重难点20 立体几何中的外接球、内切球问题（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

重难点20 立体几何中的外接球、内切球问题 【全国通用】 【题型1 外接球问题】 4 【题型2 内切球问题】 7 【题型3 棱切球模型问题】 10 【题型4 多球相切问题】 13 【题型5 外接球之二面角模型】 17 【题型6 与球的切、接有关的最值问题】 21 【题型7 与球的切、接有关的截面问题】 25 【题型8 多面体与球体内切外接综合问题】 29 1、立体几何中的外接球、内切球问题 球的切、接问题是历年高考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，球的切、接问题在选择题、填空题、解答题中都有可能出现，考查空间想象能力、计算能力，难度中等。其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或转化为特殊几何体的切、接问题来解决，球的切、接问题求解方法多种多样，解题时要学会灵活求解。 考点1 球的切、接问题 知识点1 正方体、长方体与球的切、接问题 1．正方体与球的切、接问题 (1)内切球：内切球直径2R=正方体棱长a. (2)棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对角线长. (3)外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长. 2．长方体与球 外接球：外接球直径2R=体对角线长( a,b,c分别为长方体的长、宽、高). 知识点2 正棱锥与球的切、接问题 1．正棱体与球的切、接问题 (1)内切球：(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高. (2)外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，(正棱锥外接球半径为R，高为h). 知识点3 正四面体的外接球、内切球 1．正四面体的外接球、内切球 若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则，， ，. 知识点4 正三棱柱的外接球 1．正三棱柱的外接球 球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心. 若正三棱柱的高为h柱，正三棱柱的外接球半径为R，则. 知识点5 圆柱、圆锥的外接球 1．圆柱的外接球 (R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径). 2．圆锥的外接球 (R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径). 知识点6 空间几何体与球的切、接问题的解题策略 1．常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 2．空间几何体外接球问题的求解方法： 空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种： (1)定义法：利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. (2)补形法：若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解. (3)截面法：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解. 3．内切球问题的求解策略： (1)找准切点，通过作过球心的截面来解决. (2)体积分割是求内切球半径的通用方法. 【题型1 外接球问题】 【例1】（2026·重庆·模拟预测）已知正四棱台， ，则该正四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由正四棱台的体积可得正四棱台的高，再根据球的几何性质可得球的半径，进而可得球的表面积. 【解答过程】因为， 所以结合体积公式，可得正四棱台的高， 记上下底面的中心分别为，， 所以该正四棱台的外接球球心在直线上， 设，外接球半径为，则 则，解得，， 所以外接球表面积. 故选：C. 【变式1-1】（2026·河北保定·一模）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球表面积（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据正弦定理求底面外接圆半径，再根据三棱锥外接球半径求得外接球半径，进而求外接球表面积. 【解答过程】在中，，， 所以，所以. 设外接圆半径为，则 . 又平面，且，设三棱锥的外接球半径为， 则. 所以三棱锥的外接球表面积为：. 故选：D. 【变式1-2】（2026·四川成都·三模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】假设圆的半径，则圆的半径可知，进而通过勾股定理可求圆台的高，分别利用圆台和球的体积计算即可. 【解答过程】过作圆台的轴截面，如图所示 为该圆台外接球球心，且圆的半径是圆半径的2倍， 不妨设圆的半径，则圆的半径 依题意， ，， ， 故选：D. 【变式1-3】（2026·黑龙江·二模）在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（   ） A．5π B．10π C．28π D．56π 【答案】D 【解题思路】运用面面垂直的性质证得平面，平面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积. 【解答过程】如图所示， 连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、， 所以由题意知，，，为正方形ABCD外接圆的圆心， 又因为平面平面，平面平面 ，平面， 所以平面， 同理：平面， 设等边的外接圆的圆心为，过作的平行线交过作的平行线于点O， 则平面，平面， 所以O为四棱锥外接球的球心，半径为， 在等边中由正弦定理得，解得：， 又因为， 所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：D. 【题型2 内切球问题】 【例2】（2025·四川眉山·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用轴截面的性质及平面几何知识即可求出内切球半径，再根据球的表面积公式即可求解. 【解答过程】如图，设该圆锥内切球的球心为，半径为， 球切该圆锥的母线于点，为该圆锥底面圆的圆心， 则，，因为，所以，又， ，则，解得， 故该圆锥的内切球的表面积为. 故选：C. 【变式2-1】（2026·云南·三模）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，设内切球半径为r，根据球的性质，求得，得到正三棱台的高为，结合棱台的表面积公式，即可求解. 【解答过程】由题意知，正三棱台的上、下底边长分别为和， 可得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，可得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如图甲所示，作截面，得到图乙， 设内切球半径为r，则，解得，所以正三棱台的高为6， 所以 . 故选：D． 【变式2-2】（2026·山东聊城·三模）上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据圆锥内切球半径即为圆锥轴截面三角形的内切圆半径求解即可. 【解答过程】设圆锥的母线长为，则，则, 所以圆锥的高, 由于圆锥的轴截面为等腰三角形，其面积，周长, 所以轴截面等腰三角形内切圆的半径, 故该圆锥形模型的内切球的半径为， 故选：A. 【变式2-3】（2026·天津·二模）如图，在正方体中，三棱锥和的公共部分形成的几何体为.若的体积记为，的内切球的体积记为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】不妨取正方体边长为，根据题意可得三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体，计算出表面积和体积，进而得到内切球半径及体积，再求比值即可． 【解答过程】解：连接它们的交点后如下图所示， 是中点，不妨取正方体边长为， 所以， 即两个三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体， 所以表面积为， 体积， 则内切球半径，， ． 故选：D. 【题型3 棱切球模型问题】 【例3】（2026·河北邢台·一模）在正三棱柱中，，若该正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据正三棱柱有棱切球的条件，得出棱切球半径等于底面正三角形内切圆半径，同时正三棱柱的高等于内切球直径；再找到外接球的球心位置，利用勾股定理计算出外接球半径；最后求出两者的半径之比. 【解答过程】设正三棱柱的下底面中心为，上底面中心为，连接. 若该正三棱柱存在棱切球，则棱切球的球心O为线段的中点. 设，的中点分别为D，E，连接，，，， 则. 因为，所以， 所以正三棱柱外接球的半径为， 故该正三棱柱棱切球的半径与外接球的半径之比为. 故选：A. 【变式3-1】（2026·全国·模拟预测）在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】取的中心，连接，即可得到平面，且与棱均相切的球的球心在上，连接并延长交于，连接，过作，交于点，设球的半径为，则，设 ，再利用勾股定理得到方程求出，即可得解. 【解答过程】取的中心，连接，则平面，且与棱均相切的球的球心在上. 连接并延长交于，则为的中点，，连接， 因为平面，平面，所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 过作，交于点，设球的半径为， 则，因为，，所以，，， 由勾股定理得， 在中，，所以， 设 ，则， 因为，从而， 所以（负值已舍去），所以； 故选：D. 【变式3-2】（2026·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则__________． 【答案】 【解题思路】由几何关系求出外接球和棱切球半径，再由球的表面积公式求出表面积，最后求出比值. 【解答过程】 设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心， 则外接球的半径，， 所以， 因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径， 所以. 故答案为：. 【变式3-3】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为___________. 【答案】 【解题思路】设，外接球的半径为，根据该几何体的对称性可知该几何体的棱切球即为底面棱长为2，侧棱长为的正四棱柱的棱切球，利用勾股定理求解半径，即可由球的表面积公式即可求解． 【解答过程】设，外接球的半径为， 该多面体是由棱长为的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得， 如图，过，，三点的截面为正六边形，其面积，即， 根据该几何体的对称性可知该几何体的棱切球即为底面棱长为2，侧棱长为的正四棱柱的棱切球， 故，即， 故该多面体的棱切球的表面积为． 故答案为：． 【题型4 多球相切问题】 【例4】（2026·海南·模拟预测）在正三棱锥中，，如图，首先将一半球水平放置于三棱锥内部，其球心与的中心重合，随后将另一小球放置于该半球正上方，使得该小球与正三棱锥的三个侧面均相切，则半球球面面积（不包括底面积）和小球表面积之和最小时，小球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设半球的球心为点，连接，连接并延长交于点，判断小球球心在线段上， 设球的半径为，半球的半径为，利用三角形相似求得，依题得，列出题中的面积之和表示式，消元后得到关于的一元二次函数，利用其图象性质即可求得时，所求面积之和最小. 【解答过程】 如图，设半球的球心为点，连接，连接并延长交于点， 因另一小球在该半球正上方，且与正三棱锥的三个侧面均相切，故其球心在线段上， 连接，则球必与相切，设切点为，连接. 设球的半径为，半球的半径为. 因，， ，， 易得与相似，故有，即得， 因，即， 由题意，半球球面面积（不包括底面积）和小球表面积之和为： ， 该二次函数的开口向上，对称轴为直线， 故当时，取得最小值. 故选：A. 【变式4-1】（2026·重庆·三模）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出正四面体的体积及表面积，利用求出内切球的半径，再通过求出空隙处球的最大半径，从而即可求最大体积. 【解答过程】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大， 设内切球球心为O，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为， 由正四面体结构特征可知G为的中心，面， 设E为中点，球O和球分别与面相切于F和. 易得，，， 由可得， 又，， 故，，， 又由和相似，可得，即，解得， 即空隙处的最大球的半径为. 所以空隙处的最大球的体积为为. 故选：D. 【变式4-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为___________.    【答案】 【解题思路】根据题干信息画出示意图，根据正四面体的特征分别计算出大小球半径即可求出小球的体积. 【解答过程】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高， ∴， ∴小球的体积为：， 故答案为：. 【变式4-3】（2026·浙江·模拟预测）如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为3和6的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为___________． 【答案】 【解题思路】通过轴截面来分析解决圆台的上下底面半径及高，求得圆台的体积，再求容器中水的体积. 【解答过程】作几何体的轴截面图如图，，分别是大球和小球的球心， 是圆台的轴截面等腰梯形两腰和的延长线的交点，    ，分别是球和球与圆台侧面的切点，，分别是与圆台上下底面的切点， 则，，，， 且，，， 过点作交于，显然，四边形为矩形， 且，， 在中，，，， 由，得，则，. 在中，，， 在中，， 在中，，， 因此圆台的上底面半径，下底面半径，高， 圆台的体积， 而球的体积，球的体积， 所以容器中水的体积. 故答案为：. 【题型5 外接球之二面角模型】 【例5】（2026·安徽合肥·模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据图形作出二面角的平面角，利用几何知识可求，，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，根据求解半径． 【解答过程】如图1，过作垂足为，取的中点，连接， ∵，∴，， 又，，则，， 中，， 过作，且=，连接，则， ∴，， 根据题意可得为二面角的平面角， 即，则， 由题意可得，则，则， 如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心， 则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接 ，则 ∴△的外接圆半径，则 设三棱锥的外接球的半径为，则 即，解得 则表面积为. 故选：D.    【变式5-1】（2026·广西南宁·二模）在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意证明三棱锥外接球的球心即是正三角形的中心，计算得解. 【解答过程】如图，取的中点，连接， 因为为正三角形，所以，又二面角的平面角为， 所以平面，则， 设为正三角形的中心，则， 因为，所以，又， 所以， 所以，则，即为三棱锥外接球的球心， 因为，所以， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：B. 【变式5-2】（2026·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】作辅助线，找到二面角的平面角，利用相关线段长度，结合二面角的余弦值求出的长度，再利用勾股定理求出正三棱锥的高，设外接球半径为，根据外接球的性质，结合勾股定理列出关于的方程，求解出，最后利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【解答过程】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心， 取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接.    由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则. 因为，所以， 所以，. 设外接球的半径为，则，， 又，， 所以，解得. 故正三棱锥外接球的表面积. 故选：C. 【变式5-3】（2026·湖南湘潭·三模）如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】如图，设外接圆的圆心为，设三棱锥外接球的球心为，连接，，设，过点作的平行线，与的延长线交于点，连接，利用题中条件分别求得 ，,4，进而，，由，列式，解得，再根据球的表面积公式即可得答案． 【解答过程】如图，设外接圆的圆心为， 因为都是等腰三角形，，， 所以，是的中点． 设三棱锥外接球的球心为，连接，，则平面． 过点作交的延长线于点． 设在平面内的射影为，连接， 因为二面角的大小为, 所以． 因为是等腰三角形，且， 所以， 所以 ． 过点作的平行线，与的延长线交于点，连接， 则,4，， ． 设，则由，可得， 解得， 故三棱锥外接球的表面积为． 故选：D. 【题型6 与球的切、接有关的最值问题】 【例6】（2026·四川泸州·二模）三棱锥的底面为正三角形，侧棱底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，可得的外接圆半径，，根据直棱柱的外接球半径公式结合二次函数运算求解即可. 【解答过程】设，则正的外接圆半径， 因为，则， 则该三棱锥外接球半径， 当且仅当时，等号成立， 所以该三棱锥外接球表面积的最小值为. 故选：C. 【变式6-1】（2026·山东日照·一模）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，作出圆台轴截面，分析可知，当球与相切时，其表面积最大，再结合条件求得球的半径，得到结果即可. 【解答过程】如图，作出圆台的轴截面，要使球的表面积最大，则球需要与相切， 设圆的半径为，则， 因为，所以， 作，，因为，所以， 而，由勾股定理得， 则，且， 而， 即得到，解得， 则该球的表面积的最大值为，故B正确. 故选：B. 【变式6-2】（2026·湖南·二模）在正三棱柱中，为线段上的动点，为边上靠近B的三等分点，则三棱锥的外接球体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】如图建立空间直角坐标系，利用外心定义可得的外接圆圆心的坐标，进而可得外接圆半径，设点的坐标为，设的坐标为，然后利用，可得，再由基本不等式可得答案. 【解答过程】以A为坐标原点，为轴，过A作的垂线为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设三角形的外接圆的圆心为，则点在平面上，且为线段AB中垂线与线段AD中垂线交点，注意到线段AB中垂线方程满足，AD中点为， 又在平面中，，则AD中垂线方程满足， 联立与，故解得点的坐标为， 过点作平面的垂线，则外心一定在此垂线上，故可设的坐标为，又因为， 故三角形的外接圆半径， 由题可设点的坐标为，且， 由外接球的定义知：， 故，得， 故当最小时，半径最小，即体积最小， 由基本不等式知， ，当且仅当时等号成立，即， 故体积. 故选：B. 【变式6-3】（2026·江苏·模拟预测）某圆锥的侧面展开图是一个弧长为，圆心角为的扇形．若将一个球放入该圆锥体内，则球的表面积的最大值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据圆锥侧面展开图的弧长和圆心角求出圆锥的底面半径、母线长与高，再通过轴截面等腰三角形的内切圆半径得到内切球半径，最终计算球的最大表面积. 【解答过程】设圆锥底面半径为，母线长为，高为， 侧面展开图弧长等于底面周长，即：，解得； 展开图圆心角为，由扇形弧长公式（为圆心角弧度值）， 代入得，解得； 由勾股定理得圆锥高. 圆锥内最大球为内切球，其半径等于圆锥轴截面（三边长为的等腰三角形）的内切圆半径， 轴截面面积， 轴截面半周长， 由三角形内切圆公式，得， ，代入得： . 故选：B. 【题型7 与球的切、接有关的截面问题】 【例7】（2026·陕西榆林·三模）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体外接球所得截面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先确定正方体外接球的半径，再利用线面平行转化球心到平面的距离，结合等体积法求出距离，最后利用球的截面公式即可算出截面面积. 【解答过程】记正方体的外接球的球心为，则为正方体中心， 则半径， 连接，相交于点，则点为，的中点． 连接，，可得． 因为平面，平面，所以平面， 又因为在上，则到平面的距离等于点到平面的距离，设为. 因为，， 且平面，由得， 即， 则截面圆半径，所以截面的面积． 故选：B. 【变式7-1】（2026·重庆·模拟预测）在正四棱锥中，，当过，，三点的球的体积最小时，该球被平面所截截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析过，，三点的球体积最小时，球心为正三角形的中心，再求出球心到截面的距离，利用求截面圆半径即可得解. 【解答过程】由题意，是边长为4的正三角形，设过，，三点的球心为，半径为， 则球中过，，三点的截面圆圆心为的中心，截面圆的半径. 设球心到截面圆的距离为，则，要使球的体积最小，则最小， 当时，有最小值为，此时、重合，即球心为的中心， 如图，作出符合题意的图形， 设为正方形的中心，为的中点， 连接、、、，过作，交于点N， 则为正四棱锥的高，， 由知，平面，且， 即球心到截面的距离为， 所以截面圆的半径为， 所以球被平面所截截面的面积为. 故选：B. 【变式7-2】（2026·广东·模拟预测）已知空间四边形的各边长均为6，且，平面平面，点在边上，且，过作四边形外接球的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意结合球的性质分析可得平面，平面，求出即可得球的半径，根据球的截面性质可得，结合题意分析运算. 【解答过程】由题意知和为等边三角形，取中点E， 连接，，则，因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，同理可证：平面， 设外接球的球心为O，半径为R， 分别取、的中心、，连接， 则平面，平面， 所以，，则为平行四边形， 由题意可得：， 又因为平面，平面，所以， 故， 连接，因为，即， ，则H，O，M三点共线， 所以， 设过M作四边形外接球的截面圆的半径为r，O到该截面的距离为d， 则，即， 因为， 所以当时，取到最小值，截面的面积最小为. 故选：C. 【变式7-3】（2026·江苏·模拟预测）已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】 如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由，利用坐标运算求得正三棱锥底面边长和高，从而可得外接球半径，又过点作球的截面，当时，截面面积的最小，可得解. 【解答过程】如图在正三棱锥中，平面，且为的中心，为中线， 如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    设，则 所以， 由于，所以，则， 所以， 因为，则 解得， 设，则，则，得， 所以， 过点作球的截面，当时，截面面积的最小， ，所以截面圆半径为， 则面积为. 故选：B. 【题型8 多面体与球体内切外接综合问题】 【例8】（2026·吉林·模拟预测）设正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，若该四棱锥的外接球与内切球的球心重合，则外接球半径与内切球半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合正四棱锥的几何特征分别计算内切球及外接球半径即可求解. 【解答过程】设，分别为该四棱锥外接球、内切球半径， 由题可知球心在高上， ，， 过球心做面垂线，垂足为， 则点在的中线上（为中点），且， 则，， 在中，边上的高为， 所以，， 故选：D． 【变式8-1】（2026·云南大理·模拟预测）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）．如图所示，正八面体的棱长为，此八面体的外接球与内切球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，确定八面体的外接球球心及半径，利用体积法求出内切球半径，再利用球的体积公式求解即得. 【解答过程】正八面体的棱长为，连接， 由四边形为正方形，得， 则四边形亦为正方形，即点到各顶点距离相等， 于是此八面体的外接球球心为，半径为， 此八面体的表面积为，设此八面体的内切球半径为， 由，得，即，解得， 所以此八面体的外接球与内切球的体积之比为. 故选：A. 【变式8-2】（2026·天津和平·一模）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设正四面体的棱长为，设正四面体内切球球心为，半径为，由等体积法求出，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，此时即为能装下正四面体的最小正方体，即可求出，设正四面体的外接球的半径，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出，即可得出答案． 【解答过程】设正四面体的棱长为，则正四面体的表面积为， 由题设底面的外接圆半径，则 所以正四面体的高为， 其体积为， 设正四面体内切球球心为，半径为， 解得：，所以，解得：， 将该正四面体放入下图的正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线， 此时即为能装下正四面体的最小正方体， 正四面体的最小正方体的边长为，如下图，即，所以， 体积为，设正四面体的外接球半径为， 则正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为， 所以，所以外接球的体积为， . 故选：A. 【变式8-3】（2026·山东枣庄·二模）如图，以正四面体的四个顶点为球心，以棱长为半径分别作四个球，它们的公共部分形成的几何体叫做“勒洛四面体”．若正四面体的棱长为4，则（    ） A．此“勒洛四面体”外接球的体积是 B．此“勒洛四面体”的内切球的半径是 C．此“勒洛四面体”表面上交线弧的长度为 D．过三点的截面面积是 【答案】D 【解题思路】根据勒洛四面体的结构特征，结合外接球、内切球、余弦定理、扇形面积、空间几何体的截面与相关知识，依次分析各选项即可得. 【解答过程】对A：此“勒洛四面体”外接球即为正四面体的外接球， 在正四面体中，为的中心， 是正四面体外接球的球心， 连接、、，由正四面体的性质可知在上， 因为，所以， 则. 因为， 即，解得， 即外接球半径为， 故外接球的体积，故A错误； 对B：由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心， 由外接球半径， 则内切球的半径为，故B错误； 对C：如图，取中点， 在中，，， 设为弧上任意一点，根据“勒洛四面体”的对称性， 弧在平面上，且平面. 所以 ， 所以该弧是以的中点为圆心，以为半径的圆弧， 设圆心角为，则，可知， 所以弧长不等于，故C错误； 对D：过三点截得的截面如图所示： 其面积为，则D正确. 故选：D. 一、单选题 1．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）一个三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，且长度分别为，，，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，把三棱锥补成一个长方体，结合长方体的对角线就是球的直径，求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解. 【解答过程】三棱锥中，共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长分别为， 因为三棱锥的四个顶点同在一个球面上， 则三棱锥是长方体的一个角，可扩展为长、宽、高分别为的长方体， 三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，长方体的对角线就是球的直径， 设长方体的外接球的半径为，可得 所以外接球的半径为，可得外接球的表面积为． 故选：A. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用圆锥的体积公式求出圆锥的高，进而求出母线长，利用几何法求出球的半径，最后利用球的表面积公式求解． 【解答过程】已知圆锥底面半径，体积为，设圆锥的高为，则 ，解得， 设圆锥母线长为，则， 设圆锥内切球半径为，则截面图如下： 则，，， ，即， ， 该内切球的表面积为． 故选：B. 3．（2026·云南·三模）将边长为2的正方形沿对角线翻折，得到三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出三棱锥体积的最大值，再建立关于体积与内切球半径的关系，解方程求解. 【解答过程】由题可知，将沿直线翻折到平面平面时， 三棱锥的体积最大，取的中点，连接,则， 且平面，， 所以三棱锥的体积为：. 由和均为直角三角形，和均为正三角形， ，， 所以三棱锥的表面积. 设三棱锥内切球半径为. 由，得，解得. 故选：A. 4．（2026·天津滨海新区·三模）已知多面体，面，四边形为矩形，，且，则多面体外接球的体积与此多面体的体积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】多面体可以看成是以为顶点，以为底面的四棱锥，利用体积公式，求得，在利用球的截面圆的性质，求得，结合体积公式，求得外接球的体积为，进而得到答案. 【解答过程】由多面体可以看成是以为顶点，以为底面的四棱锥， 其中为矩形，且， 因为面，且平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， 在直角中，因为，可得， 所以多面体的体积为， 因为平面，且四边形是矩形，所以平面，且， 所以和是垂直于底面的两条平行线段， 该几何体的外接球球心底面上的射影是的外心， 球心到底面的距离等于和长度平均值的一半， 因为，所以， 在直角中，斜边为，所以外心是斜边的中点， 底面外接圆半径为， 设外接球的半径为，可得， 所以外接球的体积为， 所以多面体外接球的体积与此多面体的体积之比为. 故选：A. 5．（2026·山西忻州·模拟预测）在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先根据面面垂直的性质，结合直角三角形的性质判断球心的位置，进而列方程求得半径，再利用球的表面积公式进行求解即可. 【解答过程】因为，且， 所以， 所以是以为斜边的等腰直角三角形， 设的中点为，连接， 因为是边长为2的等边三角形， 所以，且. 又因为二面角的大小为， 所以平面平面， 又平面平面，所以平面， 所以三棱锥外接球的球心在上，设为， 如图，连接，设球的半径为， 所以有， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C. 6．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知三棱锥，⊥平面，，=90o，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（     ） A．20 B．18 C．16 D．12 【答案】A 【解题思路】根据已知体积求出三棱锥各棱长，利用三棱锥三条棱两两垂直的特点将其补为长方体，通过长方体体对角线求出外接球半径，进而计算外接球表面积. 【解答过程】已知，，设，则， 由题意，又平面， 所以，已知， 解得，即，得， 因此，， 将三棱锥补成一个长方体，如图，则为三棱锥外接球的直径， 在中，，外接球半径， 则，外接球表面积. 故选：A. 7．（2026·安徽·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若，则该模型中一个小球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，可得大球的半径，设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，得到，即可得解. 【解答过程】如图所示，设大球的球心为，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，高为，的中点为，连接. 棱长，则，， 正四面体的高. 因为，所以，所以. 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高，所以， 所以小球的表面积为. 故选：A. 8．（2026·云南保山·二模）平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的投影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】平面与球相交截面是一个圆，首先确定外接球球心及半径，再求球心到平面距离，最后根据勾股定理求截面半径． 【解答过程】 如图，设中点为，，， ，，即， ，则，． 又平面，平面，， 则，，即， 三棱锥中，，均为直角三角形， 且平面平面， 三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径， 设到平面的距离为，外接球被平面截得的截面半径为， 对于三棱锥，高为，底面积， 故， ， ，，解得， 截面半径，面积为． 故选：A. 二、多选题 9．（2026·黑龙江·模拟预测）如图，在棱长均为1的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（    ） A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为 【答案】ABD 【解题思路】根据空间向量的运算，利用空间中的一组基底表示其他向量，利用向量的线性运算和数量积运算计算结果，判断A，B，C选项；利用棱锥的共斜边特点可以找到球心计算半径，根据等体积法计算球心到平面的距离，得到截面的圆半径，进而计算面积即可判断D选项． 【解答过程】 由图可知：，故A正确； 因为底面是正方形，且， 所以，， ； 所以 ，故B正确 因为， 故； ， 故，故C错误； 外接圆的圆心为的中点， 因为，， 故，故； 故外接圆的圆心也为的中点， 故外接球的圆心为的中点，半径为； 设圆心到平面的距离为d， 由， ； 设到底面的距离为， ， 如图所示，设在平面中的投影为，则在底面的投影向量为； 因为， 故 ， 故，四棱锥为正四棱锥， 故，， 故； 所以， 故，解得， 故截面半径为：， 故截面面积为，故D正确． 故选：ABD. 10．（2026·江苏苏州·三模）已知正四棱柱中，，则（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．三棱锥的外接球的半径为 D．三棱锥的内切球的半径为 【答案】AD 【解题思路】先利用线线平行的传递性求得为异面直线与所成角，再在中利用余弦定理即可得解判断A，根据线面角的定义证明为直线与平面所成角，解三角形求其余弦即可判断B，对于C，结合条件可得等价于求正四棱柱的外接球半径，结合长方体性质可求半径，由此即可判断，对于D，由条件结合内切球性质求半径即可判断. 【解答过程】对于A，因为在正四棱柱中，， 所以四边形是平行四边形，则， 所以为异面直线与所成角， 由已知，四边形为正方形，，平面， 在中，，，则， 由余弦定理得，A正确； 对于B，因为平面，所以为直线与平面所成角， 在中，， ，， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为，B错误； 三棱锥的外接球也是正四棱柱的外接球， 正四棱柱的外接球的半径为，C错误， 设三棱锥的内切球半径为，三棱锥的表面积为，体积为， 则， 由， ， 所以 ，所以，D正确. 故选：AD. 11．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在四棱台中，，平面，底面为正方形，则（   ） A．BD⊥平面 B．该四棱台的体积为 C．二面角的大小为 D．四棱锥的外接球的球心在上 【答案】ABD 【解题思路】A选项，利用线面垂直的判定定理即可证明；B选项，代入棱台的体积公式即可求得；C选项，利用定义找出二面角的平面角即可；D选项，根据球的截面性质即可找出球心. 【解答过程】对于A：因为底面为正方形，所以，因为平面， 平面，所以，又，平面， 所以平面，故A正确； 对于B：该四棱台的体积为，故B正确； 对于C：因为平面，平面，所以， 又因为，平面，，所以平面， 因为平面，所以，又因为，所以二面角的平面角即为， 因为，所以，故C错误； 对于D：因为平面，底面为正方形，所以四棱锥的外接球的球心在过正方形的中心且垂直于平面的直线上， 同时也在过的外心且垂直于平面的直线上，易知是以为直角的直角三角形， 则两直线的交点为的中点，所以四棱锥的外接球的球心即为的中点，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 12．（2026·广东珠海·模拟预测）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为___________． 【答案】 【解题思路】先求出底面正三角形的外接圆半径，再结合侧棱垂直底面的几何特征计算外接球半径，最后代入球的表面积公式求解． 【解答过程】 设底面正的外接圆圆心为，外接圆半径为， 已知是正三角形，边长， 则其外接圆半径为， 平面， 三棱锥的外接球球心在过且垂直于平面的直线上， 且球心到平面的距离， 外接球半径为：， 由球的表面积公式得． 故答案为：． 13．（2026·山东聊城·二模）如图，在三棱柱中，底面，且，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为___________.    【答案】 【解题思路】将三棱锥补成直三棱柱，由题设易得三棱锥的外接球的半径为，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离为，进而求解即可. 【解答过程】如图所示，将三棱锥补成直三棱柱， 分别取的中点，连接，取的中点，连接， 由底面，， 则分别为的外心，，， 由题意知，三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，为球心， 则外接球的半径为. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    易知，，， 则. 设平面的一个法向量为， 则，令，得，又， 所以点到平面的距离为， 则平面截三棱锥的外接球的截面圆的半径， 所以截面圆的面积为. 故答案为：. 14．（2026·陕西咸阳·三模）如图，在正四棱锥中，侧棱与底面所成角的余弦值为，该四棱锥侧面积为，且大球，与小球均与该四棱锥的四个侧面相切，大球与小球相切，大球与底面相切，则三棱锥的体积为___________．    【答案】 【解题思路】根据正四棱锥及球的性质，结合已知条件，运用几何法求出侧面积及小球半径，进而利用三棱锥的体积公式求解． 【解答过程】设底面正方形的中心为，连接，则正四棱锥的高为， 侧棱与底面所成角为，则， ，即， 设底面边长为，侧面斜高为，则， ， 侧面积为，解得， 取中点，连接，作，，则，    设大球半径为，小球半径为，则， ，解得， 同理，解得， ． 故答案为：． 四、解答题 15．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）如图，已知 均为圆台 的母线，四边形 为圆台的轴截面，且 ，. (1)证明：； (2)已知二面角 的余弦值为 ，求三棱锥 的外接球的半径. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）证法一：根据圆台是由圆锥截成的，再由面面平行的性质可得；证法二：根据向量共线证明 ，结合向量共线性质证明结论； （2）先用勾股定理证明，进而证明，然后建立空间直角坐标系，用向量的方法由二面角的值可得圆台的高，设三棱锥 的外接球球心为 ，设 ，根据，列方程求，由此可求结论. 【解答过程】（1）证明：证法一：因为均为圆台的母线， 所以延长必交于一点，如图： 因为，所以确定一个平面， 又因为圆台的上下底面互相平行，即平面平面， 因平面平面，平面平面， 根据面面平行的性质定理，得； 证法二：利用向量共线证线线平行 由题知，，， 所以 ， 所以 . 又直线 无公共点，所以. （2）连接， 由已知，得，，分别为上下底面圆的直径， 因此上底面的半径，下底面的半径. 又因为在上底圆，，， 由，可得，即， 由（1）知与必相交于点，所以共面， 因为，，平面，， 所以平面，又因为，所以平面， 且平面，所以； 故以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系： 设，则， 于是，， 设平面的法向量为， 由，故可取； 又， 设平面的法向量为， 由，故可取， 因二面角的余弦值为， 所以 ，解得（负值舍去）， 所以圆台的高. 设三棱锥 的外接球球心为，易得,则在直线上， 设，又，所以 ， 由，得，解得， 所以三棱锥的外接球的半径. 16．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面，，，，，E是CD的中点． (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成的角的正弦值为，求四棱锥外接球的直径. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）先应用线面垂直判定定理得出平面，再应用面面垂直判定定理证明； （2）先建系，再设点应用线面角正弦值得出，最后应用球的性质计算求解直径. 【解答过程】（1）证明：因为，是的中点，所以． 平面，平面， 所以． 是平面内的两条相交直线，所以平面． 平面，所以平面平面． （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设， 则相关各点的坐标为：，，，，． ，由（1）知，平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则，解得， 取中点为四边形的中心， 取中点，，所以平面，，为球心， 所以直径； 17．（2026·陕西渭南·三模）如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，．    (1)证明：； (2)求三棱锥外接球的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）先证平面，再根据线面垂直的概念可得. （2）先确定三棱锥外接球的球心位置，再求外接球半径，根据球的体积公式求球的体积. （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【解答过程】（1）因为是以为斜边的等腰直角三角形， 是的中点，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又平面，所以. （2）如图：    取的中心，因为为等边三角形，所以. 又平面，平面，所以. 因为是以为斜边的等腰直角三角形， 是的中点，所以. 所以，即. 所以为三棱锥外接球的球心，设其半径为， 则 . 所以所求球的体积为 . （3）以为原点，，，所在射线分别为轴，轴，轴，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 所以，，，. 设平面的法向量为， 则 ，可取. 设平面的法向量为， 则 ，可取. 设平面与平面所成的二面角为， 则 . 18．（2026·广东广州·三模）如图1所示，是边长为2的正三角形，四边形是一个等腰梯形，，现在沿着把折起到的位置，连接，使得，如图2所示． (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的外接球的半径； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）应用勾股定理得出，进而应用线面垂直判定定理得出平面BCDE，最后应用面面垂直判定定理证明； （2）根据线面垂直，设，再根据外接球性质列式计算求解得出半径； （3）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再应用线面角正弦公式计算求解. 【解答过程】（1）取BE的中点为O，连接，OC，OD， 是边长为2的正三角形，可得， 又由等腰梯形，且，可得，且， 因为，所以，所以， 因为，且OC，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）连接，易得，因为，所以， 所以△的外接圆圆心为，又平面， 所以三棱锥的外接球的球心在直线上， 如图，设外接球半径为，， 则，解得， 所以； （3）取CD的中点F，连接OF，因为四边形为等腰梯形， 且O为BE的中点，所以，又因为平面， 以O为坐标原点，OB，OF，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则， 取，可得，，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．（2026·四川眉山·模拟预测）如图三棱锥中，是边长为2的等边三角形，中且． (1)若是的中点，且，求证：平面平面； (2)在（1）的条件下求三棱锥外接球的表面积； (3)设二面角的大小为，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）先证明平面，从而得到，结合可得平面，故平面平面； （2）根据（1）中的条件，将三棱锥补全为正三棱柱，得到外接球球心即为两个底面的中心连线的中点，使用勾股定理计算即可得到半径，进而得到表面积； （3）以的中点为原点，平行于为轴方向，为轴方向，垂直于平面向上为轴方向，建立坐标系，设从轴逆时针转到的角度为（从左侧看），利用空间向量法得到平面和平面的法向量，得到夹角表达式，最后利用变量代换求得最小值. 【解答过程】（1）证明：在等边中，是的中点， ，又且平面， 平面，又平面， ，又且平面， 平面，又平面， 平面平面. （2）由（1）知平面，且为等边三角形， 故可将三棱锥补全为正三棱柱，三棱柱的高， 则三棱锥的外接球就是三棱柱的外接球， 外接球的球心为等边三角形和的中心连线的中点， 半径， 所以三棱锥外接球的表面积为； （3）取的中点为原点，平行于为轴方向，为轴方向， 垂直于平面向上为轴方向，建立如图所示的坐标系， 设从轴逆时针转到的角度为（从左侧看）， 则，，，， ，， 设是平面的一个法向量， 则有， 取，则  ，指向三棱锥外， 设是平面的一个法向量， 则有， 取，则，  指向三棱锥内， 得， 令， 则，   当，即时取等号， 所以的最小值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点20 立体几何中的外接球、内切球问题 【全国通用】 【题型1 外接球问题】 4 【题型2 内切球问题】 5 【题型3 棱切球模型问题】 5 【题型4 多球相切问题】 6 【题型5 外接球之二面角模型】 7 【题型6 与球的切、接有关的最值问题】 8 【题型7 与球的切、接有关的截面问题】 8 【题型8 多面体与球体内切外接综合问题】 9 1、立体几何中的外接球、内切球问题 球的切、接问题是历年高考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，球的切、接问题在选择题、填空题、解答题中都有可能出现，考查空间想象能力、计算能力，难度中等。其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或转化为特殊几何体的切、接问题来解决，球的切、接问题求解方法多种多样，解题时要学会灵活求解。 考点1 球的切、接问题 知识点1 正方体、长方体与球的切、接问题 1．正方体与球的切、接问题 (1)内切球：内切球直径2R=正方体棱长a. (2)棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对角线长. (3)外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长. 2．长方体与球 外接球：外接球直径2R=体对角线长( a,b,c分别为长方体的长、宽、高). 知识点2 正棱锥与球的切、接问题 1．正棱体与球的切、接问题 (1)内切球：(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高. (2)外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，(正棱锥外接球半径为R，高为h). 知识点3 正四面体的外接球、内切球 1．正四面体的外接球、内切球 若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则，， ，. 知识点4 正三棱柱的外接球 1．正三棱柱的外接球 球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心. 若正三棱柱的高为h柱，正三棱柱的外接球半径为R，则. 知识点5 圆柱、圆锥的外接球 1．圆柱的外接球 (R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径). 2．圆锥的外接球 (R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径). 知识点6 空间几何体与球的切、接问题的解题策略 1．常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 2．空间几何体外接球问题的求解方法： 空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种： (1)定义法：利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. (2)补形法：若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解. (3)截面法：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解. 3．内切球问题的求解策略： (1)找准切点，通过作过球心的截面来解决. (2)体积分割是求内切球半径的通用方法. 【题型1 外接球问题】 【例1】（2026·重庆·模拟预测）已知正四棱台， ，则该正四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·河北保定·一模）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球表面积（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·四川成都·三模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·黑龙江·二模）在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（   ） A．5π B．10π C．28π D．56π 【题型2 内切球问题】 【例2】（2025·四川眉山·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·云南·三模）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·山东聊城·三模）上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·天津·二模）如图，在正方体中，三棱锥和的公共部分形成的几何体为.若的体积记为，的内切球的体积记为，则（   ） A． B． C． D． 【题型3 棱切球模型问题】 【例3】（2026·河北邢台·一模）在正三棱柱中，，若该正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·全国·模拟预测）在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则__________． 【变式3-3】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为___________. 【题型4 多球相切问题】 【例4】（2026·海南·模拟预测）在正三棱锥中，，如图，首先将一半球水平放置于三棱锥内部，其球心与的中心重合，随后将另一小球放置于该半球正上方，使得该小球与正三棱锥的三个侧面均相切，则半球球面面积（不包括底面积）和小球表面积之和最小时，小球的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·重庆·三模）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为___________.    【变式4-3】（2026·浙江·模拟预测）如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为3和6的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为___________． 【题型5 外接球之二面角模型】 【例5】（2026·安徽合肥·模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·广西南宁·二模）在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·湖南湘潭·三模）如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【题型6 与球的切、接有关的最值问题】 【例6】（2026·四川泸州·二模）三棱锥的底面为正三角形，侧棱底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·山东日照·一模）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·湖南·二模）在正三棱柱中，为线段上的动点，为边上靠近B的三等分点，则三棱锥的外接球体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·江苏·模拟预测）某圆锥的侧面展开图是一个弧长为，圆心角为的扇形．若将一个球放入该圆锥体内，则球的表面积的最大值为（      ） A． B． C． D． 【题型7 与球的切、接有关的截面问题】 【例7】（2026·陕西榆林·三模）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体外接球所得截面的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·重庆·模拟预测）在正四棱锥中，，当过，，三点的球的体积最小时，该球被平面所截截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·广东·模拟预测）已知空间四边形的各边长均为6，且，平面平面，点在边上，且，过作四边形外接球的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·江苏·模拟预测）已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型8 多面体与球体内切外接综合问题】 【例8】（2026·吉林·模拟预测）设正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，若该四棱锥的外接球与内切球的球心重合，则外接球半径与内切球半径之比为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·云南大理·模拟预测）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）．如图所示，正八面体的棱长为，此八面体的外接球与内切球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·天津和平·一模）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·山东枣庄·二模）如图，以正四面体的四个顶点为球心，以棱长为半径分别作四个球，它们的公共部分形成的几何体叫做“勒洛四面体”．若正四面体的棱长为4，则（    ） A．此“勒洛四面体”外接球的体积是 B．此“勒洛四面体”的内切球的半径是 C．此“勒洛四面体”表面上交线弧的长度为 D．过三点的截面面积是 一、单选题 1．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）一个三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，且长度分别为，，，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·云南·三模）将边长为2的正方形沿对角线翻折，得到三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津滨海新区·三模）已知多面体，面，四边形为矩形，，且，则多面体外接球的体积与此多面体的体积之比为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·山西忻州·模拟预测）在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知三棱锥，⊥平面，，=90o，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（     ） A．20 B．18 C．16 D．12 7．（2026·安徽·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若，则该模型中一个小球的表面积为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·云南保山·二模）平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的投影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·黑龙江·模拟预测）如图，在棱长均为1的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（    ） A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为 10．（2026·江苏苏州·三模）已知正四棱柱中，，则（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．三棱锥的外接球的半径为 D．三棱锥的内切球的半径为 11．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在四棱台中，，平面，底面为正方形，则（   ） A．BD⊥平面 B．该四棱台的体积为 C．二面角的大小为 D．四棱锥的外接球的球心在上 三、填空题 12．（2026·广东珠海·模拟预测）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为___________． 13．（2026·山东聊城·二模）如图，在三棱柱中，底面，且，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为___________.    14．（2026·陕西咸阳·三模）如图，在正四棱锥中，侧棱与底面所成角的余弦值为，该四棱锥侧面积为，且大球，与小球均与该四棱锥的四个侧面相切，大球与小球相切，大球与底面相切，则三棱锥的体积为___________．    四、解答题 15．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）如图，已知 均为圆台 的母线，四边形 为圆台的轴截面，且 ，. (1)证明：； (2)已知二面角 的余弦值为 ，求三棱锥 的外接球的半径. 16．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面，，，，，E是CD的中点． (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成的角的正弦值为，求四棱锥外接球的直径. 17．（2026·陕西渭南·三模）如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，．    (1)证明：； (2)求三棱锥外接球的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 18．（2026·广东广州·三模）如图1所示，是边长为2的正三角形，四边形是一个等腰梯形，，现在沿着把折起到的位置，连接，使得，如图2所示． (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的外接球的半径； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 19．（2026·四川眉山·模拟预测）如图三棱锥中，是边长为2的等边三角形，中且． (1)若是的中点，且，求证：平面平面； (2)在（1）的条件下求三棱锥外接球的表面积； (3)设二面角的大小为，求的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $