重难点专训02 内切球与外接球问题七大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以内切球与外接球问题为核心，构建“通法引领-题型突破-分层提升”体系，通过5大通法系统提炼与7类题型梯度设计，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法提炼|5大通法|定义法定位球心、补形法构造长方体、截面法化球为圆、等体积法求内切球、坐标法建系求解|从几何定义出发，通过补形、截面实现空间问题平面化，结合体积与坐标工具形成完整方法论| |题型应用|7类题型（含创新题）|基础送分题（长方体/正方体）、能力拔高题（最值/旋转体）|按几何体复杂度递进，从规则多面体到一般三棱锥，从外接球到内切球，实现知识迁移与推理能力提升|

重难点专训02 内切球与外接球问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 长方体与正方体的外接球（基础送分） 2 题型2 直棱柱的外接球 3 题型3 正棱锥的外接球 3 题型4 一般三棱锥的外接球（线面垂直型、面面垂直型） 4 题型5 内切球问题（等体积法） 5 题型6 球的截面与最值问题（能力拔高） 6 题型7 旋转体与组合体的切接问题 6 重难专题分层过关练 8 巩固过关 8 创新提升 9 解题方法及技巧提炼 通法1　定义法（直接定位球心） 依据：外接球球心到各顶点等距，内切球球心到各面等距；且球心必在经过某个面外心且垂直于该面的直线上。 操作步骤： 1. 取两个特殊面（通常取底面与一个侧面），分别求其外接圆圆心（外心）； 2. 分别过两个外心作所在面的垂线，两条垂线的交点即为球心； 3. 球心到任一顶点的距离即外接球半径 （内切球则为球心到任一面的距离 ）。 实用简化：当几何体的顶点在底面外心正上方时（如正棱锥、线面垂直型三棱锥），球心必在顶点与底面外心连线上，只需”设参列方程”：设球心距底面为 ，由”球心到顶点的距离＝球心到底面外心（任选一顶点）的距离”列方程解出 与 。 通法2　补形法（构造长方体） 思想：把一个”不好找球心”的几何体，补成一个”球心显然”的长方体（或正方体）——因为长方体的外接球球心即体对角线中点，直径即体对角线，所以 。补形不改变外接球，只是让球心”现形”。 墙角模型：三棱锥的三条侧棱两两垂直（如 ），直接补成长方体； 对棱相等模型：四面体的三组对棱分别相等，可补成长方体，且对棱恰为长方体相对面的对角线； 正四面体：棱长为 的正四面体可补入棱长为 的正方体。 通法3　截面法（化球为圆） 思想：过球心作一个截面（对旋转体取轴截面），把三维空间问题转化为二维平面问题——圆与三角形、矩形、梯形的外接圆或内切圆问题。 典型应用： - 圆锥外接球：轴截面为等腰三角形，问题化为求该等腰三角形的外接圆半径； - 圆锥内切球：轴截面为等腰三角形，问题化为求其内切圆半径； - 圆柱外接球：轴截面为矩形，外接球半径即矩形对角线的一半； - 圆台外接球：轴截面为等腰梯形，问题化为求等腰梯形的外接圆半径。 注意：作轴截面时，球心在截面内，且球在轴截面中的”形象”是一个圆（大圆）。 通法4　等体积法（求内切球半径） 依据：若棱锥内切球半径为 ，则棱锥体积等于”各面为底、 为高”的小锥体体积之和，即 其中 为棱锥的全面积。 适用：任意棱锥、正多面体的内切球——不必找球心，只要会算体积和表面积即可，是内切球问题的”通杀方法”。 通法5　坐标法（建系列方程） 思想：建立空间直角坐标系，设球心 ，由”到各顶点距离相等”列方程组： 解出 后再求半径。 适用：便于建系的直棱柱、顶点坐标易得的几何体；也常用于”面面垂直型”三棱锥等需要严谨定位的模型。 题型通法及变式提升 题型1 长方体与正方体的外接球（基础送分） 长方体（正方体）的体对角线即外接球直径，直接套公式 。 1．一个长方体的长、宽、高分别为5，4，3，则它的外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 2.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，则这个球的体积是（    ） A． B． C． D． 3.长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，则球的表面积为___________． 题型2 直棱柱的外接球 直棱柱的球心在上下底面外心连线的中点，由 求半径，其中 为底面多边形的外接圆半径。 4.已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 5.如图，在直三棱柱中，，，，D为棱AB的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体体积为（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 6.已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若存在球O与该三棱柱的各条棱都相切，求该直三棱柱的外接球的体积为__________. 7.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，则球的表面积为______． 题型3 正棱锥的外接球 正棱锥的顶点投影为底面外心，球心在顶点与底面外心的连线上。设底面外接圆半径为 、锥高为 ，则 8.已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 9.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为_____________. 10．（2025·上海嘉定·二模）某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π立方米的球形景观灯所在球面上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足．当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为______米（精确到0.01米）． 题型4 一般三棱锥的外接球（线面垂直型、面面垂直型） 方法：按”定义法”取两个面的外心作垂线找球心；或建系用坐标法。两类高频模型需熟记定位规律： 线面垂直型：若 平面 ，则顶点 在底面上的投影为 。此时仍可”设参列方程”：设球心在过底面外心 垂直于底面的直线上，距底面为 ，由 得 ，解得 （）。它与正棱锥公式形式一致，可统一记忆为”顶点投影为底面外心时，“。 面面垂直型：两个互相垂直的平面（如平面 平面 ），分别取两面的外心，过外心作所在面的垂线，两垂线交点即球心。 11．（2025·上海浦东新·三模）已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 12．在三棱锥中，平面，， ，，则三棱锥 的外接球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 13．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（   ） A．52π B．39π C．26π D．13π 14．如图，在三棱锥中，两两垂直，，.    (1)求三棱锥外接球的表面积. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 15．如图，圆台的下底面的内接正方形的边长为4，是上底面圆周上的一点，且满足，． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的外接球的表面积； (3)是的中点，是上底面圆周上的一点，求异面直线与所成角的余弦值的最大值． 题型5内切球问题（等体积法） 内切球半径统一用等体积法 ，不必找球心。 16.已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为___________. 17.一边长为2的正方体，如图所示，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为________． 18.已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（   ）． A． B． C．． D． 19.如图，在正四棱锥P－ABCD中，AB＝2，侧面PAD与底面ABCD的夹角为. (1)求正四棱锥P－ABCD的体积； (2)若点M是正四棱锥P－ABCD内任意一点，点M到平面ABCD，平面PAB，平面PBC，平面PCD，平面PDA的距离分别为，，，，，证明：； (3)若球O是正四棱锥P－ABCD的内切球，点Q是正方形ABCD内一动点，且OQ＝OP，当点Q沿着它所在的轨迹运动一周时，求线段OQ所形成的曲面与底面ABCD所围成的几何体的表面积. 题型6 球的最值问题（能力拔高） 20．已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 21．已知直三棱柱的体积为24，，若直三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为________. 22．三棱锥中，，，，那么三棱锥外接球的表面积的最小值是_____． 23.已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最大值为_________. 题型7 旋转体与多面体的切接问题 旋转体一律作轴截面，把球化为截面圆，问题转化为平面几何中圆与三角形、矩形、梯形的相切或外接问题。 24．（25-26高三上·上海杨浦·期中）如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该球的体积与圆台的体积之比为（   ）    A． B． C． D． 25．（25-26高三上·上海·期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去个三棱锥，得到个面为正三角形、个面为正方形的一种半正多面体，若，则此半正多面体外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 26.如图所示，四边形为正方形，将围绕旋转60°得到三棱锥，且三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 27. 已知正方体的棱长为2，一个正四面体可以在该正方体内部绕着某个点任意转动而不会卡住，则该正四面体的棱长最长为___________ 28. 重难专题分层过关练 巩固过关 1.已知四面体的顶点坐标为，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2.在三棱锥中，，，侧棱长都等于，其中在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3.在三棱锥中，，O为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4.已知三棱锥，，，，，三棱锥外接球的表面积与三棱锥的侧面积之比为（   ） A． B． C． D． 5.“阳马”是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.《九章算术》总结了先秦时期的数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响.书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？”其意思为“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为_______平方尺. 6.如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上），若正方体的棱长为2，则半球的体积为____________. 7．（2025·上海黄浦·三模）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则该鳖臑的体积为________． 8.在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________． 创新提升 1.一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 2.在一个圆锥中，为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则对于下列结论，说法正确的是（    ） ①该圆锥的外接球体积为；②三棱锥的内切球表面积为 A．①为真命题，②为真命题 B．①为假命题，②为真命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为假命题 3.如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法中：①动点轨迹的长度为；②三棱锥体积的最小值为；③与不可能垂直；④当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为；其中正确的有（   ） A．① ②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 4.如图1，在等腰梯形中，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示.则当二面角的平面角的大小为时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 5.在三棱锥中，，且，E，F分别是PC，AC的中点，，则三棱锥外接球的表面积为______． 6.在三棱锥中，是边长为6的正三角形，，，且二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为______. 7.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体.如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为__________. 8.已知一个正三棱锥的高为6，底面边长为12，动点分别在其内切球和外接球上，则线段长度的取值范围是______. 9.如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点，经过A，，E三点的平面记为平面. (1)平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）； (2)点P是在侧面内的动点，满足，当最短时，求三棱锥的外接球的表面积. 10．（2026·上海·一模）如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形． (1)若E是PB上任意一点，四边形ABCD是菱形，，BD= 6，当面积的最小值是9时，求证：平面； (2)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．若四棱锥是阳马，PD=5，CD=4，AD=3，求：该阳马的外接球表面积； (3)若四棱锥是阳马，且，点可能为的中点，试确定点E位置使得四面体为鳖臑，并证明． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 内切球与外接球问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 长方体与正方体的外接球（基础送分） 2 题型2 直棱柱的外接球 4 题型3 正棱锥的外接球 6 题型4 一般三棱锥的外接球（线面垂直型、面面垂直型） 8 题型5 内切球问题（等体积法） 12 题型6 球的截面与最值问题（能力拔高） 16 题型7 旋转体与组合体的切接问题 19 重难专题分层过关练 22 巩固过关 22 创新提升 27 解题方法及技巧提炼 通法1　定义法（直接定位球心） 依据：外接球球心到各顶点等距，内切球球心到各面等距；且球心必在经过某个面外心且垂直于该面的直线上。 操作步骤： 1. 取两个特殊面（通常取底面与一个侧面），分别求其外接圆圆心（外心）； 2. 分别过两个外心作所在面的垂线，两条垂线的交点即为球心； 3. 球心到任一顶点的距离即外接球半径 （内切球则为球心到任一面的距离 ）。 实用简化：当几何体的顶点在底面外心正上方时（如正棱锥、线面垂直型三棱锥），球心必在顶点与底面外心连线上，只需”设参列方程”：设球心距底面为 ，由”球心到顶点的距离＝球心到底面外心（任选一顶点）的距离”列方程解出 与 。 通法2　补形法（构造长方体） 思想：把一个”不好找球心”的几何体，补成一个”球心显然”的长方体（或正方体）——因为长方体的外接球球心即体对角线中点，直径即体对角线，所以 。补形不改变外接球，只是让球心”现形”。 墙角模型：三棱锥的三条侧棱两两垂直（如 ），直接补成长方体； 对棱相等模型：四面体的三组对棱分别相等，可补成长方体，且对棱恰为长方体相对面的对角线； 正四面体：棱长为 的正四面体可补入棱长为 的正方体。 通法3　截面法（化球为圆） 思想：过球心作一个截面（对旋转体取轴截面），把三维空间问题转化为二维平面问题——圆与三角形、矩形、梯形的外接圆或内切圆问题。 典型应用： - 圆锥外接球：轴截面为等腰三角形，问题化为求该等腰三角形的外接圆半径； - 圆锥内切球：轴截面为等腰三角形，问题化为求其内切圆半径； - 圆柱外接球：轴截面为矩形，外接球半径即矩形对角线的一半； - 圆台外接球：轴截面为等腰梯形，问题化为求等腰梯形的外接圆半径。 注意：作轴截面时，球心在截面内，且球在轴截面中的”形象”是一个圆（大圆）。 通法4　等体积法（求内切球半径） 依据：若棱锥内切球半径为 ，则棱锥体积等于”各面为底、 为高”的小锥体体积之和，即 其中 为棱锥的全面积。 适用：任意棱锥、正多面体的内切球——不必找球心，只要会算体积和表面积即可，是内切球问题的”通杀方法”。 通法5　坐标法（建系列方程） 思想：建立空间直角坐标系，设球心 ，由”到各顶点距离相等”列方程组： 解出 后再求半径。 适用：便于建系的直棱柱、顶点坐标易得的几何体；也常用于”面面垂直型”三棱锥等需要严谨定位的模型。 题型通法及变式提升 题型1 长方体与正方体的外接球（基础送分） 长方体（正方体）的体对角线即外接球直径，直接套公式 。 1．一个长方体的长、宽、高分别为5，4，3，则它的外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设长方体的外接球的半径为， 则，即， 所以外接球的表面积是. 故选：B. 2.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，则这个球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，该球为正方体的外接球，正方体的棱长为， 所以体对角线为该球的半径， 所以，这个球的体积是. 故选：B 3.长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，则球的表面积为___________． 【答案】 【详解】    由题可得：， 因为长方体的外接球的一条直径是，所以外接球的半径为， 由球的表面积公式可得：， 故答案为： 题型2 直棱柱的外接球 直棱柱的球心在上下底面外心连线的中点，由 求半径，其中 为底面多边形的外接圆半径。 4.已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题直三棱柱底面三角形外接圆半径为， 内切圆半径为， 所以外接球半径满足，故； 内切球半径为，故， 因此. 故答案为： 5.如图，在直三棱柱中，，，，D为棱AB的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体体积为（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【详解】因为，，，则，可得， 将直三棱柱补成长方体，如图所示： 可知三棱柱的外接球即为长方体的外接球， 则球的半径， 又因为球的表面积为，则，解得， 所以四面体体积. 故选：B. 6.已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若存在球O与该三棱柱的各条棱都相切，求该直三棱柱的外接球的体积为__________. 【答案】 【详解】由题意,三棱柱是正三棱柱，设点分别为棱柱的下底面和上底面的中心， 由对称性知，的中点即球的球心，取中点(为切点)，则（等于点到棱的距离）， 设球的半径为，由正三角形的性质，与底面垂直， 则必与底面上直线垂直，故,解得. 又由对称性知，该直三棱柱的外接球球心即点，连接,因, 则即该直三棱柱的外接球的半径， 故该球的体积为：. 故答案为：.    7.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，则球的表面积为______． 【答案】 【详解】由，可知，，故， 将直三棱柱补成如图所示， 以为邻边的长方体， 故直三棱柱外接球半径等于长方体体对角线一半，即半径， 所以球的表面积为， 故答案为：. 题型3 正棱锥的外接球 正棱锥的顶点投影为底面外心，球心在顶点与底面外心的连线上。设底面外接圆半径为 、锥高为 ，则 8.已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示，作面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接. 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，即， 所以， 设外接球半径为，则，， 所以在中，可得， 解得，则外接球体积为. 故选：B. 9.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为_____________. 【答案】 【详解】如图，为正三角形的中心，为三棱锥外接球球心， 因为正三棱锥中，底面边长为3，侧棱长为2， 所以，则， 所以高． 由球心到四个顶点的距离相等， 在直角三角形中，，， 由，所以，解得， 所以外接球的半径为，所以它的外接球的体积为. 故答案为：． 10．（2025·上海嘉定·二模）某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π立方米的球形景观灯所在球面上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足．当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为______米（精确到0.01米）． 【答案】 【详解】若球的半径为，则，可得，又， 对于正四棱锥，设底面边长为，高为， 则，所以，即， 又，则，故，即， 纪念碑体积，令， 对于，则在上单调递减， 当时，即在上单调递增， 当时，即在上单调递减， 所以，故，此时米. 故答案为： 题型4 一般三棱锥的外接球（线面垂直型、面面垂直型） 方法：按”定义法”取两个面的外心作垂线找球心；或建系用坐标法。两类高频模型需熟记定位规律： 线面垂直型：若 平面 ，则顶点 在底面上的投影为 。此时仍可”设参列方程”：设球心在过底面外心 垂直于底面的直线上，距底面为 ，由 得 ，解得 （）。它与正棱锥公式形式一致，可统一记忆为”顶点投影为底面外心时，“。 面面垂直型：两个互相垂直的平面（如平面 平面 ），分别取两面的外心，过外心作所在面的垂线，两垂线交点即球心。 11．（2025·上海浦东新·三模）已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为平面，所以底面， 因为点到底面的距离为1．所以． 因为平面， 所以平面，而平面，故，， 即该球的直径为 所以球的半径为． 故选：B 12．在三棱锥中，平面，， ，，则三棱锥 的外接球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将三棱锥补全成为长方体，那么该三棱锥的外接球也是长方体的外接球， 则外接球半径为 . 那么三棱锥的外接球的表面积为 . 故选：B. 13．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（   ） A．52π B．39π C．26π D．13π 【答案】A 【详解】令是三棱锥P-ABC外接球的球心，是在平面上的射影.，分别为的中点，则∥. ∵，∴. ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面 ∵是等边三角形，∴，是的重心. 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. ∵，，则， ∴，. 设，由,得， 化简得解得. ∴三棱锥外接球的表面积为. 故选：A. 14．如图，在三棱锥中，两两垂直，，.    (1)求三棱锥外接球的表面积. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）由题可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体，    所以三棱锥外接球即为长方体的外接球， 所以所求外接球半径为， 三棱锥外接球的表面积为； （2）设点O到平面的距离为d，， 所以，， 则由， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 15．如图，圆台的下底面的内接正方形的边长为4，是上底面圆周上的一点，且满足，． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的外接球的表面积； (3)是的中点，是上底面圆周上的一点，求异面直线与所成角的余弦值的最大值． 【详解】（1）由题设，，则，故， 由四边形为正方形，则，而都在平面内， 所以平面； （2）由平面，为等边三角形，将三棱锥补成正三棱柱， 设的中心为点，的中心为，则的中点为外接球球心， 所以的外接圆半径，， 所以外接球的半径， 因此三棱锥的外接球的表面积； （3）由，以为原点，所在直线为轴，建立如下图示的空间直角坐标系， 则，设，连接， 由平面，则平面平面， 则点到的距离等于，而，所以且， 由，，若异面直线所成角为， 则， 所以 ， 当且仅当时取等号，则， 所以异面直线与所成角的余弦值的最大值. 题型5内切球问题（等体积法） 内切球半径统一用等体积法 ，不必找球心。 16.已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为___________. 【答案】 【详解】如图所示，等腰梯形为圆台轴截面， 内接圆与梯形切于点，其中分别为上、下底面圆心， 则梯形的腰长，即圆台的母线长为， 所以该圆台的表面积为. 故答案为：. 17.一边长为2的正方体，如图所示，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为________． 【答案】 【详解】连接起交线后如下图所示，即两个三棱锥，的公共部分为一个边长为的正八面体， 作，的中点，，设内切球的半径， 所以，所以， ，，又，所以， 即表面积为． 故答案为： 18.已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（   ）． A． B． C．． D． 【答案】A 【详解】空间中的动点P满足， 则点P的轨迹是以为邻边的平行六面体， 将正四面体放入如图所示的正方体中， 则正四面体的内切球心O为正方体的中心， 设正方体的棱长为，所以，所以， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以， 所以以为邻边的平行四边形面积为： ， 设平面的法向量为， 则， 取，可得，所以，， 又因为点到平面距离为， 以为邻边的平行六面体的体积为：. 故选：A. 19.如图，在正四棱锥P－ABCD中，AB＝2，侧面PAD与底面ABCD的夹角为. (1)求正四棱锥P－ABCD的体积； (2)若点M是正四棱锥P－ABCD内任意一点，点M到平面ABCD，平面PAB，平面PBC，平面PCD，平面PDA的距离分别为，，，，，证明：； (3)若球O是正四棱锥P－ABCD的内切球，点Q是正方形ABCD内一动点，且OQ＝OP，当点Q沿着它所在的轨迹运动一周时，求线段OQ所形成的曲面与底面ABCD所围成的几何体的表面积. 【详解】（1）连接交于点，取的中点，连接， 由正四棱锥的几何特征可得为的中点，底面， ，， 因为为的中点， 所以， 所以即为面PAD与底面ABCD所成角的平面角，即， ，则， 所以； (2)证明：， 因为， 所以； （3）因为球O是正四棱锥P－ABCD的内切球， 由（2）可知点为点的一种情况， 所以（为内切球的半径）， 所以，故， 在中，， 所以点在以为圆心为半径的圆上， 所以点沿它所在的轨迹运动一周时，线段形成的曲面与底面所围成的几何体为圆锥， 所以线段OQ所形成的曲面与底面ABCD所围成的几何体的表面积为. 题型6 球的最值问题（能力拔高） 20．已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】设长方体的外接球半径为，且， 因为外接球表面积为，故，即， 又因为，可得，即， 所以该长方体的体积，当且仅当时，等号成立， 所以长方体的体积的最大值为. 故选：C． 21．已知直三棱柱的体积为24，，若直三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为________. 【答案】 【详解】设，，又， 所以直三棱柱的体积，解得. 设球O的半径为R，由题意知， 当且仅当时等号成立，所以球O表面积的最小值为. 故答案为：. 22．三棱锥中，，，，那么三棱锥外接球的表面积的最小值是_____． 【答案】 【详解】设的外接圆圆心为，半径为,的外接圆圆心为，半径为,三棱锥的外接球的半径为. 由题，,，设的中点为，则. 设二面角的平面角的大小为，则,，因为， 所以四点共圆，且为直径，由正弦定理可知， 故外接球半径. 令,, 所以当时，.所以. 故答案为：. 23.已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最大值为_________. 【答案】 【详解】依题意，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点，内切球半径， 由，平面，平面，得平面， 同理平面，又平面，， 则平面平面，由平面，平面，得平面， 因此点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 于是点到平面的距离为， 圆的半径为， 由，得，则， 所以的最大值为. 故答案为： 题型7 旋转体与多面体的切接问题 旋转体一律作轴截面，把球化为截面圆，问题转化为平面几何中圆与三角形、矩形、梯形的相切或外接问题。 24．（25-26高三上·上海杨浦·期中）如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该球的体积与圆台的体积之比为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：    由题意得，，过作于点， 则，所以,所以球的半径， 所以，所以. 故选：C 25．（25-26高三上·上海·期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去个三棱锥，得到个面为正三角形、个面为正方形的一种半正多面体，若，则此半正多面体外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，在正方体中，分别取正方体、正方形的中心、，连接、、、， 因为、分别为、的中点，则， 所以正方体的边长为， 故，可得， 根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等， 则该半正多面体外接球的球心为，半径， 故该半正多面体外接球的表面积为. 故选：B. 26.如图所示，四边形为正方形，将围绕旋转60°得到三棱锥，且三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设正方形的边长为a，则， 取AC中点O，连接BO，PO，则， 因为将围绕旋转60°得到三棱锥， 所以P到平面ABC的距离， 则三棱锥的体积， 解得， 因为与均为直角三角形，且AC为斜边，O为AC中点， 所以O为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径. 故选：D 27.已知正方体的棱长为2，一个正四面体可以在该正方体内部绕着某个点任意转动而不会卡住，则该正四面体的棱长最长为___________ 【答案】 【详解】由题意得，该正四面体在棱长为2的正方体的内切球内， 故该四面体内接于球时棱长最大， 因为棱长为2的正方体的内切球半径为， 如图，设正四面体，O为底面的中心，连接，则底面， 设正四面体的棱长为，设为正方体的内切球球球心， 则，正四面体的高， 利用勾股定理可知，解得：. 故答案为： 重难专题分层过关练 巩固过关 1.已知四面体的顶点坐标为，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设球心，半径为， 由，得到，解得， 所以，则该四面体外接球的表面积为， 故选：B. 2.在三棱锥中，，，侧棱长都等于，其中在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，，由余弦定理得： 所以， 由正弦定理，底面的外接圆半径满足，即，故， 由于侧棱长， 则顶点在底面上的投影为底面三角形的外心，则， 设，由勾股定理，即，解得：， 则外接球的球心必在过且垂直于底面的直线上， 设到的距离为，则， ，因，故，解得：， 所以球的半径，表面积为. 故选：D. 3.在三棱锥中，，O为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由为的外心，，得是的中点，又， 则，由平面，得三棱锥的外接球球心在射线上， 设该球半径为，则，由，得， 解得，所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D 4.已知三棱锥，，，，，三棱锥外接球的表面积与三棱锥的侧面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，，即，则， 可知的外接圆圆心为斜边的中点，    又因为，可知点在底面的投影为的外接圆圆心， 可得， 则三棱锥外接球的球心，设外接球的半径为， 可得，解得， 所以外接球的表面积为， 的面积为； 的面积为； 的面积为； 所以三棱锥的侧面积为， 所以三棱锥外接球的表面积与三棱锥的侧面积之比为. 故选：A. 5.“阳马”是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.《九章算术》总结了先秦时期的数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响.书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？”其意思为“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为_______平方尺. 【答案】 【详解】如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同 而该长方体的体对角线即长方体的外接球的直径，依题，的长分别为7，5，8， 则这个四棱锥的外接球的半径为， 故其外接球的表面积为. 故答案为：. 6.如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上），若正方体的棱长为2，则半球的体积为____________. 【答案】 【详解】设半球底面圆圆心为，过正方体底面对角线且垂直于底面作该组合体的截面，得到图形如图所示， 则为半球的半径， 而正方体内接于半球、且正方体的棱长为２、为正方体底面对角线， 故，， 故， 因此半球的体积. 7．（2025·上海黄浦·三模）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则该鳖臑的体积为________． 【答案】 【详解】 如图，根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中， 则三棱锥 的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥 的外接球的半径为， 三棱锥 的外接球的表面积为，，， ，，解得， . 故答案为：. 8.在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________． 【答案】 【详解】如图：    在中，，，所以. 取中点，则为外接圆的圆心，且外接圆半径为. 连接，因为，所以. 又（）. 所以，即. 又平面，，所以平面. 所以. 所以三棱锥外接球的球心在线段上，设为，再设三棱锥外接球的半径为， 在中，，，, 由. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 创新提升 1.一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 【答案】C 【详解】因为正方体棱长为，所以内切球的半径（内切球直径等于正方体棱长）, 对于球：球与正方体的三个面相切，故其球心坐标为； 球与球相切，两球心距离为，该距离等于， 由此得到递推关系：， 整理得， 所以是首项，公比的等比数列. 对于A：，A正确； 对于B：以上已证明，B正确； 对于C：等比数列前项和，因为， 所以，所以，C错误； 对于D：球的体积，， 因为是首项为，公比为的等比数列， 所以 所以，D正确； 故选：C. 2.在一个圆锥中，为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则对于下列结论，说法正确的是（    ） ①该圆锥的外接球体积为；②三棱锥的内切球表面积为 A．①为真命题，②为真命题 B．①为假命题，②为真命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【详解】 因为为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心， 是底面圆的内接正三角形，， 则， 设圆锥的外接球半径为, 则，解得， 所以圆锥的外接球体积为， 故①为假命题； 因为为线段的中点， 则， 故，则， 同理，且三棱锥是正三棱锥， 又， ， ， 设三棱锥的内切球的半径为， 则， 即，解得，即， 所以三棱锥的内切球的表面积，故②为真命题． 故选：B. 3.如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法中：①动点轨迹的长度为；②三棱锥体积的最小值为；③与不可能垂直；④当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为；其中正确的有（   ） A．① ②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【详解】对①，如图，令中点为，中点为，连接， 又正方体中，为棱的中点，可得， 所以易得平面，平面， 又，且平面，所以平面平面， 又平面，且平面， 平面，又为正方形内一个动点（包括边界）， 平面平面，而平面平面， ，即的轨迹为线段，由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项①正确； 对②，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为， 所以面积最小时，体积最小，如图， ，易得在处时最小， 此时，所以体积最小值为，故选项②正确； 对③，当为线段中点时，由，可得， 又中点为，中点为，， 而，，故选项③不正确； 对④，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，由已知得此时， 所以在底面三角形的射影为底面外心，，，所以底面三角形为直角三角形， 所以在底面三角形的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为， 由，可得外接球半径， 外接球的表面积为，故选项④正确； 故选：C． 4.如图1，在等腰梯形中，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示.则当二面角的平面角的大小为时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在图1中，延长AD、BC交于点，如图所示： 因为，且，所以， 即，所以， 所以是边长为4的等边三角形， 所以D、C分别为、的中点，所以， 所以， 易知. 过作交于，则为的中点， 过作交于，则为二面角的平面角. 所以. 记为外接球球心，半径为的外接圆半径，过的外接圆的圆心作平面的垂线， 过的外心作平面的垂线，两条垂线的交点即为球心，其截面如下： 则，所以， 所以球的表面积为. 故选：D. 5.在三棱锥中，，且，E，F分别是PC，AC的中点，，则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【详解】因为，且，为公共边， 所以≌，故， 取的中点，连接，则⊥，⊥， 又，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为E，F分别是PC，AC的中点，所以 因为，即⊥，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥，⊥， 故， ，，两两垂直， 故三棱锥外接球等价于以，，为长宽高的长方体的外接球， 此外接球的半径为， 故三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 6.在三棱锥中，是边长为6的正三角形，，，且二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 【详解】如图所示，设为三棱锥外接球半径，为球心，，分别为与的外心， 则平面，平面. 因为是边长为6的正三角形， 所以的外心为的重心， 连接并延长交于点， 则为中点，且，， 因为为直角三角形，， 所以为中点，且，，， 因为，， 所以是二面角的平面角，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 由题知， 所以，在以为直径的圆上， 由正弦定理得. 在中，， 则，即， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：. 7.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体.如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为__________. 【答案】 【详解】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体4个弧面都相切，即为勒洛四面体的内切球， 由对称性知，勒洛四面体的内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心， 设是底面的中心，是正四面体的中心， 也是正四面体的外接球球心，正四面体外接球的半径为是高，如图1所示， 由正四面体的棱长为，可得， 则，所以， 在直角中，由，得，解得， 因此，如图2所示，勒洛四面体的内切球半径． 故答案为：. 8.已知一个正三棱锥的高为6，底面边长为12，动点分别在其内切球和外接球上，则线段长度的取值范围是______. 【答案】 【详解】根据题意可作图如下：    在正三棱锥中，是边长为12的正三角形，取中点并连接， 取，连接， 则，， 在正三棱锥中，平面，则， 由正三棱锥的对称可知：内切球和外接球的球心均在直线上， 设内切球球心为，外接球球心为， 设内切球的半径为，外接球的半径为， ∵,∴在的延长线上， 连接，则， 设，则，， ∴，解得，则， 取中点，连接，过点作于点，    在等边三角形中，为中点，∴， 在等腰三角形中，为中点，∴， 平面，平面， ∴平面，又∵平面， ∴平面平面，且平面平面， ∵，∴平面， ∴内切球半径，则， ∵，则， ∵，∴，即，解得， ∴， ∴，即， 故答案为： 9.如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点，经过A，，E三点的平面记为平面. (1)平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）； (2)点P是在侧面内的动点，满足，当最短时，求三棱锥的外接球的表面积. 【详解】（1） 如图，因平面平面，且，， 故平面必与平面相交，且交线与平行，设其与交于点， 连接，易得，且，则得， 则，故，因E为的中点，则为的中点. 于是， ， 则，故. （2）如图，分别取的中点，连接， 易得，，则得，故， 又平面，，则；易得，同理可得， 又平面，故平面， 因，且点P是在侧面内的动点，则点在线段上， 又，故当点为线段的中点时，最短. 设，在中，点为的外心， 连接，交于点，连，则平面， 则三棱锥的外接球的球心在上，设为点， 连接，则长即外接球半径，设，则，又， 在中，，在中，， 联立两方程，解得，故外接球的表面积为. 10．（2026·上海·一模）如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形． (1)若E是PB上任意一点，四边形ABCD是菱形，，BD= 6，当面积的最小值是9时，求证：平面； (2)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．若四棱锥是阳马，PD=5，CD=4，AD=3，求：该阳马的外接球表面积； (3)若四棱锥是阳马，且，点可能为的中点，试确定点E位置使得四面体为鳖臑，并证明． 【详解】(1)证明：因为四边形是菱形，所以， 又因为平面，平面，所以， 且，平面，所以平面；   设与相交于点，连接，又由平面，平面， 所以，； 当面积最小时，最小，则， ，，解得：； 由且，，、平面， 则平面，又平面，则； 又由，则，而， 、平面，故平面. （2）把四棱锥放置在长方体中， 则长方体的外接球即为四棱锥的外接球， ，，， 长方体的对角线长为， 则长方体的外接球的半径， 该阳马的外接球的表面积为． （3）点是的中点， 因为，所以， 又因为底面，底面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 由，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以， 所以四面体为鳖臑； 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $