空间几何体的外接球与内切球专项训练-2027届高三数学一轮复习

空间几何体的外接球与内切球专项训练 补形放球 · 轴截面 · 截面与动点 【教师版】 适用：高三一轮复习 使用说明 • 本册按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展链接」收纳超出教材本节范围的内容，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号；例题与练习的标签名称与方法名逐字一致，讲评时可以先让学生按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 每道例题给出完整的【解析】与【点拨】：解析写规范过程，点拨讲这一步为什么这么想、以及通法。 • 练习同样给出【答案】【解析】与【点拨】，可直接用于讲评；题目均标注年份与出处，便于溯源核对。 空间几何体的外接球与内切球专项训练 考点定位：人教 A 版必修第二册 第八章 8.3（柱体、锥体、台体、球的表面积与体积）与球的切接综合——外接球球心的定位、内切球与多球相切、球的截面圆、球面动点与轨迹最值 题源：2026—2027 学年高三上学期各地一模、周考、阶段检测与适应性考试（黑龙江大庆、河北沧州部分高中、湖南株洲醴陵一中、河北秦皇岛山海关一中、福建三明二中、厦门双十中学、五省联考河南版、广东广州越秀区、陕西省适应性检测、江苏东海高级中学），共 10 题，逐题手算复核 一、知识要点 （一）外接球球心的三种定位方式 1. 外接球：过几何体所有顶点的球，球心到每个顶点的距离都等于半径 R。定位球心的三条主路：补形成长方体（正方体）、找「过两底面外接圆圆心的垂线」、找特殊面里的直角三角形（斜边中点到两端等距）。 2. 补形模型：三条棱两两垂直的三棱锥（墙角模型）补成长方体后，外接球直径等于体对角线，；对径两端相对的四顶点构出的正四面体，棱长 a 补成棱长的正方体，外接球直径为体对角线。 3. 直棱柱与圆柱：外接球心在上下底面外接圆圆心连线的中点，半径满足，其中 r 为底面多边形外接圆半径、h 为柱体的高。圆锥的外接球心在轴上，设球心到底面的距离为 z，则且 R + z = h。 4. 侧棱垂直于底面的锥体：球心在过底面外接圆心、垂直于底面的直线上，仍然用配合顶点条件求解。底面是直角三角形时外接圆心就是斜边中点，r = 斜边的一半；四个面都是直角三角形的鳖臑，最长棱就是外接球的直径。 （二）内切球与相切模型 5. 内切球：与几何体各面都相切的球，球心到各面的距离都等于半径 r。等体积法是万能钥匙：，锥体的内切球半径。组合体求内切球时，体积相加，表面积只算暴露的面。 6. 旋转体的内切球回到轴截面：圆锥的内切球半径等于轴截面等腰三角形的内切圆半径（面积除以半周长）；圆柱内切球的直径等于底面直径，也等于圆柱的高，两个「相切」条件同时取等。 7. 多球相切：球与球外切，球心距等于两半径之和；球与锥面、柱面相切时，在对称面（轴截面）里化成「圆与角的两边相切」「圆与圆外切」的平面问题，圆心都在轴上，用勾股或相似解出半径。 8. 切线长与最大视角：从球外一点向球作切线，切线长（d 为该点到球心的距离），两条切线的夹角 θ 满足。视角最大等价于 d 取最小（d 越小，sin(θ/2) = R/d 越大，视角越大），这是动点视角问题的核心关系；注意切线长随 d 的增大而增大，与视角的变化趋势恰好相反。 （三）截面、交线与球面动点 9. 截面圆：平面截球所得圆的半径 ρ 满足，d 是球心到截面的距离，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面。求 d 的常用手段：勾股（球心到截面内已知点的距离已知）、等体积法、建立空间直角坐标系。 10. 两球相交：两个球面相交，交线是一个圆，圆心在连心线上。设交线圆半径为 ρ，则，，且等于球心距；三式联立解出 ρ，交线长度即 2πρ。 11. 球面动点：把动点坐标写出来，用「到球心的距离等于 R」的方程作约束，目标若是坐标的一次式，就把它看成动点向量与定向量的数量积，最值等于「球心处的值 ± 定向量的模 × R」。 12. 球与线段（棱）的公共点：球心到棱上动点的距离，其中是球心到棱的垂线段长、MP 是动点沿棱偏离垂足的距离。d 在与两端点距离之间连续变化，球与棱有公共点等价于 R 落在这个闭区间内。 二、方法提炼 方法1　补形与直角三角形链：直棱柱、圆柱的外接球，球心在上下底面外接圆圆心连线的中点，半径满足；四个面都是直角三角形的锥体，外接球以最长棱为直径；一条侧棱垂直于底面时，先用底面三角形的外接圆半径定球心的水平位置，再用勾股定高。求线面角时，利用「面面垂直，点到平面的距离转为点到交线的距离」可以完全避开坐标运算。 方法2　等体积法与轴截面：内切球用反求半径，组合体要数清表面积包含哪些面（公共拼接面不计）。圆锥容器放多个小球的问题退到轴截面：内切球心在轴上距底面一个半径处，上方小球与下方小球外切且与两腰相切，用「圆心高 y」和「圆心到腰的距离 = 半径」两个条件联立解出小球半径。 方法3　截面圆与两球交线：一切截面问题先写。求 d 优先用「球心与截面圆圆心的连线垂直截面」这一定位：若截面内已知点到球心的距离可算，与截面圆的几何量勾股即得。两球相交先判位置关系（球心距与两半径和差比较），再在连心线上设交线圆心，用两个勾股式与球心距联立。 方法4　球面动点与视角最值：球面动点的距离最值沿「定点与球心的连线」取得；角度最值把动角拆成「切线与连线」的半角，用化为距离最值；坐标一次式的最值用数量积的几何意义「球心值 ± 模 × R」读出。所有动点问题先找不变量（球心、半径、垂足）再谈变化。 三、易错提醒 ◆ 外接球心不在几何体中心：直棱柱的外接球心在上下底面外接圆圆心连线的中点，公式中的 r 必须是底面外接圆半径，误代边心距或内切圆半径是本类题的第一大错。 ◆ 补形前先验证结构：只有三条棱两两垂直（或四个面都是直角三角形）才能把外接球直径补成体对角线；只看到一个直角就贸然补形，球心位置就错了。 ◆ 内切球的表面积别多算公共面：两个锥体拼接的六面体，中的只算六个侧面，拼接面不算——多算一次拼接面，r 就被整体压小。 ◆ 多球相切先定球心的竖直关系：圆锥内上方小球与下方内切球外切，球心距 = 两半径之和，两个球心都在轴上；把「圆心到母线的距离」误写成「圆心到底面的距离」，方程就解出错误的半径。 ◆ 截面公式里的 d 是垂线段：中的 d 是球心到截面的垂线段长，不能用「球心到截面内某条弦的距离」或「到截面内任意点的距离」代替；垂足落在截面外时同样按公式计算，不必另作讨论。 ◆ 动点范围的端点要检验：球与棱「有公共点」时，最近点（垂足若在棱上）与两端点都可取到，区间是闭的；若题目限定动点在棱的内部，则两端要改开区间。区间端点取不取，直接决定答案是否正确。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 补形与直角三角形链 题注：先用余弦定理判出底面是直角三角形，外接球半径两步到位；线面角用面面垂直转移距离。 （2026·黑龙江大庆·高三一模）在直三棱柱中，∠ABC = 45°，AB = 2，。若该直三棱柱外接球的表面积为 12π，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】在 △ABC 中，由余弦定理，，得 AC = 2。 于是，∠BAC = 90°，底面外接圆半径。 设直三棱柱的高为 h，外接球心是上下底面外接圆圆心连线的中点，则。由得，故，解得 h = 2。 求到平面的距离：，且在平面内，所以平面，与 A 到该平面的距离相等。 又平面平面 ABC，交线为 BC，所以 A 到平面的距离等于 A 到直线 BC 的距离，即 △ABC 中 BC 边上的高。 ，设所成角为 θ，则。故选 A。 【点拨】这道题把外接球与线面角串在一起，两段各自有一条「先定形再定量」的主线：外接球那半段，必须先用余弦定理判出 ∠BAC = 90°，底面外接圆心才落在斜边中点、r 才等于——若不判形直接设外心位置，后面全乱；线面角那半段，与 A 因平面而等距，再用侧面 ⊥ 底面把「点到平面」压成「点到交线」，全题没有一个坐标。求出高 h = 2 后别忘了的长度要用上它。 【例 2】 方法2 · 等体积法与轴截面 题注：小球半径最大的两个条件——与内切球外切、与锥面相切——全在轴截面里联立。 （2026·福建三明二中·高三第一次模拟）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为 1 的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】轴截面是边长的正三角形，所以圆锥的底面半径，高。 正三角形的内切圆半径为，小球的半径恰为 1，故位于内切球的位置：球心在轴上、距底面 1，与侧面和底面都相切。 要使小球的体积与容器体积之比最大，只需的半径最大。的球心也在轴上，与外切、与圆锥侧面相切。 设的球心到底面的距离为 y。圆锥的半顶角为 30°（sin 半顶角），球心高为 y 时，球心到母线的距离为，故。 由两球外切，球心距 = 两半径之和：。代入得，解得。 所以，，比值。故选 A。 【点拨】容器放球问题的总原则：体积比最大等价于「最后一个放进去的球」半径最大，而半径被两个相切条件锁死——与已有球外切给「球心距」，与锥面相切给「圆心到母线的距离 = 半径」。半顶角 30° 告诉你圆心高 y 与半径的关系是，这里最容易把 sin30° 误写成 cos30° 或 tan30°；「还可以放入半径为 1 的小球」这句话是在告诉你恰好占据内切球的位置，半径 1 不是巧合而是命题人给的定盘星。 【例 3】 方法3 · 截面圆与两球交线 题注：E 的位置由面面垂直锁成棱中点；截面圆半径靠一锤定音。 （2026·湖南株洲醴陵一中·一模检测）已知正方体的棱长为 2，E 为棱上的一点，且满足平面 BDE ⊥ 平面，则平面被四面体 ABCE 的外接球所得截面的面积为　　　　。 【答案】 【解析】由正方体性质，平面，且在对角面内。设平面 BDE 与对角面的交线为 OE，其中 O 为 AC 与 BD 的交点。 因为平面 BDE ⊥ 平面，平面且不在平面 BDE 内，所以平面 BDE，于是。在对角面内，O 是 AC 的中点，由得 E 是的中点。 四面体 ABCE 中，AB ⊥ 平面，故 AB ⊥ BE；又，故 AC ⊥ CE。于是 B、C 都在以 AE 为直径的球面上，四面体 ABCE 的外接球以 AE 为直径。 ，外接球半径，球心 M 是 AE 的中点。 连接、OM。、O 都在平面内，是平面与对角面的交线；M 在对角面内，所以 M 到平面的垂线足落在交线上，球心到平面的距离。 O 是底面中心，M 在 O 的正上方处（M 的高度是 E 的高度的一半），故。在中，，而与互余，所以，。 截面圆半径的平方，截面面积为。 【点拨】全题三个关键件：先由「面面垂直 + 对角线垂直平面」把 E 锁成棱中点（是中位线的逆用）；再由两个直角 ∠ABE = ∠ACE = 90° 认出外接球以 AE 为直径——「直角对直径」的空间版本；最后求 d 时抓住是两平面的交线、M 在对角面内，于是垂足必在上，一步到位。若把算成，或把 d 误取为 M 到底面的距离，都会得到错误选项。 【例 4】 方法4 · 球面动点与视角最值 题注：最大视角是切线时刻：把角拆成半角，sin 半角 = 半径比距离，距离取最短时角最大。 （2026·五省联考河南版·高三适应性考试）点 M、N 为正四面体 ABCD 的内切球球面上的两个动点，T 为棱 AB 上的一个动点，则当 ∠MTN 取最大值时，tan∠MTN =（　　） A．1　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】设正四面体的棱长为 a，G 为 △BCD 的中心，则高。由（O 为内切球心），得，解得内切球半径。 ，所以，T 在球外。 T 在球外时，TM、TN 都是球的切线时 ∠MTN 最大。由对称性，∠MTN = 2∠OTM，且，OT 越小角越大，故 OT 取最小值时 ∠MTN 最大。 OT 的最小值是 O 到直线 AB 的距离：（T 为 AB 中点时），其中、，所以。 此时，。 由正切二倍角公式，。故选 C。 【点拨】「球面上两个动点对一个定点张角最大」的标准答案就是切线时刻：T 对球张的角由切线给出，半角满足，于是「角最大」翻译成「OT 最小」，即 T 落在棱的中点。整条链是：等体积法定内切球半径 → 勾股定 OA → 距离最小值定 T → 切线长定 TM → 半角正切 → 二倍角。任何一环缺了定量依据（尤其「OT 最小时角最大」的正弦单调性），推导就不完整。 五、巩固练习 1. 方法1 · 补形与直角三角形链 （2026·河北秦皇岛山海关一中·高三第一次模拟）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑。若三棱锥 P−ABC 为鳖臑，PA ⊥ 平面 ABC，PA = 2，，且三棱锥 P−ABC 的外接球的表面积为 20π，则三棱锥 P−ABC 的体积的最大值为（　　） A．　　B．2　　C．　　D． 【答案】D 【解析】四个面都是直角三角形时，PC 是最长棱，PC 的中点 O 到四个顶点的距离都等于，故 O 为外接球心，外接球直径为 PC。 由得，所以。又 PA ⊥ 平面 ABC，PA ⊥ AC，所以。 ，即 PB ⊥ BC；又 PA ⊥ BC（BC 在底面内），PA、PB 在平面 PAB 内且相交于 P，所以 BC ⊥ 平面 PAB，于是 BC ⊥ AB。 所以，即 AB × BC ≤ 8，当且仅当时取等号。 。故选 D。 【点拨】鳖臑的外接球是「直角对直径」的免费午餐：最长棱的中点就是球心，根本不用设方程。体积最大值那一步靠 BC ⊥ AB 把凑成基本不等式——两条互相垂直的直角边乘积有上界、和固定时乘积取等，这是「斜边定、两直角边变」问题的通用收口。 2. 方法2 · 等体积法与轴截面 （2026·河北沧州部分高中·高三第一次模拟）六面体由上、下两个三棱锥组合而成，公共面为 △BDE，其中 AB = AD = AE，BC = DC = EC，BD = DE = BE。若二面角 A−BD−E 与二面角 C−BD−E 的平面角的大小分别为 30° 和 60°，记上、下两个三棱锥的内切球半径分别为、，六面体的内切球半径为，则（　　） A．1　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【解析】设 AB = AD = AE = x，BC = DC = EC = z，BD = DE = BE = y。 在三棱锥 A−BDE 中，取 BD 的中点 O，连接 AO、EO。由 AB = AD 得 AO ⊥ BD，由 EB = ED 得 EO ⊥ BD，故 ∠AOE = 30°，且，。 在 △AOE 中由余弦定理：，代入整理得，解得，从而。 A 在底面 △BDE（等边三角形）内的投影是其中心 F，F 在线段 EO 上，∠AOF 即 ∠AOE = 30°，所以高。。 △ABD 的腰为 x、底为 y，其上的高为，。三棱锥 A−BDE 的三个侧面全等，故。 同理，在三棱锥 C−BDE 中 ∠COE = 60°，解得，，高，，，故。 六面体的体积为，表面积只算六个侧面（公共面 △BDE 不计）：，故。 于是。故选 D。 【点拨】三个内切球半径全部走等体积法，差别只在「表面积数了几个面」：单锥四个面全算，六面体只算六个侧面、公共面 △BDE 不计——这是本题的分水岭。几何量的锁定顺序是：二面角的平面角给 △AOE → 余弦定理给 AO → 投影是等边三角形中心给高 → 一切表面积与体积有了源头。字母 y 最后会整体约掉，说明答案与大小无关，可以取 y = 6 代入验算：，，，比值恰为。 3. 方法3 · 截面圆与两球交线 （2026·江苏东海高级中学·高三第一次月考）已知球 O 与棱长为 2 的正方体的各面都相切，则平面截球 O 所得的截面圆与球心 O 所构成的圆锥的体积为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】球 O 与正方体各面都相切，故 O 为正方体中心，半径 R = 1。 O 到顶点 A 的距离 OA = 体对角线的一半。 的三边都是面对角线，是等边三角形，设其外接圆圆心为 Q，则 OQ ⊥ 平面，于是 △OQA 在 Q 处为直角（OQ ⊥ 截面、QA 在截面内），QA 为的外接圆半径。 在 Rt△OQA 中，，。 截面圆半径。 以截面圆为底面、球心 O 为顶点的圆锥体积。故选 C。 【点拨】「截面圆与球心构成圆锥」是截面问题的打包问法：底面半径，高就是 d。求 d 的捷径在这里是勾股而非建系——球心与截面圆心的连线垂直截面，而截面圆心 Q 恰是等边三角形的中心，OA、QA 都是好算的量。注意 QA 是截面的外接圆半径，别与内切圆半径混淆——后者恰好等于 ρ，纯属数值巧合，来源完全不同。 4. 方法3 · 截面圆与两球交线 （2026·陕西省高三适应性检测（三））在正方形 ABCD 中，AB = 2，E、F 分别为边 BC、CD 的中点，分别沿 AE、EF、FA 将 △ABE、△EFC、△ADF 折起，使 B、C、D 重合于点 G，形成四面体 AEFG，则以 A 为球心、1 为半径的球面与四面体 AEFG 的外接球面相交所形成的交线的长度为　　　　。 【答案】 【解析】折叠前 AB ⊥ BE、AD ⊥ DF、CE ⊥ CF，折叠后这些垂直关系保持不变，所以 AG ⊥ GE、AG ⊥ GF、GE ⊥ GF。 三条棱 AG、GE、GF 两两垂直，把四面体 AEFG 补成以 AG、GE、GF 为棱长的长方体，其外接球（球心记为 O）的直径等于体对角线：，。 A 是长方体的顶点、O 是长方体的中心，所以球心距，即点 A 恰在外接球面上。 两球面的交线是一个圆，圆心 M 在连心线 AO 上。设交线圆半径为 ρ，由球 A 的半径为 1、球 O 的半径为，得，，且。 两式相减得，即，所以；与联立，解得，，。 故交线的长度为。 【点拨】折叠题先抄「不变清单」：折叠前的垂直在折叠后原样保留，三组垂直凑出墙角模型，外接球就补形成长方体——这一步决定了整道题的难度上限。两球相交的交线圆心必在连心线上，三个方程（两个勾股 + 一个球心距拆分）解两个距离与一个 ρ；这里 A 恰在外接球面上（AO = R），是命题人埋的巧妙设定，让连心线的拆分特别干净。交线长度是周长 2πρ，不是圆的面积，审题时圈出来。 5. 方法4 · 球面动点与视角最值 （2026·广东广州越秀区·高三10月阶段训练）已知棱长为 4 的正四面体 ABCD 的中心为 O，若以 O 为球心的球与正四面体 ABCD 的棱有公共点，则球 O 的表面积的取值范围是　　　　。 【答案】 【解析】取棱 AB、CD 的中点 M、N，连接 CM、DM、MN。等腰三角形三线合一给出 AB ⊥ CM、AB ⊥ DM，所以 AB ⊥ 平面 CMD，从而 AB ⊥ MN。 ，（N 是 CD 的中点，CN = 2）。 设 K 为 MN 的中点。，；又，。K 到四个顶点等距，故 K 就是正四面体的中心 O。 于是 O 到每条棱中点的距离，O 到每个顶点的距离。 棱 AB 上任一点 P，由 OM ⊥ AB 得，MP 取遍，所以 OP 取遍闭区间；由对称性，每条棱都如此。 球与棱有公共点等价于，即，表面积的取值范围是。 【点拨】「球与棱有公共点」翻译成半径的取值范围，靠的是把 O 到棱上动点的距离算成一维问题：，垂足是棱中点、两端是顶点，距离在闭区间上连续变化。找中心 O 的手法值得记住：正四面体的中心必在「对棱中点连线」上，而两条对棱中点连线 MN 的中点恰好到四个顶点等距——一次勾股验算就把中心钉死了。 6. 方法4 · 球面动点与视角最值 （2026·厦门双十中学·高三第五次周考）已知 P 为棱长为 1 的正方体的内切球表面上一动点，以 A 为原点、AB、AD、所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设点 P 的坐标为，则 x + y + z 的取值范围为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】内切球与正方体的六个面都相切，球心是正方体的中心，半径。 P 在球面上，所以。 记，则 m 的模为，且与向量的数量积。 由数量积的几何意义，m 与同向时数量积取得最大值，反向时取得最小值。 所以 x + y + z 的取值范围是，即。故选 B。 【点拨】球面动点 + 坐标一次式的最值，模板是三句话：写球面方程、把目标改写成「球心处的值 + 动点向量与定向量的数量积」、用数量积的几何意义读最值（同向最大、反向最小，模的乘积就是极差的一半）。这里球心值的和是，定向量的模是，动点向量的模是，三个数一拼答案就出来了；若把内切球半径误取为 1（当成外接球），就会选到含或的干扰项。 六、拓展链接（超出人教A版教材本节范围） 以下三条超出人教 A 版必修第二册第八章的课堂要求，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 欧拉公式与球心定位：正多面体的顶点数 V、面数 F、棱数 E 满足 V + F − E = 2。正四面体、正方体的内切球与外接球球心重合（这是高度对称结构的必然结果），半径比分别为 1 : 3 与；一般凸多面体的内切球存在需要「每个二面角的内角平分面交于一点」，并非当然成立，涉及此类判断时要先验证。 斯坦纳比与内接多面体：在所有内接于单位球的多面体中，正多面体未必体积最大；单位球内接长方体的体积上界是（对角线固定为 2 时由均值不等式取得），这一估计是「补形 + 基本不等式」的典型应用，超出教材要求但常出现在自主选拔题中。 球的截面族与广义勾股：球心 O 到一组平行截面的距离随截面位置线性变化，截面圆半径的平方是关于位置的二次函数，故「沿某方向逐层截球」的截面面积构成抛物线族，由此可得球体积的积分表达。该方法超出本节考试要求，供理解公式来源之用。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间几何体的外接球与内切球专项训练 补形放球 · 轴截面 · 截面与动点 【学生版】 适用：高三一轮复习 使用说明 • 本册按「知识要点 → 方法提炼 → 易错提醒 → 例题精讲 → 巩固练习」编排，文末「拓展链接」收纳超出教材本节范围的内容，可按需取舍。 • 知识要点分三组连续编号；例题与练习的标签名称与方法名逐字一致，做题时可以先按标签回到「二、方法提炼」核对思路。 • 例题下方的红色题注是审题提示，先读题注再动笔；外接球问题动手前先问一句：这个几何体能补成什么规则体，球心被哪条线锁住。 • 建议限时 60 分钟完成，选择、填空平均每题不超过 4 分钟；内切球优先想等体积法，外接球优先想补形与。 空间几何体的外接球与内切球专项训练 考点定位：人教 A 版必修第二册 第八章 8.3（柱体、锥体、台体、球的表面积与体积）与球的切接综合——外接球球心的定位、内切球与多球相切、球的截面圆、球面动点与轨迹最值 题源：2026—2027 学年高三上学期各地一模、周考、阶段检测与适应性考试（黑龙江大庆、河北沧州部分高中、湖南株洲醴陵一中、河北秦皇岛山海关一中、福建三明二中、厦门双十中学、五省联考河南版、广东广州越秀区、陕西省适应性检测、江苏东海高级中学），共 10 题，逐题手算复核 一、知识要点 （一）外接球球心的三种定位方式 1. 外接球：过几何体所有顶点的球，球心到每个顶点的距离都等于半径 R。定位球心的三条主路：补形成长方体（正方体）、找「过两底面外接圆圆心的垂线」、找特殊面里的直角三角形（斜边中点到两端等距）。 2. 补形模型：三条棱两两垂直的三棱锥（墙角模型）补成长方体后，外接球直径等于体对角线，；对径两端相对的四顶点构出的正四面体，棱长 a 补成棱长的正方体，外接球直径为体对角线。 3. 直棱柱与圆柱：外接球心在上下底面外接圆圆心连线的中点，半径满足，其中 r 为底面多边形外接圆半径、h 为柱体的高。圆锥的外接球心在轴上，设球心到底面的距离为 z，则且 R + z = h。 4. 侧棱垂直于底面的锥体：球心在过底面外接圆心、垂直于底面的直线上，仍然用配合顶点条件求解。底面是直角三角形时外接圆心就是斜边中点，r = 斜边的一半；四个面都是直角三角形的鳖臑，最长棱就是外接球的直径。 （二）内切球与相切模型 5. 内切球：与几何体各面都相切的球，球心到各面的距离都等于半径 r。等体积法是万能钥匙：，锥体的内切球半径。组合体求内切球时，体积相加，表面积只算暴露的面。 6. 旋转体的内切球回到轴截面：圆锥的内切球半径等于轴截面等腰三角形的内切圆半径（面积除以半周长）；圆柱内切球的直径等于底面直径，也等于圆柱的高，两个「相切」条件同时取等。 7. 多球相切：球与球外切，球心距等于两半径之和；球与锥面、柱面相切时，在对称面（轴截面）里化成「圆与角的两边相切」「圆与圆外切」的平面问题，圆心都在轴上，用勾股或相似解出半径。 8. 切线长与最大视角：从球外一点向球作切线，切线长（d 为该点到球心的距离），两条切线的夹角 θ 满足。视角最大等价于 d 取最小（d 越小，sin(θ/2) = R/d 越大，视角越大），这是动点视角问题的核心关系；注意切线长随 d 的增大而增大，与视角的变化趋势恰好相反。 （三）截面、交线与球面动点 9. 截面圆：平面截球所得圆的半径 ρ 满足，d 是球心到截面的距离，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面。求 d 的常用手段：勾股（球心到截面内已知点的距离已知）、等体积法、建立空间直角坐标系。 10. 两球相交：两个球面相交，交线是一个圆，圆心在连心线上。设交线圆半径为 ρ，则，，且等于球心距；三式联立解出 ρ，交线长度即 2πρ。 11. 球面动点：把动点坐标写出来，用「到球心的距离等于 R」的方程作约束，目标若是坐标的一次式，就把它看成动点向量与定向量的数量积，最值等于「球心处的值 ± 定向量的模 × R」。 12. 球与线段（棱）的公共点：球心到棱上动点的距离，其中是球心到棱的垂线段长、MP 是动点沿棱偏离垂足的距离。d 在与两端点距离之间连续变化，球与棱有公共点等价于 R 落在这个闭区间内。 二、方法提炼 方法1　补形与直角三角形链：直棱柱、圆柱的外接球，球心在上下底面外接圆圆心连线的中点，半径满足；四个面都是直角三角形的锥体，外接球以最长棱为直径；一条侧棱垂直于底面时，先用底面三角形的外接圆半径定球心的水平位置，再用勾股定高。求线面角时，利用「面面垂直，点到平面的距离转为点到交线的距离」可以完全避开坐标运算。 方法2　等体积法与轴截面：内切球用反求半径，组合体要数清表面积包含哪些面（公共拼接面不计）。圆锥容器放多个小球的问题退到轴截面：内切球心在轴上距底面一个半径处，上方小球与下方小球外切且与两腰相切，用「圆心高 y」和「圆心到腰的距离 = 半径」两个条件联立解出小球半径。 方法3　截面圆与两球交线：一切截面问题先写。求 d 优先用「球心与截面圆圆心的连线垂直截面」这一定位：若截面内已知点到球心的距离可算，与截面圆的几何量勾股即得。两球相交先判位置关系（球心距与两半径和差比较），再在连心线上设交线圆心，用两个勾股式与球心距联立。 方法4　球面动点与视角最值：球面动点的距离最值沿「定点与球心的连线」取得；角度最值把动角拆成「切线与连线」的半角，用化为距离最值；坐标一次式的最值用数量积的几何意义「球心值 ± 模 × R」读出。所有动点问题先找不变量（球心、半径、垂足）再谈变化。 三、易错提醒 ◆ 外接球心不在几何体中心：直棱柱的外接球心在上下底面外接圆圆心连线的中点，公式中的 r 必须是底面外接圆半径，误代边心距或内切圆半径是本类题的第一大错。 ◆ 补形前先验证结构：只有三条棱两两垂直（或四个面都是直角三角形）才能把外接球直径补成体对角线；只看到一个直角就贸然补形，球心位置就错了。 ◆ 内切球的表面积别多算公共面：两个锥体拼接的六面体，中的只算六个侧面，拼接面不算——多算一次拼接面，r 就被整体压小。 ◆ 多球相切先定球心的竖直关系：圆锥内上方小球与下方内切球外切，球心距 = 两半径之和，两个球心都在轴上；把「圆心到母线的距离」误写成「圆心到底面的距离」，方程就解出错误的半径。 ◆ 截面公式里的 d 是垂线段：中的 d 是球心到截面的垂线段长，不能用「球心到截面内某条弦的距离」或「到截面内任意点的距离」代替；垂足落在截面外时同样按公式计算，不必另作讨论。 ◆ 动点范围的端点要检验：球与棱「有公共点」时，最近点（垂足若在棱上）与两端点都可取到，区间是闭的；若题目限定动点在棱的内部，则两端要改开区间。区间端点取不取，直接决定答案是否正确。 四、例题精讲 【例 1】 方法1 · 补形与直角三角形链 题注：先用余弦定理判出底面是直角三角形，外接球半径两步到位；线面角用面面垂直转移距离。 （2026·黑龙江大庆·高三一模）在直三棱柱中，∠ABC = 45°，AB = 2，。若该直三棱柱外接球的表面积为 12π，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【例 2】 方法2 · 等体积法与轴截面 题注：小球半径最大的两个条件——与内切球外切、与锥面相切——全在轴截面里联立。 （2026·福建三明二中·高三第一次模拟）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为 1 的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【例 3】 方法3 · 截面圆与两球交线 题注：E 的位置由面面垂直锁成棱中点；截面圆半径靠一锤定音。 （2026·湖南株洲醴陵一中·一模检测）已知正方体的棱长为 2，E 为棱上的一点，且满足平面 BDE ⊥ 平面，则平面被四面体 ABCE 的外接球所得截面的面积为　　　　。 【例 4】 方法4 · 球面动点与视角最值 题注：最大视角是切线时刻：把角拆成半角，sin 半角 = 半径比距离，距离取最短时角最大。 （2026·五省联考河南版·高三适应性考试）点 M、N 为正四面体 ABCD 的内切球球面上的两个动点，T 为棱 AB 上的一个动点，则当 ∠MTN 取最大值时，tan∠MTN =（　　） A．1　　B．　　C．　　D． 五、巩固练习 1. 方法1 · 补形与直角三角形链 （2026·河北秦皇岛山海关一中·高三第一次模拟）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑。若三棱锥 P−ABC 为鳖臑，PA ⊥ 平面 ABC，PA = 2，，且三棱锥 P−ABC 的外接球的表面积为 20π，则三棱锥 P−ABC 的体积的最大值为（　　） A．　　B．2　　C．　　D． 2. 方法2 · 等体积法与轴截面 （2026·河北沧州部分高中·高三第一次模拟）六面体由上、下两个三棱锥组合而成，公共面为 △BDE，其中 AB = AD = AE，BC = DC = EC，BD = DE = BE。若二面角 A−BD−E 与二面角 C−BD−E 的平面角的大小分别为 30° 和 60°，记上、下两个三棱锥的内切球半径分别为、，六面体的内切球半径为，则（　　） A．1　　B．　　C．　　D． 3. 方法3 · 截面圆与两球交线 （2026·江苏东海高级中学·高三第一次月考）已知球 O 与棱长为 2 的正方体的各面都相切，则平面截球 O 所得的截面圆与球心 O 所构成的圆锥的体积为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4. 方法3 · 截面圆与两球交线 （2026·陕西省高三适应性检测（三））在正方形 ABCD 中，AB = 2，E、F 分别为边 BC、CD 的中点，分别沿 AE、EF、FA 将 △ABE、△EFC、△ADF 折起，使 B、C、D 重合于点 G，形成四面体 AEFG，则以 A 为球心、1 为半径的球面与四面体 AEFG 的外接球面相交所形成的交线的长度为　　　　。 5. 方法4 · 球面动点与视角最值 （2026·广东广州越秀区·高三10月阶段训练）已知棱长为 4 的正四面体 ABCD 的中心为 O，若以 O 为球心的球与正四面体 ABCD 的棱有公共点，则球 O 的表面积的取值范围是　　　　。 6. 方法4 · 球面动点与视角最值 （2026·厦门双十中学·高三第五次周考）已知 P 为棱长为 1 的正方体的内切球表面上一动点，以 A 为原点、AB、AD、所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设点 P 的坐标为，则 x + y + z 的取值范围为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 六、拓展链接（超出人教A版教材本节范围） 以下三条超出人教 A 版必修第二册第八章的课堂要求，供学有余力的同学参考，不作统一要求。 欧拉公式与球心定位：正多面体的顶点数 V、面数 F、棱数 E 满足 V + F − E = 2。正四面体、正方体的内切球与外接球球心重合（这是高度对称结构的必然结果），半径比分别为 1 : 3 与；一般凸多面体的内切球存在需要「每个二面角的内角平分面交于一点」，并非当然成立，涉及此类判断时要先验证。 斯坦纳比与内接多面体：在所有内接于单位球的多面体中，正多面体未必体积最大；单位球内接长方体的体积上界是（对角线固定为 2 时由均值不等式取得），这一估计是「补形 + 基本不等式」的典型应用，超出教材要求但常出现在自主选拔题中。 球的截面族与广义勾股：球心 O 到一组平行截面的距离随截面位置线性变化，截面圆半径的平方是关于位置的二次函数，故「沿某方向逐层截球」的截面面积构成抛物线族，由此可得球体积的积分表达。该方法超出本节考试要求，供理解公式来源之用。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $