云南省昆明市官渡区云南大学附属中学星耀学校2026-2027学年高二上学期10月期中考试数学试题

2026一2027学年（上)期中考试 高二数学试卷 (考试时间：120分钟 总分：150分) 班级 姓名 学号 成绩 诚信誓言：我以我的荣誉起誓，在本次考试中，诚实守信，成绩真实。 学生签名： 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.经过A1,),B(2,4)两点的直线的方向向量为(2，m),则m= A.6 B.2 c月 D.6 2.已知直线1：mx-2y+3=0与直线l:2x+(1-m)y-6=0垂直，则实数m的值为 A月 C.-1或2 D.2 3.圆C,:x2+y2=9与圆C2:x2+y2-10y+21=0的位置关系是 A.内切 B.相交 C.外切 D.内含 4.如果点P(x,y)在运动过程中，总满足关系式V(x+5)+y-V(x-5)+y2=8,那么点P的轨迹为 A.双曲线的左支 B.两条射线 C.双曲线的右支 D.整个双曲线 5.空间四边形OABC中，OA=ā，OB=b,OC=c,点M在OA上，且OM=2MA,N为BC的中点，则 M等于 1a-26+e B.2a+26-c 332 3 2 6.若A(2,1,3)、B(1,2,2)、C(3,2,4),则点A到直线BC的距离为 A.I B.② 2 C. D.2 7.己知F,F分别为椭圆C: 京+存-1a>b>0)的左、右焦点，椭图C的上顶点为M, + MF=4且FF=43,点P在椭圆C上，若PF·PF,=8,则△FPF的面积为 A.2V3 B.5 C.4 D.45 2026一2027学年（上）期中考试高二数学试卷·第1页（共4页） 8.已知定义在R上的偶函数f(x)当x∈[山，2]时，f(x)=ax2+b,若f(x+1)为奇函数，且f(2)+f(9)=6, 16 则八 的值为 9 A、-2 c号 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分) 9.己知圆C:(心-a)2+(y-1)2=4a的半径为2，则 A.a=1 B.当直线mx+y-2=0平分圆C的周长时，m=-1 C.点(L,4)在圆C的内部 D.直线x+y-2=0被圆C截得的弦长为4 10.如图，矩形ABCD是圆柱OO的轴截面，AB=2,AD=4,E为AB的中点，M为BE的中点，则 A.圆柱OO,的侧面积为16π B.三棱锥B-ADE的体积为号 C.圆柱O0的外接球的表面积为20π 直线O05DE所成角的余 -B 11.加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂 直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）·当椭圆 方程为号+芳-6>6>0时。蒙日圆方程为+y产=g+8,已知长方形G的四边均与药圆M: 父+上-1相切，则下列说法正确的是 43 A.椭圆M的左焦点为(-1,0) B.椭圆M的蒙日圆方程为x2+y2=7 C.若G为正方形，则G的边长为2√5 D.长方形G的面积的最大值为14 2026一2027学年（上）期中考试高二数学试卷·第2页（共4页） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共16分） 12.双曲线2y2=1的离心率为 13.若方程2-1-a=0有两个实数解，则a的取值范围是 14.已知椭圆C: 。+=1（>b>0)的左、右焦点分别为R,月，C上的点E与C的上、下顶点连 2y2 线的斜率之积为。，则C的离心率为 ·过点F的直线与C交于P,Q两点（均异于左、右顶点）， 若22F=PF,则cos∠PF,= 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 613分)已知函数)=n2x+p0cp<引且/0)= 2 (1)求0： ②设函数g()=f儿)+-到) 求g(x)的值域和单调增区间. 16.(15分)如图，己知直三棱柱ABC-ABC中，底面ABC为等腰直角三角形∠BAC=90°，AB=A4=2, M、N、PD分别是CCBC、AB,、BC的中点. M B N (1)求证：PN/I平面A,ACC1; (2)求平面PMN与平面ABC夹角的余弦值： 2026一2027学年（上)期中考试高二数学试卷·第3页（共4页） 17、(16分)已知圆O:x2+y2=25,点P是直线1：x+y-8=0上的动点，过点P作圆O的切线PA,PB, 切点分别为A,B (1)当点P的坐标为(5,3)时，求切线方程！ (2)当∠APB取最大值时，求△APO的外接圆方程 18.（17分)如图，多面体ABCDEF中，正方形ABCD的边长为2，AD⊥DE,CD∥EF,∠DEF=60°， DE=2,EF=4. M (1)求证：AE⊥DF; (2)求直线AE与平面BDF所成角的正弦值： (3)设M为AD的中点，P,O分别在DE,EF上，且平面MPQ/平面BDF,求PQ的长 1917分)在平面直角坐标系中，椭圆C:若+卡=a>b>0的左焦点为510，且F到C上在意 点的距离最小值为1. (1)求C的方程； (2)过F的直线I与C交于A、B两点，与y轴交于点M,且A在线段FM之间，A为C的右顶点. ()若△AAM的面积是△OFA的面积的3倍，求I的方程； (i)设M=AF,MB=uBF,证明：1+4为定值. 2026一2027学年（上)期中考试高二数学试卷·第4页（共4页）云南大学附属中学星耀学校高二数学期中考试参考答案 题号 1(原创) 2（原创) 3(原创) 4(原创) 5 6(改编) 答案 0 Q C 0 题号 7(原创) 8(改编) 9(改编) 10（改编) 11(改编) 答案 D B AD BC ABD 12.(原创) 2W5 3 13.(原创)(0,1) 5 (改编)15p背：@8()的值城为[-1山： 【详解】（1)：=mn(2x+0.·0)=m0- 2 Γ3 2②)由1)得/)=m2x+写】 8闭=2引() =sin 2x cos+cos2xsin+sin 2xcos-cos2xsin 3 3 Sin 2x. :sin2x∈[-1,1]，即g(x)的值域为[-1,1]· 令子+2a≤2x<受+2a低e2列，解得年a<x<好a依eZ列， 2 4 即(x)的单调递增区间为 16.【详解】(1)证明：因为P、D分别是AB、B,C1的中点，所以PD/AC1, 因为PDg平面AACC1,AC1C平面AACC1,所以PD/I平面AACC1: 云南大学附属中学星耀学校高二数学期中考试参考答案 第1页共5页 在直三棱柱中，B,C11/BC且B,C1=BC, 又因为D,N分别是B,C、BC的中点，所以CD/ICN且CD=CN, 故四边形CDNC是平行四边形，从而DN/1CC, 因为DN￠平面AACC,CC1C平面AACC,DNII平面AACC1, 又PDODN=D,PD、DNc平面PDN,所以平面PDNI/平面AACC1, 因为PNc平面PDN,所以PN/I平面AACC. (2)因为三棱柱ABC-ABC1是直三棱柱，所以AA⊥平面ABC, 又∠BAC=90°，即AB⊥AC, 以A为坐标原点，直线AB、AC、AA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则G(0,2,2),M(0,2,1),N(1,1,0),P(1,0,2),于是NM=(-1,11),NP=(0,-1,2), 设平面PMN的法向量为i=(x,y,), i.☑M=-x+y+z=0 则 ii NP=-y+2z=0 取==1，得y=2,x=3,即i=(3,2,1),易得平面ABC的一个法向量i=(0,0,1), 于是kos7m |i.m114 园1414 所以平面PN与平面ABC夹角的余弦值为√14 14 (原创)17.(1)x=5或8x+15y-85=0；(2)(x-2}+(y-2)2=8· 【详解】(1)当k不存在时，切线方程为x=5; 当k存在时，设切线方程为y-3=k(x-5), 圆心到切线的距离等于半径5，即0-0-5k+3引 =5,解得k=8 Vk2+1 15 所以切线方程为y-3=-8(x-5) ,整理得8x+15y-85=0 综上，切线方程为x=5或8x+15y-85=0. 云南大学附属中学星耀学校高二数学期中考试参考答案 第2页共5页 (2)由题意可知当OP⊥1时，∠APB取最大值，设此时P(x,y),解得P(4,4), 所以△4P0的外接圆圆心为(2,2)，半径为R=2√2， ∴△4P0的外接圆方程为(x-2)+(y-2)=8. 18.【详解】(1)正方形ABCD中，AD⊥DC, 又AD⊥DE,DC,DEC平面CDEF, DCDE=D, 所以AD⊥平面CDEF,又DFc平面CDEF, 所以AD⊥DF 在ADEF中，∠DEF=60°，DE=2,EF=4, 则DF2=DE2+EF2-2DE·EF cos.∠DEF =4+16-2x2×4×)=12 则EF2=DE2+DF2, 所以∠BDF-交即DE1DF, 又DE,ADC平面ADE, DE∩AD=D, 所以DF⊥平面ADE,又AEC平面ADE, 所以AE⊥DF (2)由(1)以DE,DF,DA所在直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系， Z个 B 则D(0,0,0),A(0,0,2),E(2,0,0),B(-1V5,2,F(0,23,0, 所以AE=(2,0,-2),DB=（-1,V5,2,DF=(0,23,0 设平面BDF的法向量n=(x,y,z), 云南大学附属中学星耀学校高二数学期中考试参考答案 第3页共5页 DB=0x+3y+2z=0 则 即 i.DE=0'23y=0 令z=1,得y=0,x=2, 则i=(2,0,1), 设直线AE与平面BDF所成角为O, 则sinO=cos<AE,n> AE.n 2 o AE 22x5-10 所以直线AE与平面BDF所成角的正弦值为10 10 (3)M为AD的中点，则其坐标为(0,0,1)， 又平面MPO11平面BDF, 平面MPQn平面CDEF=PQ, 平面BDEO平面CDEF=DF, 则POIIDF, 设P(a.0,0),0<a<2,则ga,23-V3a,0, 所以Mp=(a,0-l),P四=(0,23-v5a,0 设平面MP9的法向量m=（x,y,z), mMP=0 心-z=0 则 即 m-P0=0'l(23-v3a)y=01 令x=1,得y=0,z=a, 则m=(1,0,a),又平面MPQ/1平面BDF, 所以m1m,则a= 2 此时PQ 3w5 故Pg=33 2 云南大学附属中学星耀学校高二数学期中考试参考答案 第4页共5页 19a)+号=1②1)y=±35 43 x+):(1i)证明见解析。 【详解】)由椭画C:号+茶-a>6>0的左焦点为R(L0,得能覆C的车生Ec- 由F到C上任意点的距离最小值为1，得a-c=l,解得a=2,b=√a2-c2=√5， 所以椭圆C的方程为。+ -+ -=1: 43 (2)(1)由(1)得A,(2,0),直线1的斜率存在，设其方程为y=k(x+),则M(0,k), 由|FA,=3=3OF|,得S4Ar=3SoM,而△A,AM的面积是△OFA的面积的3倍， 厕SSw由A在线段FM上，得A是线段M的中点，于是A从-)久 16+12=1,解得k= 又点A在椭圆C上，则上+ ,35 2 所以直线I的方程为y= 3w 2+). VA ”2消去y得+r+x+-12-0. y=k(x+1) (ii)由 8k2 设AB),则x+名=4+3= 4k2-12 4k2+3 +1,同理=-戈 由Mi=AF,得G,片-)=(-1-x,),则2=- 七3+1 因此2+4=（左+5）=-25+x+五。 2.4k2-1282 4k2+34K2+3=-2(-12)-8 +1+=x+名+5+14k1282 3 42+34k2+3+1 -12+3 所以+4为定值. 云南大学附属中学星耀学校高二数学期中考试参考答案 第5页共5页