精品解析：云南省昆明市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段考试数学试题

昆明市第一中学2026-2027学年度上学期第一次阶段考试 高二数学 总分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核对条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题设得. 2. 已知点为坐标原点，且点，则与同方向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先写出向量的坐标，计算向量模长，再用向量除以它的模，得到同方向的单位向量． 【详解】，， 所以与同方向的单位向量为． 3. 球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为球的直径是球的内接边长为的正方体的体对角线的长.即. 所以球的表面积为. 因为内接正方体的表面积为. 所以球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是. 4. 若直线（，）过点，则该直线在轴，轴上的截距之和的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先由直线（，）过点得到，再利用基本不等式求的最小值即可. 【详解】因为直线（，）过点， 所以，即. 直线方程写为截距式可得 所以直线在轴，轴上的截距之和为， ， 当且仅当时取等号. 5. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示即可. 【详解】由题意，得 . 6. 若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为点到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点到点的距离与它到直线的距离相等， 符合抛物线定义，则点的轨迹是以点为焦点，以为准线的抛物线， 且，解得，则点的轨迹方程为. 7. 若方程有实数解，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为直线与半圆有交点，通过数形结合的方式可确定的取值范围. 【详解】由得：， 由得：， 则原方程有实根等价于直线与半圆有交点， 当直线与相切时，，解得：； 当直线过点时，； 结合图象可知：当时，直线与半圆有交点， 即当时，方程有实数解. 8. 已知点，，，以点为一个焦点作过的椭圆，椭圆的另一个焦点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的定义转化得到距离差，由双曲线的定义判定轨迹，再根据确定只取双曲线下支，写出带范围的轨迹方程． 【详解】，，， ，，， 因为都在椭圆上，所以，， 所以的轨迹是以为焦点的双曲线的下支（，动点离更近）， 由，，得， 所以的轨迹方程是． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线C：，下列结论正确的是（ ） A. 若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 B. 若，则曲线是圆，其半径为 C. 若，则曲线是双曲线，其渐近线方程为 D. 若，，则曲线是两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】A，根据椭圆的标准方程求解；B，根据圆的标准方程求解；C，根据双曲线的标准方程和渐近线方程的公式求解；D，利用直线的方程得解. 【详解】A，转化为， ，，则下面的分母更大， 则长轴在轴上，焦点就在轴上，故选项A正确； B，，转化为，即， 则曲线是圆，其半径为，故选项B错误； C，因为，所以或， 当时，转化为， 则曲线是焦点在轴的双曲线，其渐近线方程为； 当时，转化为， 则曲线是焦点在轴的双曲线，其渐近线方程为； 综上可知，，则曲线是双曲线，其渐近线方程为， 故选项C正确； D，当，时，转化为， 这是两条平行于轴的直线，故选项D正确. 10. 已知、是两个平面，直线，，若以①；②；③中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题可以是（ ） A. ①②③ B. ①③② C. ②③① D. ①③②；①②③；②③① 【答案】AB 【解析】 【分析】对三个命题逐个分析，可采用判定定理、定义、作图的方法进行说明，由此可确定出正确选项． 【详解】对于A，因为，，设平行于内一条直线，则， 根据面面垂直的判定定理可知：，所以①②③为真命题，故A正确； 对于B，因为，，所以或， 又因为，所以，所以①③②为真命题，故B正确； 对于C、D，作如下图所示的正方体， 记直线为，平面为，平面为，则，，但， 所以②③①为假命题，故C、D错误． 11. 设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2．点是曲线上一点，且是直角三角形．若的面积为6，则的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由是直角三角形，可得或或，利用对称性得到或对应不同的的值，分别求解即可. 【详解】由双曲线离心率为2，可得. 因为是直角三角形，所以或或 当，则由勾股定理，利用双曲线的性质， 于是由的面积为6，可得 结合，解得. 由对称性，或对应的的值相同，所以仅考虑. 此时，由的面积为6，可得. 结合，解得. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边经过点，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】由角的终边经过点，得： ， 点到原点的距离：， 因为，所以，即， 由三角函数定义得：， 代入得：. 13. 当方程所表示的圆的面积取最大值时，直线的倾斜角___________． 【答案】 【解析】 【详解】将圆的一般方程化为标准形式  ， ​ 圆的半径满足， 当也就是时，取得最大值1，此时圆的面积最大， 把代入直线方程，得：  ， 则，结合倾斜角 ， 可得. 14. 设，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，过焦点向的外角平分线作垂线，垂足为，则点的轨迹方程是______________． 【答案】 【解析】 【分析】延长与交于，连接，充分利用外角平分线作垂线的几何特征得到是线段的中点，再结合中位线定理得的长为定值，从而求得的轨迹方程． 【详解】根据椭圆方程可得. 延长与交于，连接，如图所示： ∵直线为的外角平分线，且. ∴为线段的中点，且为等腰三角形，即. ∵ ∴ 又∵为线段的中点 ∴ ∴的轨迹方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，若满足． （1）求角的大小； （2）求函数的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将边化为角后，逆用两角和的正弦公式计算即可得解； （2）利用辅助角公式计算可得，再结合的范围计算即可得. 【小问1详解】 在中，由正弦定理，得， 即，， 又，，又，； 【小问2详解】 由（1）知，在中，，且． ， 又，， ，， 故函数的最大值为． 16. 已知点，直线及圆C：． （1）求过点的圆的切线方程； （2）若直线与圆没有公共点，求的取值范围； （3）若直线与圆相交于P，Q两点，且弦的长为，求的值． 【答案】（1）或． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分类讨论切线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式运算求解； （3）求圆心到直线的距离，根据弦长结合垂径定理运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径， 当过点的直线的斜率不存在时，方程为． 由圆心到直线的距离，此时直线与圆相切，符合题意； 当过点的直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 则过点的直线的方程为，即， 可得，解得， 所以切线方程为，即； 故过点的圆的切线方程为或． 【小问2详解】 由题意可得：，解得， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 因为圆心到直线的距离为， 由题意可得：，解得． 17. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于两点，点关于轴的对称点为． （1）证明：点在直线上； （2）设，求直线的方程． 【答案】（1）由题意知：，直线的斜率必然存在 设，则，直线， 由得：，，即， ，. 直线的方程为，即， 令，得，直线过点，即点在直线上． （2）或 【解析】 【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立可得韦达定理，写出直线的方程，令即可证得结论； （2）利用和韦达定理可构造方程求得，进而可求得的值和直线斜率，由此可得直线方程. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ，， ，解得：， ， 直线的斜率为， 由（1）知：直线过焦点， 直线的方程为，即或. 18. 在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，，是圆台的一条母线． （1）已知G，H分别为，的中点．求证：平面； （2）已知，求： ①直线与直线所成角的余弦值； ②二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：设的中点为，连接，， 在中，因为点是的中点，所以， 又是圆台的一条母线，则，所以， 又平面，平面，所以平面， 在中，因为是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）设的中点为，通过面面平行判定定理先证平面平面，再利用面面平行性质定理即可得证； （2）①建立适当的空间直角坐标系，求出直线与直线的方向向量后，利用向量夹角公式计算即可得；②求出平面与平面的法向量后，利用向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①连接，则平面．又， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由题意得，，，， ．由，， 设直线与直线所成的角为， 则， 所以，直线与直线所成角的余弦值为； ②由，， 设是平面的法向量， 由，可得，即， 令可得平面的一个法向量， 因为平面的一个法向量，设二面角的夹角为， 则， 所以二面角的余弦值为． 19. 已知椭圆C：的长半轴长为2，半焦距为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过动点的直线交轴于点，交于点，（点在第一象限），且是线段的中点．过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点． ①设直线，的斜率分别为，，证明：为定值； ②求直线的斜率的最小值． 【答案】（1） （2）设（，）， 因为，且是线段的中点，可得，． 则直线的斜率，直线的斜率，可得， 所以为定值； ② 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，进而可得，即可得椭圆方程； （2）①设，可得，，结合斜率公式分析证明；②设，，以及直线、的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理可得，进而可得，结合基本不等式求最值. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 由题意可知，，则， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 ①略 ②设，，直线的方程为，直线的方程为， 联立方程，消去y可得， 则，可得， 所以， 同理，， 则， ， 所以， 由，，可知， 所以，当且仅当时等号成立，此时， 所以直线的斜率的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第一中学2026-2027学年度上学期第一次阶段考试 高二数学 总分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核对条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知点为坐标原点，且点，则与同方向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是 A. B. C. D. 4. 若直线（，）过点，则该直线在轴，轴上的截距之和的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 6. 若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若方程有实数解，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，，以点为一个焦点作过的椭圆，椭圆的另一个焦点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线C：，下列结论正确的是（ ） A. 若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 B. 若，则曲线是圆，其半径为 C. 若，则曲线是双曲线，其渐近线方程为 D. 若，，则曲线是两条直线 10. 已知、是两个平面，直线，，若以①；②；③中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题可以是（ ） A. ①②③ B. ①③② C. ②③① D. ①③②；①②③；②③① 11. 设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2．点是曲线上一点，且是直角三角形．若的面积为6，则的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边经过点，则__________． 13. 当方程所表示的圆的面积取最大值时，直线的倾斜角___________． 14. 设，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，过焦点向的外角平分线作垂线，垂足为，则点的轨迹方程是______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，若满足． （1）求角的大小； （2）求函数的最大值． 16. 已知点，直线及圆C：． （1）求过点的圆的切线方程； （2）若直线与圆没有公共点，求的取值范围； （3）若直线与圆相交于P，Q两点，且弦的长为，求的值． 17. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于两点，点关于轴的对称点为． （1）证明：点在直线上； （2）设，求直线的方程． 18. 在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，，是圆台的一条母线． （1）已知G，H分别为，的中点．求证：平面； （2）已知，求： ①直线与直线所成角的余弦值； ②二面角的余弦值． 19. 已知椭圆C：的长半轴长为2，半焦距为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过动点的直线交轴于点，交于点，（点在第一象限），且是线段的中点．过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点． ①设直线，的斜率分别为，，证明：为定值； ②求直线的斜率的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $