的棱长为 2，过棱 的中点 作平面 ，使 平面 ，则 截正方体所得截面的周长为（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】C 【解析】平面 的三个点满足 ，故它的法向量为 ，即体对角线 的方向。由 平面 知 的法向量也是 。 是棱 的中点，，故 的方程为 。 逐棱求交，六个交点分别是棱 、、、、、 的中点（例如棱 上 满足 ），由对称性知它们构成正六边形，边长为两中点之间的距离 。 周长为 ，故选 C。 【点拨】「作一个平面与已知平面平行」这类题，第一步永远是找法向量：平面 （以及 ）垂直于体对角线 ，于是所有与它平行的平面都可以写成 。这一族平行平面里， 时截面是正六边形（面积最大）， 靠近两端时截面退化为三角形，这是本节最值得记住的一整族图形。 3. 方法3 · 坐标法（非正方体） 正三棱柱 的底面边长为 2，侧棱长为 3，则过点 、、 的平面截该三棱柱所得截面的面积为（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】B 【解析】取 为原点， 为 轴，底面内垂直于 的方向为 轴， 为 轴。正三角形边长为 2，故 ，，，。 三点 、、 中，、 在下底面内， 在上底面内；平面 与三个侧面分别交于 （在底面 内）、（在侧面 内）、（在侧面 内），与上底面只有一个公共点 ，故截面就是三角形 。 ，，，所以 是腰长为 、底边为 2 的等腰三角形，底边上的高 。 ，故选 B。 【点拨】正方体的截面往往是平行四边形或对称的六边形，而棱柱、棱锥的截面经常退化成三角形：判断方法不变——数一数平面与哪几个面真正交出了线段。本例中平面只从三个侧面「割过」，并且其中一个面（上底面）只贡献一个点，边数就是 3。算面积时先把三条边长都算出来，等腰三角形直接由对称性取底边上的高，比套海伦公式省事得多。 4. 方法4 · 面积的取值范围 正方体 的棱长为 2，点 在线段 上运动（含端点），过 作平面 使 平面 ，记 截正方体所得截面的面积为 ，则 的取值范围是（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】A 【解析】同练习 2 的分析， 的方程可写成 ，而 ，由 得 。 当 时，平面经过 ，它把靠近顶点 的那个角切下来，与过 的三个面分别交出三条线段，截面是三角形 ，边长为面对角线 ，面积 。 当 由 4 增大到 6 时，平面平行地向顶点 推移，截面始终是与 相似的三角形，相似比为 （ 时比值为 0），故 ，。 这是关于 的减函数： 时 最大， 时 最小，所以 ，故选 A。 【点拨】这类题最容易错两点：一是把端点 漏掉，忘了这时平面只与正方体交于一个点 ，退化情形下面积为 0 也要写进区间；二是把相似比写反。写面积函数时先明确「谁是整体、谁是缩小了的那一份」，最好像上面那样把 的两个端点代进去各算一次，验证方向与大小。 5. 方法1 + 方法2 · 综合判断（多选） （多选）在棱长为 的正方体 中，用平面 去截它，下列结论正确的是（　　） A． 截得的截面可以是正三角形 B． 截得的截面可以是正六边形 C．存在这样的 ，使得截面是直角三角形 D． 截得的截面面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】A 正确：如 过 、、，三边长都是面对角线 ，截面是正三角形（知识要点第 14 条）。 B 正确：如 过六条棱 、、、、、 的中点，截面是边长为 的正六边形（例题 2）。 C 错误：若截面是三角形，它的三个顶点必落在同一个顶点出发的三条棱上（设它们到该顶点的距离分别为 ），此时三个内角的余弦分别为、、，都大于 0，故三角形截面一定是锐角三角形，不可能是直角三角形。 D 正确：棱长为 的正方体的截面中，面积最大的是由两条相对的平行棱确定的矩形（如 ），长宽分别为 与 ，面积 （知识要点第 15 条）。 【点拨】C 项是本题的题眼。很多同学觉得「斜着切一刀应该能切出直角三角形」，但只要抓住「三角形截面的三个顶点共顶点」这一条，配合余弦（或向量点积）的正负，就能判定一定是锐角三角形。记住这个结论，以后再遇到类似的判断可以直接用。 6. 方法4 · 面积的最值（高考真题） （2018·全国Ⅰ卷·理 第 12 题）正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】A 【解析】正方体的棱分三组，每组四条互相平行。互相平行的直线与同一个平面所成的角相等，因此题设等价于「 与三条方向分别平行于三条棱的直线所成的角都相等」。 设 的单位法向量为 。直线与平面所成角 满足 ，于是三条棱方向 上的正弦值分别为 ，它们相等即 ，故 （或其反向），也就是 垂直于体对角线。 于是 的方程可写成 ，。由对称性， 与 对应的截面全等，故只需讨论 。 当 时， 只与从顶点出发的三条棱相交，三个交点是 、、，截面是边长为 的正三角形，，它随 增大而增大，这一段的最大值是 （在 处）。 当 时，把截面六边形三条较长的边所在的直线延长，两两相交于 、、，构成边长为 的大正三角形；六边形恰好等于这个大正三角形减去三个角上的小正三角形，而小正三角形的边长是 （例如顶点为 、、 的那一个）。 于是 。 令 ，它在 上单调递增，故 在 处取最大值，此时 ，，它大于第一段的 ，故选 A。 【点拨】本题有两处关键转化： 「每条棱与平面所成角相等」化归为「法向量的三个分量绝对值相等」； 六边形阶段的面积用「正六边形减去三个角」来算，比直接求六边形边长省事。值得注意的是，同样是这条体对角线方向的平行平面族，面积最大的正是正六边形而不是靠近顶点的正三角形——这正是易错提醒第 4 条所说的「边数多不一定面积大」，不过本题的结论恰好反过来：在这个族里，最大值的确落在边数最多的图形上。 六、拓展链接（超出人教A版教材本节范围） 以下 4 条超出教材本节课堂要求的内容，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 1. 「所有截面里面积最大的是 」：这个结论 2024 年浙江温州的模拟题直接考过。它的证法是把截面正交投影到某个面上——任何截面的投影都不超过该面的外接矩形，再估计投影与原面积的比值，取等条件是截面经过两条相对的平行棱。 2. 截面周长的最大值：与面积不同，周长的极值往往出现在「切过最多条棱」的位置。有兴趣的同学可以对棱长为 1 的正方体，在 这一族里把周长写成 的函数，看看最大周长与最大面积是否由同一个平面取得。 3. 圆锥曲线的来源：用平面去截圆柱，斜面得到的交线是椭圆，截圆锥可以得到椭圆、抛物线、双曲线。这与多面体截面的区别在于：曲面的交线是曲线，需要先用「截线的轴」把空间问题压成平面问题（丹迪林双球）才能算，是选择性必修的内容。 4. 截面与体积：知道截面面积随某个参数的变化规律后，可以用「祖暅原理」把两个几何体的体积比转化为截面面积之比；下一节讲棱柱、棱锥体积时，这条思路还会反复出现。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $