空间几何体中的截面和轨迹问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

空间几何体中的截面和轨迹问题 一、知识点梳理 （一）作截面的三条常用路径 用一个平面去截几何体，平面与几何体表面的交线围成的图形叫做截面。作截面的第一条路径是「直接连接法」：若截面与几何体的同一个面有两个公共点，连接这两点所得的线段就是截面与该面的交线，把各面的交线依次连起来即得截面。这一条依据的是教材的基本事实：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。 第二条路径是「平行线法」。若截面与几何体的两个平行面相交，由「两个平行平面被第三个平面所截，所得两条交线互相平行」，可以由一条交线直接作出另一条交线；若截面上有一条直线与某个面平行，则由线面平行的性质，过这条直线的平面与该面的交线必与它平行。正方体、长方体里大量平行面，是平行线法最常用的场所。 第三条路径是「延长线法」。当截面上已有的两个点虽在同一个面内，但连出的线段找不到与棱的交点时，先把这条线延长，让它与几何体的棱所在的直线相交，交点便是截面边界的延伸点，再把这些点连回截面，逐步补全。三条路径常常混用：先用直接法得一条边，再用平行线法或延长线法补齐其余各边。 （二）截面的形状判断与面积计算 正方体的截面形状取决于截面所过的位置：截正方体所得的多边形，边数最少是三角形（截去一角），最多是六边形；若截面过正方体的中心，则截面多边形关于中心对称，故不可能是三角形或五边形，但可以是正六边形。判断形状的通用做法是：把截面与几何体各面的交线一条条找出来，数出边数，再看对边是否平行、边长是否相等。 求截面面积有两条常用思路。一是「拆成三角形」：把截面多边形用对角线拆成若干三角形，逐个解三角形求面积再相加；二是「借相似比」：若截面多边形与某个已知多边形相似，面积之比等于相似比的平方，由已知面积按比例求出。截面是正多边形时（如正六边形），直接套用正多边形的面积公式最省事。 计算时要注意：截面各边往往落在几何体的不同面上，求边长时必须把每条边放进它所在的直角三角形，用勾股定理或余弦定理求出；若截面与某个面平行，可利用「平行截面的对应边成比例」把长度转到底面上。凡题干给出的是棱上的比例（如 ），一定要先把它翻译成具体的长度。 （三）动点轨迹的形状判定 立体几何中的轨迹问题，本质是把空间条件「翻译」成平面条件再判断形状。最常见的是「距离型」：若动点到某定点的距离为定值，轨迹在以该点为球心的球面上；若动点被限制在某个平面（或某个面）内，则轨迹是该球面与这个面的交线——通常是一段圆弧。判断圆弧要抓住三件事：圆心、半径、圆心角。 第二类是「平行型」：若动点满足「 平面 」，则过 作与 平行的平面 ，动点所在的平面与 的交线就是轨迹。这里的关键是先把「线面平行」转化为「面面平行」：在平面 内找出两条相交直线都与 平行，由面面平行的判定即得 ，再用面面平行的性质交出轨迹所在直线。 第三类是「垂直型」：若动点 满足「」，通常要找一个与 垂直的平面，轨迹就是动点所在平面与该垂面的交线。做法与平行型对称：先在几何体中找出与 垂直的直线，再用线面垂直的判定把 与某个平面垂直这件事证出来，最后让动点所在的平面去截这个垂面，交出的线段（或几段）即为轨迹。 （四）轨迹长度与轨迹图形面积的求法 轨迹是线段时，长度就是两交点间的距离，用勾股定理直接求。轨迹是圆弧时，先把弧所在的面单独取出来看成一个平面图形，确定圆心、半径与圆心角（用解直角三角形得到），再用弧长公式 （或 ， 为圆心角的弧度数）计算。动点在多面体的多个面上运动时，要把各面上的弧长或线段长分别求出再相加。 轨迹围成的图形是扇形时，面积用 （ 为弧长）或 ；是三角形、正多边形时，用平面几何的面积公式；是圆锥侧面的一部分时，用侧面积公式 按份数折算。凡轨迹落在几何体的表面上，都要先确认这一段落在该面内的哪一部分，再决定它是否被棱截断。 最后一类要特别留神：动点被限制在「几何体的整个表面」上运动时，要把各个面分别讨论，不要漏面也不要重复。判定某个面上有没有轨迹，常用的办法是比较定点到该面各顶点的距离与给定距离的大小，若给定距离小于定点到该面最近顶点的距离，则该面上无轨迹；反之则用勾股定理算出交线在该面内的半径，进而得弧。 自查：作截面时先问「这条交线在哪个面上」；判断轨迹时先问「动点被限制在哪个平面内」；算圆弧前先把圆心、半径、圆心角三件事分别定出来。 二、典型例题 例1　平行线法作截面：过棱上的三点作矩形截面 如图，在正方体 中， 为 的中点，画出过 、、 三点的截面，若 ，求所画截面的面积。 ①先连出一条现成的交线　、 都在上底面 内，所以 就是截面与上底面的交线。、 都在侧面 内吗？不是—— 在棱 上，要与 连线，须先在 所在的面内找到截面与它的交线。 ②用平行线找出另一条交线　平面 与平面 平行，而截面与前者已交出 ，所以它与后者的交线必与 平行。过 作 的平行线交 于 ， 必为 的中点，连 、，截面就是四边形 。 ③判断形状并求面积　因为 平面 ，而 在这个平面内，所以 ，截面是矩形。，，所以截面面积 。 注：平行线法是作截面最省力的一招：只要能找到两个平行的面，就能把一条已知交线「搬」到另一面上。本题中 与 是正方体的一对平行面，交线 一旦确定，另一条 便与之平行。 【答案】。 连接 ，它是截面与上底面 的交线。 因为平面 平面 ，截面与这两个面都相交，所以两条交线平行。过 作 的平行线，交 于点 ，由 是 的中点知 是 的中点。 连接 、，则四边形 就是所求截面。 因为 平面 ， 在平面 内，所以 ，即四边形 是矩形。 因为 ，所以 ；又 ，在 中 。 所以截面 的面积 。 变式1　延长线法作截面：补出正六边形 如图，在正方体 中，、、 分别为 、、 的中点，若 ，画出过 、、 的截面，并求所得截面图形的周长。 ①先在同一个面内连出交线　、 都在底面 内，连接 ，它就是截面与底面的交线。但 与 虽然在侧面 内，连线 还需要先确认方向，用延长线法更快。 ②延长 找到交点，再逐面补线　延长 交 的延长线于 ，交 的延长线于 。、 都在平面 内，连接 并延长，交 于 、交 的延长线于 ；、 都在平面 内，连接 ，交 于 、交 于 。连接 、、、，得截面六边形 。 ③判断是正六边形并算周长　由正方体的对称性，、、、、、 恰好是六条棱的中点，截面 是正六边形，边长 ，所以周长 。 注：延长线法的要义是「先延长、后连接」：把已有的交线延长到几何体的棱上，新得的交点就打开了相邻面上的作图通道。本题连出的六边形每边都是面对角线的一半，边长自然等于面对角线的一半，即 。 【答案】。 连接 ，它是截面与底面 的交线。延长 与 的延长线交于点 ，与 的延长线交于点 。 因为 、 都在平面 内，连接 并延长，交 于点 ，交 的延长线于点 。 因为 、 都在平面 内，连接 ，交 于点 ，交 于点 。 连接 、、、，则六边形 就是过 、、 三点的截面。 由作图过程知 、、、、、 分别是 、、、、、 的中点，所以六边形 是正六边形。 因为 ，所以正方体的面对角线长为 ，正六边形的边长 恰好等于面对角线的一半，即 。 所以截面 的周长为 。 例2　截面周长：比例条件先翻译成具体长度 如图，在棱长为 的正方体 中， 在棱 上且 ， 在棱 上且 ，过点 、、 的平面截该正方体所得截面的周长为 A． B． C． D． ①先把比例条件换成具体长度　棱长为 ， 且 ，所以 ，；同理 ，。这一步不做，后面的边长都无法计算。 ②把截面补全成五边形　点 、、 分别在下底面顶点、侧棱 、侧棱 上。取 的中点 、 的中点 ，连接 、、，则五边形 就是过 、、 三点的截面。再用平行关系分别验证 、，即可确认五点共面。 ③逐条边求长并相加　，，，所以截面周长 。 注：截面题的第一动作永远是「把比例读成长度」。 只是说 把棱分成 ，真正的长度要靠棱长算出来。截面五边形的五条边两两相等（、），只需求出三条不同的长度即可。 【答案】B。 因为棱长为 ，且 ，所以 ，；同理 ，。 取 的中点 、 的中点 ，连接 、、。 因为 、 分别是 、 的中点，所以将 、 平移到平面 中，可证 ；同理 ，所以 、、、、 五点共面，五边形 即为所求截面。 在 中，，，；在 中，，，。 因为 是 的中点， 到上底面的距离为 ，，所以 ；同理 。 因为 、 分别是 、 的中点，所以 。 所以截面周长为 。故选 B。 变式2　截面周长：与已知平面垂直的截面 已知直三棱柱 的侧棱长为 ，，，过 、 的中点 、 作平面 与平面 垂直，则所得截面周长为 A． B． C． D． ①先找出与平面 垂直的直线　取 的中点 。因为 ，所以 ；又 平面 ，所以 。由线面垂直的判定， 平面 。于是只要让截面过一条与 平行的直线，截面就与平面 垂直。 ②用平行线把截面补全　取 的中点 ，则 ，所以 平面 ，截面 与平面 垂直。其中 是 的中点（ 为 的中点）， 由 延长后与 的延长线相交确定。 ③逐条边求长相加　（ 是等腰直角三角形的斜边中线，）；；；。所以周长 。 注：「截面与某平面垂直」这类条件，标准做法是先找到一条已知的垂线（本题是 ），再让截面过一条与它平行的直线。等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是本题化简的关键。 【答案】B。 取 的中点 ，连接 。因为 ，所以 。 因为该棱柱为直三棱柱， 平面 ， 在平面 内，所以 。 因为 ，、 在平面 内，所以 平面 。 取 的中点 ，则 是 的中位线，，所以 平面 。又 在截面内，所以该截面与平面 垂直，即为所求平面 。 因为 ，取 的中点 ，则 ，，截面为五边形 （ 在 上）。 因为 是等腰直角三角形，，所以 ，，；同理 。 因为 是等腰直角三角形，，、 在底面内的投影相距 ，高度差为 ，所以 ； ，。 所以截面周长为 。故选 B。 例3　截面形状的判断：看交线落在哪些棱上 在正方体 中，、 分别是棱 和 上的点，，，那么正方体中过点 、、 的截面图形是 A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 ①先确定截面与已知面的交线　 在棱 上， 是顶点， 在棱 上。把 延长与 的延长线相交，把 延长与 的延长线相交，这样就把截面在三对平行面上的交线逐一定位。 ②逐面补出交线，数出边数　设 与 的延长线交于 ， 与 的延长线交于 ，连接 ，分别交 于 、交 于 。连接 、，则截面为五边形 。 ③核对边数与各边所在的面　 在侧面 内， 在侧面 内，、 分别在下底面的两条棱上相交而得， 在底面 内，共五条边，所以截面是五边形。 注：判断截面形状不需要算出具体长度，只要把截面与几何体各个面的交线逐条找出来，数出边数即可。本题的 、 都在侧棱上，延长线恰好把截面延伸到下底面的两条棱上，于是多出两条边。 【答案】C。 设直线 与直线 相交于点 ，直线 与直线 相交于点 。 因为 、 都在底面 内，连接 ，设 与 交于点 ，与 交于点 。 连接 、，则五边形 就是过点 、、 的截面。 因为 在棱 上，， 在棱 上，，截面与侧面 、、底面 分别相交，共截出五条边，所以截面图形是五边形。故选 C。 变式3　等体积分截：截面形状的对称性判断 （多选）正方体 的棱长为 ，用一个平面 截这个正方体，把该正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确的是 A．这两部分的表面积也相等 B．截面可以是三角形 C．截面可以是五边形 D．截面可以是正六边形 ①先由「体积相等」锁定截面的位置　平面 把正方体分成体积相等的两部分，由于正方体关于中心对称，这样的平面一定过正方体的中心。这是本题全部结论的出发点。 ②由中心对称判断形状的可能与不可能　过中心的截面多边形一定关于正方体的中心对称，所以它的边数必须是偶数——三角形、五边形都是奇数边，不可能出现；四边形、六边形都可能。 ③逐项核对两个结论　因为两部分互为对称图形，表面积必然相等，第一个结论正确；当截面过中心且与正方体的一组对面垂直时，截面恰好是正六边形，第四个结论正确。所以答案是这两项。 注：「过中心的截面」是正方体的一个很好用的模型：截面多边形关于中心中心对称，所以边数必为偶数，且分出的两部分全等（体积、表面积都相等）。本题用这一个性质就否掉了两个错误选项。 【答案】AD。 因为平面 把正方体分成体积相等的两部分，而正方体关于它的中心中心对称，所以平面 一定经过正方体的中心。 因为截出的两部分关于正方体的中心中心对称，所以这两部分的体积与表面积都相等，第一个结论正确。 因为截面多边形也关于正方体的中心中心对称，所以它的边数必须是偶数，不可能是三角形或五边形，第二个、第三个结论错误。 当截面过正方体的中心，且与正方体的一组对面相交、与另外两组面的交线各截出两条边时，截面恰是正六边形，第四个结论正确。 所以正确的结论是第一个和第四个。故选 A、D。 例4　轨迹（平行型）：把线面平行转化为面面平行 如图，在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点， 为正方形 内的一个动点（包括边界），且 平面 ，则动点 的轨迹的长度为 A． B． C． D． ①先在侧面 内找出与平面 平行的两条相交直线　取 的中点 、 的中点 。因为 、 是中点，，而正方体中 ，所以 ；又因为 且相等，可得 。于是 平面 ， 平面 。 ②由面面平行的判定得到轨迹所在平面　因为 与 是平面 内两条相交直线，所以平面 平面 。于是平面 内过 的任何一条直线都与平面 平行。 ③交出轨迹并求长度　动点 在正方形 内，平面 与该正方形的交线正是线段 ，所以轨迹是线段 ，长度 。 注：轨迹问题是「条件翻译题」。「 平面 」这句话，翻译方式是：过 作一个与平面 平行的平面，动点被限制在哪个面上，轨迹就是那个面与所作平面的交线。 【答案】B。 取 的中点 、 的中点 ，连接 、、、。 因为 、 分别是 、 的中点，所以 。又正方体中 ，所以 。因为 不在平面 内， 在平面 内，所以 平面 。 因为 是 的中点，所以 且 ，四边形 是平行四边形，故 且 。又 且 ，所以 且 ，四边形 是平行四边形，故 。于是 平面 。 因为 ，、 在平面 内，所以平面 平面 。 因为 在正方形 内且 平面 ，所以点 只能在平面 与正方形 的交线上，即轨迹为线段 。 因为 ，所以动点 的轨迹长度为 。故选 B。 变式4　轨迹（平行型）：交线落在棱上 如图，在棱长为 的正方体 中，、、 分别为所在棱的中点， 为平面 内（包括边界）的一个动点，且 平面 ，则点 的轨迹长度为 A． B． C． D． ①先作一个与平面 平行的平面　连接 、。因为 ，所以 、、、 四点共面。又 、、 是所在棱的中点，可证 ，，于是平面 平面 。 ②把动点限制的平面与它相交　动点 在平面 内，平面 与该平面的交线是 ，所以只有当 落在棱 上时， 才在平面 内，从而与平面 平行。 ③求轨迹长度　轨迹是线段 ，长度等于棱长 。 注：当所作平面与动点所在平面的交线恰好是几何体的一条棱时，轨迹就是这条棱。注意要说明「平面内的一条直线与另一个平面平行，则这条直线上的所有点都满足条件」这一点，才能确认轨迹不会更长。 【答案】B。 连接 、，则 、、、 四点共面（因为 ）。 因为 、 分别为所在棱的中点，所以 ；又 、 分别为所在棱的中点，所以 。 因为 、 是平面 内两条相交直线，、 是平面 内两条相交直线，所以平面 平面 。 因为 在平面 内，而平面 与平面 的交线为 ，所以当且仅当 在棱 上时， 在平面 内，从而 平面 。 所以点 的轨迹为线段 ，其长度为 。故选 B。 例5　轨迹（距离型）：在三个面上各取一段弧 如图，已知正方体 的棱长为 ，点 在该正方体的表面上运动，且 ，则点 的轨迹长度是 A． B． C． D． ①先判断动点可能落在哪些面上　因为 ，而点 在平面 、、 上，在这三个面上 最大只有面对角线 ，所以轨迹可能出现在与 相对的三个面：、、。 ②把空间距离化为面内距离　以上底面为例： 平面 ，所以 ，在 中 ，即 到 的距离恒为 ，轨迹是以 为圆心、 为半径的圆夹在该正方形内的部分。 ③确定圆心角并求弧长　 是正方形的顶点，半径等于边长 ，所以弧恰为四分之一圆，长度 。同理，在平面 、 上也各有一段长为 的弧，所以轨迹总长 。 注：「动点到定点的距离为定值」时，轨迹是球面；动点被限制在平面（或几何体的某个面）上，轨迹就是球面与该面的交线——一段圆（弧）。判断弧的圆心角时，把该面单独取出按平面几何处理。 【答案】C。 因为 ，而 恰好是正方体的面对角线长，所以动点 不可能落在与顶点 相邻的三个面上（其上 ，只有在 的对角顶点处才取到，而那里不在这些面上）。 于是 落在与 相对的三个面上：平面 、平面 、平面 。 以平面 为例。因为 平面 ， 在该平面内，所以 。在 中，。 所以 在该平面内的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆；又 是该正方形的顶点、半径等于边长，所以轨迹为四分之一圆弧，长度 。 同理，在平面 内轨迹是以 为圆心、 为半径的四分之一圆弧，长度 ；在平面 内轨迹是以 为圆心、 为半径的四分之一圆弧，长度 。 所以点 的轨迹长度为 。故选 C。 变式5　轨迹（距离型）：四分之一圆弧 在棱长为 的正方体 中， 为侧面 内一动点（含边界），若 ，则点 的轨迹长度为 A． B． C． D． ①把空间距离化为面内距离　 平面 ，而 在这个平面内，所以 。在 中，。 ②确认圆心、半径与圆心角　所以在侧面 内， 到 的距离恒为 ，轨迹是以 为圆心、 为半径的圆夹在该正方形内的部分。 是正方形的顶点，半径小于边长，所以轨迹为四分之一圆弧。 ③用弧长公式求长度　轨迹长度 。 注：正方体中「一个顶点到某点的距离」往往能直接用线面垂直化成「面内两点距离」：先找到该顶点所在的那条与动点所在平面垂直的棱，再在面内解直角三角形。顶点处的四分之一圆弧，是这类题最常见的结果。 【答案】B。 因为 平面 ， 在该平面内，所以 。 因为正方体的棱长为 ，所以 。在 中，。 所以 在平面 内的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆弧。 因为 是该正方形的顶点，且 ，所以这段圆弧对应的圆心角为 ，即四分之一圆弧。 所以轨迹长度 。故选 B。 三、巩固练习 1．如图，在棱长为 的正方体 中， 为截面 上的动点，若 ，则点 的轨迹长度是 A． B． C． D． 【答案】B。 连接 、、。因为 平面 ， 在平面 内，所以 。又 ，，、 在平面 内，所以 平面 。 因为 在平面 内，所以 ；同理 。 因为 ，、 在平面 内，所以 平面 。 因为 ，所以 在平面 内。又 在截面 上，而平面 与平面 的交线为 ，所以点 的轨迹是线段 。 所以轨迹长度为 。故选 B。 2．在棱长为 的正方体 中，点 在正方体内（包含边界）运动，若直线 与 所成角为 ，则动点 所围成的图形的面积是 A． B． C． D． 【答案】B。 在正方体中 ，所以直线 与 所成角等于直线 与 所成角，即 （或其补角对应的锐角为 ）。 所以动点 在以 为顶点、 所在直线为轴、半顶角为 的圆锥侧面上。 因为 在正方体的一个顶点处，而该圆锥的高为 （等于棱长），所以底面半径为 ，母线长为 。 正方体只占该圆锥的 （被三个面截去），所以动点 所围成的图形的面积 。 故选 B。 3．已知正方体 的棱长为 ，以顶点 为球心、 为半径的球的球面与正方体的表面的交线总长为 A． B． C． D． 【答案】B。 因为正方体的棱长为 ，所以在与 相邻的三个面 、、 上，点到 的最大距离为面对角线 。因为 ，所以球面与这三个面都没有公共点。 于是只须考察与 相对的三个面。以平面 为例： 到该平面的距离为 ，设球面与该面的交线上的点为 ，则 ，所以 。 因为 ，在 中 ，所以 ；同理在 方向上夹角也是 ，于是这段圆弧所对的圆心角为 ，弧长为 。 同理，球面与平面 、平面 的交线也都是圆心角为 、半径为 的圆弧，各长 。 所以交线总长为 。故选 B。 4．如图，直三棱柱 的棱长均为 ， 是 的中点， 是侧面 内一点，且 ，则点 的轨迹长度为 A． B． C． D． 【答案】B。 因为 是等边三角形， 是 的中点，所以 ，且 。 又该棱柱是直三棱柱， 平面 ，所以平面 平面 。因为 在平面 内且垂直于交线 ，由面面垂直的性质得 平面 。 因为 在平面 内，所以 ，在 中 。 所以点 在平面 内的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆，它夹在矩形 内的部分是一条半圆弧，长度为 。故选 B。 5．如图，在棱长为 的正方体 中，、、 分别是棱 、、 的中点，则由点 、、 确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 A． B． C． D． 【答案】B。 因为 、 分别为 、 的中点，所以 且 。 又 ，所以 。因为平面 平面 ，且平面 与这两个平面分别交于 、，所以 ，则 。又 为 的中点，所以 为 的中点。 把 分别向两端延长，与 、 的延长线相交，再把交点与 、 相连，与棱 、 分别交于 、，则截面为六边形 。 由作图可证 、、、、、 都是相应棱的中点，所以六边形 是边长为 的正六边形。 所以截面面积 。故选 B。 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间几何体中的截面和轨迹问题 一、知识点梳理 （一）作截面的三条常用路径 用一个平面去截几何体，平面与几何体表面的交线围成的图形叫做截面。作截面的第一条路径是「直接连接法」：若截面与几何体的同一个面有两个公共点，连接这两点所得的线段就是截面与该面的交线，把各面的交线依次连起来即得截面。这一条依据的是教材的基本事实：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。 第二条路径是「平行线法」。若截面与几何体的两个平行面相交，由「两个平行平面被第三个平面所截，所得两条交线互相平行」，可以由一条交线直接作出另一条交线；若截面上有一条直线与某个面平行，则由线面平行的性质，过这条直线的平面与该面的交线必与它平行。正方体、长方体里大量平行面，是平行线法最常用的场所。 第三条路径是「延长线法」。当截面上已有的两个点虽在同一个面内，但连出的线段找不到与棱的交点时，先把这条线延长，让它与几何体的棱所在的直线相交，交点便是截面边界的延伸点，再把这些点连回截面，逐步补全。三条路径常常混用：先用直接法得一条边，再用平行线法或延长线法补齐其余各边。 （二）截面的形状判断与面积计算 正方体的截面形状取决于截面所过的位置：截正方体所得的多边形，边数最少是三角形（截去一角），最多是六边形；若截面过正方体的中心，则截面多边形关于中心对称，故不可能是三角形或五边形，但可以是正六边形。判断形状的通用做法是：把截面与几何体各面的交线一条条找出来，数出边数，再看对边是否平行、边长是否相等。 求截面面积有两条常用思路。一是「拆成三角形」：把截面多边形用对角线拆成若干三角形，逐个解三角形求面积再相加；二是「借相似比」：若截面多边形与某个已知多边形相似，面积之比等于相似比的平方，由已知面积按比例求出。截面是正多边形时（如正六边形），直接套用正多边形的面积公式最省事。 计算时要注意：截面各边往往落在几何体的不同面上，求边长时必须把每条边放进它所在的直角三角形，用勾股定理或余弦定理求出；若截面与某个面平行，可利用「平行截面的对应边成比例」把长度转到底面上。凡题干给出的是棱上的比例（如 ），一定要先把它翻译成具体的长度。 （三）动点轨迹的形状判定 立体几何中的轨迹问题，本质是把空间条件「翻译」成平面条件再判断形状。最常见的是「距离型」：若动点到某定点的距离为定值，轨迹在以该点为球心的球面上；若动点被限制在某个平面（或某个面）内，则轨迹是该球面与这个面的交线——通常是一段圆弧。判断圆弧要抓住三件事：圆心、半径、圆心角。 第二类是「平行型」：若动点满足「 平面 」，则过 作与 平行的平面 ，动点所在的平面与 的交线就是轨迹。这里的关键是先把「线面平行」转化为「面面平行」：在平面 内找出两条相交直线都与 平行，由面面平行的判定即得 ，再用面面平行的性质交出轨迹所在直线。 第三类是「垂直型」：若动点 满足「」，通常要找一个与 垂直的平面，轨迹就是动点所在平面与该垂面的交线。做法与平行型对称：先在几何体中找出与 垂直的直线，再用线面垂直的判定把 与某个平面垂直这件事证出来，最后让动点所在的平面去截这个垂面，交出的线段（或几段）即为轨迹。 （四）轨迹长度与轨迹图形面积的求法 轨迹是线段时，长度就是两交点间的距离，用勾股定理直接求。轨迹是圆弧时，先把弧所在的面单独取出来看成一个平面图形，确定圆心、半径与圆心角（用解直角三角形得到），再用弧长公式 （或 ， 为圆心角的弧度数）计算。动点在多面体的多个面上运动时，要把各面上的弧长或线段长分别求出再相加。 轨迹围成的图形是扇形时，面积用 （ 为弧长）或 ；是三角形、正多边形时，用平面几何的面积公式；是圆锥侧面的一部分时，用侧面积公式 按份数折算。凡轨迹落在几何体的表面上，都要先确认这一段落在该面内的哪一部分，再决定它是否被棱截断。 最后一类要特别留神：动点被限制在「几何体的整个表面」上运动时，要把各个面分别讨论，不要漏面也不要重复。判定某个面上有没有轨迹，常用的办法是比较定点到该面各顶点的距离与给定距离的大小，若给定距离小于定点到该面最近顶点的距离，则该面上无轨迹；反之则用勾股定理算出交线在该面内的半径，进而得弧。 自查：作截面时先问「这条交线在哪个面上」；判断轨迹时先问「动点被限制在哪个平面内」；算圆弧前先把圆心、半径、圆心角三件事分别定出来。 二、典型例题 例1　平行线法作截面：过棱上的三点作矩形截面 如图，在正方体 中， 为 的中点，画出过 、、 三点的截面，若 ，求所画截面的面积。 变式1　延长线法作截面：补出正六边形 如图，在正方体 中，、、 分别为 、、 的中点，若 ，画出过 、、 的截面，并求所得截面图形的周长。 例2　截面周长：比例条件先翻译成具体长度 如图，在棱长为 的正方体 中， 在棱 上且 ， 在棱 上且 ，过点 、、 的平面截该正方体所得截面的周长为（　　） A． B． C． D． 变式2　截面周长：与已知平面垂直的截面 已知直三棱柱 的侧棱长为 ，，，过 、 的中点 、 作平面 与平面 垂直，则所得截面周长为（　　） A． B． C． D． 例3　截面形状的判断：看交线落在哪些棱上 在正方体 中，、 分别是棱 和 上的点，，，那么正方体中过点 、、 的截面图形是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 变式3　等体积分截：截面形状的对称性判断 （多选）正方体 的棱长为 ，用一个平面 截这个正方体，把该正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确的是（　　） A．这两部分的表面积也相等 B．截面可以是三角形 C．截面可以是五边形 D．截面可以是正六边形 例4　轨迹（平行型）：把线面平行转化为面面平行 如图，在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点， 为正方形 内的一个动点（包括边界），且 平面 ，则动点 的轨迹的长度为（　　） A． B． C． D． 变式4　轨迹（平行型）：交线落在棱上 如图，在棱长为 的正方体 中，、、 分别为所在棱的中点， 为平面 内（包括边界）的一个动点，且 平面 ，则点 的轨迹长度为（　　） A． B． C． D． 例5　轨迹（距离型）：在三个面上各取一段弧 如图，已知正方体 的棱长为 ，点 在该正方体的表面上运动，且 ，则点 的轨迹长度是（　　） A． B． C． D． 变式5　轨迹（距离型）：四分之一圆弧 在棱长为 的正方体 中， 为侧面 内一动点（含边界），若 ，则点 的轨迹长度为（　　） A． B． C． D． 三、巩固练习 1．如图，在棱长为 的正方体 中， 为截面 上的动点，若 ，则点 的轨迹长度是（　　） A． B． C． D． 2．在棱长为 的正方体 中，点 在正方体内（包含边界）运动，若直线 与 所成角为 ，则动点 所围成的图形的面积是（　　） A． B． C． D． 3．已知正方体 的棱长为 ，以顶点 为球心、 为半径的球的球面与正方体的表面的交线总长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，直三棱柱 的棱长均为 ， 是 的中点， 是侧面 内一点，且 ，则点 的轨迹长度为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在棱长为 的正方体 中，、、 分别是棱 、、 的中点，则由点 、、 确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $