专题07整式的乘法复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题07整式的乘法复习讲义 1.掌握单项式乘单项式法则，能准确进行计算，理清系数、同底数幂、单独字母的处理方法，能正向计算、逆向求参数。 2.掌握单项式乘多项式法则，理解分配律的应用，做到不漏乘每一项，重点防范符号出错。 3.掌握多项式乘多项式法则，会有序展开，不重不漏，能合并同类项化简。 4.熟练进行整式乘法的混合运算，包含幂的运算、整式乘法、合并同类项，规范书写步骤。 5.会整式乘法的化简求值题：先化简式子，再代入数值计算，注意负数代入时添加括号。 6.能根据整式乘法结果求式子中的字母参数，利用对应项系数相等列等式求解。 7.会借助整式乘法解决图形面积问题，用代数式表示图形面积，建立数量关系。 8.理清常见易错点：漏乘项、符号错误、同底数幂指数运算混淆、合并同类项出错。 题型 考察方向 难度 题型一 计算单项式乘单项式 ★ 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 ★★ 题型三 计算单项式乘多项式及求值 ★★ 题型四 单项式乘多项式的应用 ★★ 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 ★★★ 题型六 计算多项式乘多项式 ★★ 题型七 (x+p)(x+q)型多项式乘法 ★★ 题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 ★★★ 题型九 多项式乘多项式 —— 化简求值 ★★★ 题型十 多项式乘多项式与图形面积 ★★★ 题型十一 多项式乘法中的规律性问题 ★★★★ 题型十二 整式乘法混合运算 ★★ 题型十三 同底数幂的除法运算 ★ 题型十四 同底数幂除法的逆用 ★★ 题型十五 计算单项式除以单项式 ★ 题型十六 用科学记数法表示数的除法 ★★ 题型十七 多项式除以单项式 ★★ 题型十八 整式四则混合运算 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01.幂的运算性质 基本幂运算法则（a≠0，m、n为正整数） 运算类型 法则表达式 适用条件 核心要点 同底数幂乘法 aman=am+n a0，m、n为正整数 底数不变，指数相加 幂的乘方 (am)n=amn a0，m、n为正整数 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab)n=anbn a0，b0，n为正整数 把每个因式分别乘方，再把所得幂相乘 同底数幂除法 am÷an=am−n （a0，m>n） 底数不变，指数相减 知识点02:零指数幂与负整数指数幂（重难点 + 扣分重灾区） 1. 零指数幂 定义：任何不等于 0 的数的 0 次幂等于 1 公式：a0=1 硬性前提：a0 意义：任何非零数的 0 次幂等于 1 禁忌：00 无意义，考试高频坑 2. 负整数指数幂 定义：非零数的负整数次幂 = 正整数次幂的倒数 公式：a−p=（a0，p为正整数） 核心真谛：负指数≠负数！ 口诀：负指数，变倒数，指数变正 3.特殊指数对比详解表 类型 公式 限制条件 考试考法 典型错解 零指数幂 a0=1 a0 判断有无意义、化简求值 认为 00=1 负指数幂 a−p= a0 化简、混合运算、结果规范 a-2=-a2 4.拓展：分数负指数 口诀：分数负指数，直接倒过来 知识点03:整式乘除运算法则 运算类型 法则要点 易错提示 单项式×单项式 系数相乘，同底数幂相乘，独有字母保留 先定符号，再算数值 单项式×多项式 m(a+b+c)=ma+mb+mc 负单项式乘各项全部变号 多项式×多项式 逐项相乘，再合并同类项 不漏乘任意一项 单项式÷单项式 系数相除，同底数幂相除，被除式独有字母保留 符号优先判断 多项式÷单项式 各项分别除以单项式，再相加 不能单项式 ÷ 多项式拆分 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减，有括号优先括号内 知识点04:整式混合运算顺序 1.先乘方（积的乘方、幂的乘方） 2.再乘除（单项式乘除，同底数幂加减指数） 3.最后加减，合并同类项；有括号先算括号内。 知识点05:科学记数法除法 1.科学记数法基础形式 一个绝对值较小 / 较大的数写成：a 10n 要求：1 |a| < 10，n为整数 大数：n>0；小数：n<0 2.科学记数法除法计算法则 两个科学记数法相除： (a10m) (b 10n) = (a b) (10m 10n) 分步拆解： (1)系数部分相除：ab (2)10 的幂次相除：同底数幂除法，底数 10 不变，指数相减 10m-n (3)整理结果：保证新系数满足 1 |a|<10，调整 10 的指数 知识点06:高频易错点 易错类型 错误示例 正确思路 避坑提醒 指数减法符号出错 10210-3=102-3=10-1 10210-3=102-(-3)=105 减去负数 = 加正数，去括号变号 结果不化成标准科学记数法 0.6104直接作为答案 改写为6103 系数必须在 110 之间 系数除法算错、忽略小数 (3102)(6101)=0.5101直接收尾 化为5100 小于 1 的系数要进位调整指数 混淆乘除指数规则 除法指数相加 同底数幂相除：指数相减；相乘才相加 分清运算法则 题型一、计算单项式乘单项式 1．___________． 【答案】 【分析】将原式拆分为系数、同底数幂分别相乘，根据单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】解：． 2．“三角”表示，“方框”表示，则________． 【答案】 【分析】根据新定义，分别确定“三角”和“方框”所代表的代数式，然后利用单项式乘单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，三角表示，方框表示， 则原式． 3．下列各式计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项、去括号、单项式乘除法运算法则，逐项判断得到结果． 【详解】解：选项A，与不是同类项，无法合并，故计算错误； 选项B，，故计算错误； 选项C，，故计算正确； 选项D，，故计算错误； 故选：C． 题型二、利用单项式乘法求字母或代数式的值 4．若，则________． 【答案】 【分析】计算出的结果，可确定a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．，求的值_______． 【答案】3 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 6．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 题型三、计算单项式乘多项式及求值 7．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 8．若计算的结果中不含有项，则的值为__________． 【答案】 【分析】先将原式展开合并同类项，令项的系数为，解方程即可求出的值． 【详解】解： ， 的结果中不含有项， ， ． 9．已知，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，先变形已知条件得，再化简原式，代入即可． 【详解】解： ∵ ∴原式． 故选：B． 题型四、单项式乘多项式的应用 10．如图，小明用四个边长为的正方形．两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式与图形的面积问题． 分别求出两图形的面积，根据面积相等列等式即可． 【详解】解：由题意可知，图1的面积为：； 图2的面积为：； 即． 故选：C． 11．观察下列砌钢管的横截面图： 则第个图的钢管数是_________（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】通过观察图形，分别计算出前几个图形中钢管的数量，找出数量与图形序号之间的关系； 【详解】解：第1个图中钢管数为； 第2个图中钢管数为； 第3个图中钢管数为； 第4个图中钢管数为； ， 第个图中钢管数为． 12．按照图①的程序进行计算，按照图②的程序进行计算．下列说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算每个选项中等式左右两边式子，再比较即可． 【详解】解：，，即，故A正确；      ， ， 故，B错误； ，，故C错误；      ， ， ，故D错误． 题型五、利用单项式乘多项式求字母的值 13．若，求_____． 【答案】/0.4 【分析】先把等式左边去括号，再利用对应项系数相等即可求解． 【详解】， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了整式的乘法，多项式相等对应项系数相等进解题的关键． 14．若、为正整数，且，则等于（     ） A．6 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【分析】先根据整式乘法法则可得，，再求出字母a，b的值进而得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴，， 解得，. ∴． 15．对于实数a，b，c，d，规定一种运算，如．若的取值与无关，则的值为___________． 【答案】 【分析】先根据新运算规则将转化为整式的运算，根据运算结果与的取值无关，得到关于、的关系式，即，再利用新运算规则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 的取值与无关， ， ∴． 题型六、计算多项式乘多项式 16．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】将等式左边展开合并同类项，对比等式两边对应项的系数即可求出的值． 【详解】解： ， 对比等式两边的一次项系数，可得． 17．已知，且，则的值是_______． 【答案】 【分析】将展开整理，得到含和的关系式，再代入计算即可得到的值．本题考查已知式子的值，求代数式的值，利用整体代入法是解题的关键． 【详解】解：展开等式得 ， 整理得， ∵ ， ∴ 将代入上式得 ， 化简得． 18．已知，，均为正数，，，那么（     ） A． B． C． D．无法确定大小 【答案】A 【分析】采用作差法比较与的大小，化简差后结合正数条件判断符号. 【详解】解： ， ，均为正数， ，即， . 题型七、(x+p)(x+q)型多项式乘法 19．若，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴，． 20．若，则________． 【答案】17 【分析】先利用多项式乘多项式法则将展开，然后合并同类项，即可确定、的值，再代入计算即可． 【详解】解： ， 又∵， ∴，， ∴． 21．已知，则a，b的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键．先利用多项式乘以多项式法则计算等式的左边，再与等式的右边比较系数即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型八、已知多项式乘积不含某项求字母的值 22．若的计算结果中不含的一次项，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】展开原式后合并同类项，根据结果不含一次项的条件，令一次项系数等于0，即可求出的值． 【详解】解：， 计算结果中不含的一次项， 一次项的系数为，即， 解得． 23．要使的展开式中不含项，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】解： ． 要使的展开式中不含项，则， 解得． 24．已知的展开式中不含的一次项，且的系数为，则的值为________． 【答案】8 【分析】根据展开式中不含的一次项，且的系数为，求得m、n值，然后代入计算即可求解． 【详解】解：， ∵展开式中不含的一次项，且的系数为， ∴，， 解得，， ∴． 题型九、多项式乘多项式 —— 化简求值 25．已知，，则__________． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式乘以多项式运算，熟知多项式乘以多项式法则是解题关键． 先计算，再整体代入即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：2 26．若，则的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式乘以多项式及多项式的化简求值， 利用多项式乘多项式的运算法则计算，由已知等式得出，再整体代入计算可得．熟练掌握整式乘法的运算法则并具有整体思想是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：1． 27．若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得到，将等式左侧展开，比较系数可得关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：是由整式与另一个整式相乘得到的， ， ， ， 解得：，， 故选：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键． 题型十、多项式乘多项式与图形面积 28．小李同学制作了如图所示的卡片A类、B类、C类各2张，其中A、B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是和的大长方形，那么下列关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是（    ） A．够用，剩余1张 B．不够用，缺1张 C．不够用，缺2张 D．够用，剩余2张 【答案】B 【分析】首先计算得到，然后比较求解即可． 【详解】解： ∴C类卡片3张， ∵小李同学制作了C类卡片2张， ∴他所准备的C类卡片的张数不够用，缺1张． 29．图1是长为，宽为的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，若的值是___________ 【答案】16 【分析】设的长度为，根据图形表示出和的长和宽，进而表示出面积，作差后代入的值计算即可． 【详解】解：设的长度为， 由图可知，的长为，宽为，的长为，宽为， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 30．如图，将两个正方形并排放在一起，大正方形的边长为，小正方形的边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个空白三角形的面积． 【详解】解：图中阴影部分的面积可表示为： ． 题型十一、多项式乘法中的规律性问题 31．对于多项式，Jacob找到合适的系数，使得．问的值是多少？（   ） A．0 B．1 C．5 D．6 E．以上都不是 【答案】B 【分析】利用多项式求系数和的方法，通过代入特殊值计算所求结果，不需要逐个展开计算系数，简化运算过程． 【详解】解：， 令代入等式两边， 右边， 左边， ． 32．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是__________． 【答案】 【分析】根据杨辉三角规律，展开式中第二项的系数为，将，，代入计算即可． 【详解】解：观察杨辉三角中的展开式系数规律： ∵展开式第二项系数为 1 展开式第二项系数为2 展开式第二项系数为3 展开式第二项系数为4 ∴展开式中含项的系数为 ∵在中，，，，含的项即为展开式的第二项 ∴该项系数为． 33．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出的表格，揭示了（n为非负数）展开式中各项系数的规律．例如，系数为1，2，1；又如，系数为1，3，3，1．请根据上述规律计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是阅读理解题，考查了完全平方公式的拓展—规律型问题，根据已知展开式找出一般性的数字规律是解题关键,根据前面的变化规律，计算后解答即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：B ． 题型十二、整式乘法混合运算 34．已知可得：，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】将原式变形为，，，再将其代入即可求解． 【详解】解：∵． ∴，，． ∴ ． 35．如图，大正方形的边长为，小正方形边长为，如果，那么阴影部分的面积是______．    【答案】17 【分析】根据三角形的面积公式求出阴影部分的面积，再利用整体思想，代入求值即可． 【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为， ∵，， ∴； 36．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．根据定义列出式子，然后根据整式的运算规则进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 故选：C． 题型十三、同底数幂的除法运算 37．________． 【答案】 【详解】解：. 38．若，则________． 【答案】3 【分析】根据同底数幂的除法法则化简等式左边，对比等式两边指数即可求出的值 【详解】解：根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减， 因为， 所以， 又， 因此指数相等， 得 39．新定义一种运算，其法则为，则______． 【答案】 【分析】此题考查了新定义下运算，幂的乘方，同底数幂的乘除运算，原式利用题中的新定义计算即可求出值．按照题干定义的运算法则，列出算式，再按照幂的乘方，同底幂除法运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 40．下列运算正确的是（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减是解题关键． 底数互为相反数的化成同底数，然后根据同底数幂的除法，底数不变指数相减，计算每个选项的表达式，判断其正确性． 【详解】对于选项A：∵ ∴A错误． 对于选项B：∵， ∴B错误． 对于选项C：∵， ∴C错误． 对于选项D：∵，与右边相等， ∴D正确． 故选：D． 题型十四、同底数幂除法的逆用 41．已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用同底数幂的除法法则将待求式变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 42．若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】逆用同底数幂除法、幂的乘方，整体代入求值． 【详解】解：∵，， ∴． 43．计算结果等于的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同底数幂的除法运算及同底数幂的乘法运算的逆运算计算即可． 【详解】解：． 题型十五、计算单项式除以单项式 44．_________． 【答案】/ 【分析】根据单项式除法运算法则，分别计算系数与同底数幂即可得到结果． 【详解】解：． 45．计算：______． 【答案】 【分析】利用幂的运算法则逐步化简，先分别计算两个乘方，再计算除法． 【详解】解：根据积的乘方法则计算两个乘方，得 ， ， 再根据单项式除以单项式的法则计算，得 ． 46．计算：_________． 【答案】 【分析】利用单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：． 47．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】单项式除以单项式法则，同底数幂相除底数不变指数相减． 【详解】解：A、，运算正确； B、，运算错误； C、，运算错误； D、，运算错误． 题型十六、用科学记数法表示数的除法 48．2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 【答案】D 【详解】解：由题意得． 49．五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 【答案】5 【分析】本题考查了科学记数法和单项式除以单项式，先把数据用科学记数法表示，根据题意列出算式，再根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ，， ， 阵风战机价格是歼-10C的5倍． 故答案为：5． 50．词元（Token）是大模型处理信息的最小信息单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征．2026年3月，中国日均词元调用量已突破Token.已知每消耗一度电大约可产出Token．由此估计，产出Token所消耗的电量用科学记数法表示为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】C 【详解】解：度． 题型十七、多项式除以单项式 51．计算：______． 【答案】 【详解】解：． 52．计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 53．计算：________． 【答案】 【详解】解：原式 54．下列运算错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，故此选项错误，符合题意； B、，故此选项正确，不符合题意； C、，故此选项正确，不符合题意； D、，故此选项正确，不符合题意． 题型十八、整式四则混合运算 55．计算（﹣2a）2﹣2a2，结果是_____． 【答案】2a2 【分析】先计算积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】 故答案为：2a2． 【点睛】本题考查整式的混合运算．掌握积的乘方和合并同类项法则是解答本题的关键． 56．已知，，则的值为________． 【答案】-5 【分析】已知4x=10，25y=10，可以把等式右边转成同底数幂乘法，再把以4为底和以25为底的转成指数相同，从而逆用积的乘方公式，把底数4和25乘起来，从而转成以10为底的，就可以比较指数，得出2xy等于x+y，从而可以代入要化简的式子求解． 【详解】解：∵， ∴由①得4xy=10y，③ 由②得25xy=10x，④ ∴③×④得4xy•25xy=10y•10x，即（4×25）xy=10x+y， ∴（102）xy=10x+y， ∴102xy=10x+y， ∴2xy=x+y （x-2）（y-2）+3（xy-3） =xy-2x-2y+4+3xy-9 =4xy-2（x+y）-5 =4xy-2×2xy-5 =-5 故答案为：-5． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方的综合运用以及代数式化简求值，难度较大． 57．计算：_________． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式来计算，利用整式加减法求解 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式乘法和加减法，理解多项式乘多项式，完全平方公式是解答关键． 58．有一种游戏的规则如下：你任意想一个数，将这个数乘，加上，除以，最后减去你所想的这个数，结果就会出来，那么结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握代数式求值是解题的关键； 根据题意，设这个数为，列式子求解即可； 【详解】解：设这个数为， ； 故选：B 解答题 59．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 60．已知多项式乘法的展开式中不含项和x项，求p，q的值． 【答案】， 【详解】解： ， 因为展开式中不含项和x项， 所以，， 所以，． 61．先化简，再求值： ，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 62．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （3）先计算乘方，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （4）先计算乘方，再根据单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 63．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是把x看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与x的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m的值为 ； (2)已知，，且的值与x的取值无关，求的值； 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题： （1）先化简多项式，再根据多项式的值与x的取值无关，可得，即可求解； （2）先化简求出，再由的值与x的取值无关，得到，即可求解； （3）设，观察图形得：，可得，再由当的长变化时，的值始终保持不变，即可求解． 【详解】（1）解： ∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）∵，， ∴ ∵的值与x的取值无关， ∴， ∴， ∴； （3）设， 观察图形得：， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 64．探究应用： (1)计算：__________； __________． (2)上面的整式乘法计算结果很简洁，归纳总结： 新的乘法公式是__________（请用含、的式子表示）． (3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（     ） A．；    B．； C．；    D．． (4)直接用公式计算： __________； __________． 【答案】(1)； (2) (3)A、C (4)； 【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则计算即可； （2）根据（1）中规律，总结公式即可； （3）观察是否符合所总结的公式特征作出选择即可； （4）根据所总结的公式计算即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：归纳总结：新的乘法公式是； （3）解：由总结的公式特征，则符合公式特征的是：A、 C； （4）解：； ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题07整式的乘法复习讲义 ☆ 复习目标 1.掌握单项式乘单项式法则，能准确进行计算，理清系数、同底数幂、单独字母的 处理方法，能正向计算、逆向求参数。 2掌握单项式乘多项式法则，理解分配律的应用，做到不漏乘每一项，重点防范符 号出错。 3掌握多项式乘多项式法则，会有序展开，不重不漏，能合并同类项化简。 4熟练进行整式乘法的混合运算，包含幂的运算、整式乘法、合并同类项，规范书 写步骤。 5会整式乘法的化简求值题：先化简式子，再代入数值计算，注意负数代入时添加 括号。 6能根据整式乘法结果求式子中的字母参数，利用对应项系数相等列等式求解。 7会借助整式乘法解决图形面积问题，用代数式表示图形面积，建立数量关系。 8.理清常见易错点：漏乘项、符号错误、同底数幂指数运算混淆、合并同类项出 错。 ☆ 题型梳理 中a年编口编●。e象e■ 题型 考察方向 难度 题型一 计算单项式乘单项式 ★★ 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型三 计算单项式乘多项式及求值 题型四 单项式乘多项式的应用 ★★★ 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 ★★ 题型六 计算多项式乘多项式 ★★ 题型七 (x+p)(x+)型多项式乘法 试卷第1页（共3页） ★★★ 题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 ★★★ 题型九 多项式乘多项式一一 化简求值 ★★★ 题型十 多项式乘多项式与图形面积 ★★★★ 题型十一 多项式乘法中的规律性问题 题型十二 整式乘法混合运算 题型十三 同底数幂的除法运算 题型十四 同底数幂除法的逆用 题型十五 计算单项式除以单项式 题型十六 用科学记数法表示数的除法 题型十七 多项式除以单项式 ★★★ 题型十八 整式四则混合运算 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★难题★女★★★压轴 ☆ 知识梳理 知识点01.幂的运算性质 基本幂运算法则(a≠0，m、n为正整数) 运算类型 法测表达式 适用条件 核心要点 试卷第2页（共3页） a0,m、n为正整 底数不变，指数相加 同底数幂乘法 am.an=amn 数 a0,m、n为正整 底数不变，指数相乘 幂的乘方 (am)n=am.n 数 a0,b0,n为正整 把每个因式分别乘方， 积的乘方 (ab)"=a"bm 再把所得幂相乘 数 同底数幂除法 am:a"-amn (a≠0，m>n) 底数不变，指数相减 知识点02：零指数幂与负整数指数幂（重难点+扣分重灾区） 1.零指数幂 定义：任何不等手0的数的0次幂等于1 公式：a=1 硬性前提：a0 意义：任何非零数的0次幂等于1 禁忌：0°无意义，考试高频坑 2.负整数指数幂 定义：非零数的负整数次幂=正整数次幂的倒数 公试：a”子(a0,P为正整数 核心真谛：负指数≠负数！ 口决：负指数，变倒数，指数变正 试卷第3页（共3页） 3.特殊指数对比详解表 类型 公式 限制条件 考试考法 典型错解 a°=1 零指数幂 a≠0 判断有无意义、化简求值 认为0°=1 负指数幂a -a" a≠0 化简、混合运算、结果规范 a2=-a2 4拓展：分数负指数 口诀：分数负指数，直接倒过来 知识点03：整式乘除运算法则 运算类型 法测要点 易错提示 系数相乘，同底数幂相乘，独有字母保 单项式×单项式 先定符号，再算数值 留 负单项式乘各项全部 单项式×多项式 m(a+b+c)=ma+mb+mc 变号 多项式×多项式 逐项相乘，再合并同类项 不漏乘任意一项 单项式：单项式 系数相除， 同底数幂相除，被除式独有符号优洗判断 试卷第4页（共3页） 运算类型 法则要点 易错提示 字母保留 不能单项式÷多项式 多项式：单项式 各项分别除以单项式，再相加 拆分 运算顺序：先乘方一→再乘除一最后加减，有括号优先括号内 知识点04：整式混合运算顺序 1先乘方（积的乘方、幂的乘方） 2再乘除（单项式乘除，同底数幂加减指数） 3最后加减，合并同类项；有括号先算括号内。 知识点05：科学记数法除法 1科学记数法基础形式 一个绝对值较小/较大的数写成：a×10” 要求：1≤|a|<10,n为整数 大数：n>0;小数：n<0 2科学记数法除法计算法则 两个科学记数法相除： (a×10m)片(b×10)=(a÷b)×(10m÷10) 分步拆解： 试卷第5页（共3页） (1)系数部分相除：ab (2)10的幂次相除：同底数幂除法，底数10不变，指数相减10mm (3)整理结果：保证新系数满足1≤|a<10,调整10的指数 知识点06：高频易错点 易错类型 错误示例 正确思路 避坑提醒 减去负数=加 指数减法符号 102÷103=102-3=101 102÷103=102-(3=105 正数，去括号 出错 变号 结果不化成标 系数必须在1~ 0.6×10直接作为答案改写为6×103 准科学记数法 10之间 小于1的系数 系数除法算 3×102)÷(6×101)=0.5 化为5×10° 要进位调整指 错、忽略小数×10'直接收尾 数 混淆乘除指数 同底数幂相除：指数相 除法指数相加 分清运算法则 规则 减；相乘才相加 试卷第6页（共3页） ☆ 题型精析 题型一、计算单项式乘单项式 1.3a(-6ab)= a c 2.“三角” 表示 “方框” 表示 xyz ae则 n m 3 3.下列各式计算正确的是(). A.2a+3b=5ab B.-2(a+3)-=2a+6 C.-4×3a=-12a 题型二、利用单项式乘法求字母或代数式的值 4.若2xy.4g=hmy 则a+b= 5.(y“)(列=y,求mr的值 6.己知单项式6am+b与4a2m-b的积与7ab是同类项，则mn的值为（） A.1 B.2 C.3 D.4 题型三、计算单项式乘多项式及求值 7计算(x-) 的结果为() A.x2-x B.x2-2 C.x2-1 D.x2-3 8.若计算(-w+5小(-2x)-6 的结果中不含有x项，则的值为 试卷第7页（共3页） 9.己知m-2m=1,则2” ,2n(m+1)-m(1+2n)+3 的值为() A.4 B.2 C.-4 D.-2 题型四、单项式乘多顶式的应用 10.如图，小明用四个边长为a的正方形.两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和 图2.则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是() 2a 图1 图2 A.2a=4b B.a2=2ab 4a(a+b)=(2a+b)2-b2 D.(2a+b)=4a2+4ab 11.观察下列砌钢管的横截面图： 3 9 30 n=1 n=2 n=3 n=4 则第n个图的钢管数是 (用含n的式子表示). I2.a△b按照图①的程序进行计算，a☆b按照图②的程序进行计算.下列说法正确的有 () /输入a 输入b 输入a 输入b )×( Xm +1 )+( 输出a△b 输出a☆b 图① 图② 试卷第8页（共3页） A,aAb=b△a B (aab)ac=aa(bac) C.a☆b=b☆a D.(a☆b)☆c=a☆(b☆c) 题型五、利用单项式乘多项式求字母的值 b 13.若dx+3x+b)=5x2+15x+10:求 14.若a、b为正整数，且2x(r+3)=2r+3,则d等于（) A.6 B.8 C.9 D.16 la b-ad-bc o 15.对于实数a,b,c,d,规定一种运算cd c,如2-24x(-2)-0x2=-8 x-2-2x+1 -1a .若ab的取值与x无关，则42b的值为 题型六、计算多项式乘多项式 16.若x-40(2x+)=2r2+mx-4 则m的值为 17.已知*+y=2.且任-20-2)=3，则9的值是 18.已知0，b,C均为正数， M=(a+bb+d).N=b(a+b+c),那么() A.M>N B.M=N C.M<ND.无法确定大小 题型七、(+p)(X+q)型多项式乘法 19.若K-3x+)=+m+9,则P、9的值分别是() A.2,3 B.3,2 C.-2,-3 D.-3, -2 20.若✉-3x+5)=r++b,则a-b 试卷第9页（共3页） 21.已知x+(x-2)=2+x+b ,则a,b的值分别是() A.a=-3,b=-6B.a=3,b=-6 C.a=-3,b=6 D. a=3,b=6 题型八、已知多项式乘积不含某项求字母的值 22.若x+ax+2 的计算结果中不含x的一次项，则的值为() A.-2 B.0 C.1 D.2 23.要使(+r-2x-3》的展开式中不合项，则“的值为() A.1 B.2 C.3 D.-3 24.已知 mx+3)(n-2x) 的展开式中不含x的一次项，且的系数为4，则m的值为 题型九、多项式乘多项式一化简求值 25.已知a+b=5,b=-4,则a+16+) 26.若2+3x-4=0,则1-2x2+x+3 的值为 27.若多项式2x2+c-14是由整式x-2与另一个整式2x+m相乘得到的，则k的值为 () A.3 B.4 C.5 D.6 题型十、多项式乘多项式与图形面积 28.小李同学制作了如图所示的卡片A类、B类、C类各2张，其中A、B两类卡片都是正 方形，C类卡片是长方形.现要拼一个两边分别是(a+b)和(a+2b)的大长方形，那么下列 关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是() 试卷第10页（共3页) 6 B 6 C 6 a e A.够用，剩余1张B.不够用，缺1张 C.不够用，缺2张 D.够用， 剩余2张 29.图1是长为0，宽为 (a>b) 的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠 地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分 (即两个长方形)的面积分别表示为 品，若=4b=28-8 的值是 S2 S 图1 图2 30.如图，将两个正方形并排放在一起，大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,则 图中阴影部分的面积可表示为() A.d2+b2-a 0+ -ab 2 d+b-ab C.20 D.dtb2-ab 2 题型十一、多项式乘法中的规律性问题 31,对打多项式P()=++++x+1,Job找到合适的系数44，使得 p()=a,(x+1°+a(x+)'+a(x+'+a(++a(x+)+a.间 试卷第11页（共3页） a,+a,+a,+a,+a+a的值是多少？() A.0 B.1 C.5 D.6E.以上都不是 32.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三 角形给出了a+b小(m=2,34,…的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 11 (a+b)'=a+b 121 (a+b)2=a2+2ab+b2 1331 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 14641 (a+b)4=a+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 请依据上述规律，写出 (x-3)202 展开式中含r 项的系数是 33.我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出的表格，揭示了 (a+b)” (n为 (a+b)2=a2+2ab+b2 非负数)展开式中各项系数的规律.例如 ,系数为1,2,1；又如 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 系数为1,3,3,1.请根据上述规律计算： 11 121 1331 。。。。。。 1 A.-g 1 B.-27 C. D. 27 题型十二、整式乘法混合运算 试卷第12页（共3页） 34,已知a+h+c=0可得：a+h=c,则代数式a+bjb+cc+a)+abc 的值为() A.a+b+c B.abc C.2abe D.0 35.如图，大正方形的边长为“，小正方形边长为乃，如果 2+b2=56,ab=22 ,那么阴影 部分的面积是 Q a b la b=ad-bc 36.对于任何一个数，我们规定符号cd的意义是cd 按照这个规定计算 2x-14x x-2-1+2x的结果是() A.-4x-1 B.-4x+1 C.4x+1 D.4x-1 题型十三、同底数幂的除法运算 37.a3÷a3= 38若÷r=r6e0 ，则ns -x2-2= 39.新定义一种运算，其法则为bd a=dbe,则ex 40.下列运算正确的是（) A.a3÷b2=a B.（m）(m)=m c.(y）÷y=-y D.-104÷(-10)2=-100 试卷第13页（共3页） 题型十四、同底数幂除法的逆用 41.已知x"=3,x”=6,则xm"的值为（) 1 A.2 B.2 C.3 D.-3 42.若a”=2,d=3,则a"-2"的值为 43.计算结果等于am-2m-3P的是() A.a"÷a2m.ap B.a(a÷a2） c.a"÷(a2ap） D.am.ap.a2 题型十五、计算单项式除以单项式 3x2y÷2x= 44 45.计算：（-2a°÷(2aj°- 46.计算： -16a2b2c÷(4a2b2）= 47.下列运算正确的是() A.8x'÷4x3=2x6 B.4a2b3÷4a2b3=0 C.a2m÷am=a2 题型十六、用科学记数法表示数的除法 48.2026年4月，我国自主研发的SYT80(T1200级)超高强度碳纤维发布，这是全世界 第一款量产的T20 级碳纤维产品.SYT80 8×103 超高强度碳纤维拉伸强度突破 兆帕，普 试卷第14页（共3页) 通钢材的拉伸强度约为8×10兆帕.数据“8×10”是“8×102”的() A.2倍 B.5倍 C.8倍 D.10倍 49.五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10℃击溃印度 的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约2.75亿美元，一架歼-10C约5500万美元， 阵风战机价格是歼-10C的倍 50.词元(Tokn)是大模型处理信息的最小信息单元，具有智能时代可计量、可定价、可 交易的特征.2026年3月，中国日均词元调用量已突破1.4×104 Token.已知每消耗一度电大 约可产出5.6×10 Token.由此估计，产出1.4×104 Token所消耗的电量用科学记数法表示为 () A.0.25×103度 B.2.5×10°度 C.2.5×10度D.25×10°度 题型十七、多项式除以单项式 (ma+mb+mc)÷m= 51.计算： 52.计算： (8a3b-3a2)÷(-2a)2= 58.计.w-20-》= 54.下列运算错误的是（) A.（6x3-4x2+2x)÷2x=3x2-2x B.(6r+3x）*7x=12r+6x c(9r-3x)27x+9r 得+（x-2 题型十八、整式四则混合运算 55.计算(-21)2-2，结果是一 试卷第15页（共3页） 56.已知4“=10,25”=10，则x-20y-2)+3(y-3)的值为 (5x+3y)2-(2x+y)(x-4y)= 57.计算： 58.有一种游戏的规则如下：你任意想一个数，将这个数乘3，加上9，除以3，最后减去 你所想的这个数，结果就会出来，那么结果是() A.2 B.3 C.4 D.5 解答题 59.计算： (13a.2a2 (a3a(5a-2b) 612a'-6a2+3a)÷3a 60.已知多项式乘法 :+px+92-2x-3)的展开式中不含r项和x项，求巴，g的值. 61.先化简，再求值： [飞+2-(6x+-y+-]-2习.共中=.y=号 62.计算： )2-y+y(-y) 2(-2ab(3ab-2ab-4b2）」 6j4r-+2j月 ④2mn(-2mm-3n(mn+mn+mn2） 63.我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式心+y-3x+5的值与x的取值无 关，求α的值.通常的解题思路是把x看作字母，a看作系数，合并同类项.因为代数式的 试卷第16页（共3页） 值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0. 具体解题过程：原式=(a-3列x+y+5 因为代数式的值与x的取值无关. 所以a-3=0,解得a=3. 【理解应用】 (1)若关于x的代数式mr+2x+4的值与x的取值无关，则m的值为： (2)已知 =(x+x-2）.B=x(m-),且3A+2B的值与的取值无关，求3n+2m的 值： 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为a,宽为b,按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD S 内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形.设右上角的面积为°，左下角的面积为 ,当B的长度变化时， S1-S2 的值始终保持不变，求a与b的等量关系. 图1 图2 64.探究应用： (1)计算：(a-2(a2+2a+4到 (2x-y)4x2+2xy+y2)） (2)上面的整式乘法计算结果很简洁，归纳总结： 新的乘法公式是 (请用含a、b的式子表示)· (3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是() A.(a-3a2+3a+9）,B.(2m-nj2m2+2m+r)】 C.(4-16+4+r）,D.(m-nm2+2mn+m) 试卷第17页（共3页） (4)直接用公式计算： (3x-2y)9x2+6xy+4y2)= (2m-3)(4m2+6m+9 试卷第18页（共3页）