1.2 代数式与整式 2027年中考数学一轮复习考点精讲练

第一章 数与式 1.2 代数式与整式 【基础回顾】 考点1 代数式 1. 代数式概念 用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式. （1）代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有括号。 （2）代数式中不含有=、<、>、≠ 等 （3）对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。 2.代数式的分类 代数式分为有理式和无理式。有理式分为整式和分式，其中整式分为单项式和多项式。 3.列代数式方法 列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了. 【易错点提示】列式（或者说列代数式）注意： ①数与字母、字母与字母相乘省略乘号； ②数与字母相乘时数字在前； ③式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写； ④带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数； ⑤带单位时，适当加括号. 4.代数式的值 （1）一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值. （2）求代数式的值分两步：第一步，代数；第二步，计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值。【方法总结】求代数式的一般方法 1.直接代入法:用数值代替代数式中的对应字母,然后计算结果 2.化简求值法:先化简代数式,再代入字母的值,然后进行计算 3. 整体代入法:当给出代数式中所含几个字母之间的关系,不直接给出字母的值时,一般是把所要求的代数式通过恒等变形,转化成为用已知关系表示的形式,再代入计算。 考点2 整式及其运算 1. 整式的有关概念 （1）整式：单项式和多项式统称为整式． （2）单项式：单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数． 【注意】单项式的系数包括它前面的符号 （3）多项式：几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数． （4）同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 2. 整式的运算 （一）幂的运算 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即. （m, n都是正整数）. （2）幂的乘方： 1）幂的乘方是指几个相同的幂相乘。 2）法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（m，n都是正整数）． （3）积的乘方： 1）积的乘方是指底数是乘积形式的乘方． 2）法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘（n是正整数）． （4）同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减. (m,n都是正整数,且m>n); (a≠0). 【方法技巧】 （1）幂的乘方：（m，n，p都是正整数）． 例如：．这一性质由乘方运算降为乘法运算（指数相乘）． （2）注意逆用幂的乘方法则，例如：． 逆用积的乘方法则有，即指数相同的幂相乘，可将底数相乘，相同的指数作为共同的指数. （二）整式的加减 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。 （三）整式的乘法 （1）单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． （2）单项式乘多项式：m（a+b+c）=ma+mb+mc. （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． （3）多项式乘多项式：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． （四）整式的除法 （1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式。对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式。 （2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。 考点3 乘法公式 1．完全平方公式 （1）完全平方公式：． （2）完全平方公式有以下几个特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍，其符号与左边的运算符号相同． （3）完全平方公式的几何背景 ①运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． ②常见验证完全平方公式的几何图形 ．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 【温馨提醒】应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式。 2．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．即： （2）平方差公式的几何背景 ①常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． ②运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 【温馨提醒】应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便。 考点4 因式分解 1. 定义：把一个多项式化成几个因式积的形式叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算。 2. 因式分解的基本方法 （1）提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； （2）公式法：；；。 （3）分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d) （4）十字相乘法： 3. 分解因式的一般步骤 （1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式; （2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法： 为两项时，考虑平方差公式； 为三项时，考虑完全平方公式（或者十字相乘法）； 为四项时，考虑利用分组的方法进行分解; （3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止. 以上步骤可以概括为“一提二套三检查”. 【说明】中考考查因式分解问题，经常考查提取公因式法和公式法。对于十字相乘法、分组法能够熟练掌握学会这些额外方法对解决复杂问题大有益处。 考点5 规律探索题 1.解决规律探索型问题的策略是： 通过对所给的一组（或一串）数字或式子或图形及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用. 2.图形固定累加规律： (1)找关系：找后一个图形所求元素个数与前一个图形所求元素个数之间的关系，一般通过作差的形式进行观察； (2)找规律：若第一个图形所求元素个数为a，第二个图形所求元素个数比第一个图形所求元素个数多b，且此后每一个图形所求元素个数比前一个图形所求元素个数多b，则第n个图形所求元素个数为a＋b(n－1)； (3)验证：代入序号验证所求代数式． 【易错点提示】解决代数式与整式问题注意几点 ①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【考点精讲精练】 考点1. 代数式 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过“降次法”得出，解一元二次方程，结合得出，代入降次后的式子，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得， ∵， ∴， ∴． 【例2】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）已知非零实数、、满足，则的值是______． 【答案】 / 【详解】解：设，其中， ∴ ，，， ∴． 【例3】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）把下列代数式的题号填入相应集合的大括号内： A．，B．，C．，D．，E．，F．，G．，H．，I．． （1）单项式集合{________________} （2）多项式集合{________________} （3）二次二项式集合{________________} （4）三次多项式集合{________________} （5）非整式的集合{________________}． 【答案】 【分析】根据单项式，多项式，整式的定义对代数式逐一分类即可． 【详解】解：根据相关定义逐一判断：1．单项式是数或字母的积，单独的一个数或字母也是单项式，因此单项式集合包含； 2．多项式是几个单项式的和，因此多项式集合包含； 3．二次二项式是最高次数为，共含项的多项式，中最高次数为，共两项，中最高次数为，共两项，因此二次二项式集合包含； 4．三次多项式是最高次数为的多项式，只有符合要求，因此三次多项式集合包含；5． 非整式是分母含有字母的代数式，中和中分母都含字母，因此非整式集合包含． 【基础巩固练】 【变式1】（26-27九年级上·安徽宿州·阶段检测）关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】将代入方程求得的值，再整体代入所求代数式计算. 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入方程得， ∴， ∴. 【变式2】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）互不相等的实数a、b、c满足，则________． 【答案】 【分析】由已知连等式转化为方程组，通过整体相加的方法提取公因式，然后分情况讨论和的两种情况，并结合题目中“互不相等的实数”这一限制条件进行检验． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 相加得， ， ， 移项得， 此时分两种情况讨论： 情况一：若，则必须有，解得， 将代入原式，得，即； ，即， 两式相减得：，即， ∴， 这与题目已知条件“互不相等的实数”矛盾， ∴不成立，舍去； 情况二：若，则，，， 代入原连等式，得， 满足互不相等且分母不为0的条件，成立． 综上所述，的值为． 【变式3】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将交点坐标代入抛物线解析式求出的值，再整体代入所求代数式计算. 【详解】解：把代入中， 得， ， . 【能力提升练】 【提升1】（26-27九年级上·广东清远·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用方程的根的意义得到的值，再整体代入求代数式的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， ∴． 【提升2】（26-27九年级上·福建南平·阶段检测）若抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】将交点坐标代入抛物线解析式，得到的取值，再通过整体代入法计算目标代数式的值． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点为， ∴将，代入抛物线解析式，得， ∴， ∴． 【提升3】（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）记p进制数a在p进制下表示为，例如，若，则（     ） A．154 B．155 C．156 D．157 【答案】C 【分析】根据进制转换规则，将不同进制数转为十进制数，列方程求b，再计算目标数的十进制值． 【详解】解：由进制转换规则得：，， ∵， ∴， 化简得：， 解得：， ∵进制基数需大于各位数字，，符合要求， ∴． 【提升4】（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知实数，满足，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴． 考点2. 整式及其运算 【例题精讲】 【例1】（25-26九年级下·湖南郴州·阶段检测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项A：，运算错误； 对于选项B：，运算错误； 对于选项C：，运算错误； 对于选项D：，运算正确． 【例2】（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知，则的值为___________． 【答案】8 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【例3】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”，如多项式，，，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为． (1)已知多项式，，判断是否为的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出关于的“雅常值”； (2)已知多项式，（，为常数），是的“雅常式”，且当为实数时，的最小值为，求关于的“雅常值”． 【答案】(1)是的“雅常式”，关于的“雅常值”为，理由如下： ∵，， ∴， ∵为正的常数， ∴是的“雅常式”，“雅常值”为； (2) 【分析】（）根据定义解答即可； （）先由“雅常式”定义求的值，再由的最小值求的值，最后求出的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的“雅常式”， ∴的值为正的常数， 又∵ ，（，为常数）， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， 又∵，的最小值为， ∴， ∴ ∴， 即关于的“雅常值”为． 【基础巩固练】 【变式1】（26-27九年级上·重庆江津·阶段检测）对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换，已知两个依次排列的整式为：，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此类推．下列说法： ①第1次作差变换后整式串所有整式的和为； ②若第2次作差变换时新增的两个整式的积不含，则的值为； ③第3次作差变换后，一定含有整式； ④经过次作差变换后，整式串中整式的总个数为． 其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据整式的加减运算法则，多项式乘以多项式，数字类规律探究，结合给定的操作方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：①第1次作差变换后整式串所有整式的和为： ，故①错误； ②第2次作差变换后整式串为：，，，，， ∴第2次作差变换新增的整式的积为： ， ∵第2次作差变换新得到的整式的积不含， ∴， 解得：，故②正确； ③第3次作差变换后整式串为：，，，，，,，，， ∴第3次作差变换后，一定含有整式； ④第1次作差变换后的整式总个数为个， 第2次作差变换后的整式总个数为个， 第3次作差变换后的整式总个数为个， 第4次作差变换后的整式总个数为个， …… 第次作差变换后的整式总个数为，故④正确； 综上，正确的个数为3个． 【变式2】（2026九年级·天津·专题练习）计算：________． 【答案】 【分析】先处理乘方运算，根据乘方的意义，．再根据同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，计算化简后的两个单项式的乘积． 【详解】原式． 【变式3】（26-27九年级上·重庆巴南·阶段检测）已知整式A：，其中和n为自然数，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式A中有且只有2个单项式； ②当时，满足条件的所有整式A的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共5个．其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①可通过分析单项式条件判断； ②通过时列出所有符合的整式，然后计算它们的和即可验证； ③通过时列出所有的二次三项式，然后根据其开口方向，和判别式判断非负性即可． 【详解】解：①∵单项式为只有一项的整式，当时，为常数单项式，代入条件得，即，得单项式； 当时，均为正整数，故一次项到次项共项均存在，若为单项式，则需且，代入条件得，即，得单项式； 当时，项数，不可能为单项式，∴满足条件的单项式共2个，①正确． ②当时，由条件得，即， ∵， ∴， 当时，，此时，对应整式为； 当时，，此时三个正整数和为4，即一个为2、其余为1，对应整式为、、；将所有整式相加，得常数项和为，项系数和为，项系数和为，项系数和为，即总和为，②正确． ③∵二次三项式满足且有3项，又，故需，代入条件得，即，其中， 二次函数的图象开口向上，对任意实数值非负等价于，枚举所有正整数解： 当时，，解为，其中，，，故前2组符合； 当时，，解为，其中，，故2组都符合； 当时，，解为，，符合； 当时，，与矛盾，无解； 综上，符合条件的整式共个，③正确． 【能力提升练】 【提升1】（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）已知整式，其中，为正整数，，，…为整数，且．若满足．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且只有一个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③当时，满足条件的所有二次整式共有16个． 其中正确的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①由单项式定义：除最高次项外其余系数全部为0，得到后代入等式，求得与的关系，进行列举后将所有整式相加即可． ②按题意将代入条件等式中，可得、之间的关系，再进行列举即可． ③按照题意，二次整式中，，代入后，对的情况逐个枚举即可． 【详解】解：由题可知，，为正整数，，故的值为、、， 由单项式定义可知，， 代入等式左侧： ， 则， 当， ，代入整式后得到单项式， 当，，此时不是整数，舍去， 当， ，代入整式后得到单项式， 得到2个单项式，因此说法①错误． ②时，，的值为、、， 条件式子为：，为整数， 即 或， 当，或，代入整式后得到：， 当，或，代入整式后得到：，， 当，或，代入整式后得到：，； 将上述全部整式相加求和： 故说法②正确． ③当时， 二次整式，， 整式，、为整数． 条件：， 代入， ， 设（为整数），对上述等式变形得， 由绝对值的非负性可知，， 求解得； 对每个整数，的整数解为的个数， 接下来逐个枚举： 1.时：，，，共1个 2.时：，，，，共个； 3.时：，，，，共个； 4.时：，，，，共个； 5.时：，，，，共个； 6.时：，，，，共个； 7.时：，，，，共个； 8.时：，，，共个； 9.时：，，，共个； 总个数为： 说法③正确． 综上所述，正确的个数为2，选择C． 【提升2】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知整式：，其中为正整数，，，，为整数，，且满足（为常数）．下列说法正确的个数有（     ） ①若，则不存在满足条件的整式； ②若，则满足条件的所有整式中有且仅有2个单项式； ③若，，则当取任意实数时，其值一定为负数的整式有且仅有5个． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】根据题目给定条件，逐个判断三个说法，结合绝对值性质、整数性质和二次函数恒负的条件逐一验证，统计正确说法的个数即可． 【详解】解：已知为正整数，，为整数，且， ①若，则， ∴，与矛盾，故不存在满足条件的整式，①正确，符合题意； ②若，∵，， ∴，且， ∵，即， ∴，，即或，此时为或，共2个单项式，②正确，符合题意； ③若，，则，为二次多项式，对任意实数值恒为负，需满足且， 当时，，即，此时，时值为0，不满足恒负，舍去； 当时，，仅当，时，，满足条件； 当时，，当，时，，满足条件；当，时，，满足条件；其余组合均不满足条件； 综上，满足条件的整式共有4个，③错误，不符合题意， 故说法正确的个数有2个． 【提升3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，选项A错误． ，选项B正确． ，选项C错误． ，选项D错误． 【提升4】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，不能合并，即，故错误． B选项：，正确． C选项：，故错误． D选项：，故错误． 考点3. 乘法公式 【例题精讲】 【例1】（25-26七年级下·河南郑州·期末）下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的几何意义，即大正方形面积减去小正方形面积等于拼成的长方形或平行四边形的面积，逐一分析各选项图形即可． 【详解】A． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故A不符合题意； B． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故B不符合题意； C． 左图大正方形面积减去小正方形面积得，右图长方形长为，宽为，面积为，能验证，故C不符合题意； D． 左图表示完全平方公式，右图表示面积为，不能验证平方差公式，故D符合题意． 【例2】（26-27九年级上·北京·开学考试）已知，代数式的值为_________． 【答案】 【分析】先化简所求代数式，再利用已知等式变形，整体代入计算结果． 【详解】解：， ∵， ∴ ∴原式． 【例3】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）用运算律或乘法公式可以简化运算，例如： ． (1)证明，并用以上方法计算； (2)计算：． 【答案】(1) 证明：左边， 右边， ∴ 左边=右边，成立； (2) 【分析】（1）化简等式右侧验证等式成立；将101凑整为整百数相关形式，套用所得公式简化计算； （2）利用平方性质将负数平方转化为正数平方，凑整后套用公式计算. 【详解】（1）证明见答案， 取，， 代入公式得： ； （2） 解： . 【基础巩固练】 【变式1】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）已知，代数式的值为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】先用公式法对代数式进行因式分解，再代入求值即可． 【详解】解：， 当时， 原式． 【变式2】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）计算：______． 【答案】/ 【分析】利用完全平方公式展开原式，再合并常数项即可得到结果． 【详解】解：根据完全平方公式， ∵ ， ， ∴ ． 【变式3】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先用平方差公式展开第一部分，多项式乘多项式展开第二部分，去括号合并同类项，最后代入数值计算．注意去括号时符号变化． 【详解】解：原式 当，时 原式 【能力提升练】 【提升1】（26-27九年级上·山西长治·阶段检测）计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【提升2】（26-27九年级上·天津河西·开学考试）计算的结果为__________． 【答案】 【分析】原式符合平方差公式的结构，可直接用平方差公式简化计算. 【详解】解： . 【提升3】（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先计算括号内的多项式乘法与完全平方运算，再合并同类项，然后计算整式除法，最后代入，计算即可得出结果． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【提升4】（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值． 例题：求的最小值． 解： ． ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴当时，有最小值，最小值为5． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：__________． (2)求的最小值． (3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，则__________，__________，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)36；6 (2) (3)解：，，，理由如下： 由题意得，， ， ∴ ， ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴， ∴． 【分析】（1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式对原式进行整理，根据完全平方公式的非负性求值即可； （3）根据长方形的面积公式表示出，再求出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次项系数为， ∴常数项为， ∴； （2）解： ， ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴当时，有最小值，最小值为． （3）略 考点4. 因式分解 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、不能分解因式，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、不能分解因式，故此选项不符合题意． 【例2】（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）因式分解：＝______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： ． 【例3】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）分解因式：=______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式． 【详解】解：． 【基础巩固练】 【变式1】（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】需验证等式左右相等且结果为整式积的形式，逐项判断． 【详解】解：A选项：∵，与左边不相等， ∴变形错误； B选项：∵，与左边不相等， ∴变形错误； C选项：∵，与左边不相等， ∴变形错误； D选项：∵，与左边相等，且结果为整式积的形式， ∴变形正确． 【变式2】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）因式分解：____________． 【答案】 【详解】解：． 【变式3】（26-27九年级上·四川自贡·开学考试）分解因式：＝________________________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解得到最终结果． 【详解】解：． 【能力提升练】 【提升1】（25-26九年级下·山东淄博·期中）若满足，则分解因式等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解含有字母参数的二元一次方程组，因式分解；根据已知条件可求出关于的表达式，代入二次三项式后进行分解因式即可得到结果． 【详解】解： 由得，可得， 将代入得，可得， 将代入得：． 故选：C． 【提升2】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）若一元二次方程的两个实数根为和，则二次三项式可以因式分解为________． 【答案】 【分析】已知一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求出和，再对二次三项式因式分解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为和， ∴，， 解得，， ∴． 【提升3】（25-26八年级下·四川成都·期末）因式分解：=___________ 【答案】 【分析】将看成一个整体，利用十字相乘法进行分解，再对各因式进行分解． 【详解】解：原式 ． 【提升4】（26-27九年级上·全国·单元复习）在实数范围内分解因式，下列四个选项中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原式视为关于的二次三项式，把看作常数，通过求对应一元二次方程的根完成因式分解． 【详解】解：令，将看作常数， ∵， ∴， ∴． 考点5. 规律探索题 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）用黑白两种颜色的正方形瓷砖按如图规律铺设，那么第个图案中白色瓷砖的块数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形，分别数出前三个图案中白色瓷砖的块数，归纳出第个图案中白色瓷砖块数的公式，代入计算即可． 【详解】解：第1个图案中白色瓷砖有块，； 第2个图案中白色瓷砖有块，； 第3个图案中白色瓷砖有块，； 第个图案中白色瓷砖有块； 当时，． 【例2】（26-27九年级上·上海·自主招生）已知，则_____． 【答案】 【分析】先计算前几项推导运算规律，验证规律后，根据规律计算最终结果． 【详解】解：∵， ∴； ； ； 由此可得规律：， 设，则， 两式相加得：， ∴ ∴， ∴． 【例3】（26-27九年级上·安徽合肥·期中）某商业街的人行道由3块矩形地砖组成的基本图形排列而成，图1表示此基本图形中的地砖排列方式．将图1这个基本图形不断复制（即向前铺地砖），得到图2，图3，…（如图所示）． 显然，图1中共有6个矩形，图2中共有18个矩形，图3中共有36个矩形，…，按照以上规律，解决下列问题： (1)图4中共有_______个矩形； (2)图中共有_______个矩形（用含的式子表示）； (3)图中矩形的个数为270，求的值． 【答案】(1)60 (2) (3) 【分析】本题考查图形变化规律的探究．这里的“矩形”指图中所有由线段围成的长方形，包括由地砖拼合而成的大小长方形，这是本题最容易漏数的关键．任一矩形都由左右两条竖线和上下两条横线唯一确定，所以数矩形的关键在于“横线取2条、竖线取2条，再两两搭配”：图n排成n列3行，横线始终是4条，取2条有6种；竖线的条数等于列数加1，取2条的种数随n增大而增大．两者相乘就是图n中矩形的总数，这样数既不重复也不遗漏．求出一般规律后，可回代n取的情形检验；已知总数反求n时，把规律看作方程来解，最后要结合n为正整数（列数）的实际意义取舍． （1）图4有4列3行，按照“先取上下边、再取左右边”的方法直接计数即可． （2）仿照（1），用含n的式子表示图n中矩形上下边、左右边的取法数，相乘即得一般规律，可由n取1、2、3的情形检验． （3）由（2）的规律，将270代入列方程求解，注意n的实际意义（列数为正整数）． 【详解】（1）解：图4有4列3行：矩形的上下边须从4条横线中取2条，有6种取法；左右边须从5条竖线中取2条，有10种取法．所以图4中共有矩形（个）． （2）解：图n有n列3行：矩形的上下边仍须从4条横线中取2条，有6种取法；左右边须从条竖线中取2条，有种取法． 所以图n中矩形个数为（个）． 检验：当n取1、2、3时，上式分别给出6、18、36，与题设相符． （3）解：由（2）知，图n中矩形个数为．由题意得，两边同除以3，得． 因为n为正整数，且，所以（方程的另一解为负数，不符合实际意义，舍去）．故n的值为9． 【基础巩固练】 【变式1】（26-27九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点……，前行的点数和不能是以下哪个结果（     ） A．55 B．78 C．96 D．120 【答案】C 【分析】通过观察图形找出前行的点数之和的公式，再通过解一元二次方程求出值，即可判断前行的点数和不可能的结果． 【详解】解：由题意得前行的点数之和为 ， A、点数之和为55，则，解得或（舍去），不符合题意． B、点数之和为78，则，解得或（舍去），不符合题意． C、点数之和为96，则，解得或，不是整数，符合题意． D、点数之和为120，则，解得或（舍去），不符合题意． 【变式2】（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）代数推理【观察思考】 第一个等式：    第二个等式： 第三个等式：    …… (1)①写出第四个等式：________； ②如果n为正整数，用含n的式子表示第n个等式：________． 【规律证明】 (2)证明②中的等式成立． 【规律应用】 (3)根据上述规律，化简：． 【答案】(1)①；②（为正整数）. (2)证明：左边 ， ∵为正整数， ∴， ∴左边右边， ∴等式成立； (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）解： ． 【变式3】（26-27九年级上·新疆昌吉·阶段检测）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第n行有n个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_________，前15行的点数之和为_________，前n行的点数之和为_________； (2)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）先找出三角点阵前行点数之和的规律进行求解即可． （2）先找出前排盆景总数的表达式，再根据总数为盆来求解的值． 【详解】（1）解：通过观察可知，三角点阵中前8行的点数之和为， 前15行的点数之和为， 前n行的点数之和为． （2）解：由题可知，第一排盆，第二排盆，第三排盆，，第排盆， 那么前排盆景的总数为， 由(1)可知， 所以前排盆景的总数为， 令，即， ，， 因为表示排数，为正整数，所以舍去，取． 【能力提升练】 【提升1】（26-27九年级上·重庆巴南·阶段检测）按如图所示的规律拼图案，第①个图中有5个★，第②个图中有9个★，第③个图中有13个★……按照这一规律，第⑦个图中★的个数是（     ） A．23 B．25 C．27 D．29 【答案】D 【分析】先根据前面几个图形中★的个数，找到规律，然后求解即可． 【详解】解：图①中有5个★，， 图②中有9个★，， 图③中有13个★，， 第n个图形中有个★， 以此类推，第⑦个图中★的个数是（个）． 【提升2】（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）观察下列等式：…，根据你观察后所发现的规律，解答下列问题： (1)若等式及具有上述规律，则_________；_________； (2)请你用含的等式表示上述规律（是大于等于2的整数）； (3)证明你得到的结论． 【答案】(1)， (2) (3)证明： 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，规律型：数字的变化类，熟练掌握二次根式的化简是解决本题的关键． （1）仔细观察从上式中找出规律即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）利用二次根式的性质及化简公式证明即可． 【详解】（1）解：∵； ； ∴， ． 故答案为：，； （2）解：∵； ； ， …… ∴（的整数）． （3）略 【提升3】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）观察下列三行数； 第一行数：，，，，，，… 第二行数：，，，，，，… 第三行数：，，，，，，… (1)第一行数的第8个数为_________，第二行数的第8个数为_________，第三行数的第8个数为_________； (2)第二行中相邻三个数的和为，求这三个数； (3)取每行数中的第7个数，记作，，，计算的值． 【答案】(1)；； (2)这三个数分别为，， (3) 【分析】（1）根据每行所给数据找到每行的规律从而求出第个数字，即可得到答案． （2）先找到第二行数字的变化规律，再用含的式子表示中间数，再用含的式子表示出前一个数和后一个数，三个数相加和为，解方程即可得出答案． （3）根据每行所给数据找到每行的规律从而求出第个数字，再代入中即可得出答案． 【详解】（1）解：第一行数： ， ， ， ， ∴第一行数的第个数为； 第二行数： ， ， ， ， ∴第二行数的第个数为； 第三行数： ， ， ， ， ∴第三行数的第个数为． （2）解：用含的式子表示中间数：， 前一个数：， 后一个数：， 三个数相加和为：， 即， ∴，即， ∴， 解得， ∴这三个数的位置为第位，第位，第位， 第位：， 第位：， 第位：， ∴这三个数分别为，，． （3）解：第一行数的第个数， 第二行数的第个数， 第三行数的第个数， ∴． 【提升4】（26-27九年级上·全国·课后作业）图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图，其问题如下：今有圭垛一堆．上一束，底宽八束．问共几束． (1)你能解决这个问题吗？ (2)如果将这个“圭垛”继续堆积下去，即第n行有n束…你能发现从上往下数前多少行的束数的和是300吗？（提示：．） 【答案】(1)总共36束 (2)从上往下数前24行的束数的和是300 【分析】（1）列式计算解决问题即可； （2）由题意得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 答：总共36束； （2）解：由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：从上往下数前24行的束数的和是300． 【真题回顾】 1．（2026·四川德阳·中考真题）下列去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据去括号法则，括号前为正号去括号后各项不改变符号，括号前为负号去括号后各项改变符号，逐一计算判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意， B．，故该选项错误，不符合题意， C．，故该选项正确，符合题意， D．，故该选项错误，不符合题意． 2．（2026·西藏·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 3．（2026·海南·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的运算法则和合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，运算错误，不符合题意； 选项B：，运算正确，符合题意； 选项C：，运算错误，不符合题意； 选项D：与不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意． 4．（2026·四川德阳·中考真题）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如下图，其中的，，，，…，是数学家排列的六边形数．根据以上信息，这列六边形数中第项的数是，第项的数是，以此类推，第项的数是_______． 【答案】 【分析】根据图示，分别找出每个图形中序号与图形中数量关系，用代数式表示即可． 【详解】解：第个图，有个顶点，即，第项的数是； 第个图，有个顶点，即，第项的数是； 第个图，有个顶点，即，第项的数是； 第个图，有个顶点，即，第项的数是； ∴第个图，顶点个数为：； 令，则； ∴第项的数是． 5．（2026·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，…按此规律，第个数是______．（结果用含有的式子表示） 【答案】 【分析】分别归纳这组数的符号、分子、分母的变化规律，整合得到第个数的表达式． 【详解】解：分别拆分符号、分子、分母三部分找规律： ①符号规律：第1个数为负，第2个数为正，第3个数为负，第4个数为正， ……， ∴第个数的符号为； ②分子规律：第1个数分子为，第2个数分子为，第3个数分子为，第4个数分子为， ……， ∴第个数的分子为； ③分母规律：第1个数分母为，第2个数分母为，第3个数分母为，第4个数分母为， ……， ∴第个数的分母为． 综上所述，第个数为． 6．（2026·山东淄博·中考真题）如图，在由数字0和1组成的无限数阵中，每行中相邻两个数字的间距为，每列中相邻两个数字的间距也为．每过1秒，与数字1的间距为的数字将变为1．图①是初始状态（由一个1和无数个0组成），1秒后变为图②状态，2秒后变为图③状态，若秒后得到的图中数字之和为1861，则的值是______． 【答案】 【分析】观察图①、图②、图③中数字的个数变化，发现每秒增加的的个数构成公差为的等差数列，从而得出秒后数字之和的通项公式，列方程求解即可． 【详解】解：观察图形可知： 图①（秒）中数字的个数为，数字之和为； 图②（秒）中数字的个数为，数字之和为； 图③（秒）中数字的个数为，数字之和为； 由此发现，每过秒，增加的数字的个数比上一秒多个， 第秒增加个，第秒增加个，，第秒增加个， 则秒后数字的总个数为： ， 根据题意，得：， 整理得：， 即：， 解得：(舍去)， ∵数字不断增加， ． 7．（2026·江苏常州·中考真题）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别计算零指数幂、平方及负整数指数幂，再计算加法即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式将式子展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 8．（2026·宁夏·中考真题）【回顾】整式乘法运算： ． 【观察】发现与整式乘法方向相反的变形：． 【猜想】具有某种特征的二次三项式能化成两个一次因式乘积的形式，即． 【探究】依据整式乘法与因式分解的互逆关系，完成下列探究． (1)根据的特征，补全下表： … … … … (2)当恒成立时，写出，与，满足的数量关系，并说明理由． (3)【应用】若分式能约分，请利用探究得到的结论，求的值． 【答案】(1)补全表格如下： … … … … (2)，．理由如下： ， ，． (3) 【分析】（1）根据、的值把多项式因式分解，即可得出、的值，进而补全表格即可； （2）利用乘法公式把右边式子展开，根据对应项的系数相等，即可得出答案； （3）由分式能约分得出分母中含的因式，设，根据对应项系数相等求出、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：当，，时， ， ∴， 当，，时， ， ∴， 补全表格略 （2）略 （3）解：分式能约分， ∴分母中含的因式， 设， ，， 解得，． 9．（2026·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【分析】先利用平方差公式和单项式乘多项式法则化简整式，再代入的值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 10．（2026·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：原式， ， 当时，原式． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 1.2 代数式与整式 【基础回顾】 考点1 代数式 1. 代数式概念 用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式. （1）代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有括号。 （2）代数式中不含有=、<、>、≠ 等 （3）对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。 2.代数式的分类 代数式分为有理式和无理式。有理式分为整式和分式，其中整式分为单项式和多项式。 3.列代数式方法 列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了. 【易错点提示】列式（或者说列代数式）注意： ①数与字母、字母与字母相乘省略乘号； ②数与字母相乘时数字在前； ③式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写； ④带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数； ⑤带单位时，适当加括号. 4.代数式的值 （1）一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值. （2）求代数式的值分两步：第一步，代数；第二步，计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值。【方法总结】求代数式的一般方法 1.直接代入法:用数值代替代数式中的对应字母,然后计算结果 2.化简求值法:先化简代数式,再代入字母的值,然后进行计算 3. 整体代入法:当给出代数式中所含几个字母之间的关系,不直接给出字母的值时,一般是把所要求的代数式通过恒等变形,转化成为用已知关系表示的形式,再代入计算。 考点2 整式及其运算 1. 整式的有关概念 （1）整式：单项式和多项式统称为整式． （2）单项式：单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数． 【注意】单项式的系数包括它前面的符号 （3）多项式：几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数． （4）同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 2. 整式的运算 （一）幂的运算 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即. （m, n都是正整数）. （2）幂的乘方： 1）幂的乘方是指几个相同的幂相乘。 2）法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（m，n都是正整数）． （3）积的乘方： 1）积的乘方是指底数是乘积形式的乘方． 2）法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘（n是正整数）． （4）同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减. (m,n都是正整数,且m>n); (a≠0). 【方法技巧】 （1）幂的乘方：（m，n，p都是正整数）． 例如：．这一性质由乘方运算降为乘法运算（指数相乘）． （2）注意逆用幂的乘方法则，例如：． 逆用积的乘方法则有，即指数相同的幂相乘，可将底数相乘，相同的指数作为共同的指数. （二）整式的加减 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。 （三）整式的乘法 （1）单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． （2）单项式乘多项式：m（a+b+c）=ma+mb+mc. （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． （3）多项式乘多项式：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． （四）整式的除法 （1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式。对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式。 （2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。 考点3 乘法公式 1．完全平方公式 （1）完全平方公式：． （2）完全平方公式有以下几个特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍，其符号与左边的运算符号相同． （3）完全平方公式的几何背景 ①运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． ②常见验证完全平方公式的几何图形 ．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 【温馨提醒】应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式。 2．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．即： （2）平方差公式的几何背景 ①常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． ②运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 【温馨提醒】应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便。 考点4 因式分解 1. 定义：把一个多项式化成几个因式积的形式叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算。 2. 因式分解的基本方法 （1）提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； （2）公式法：；；。 （3）分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d) （4）十字相乘法： 3. 分解因式的一般步骤 （1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式; （2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法： 为两项时，考虑平方差公式； 为三项时，考虑完全平方公式（或者十字相乘法）； 为四项时，考虑利用分组的方法进行分解; （3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止. 以上步骤可以概括为“一提二套三检查”. 【说明】中考考查因式分解问题，经常考查提取公因式法和公式法。对于十字相乘法、分组法能够熟练掌握学会这些额外方法对解决复杂问题大有益处。 考点5 规律探索题 1.解决规律探索型问题的策略是： 通过对所给的一组（或一串）数字或式子或图形及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用. 2.图形固定累加规律： (1)找关系：找后一个图形所求元素个数与前一个图形所求元素个数之间的关系，一般通过作差的形式进行观察； (2)找规律：若第一个图形所求元素个数为a，第二个图形所求元素个数比第一个图形所求元素个数多b，且此后每一个图形所求元素个数比前一个图形所求元素个数多b，则第n个图形所求元素个数为a＋b(n－1)； (3)验证：代入序号验证所求代数式． 【易错点提示】解决代数式与整式问题注意几点 ①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【考点精讲精练】 考点1. 代数式 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）已知非零实数、、满足，则的值是______． 【例3】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）把下列代数式的题号填入相应集合的大括号内： A．，B．，C．，D．，E．，F．，G．，H．，I．． （1）单项式集合{________________} （2）多项式集合{________________} （3）二次二项式集合{________________} （4）三次多项式集合{________________} （5）非整式的集合{________________}． 【基础巩固练】 【变式1】（26-27九年级上·安徽宿州·阶段检测）关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式2】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）互不相等的实数a、b、c满足，则________． 【变式3】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【能力提升练】 【提升1】（26-27九年级上·广东清远·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【提升2】（26-27九年级上·福建南平·阶段检测）若抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为______． 【提升3】（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）记p进制数a在p进制下表示为，例如，若，则（     ） A．154 B．155 C．156 D．157 【提升4】（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知实数，满足，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 考点2. 整式及其运算 【例题精讲】 【例1】（25-26九年级下·湖南郴州·阶段检测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知，则的值为___________． 【例3】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”，如多项式，，，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为． (1)已知多项式，，判断是否为的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出关于的“雅常值”； (2)已知多项式，（，为常数），是的“雅常式”，且当为实数时，的最小值为，求关于的“雅常值”． 【基础巩固练】 【变式1】（26-27九年级上·重庆江津·阶段检测）对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换，已知两个依次排列的整式为：，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此类推．下列说法： ①第1次作差变换后整式串所有整式的和为； ②若第2次作差变换时新增的两个整式的积不含，则的值为； ③第3次作差变换后，一定含有整式； ④经过次作差变换后，整式串中整式的总个数为． 其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2026九年级·天津·专题练习）计算：________． 【变式3】（26-27九年级上·重庆巴南·阶段检测）已知整式A：，其中和n为自然数，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式A中有且只有2个单项式； ②当时，满足条件的所有整式A的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共5个．其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【能力提升练】 【提升1】（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）已知整式，其中，为正整数，，，…为整数，且．若满足．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且只有一个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③当时，满足条件的所有二次整式共有16个． 其中正确的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【提升2】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知整式：，其中为正整数，，，，为整数，，且满足（为常数）．下列说法正确的个数有（     ） ①若，则不存在满足条件的整式； ②若，则满足条件的所有整式中有且仅有2个单项式； ③若，，则当取任意实数时，其值一定为负数的整式有且仅有5个． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【提升3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【提升4】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 考点3. 乘法公式 【例题精讲】 【例1】（25-26七年级下·河南郑州·期末）下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27九年级上·北京·开学考试）已知，代数式的值为_________． 【例3】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）用运算律或乘法公式可以简化运算，例如： ． (1)证明，并用以上方法计算； (2)计算：． 【基础巩固练】 【变式1】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）已知，代数式的值为（     ） A．2 B．4 C． D． 【变式2】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）计算：______． 【变式3】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【能力提升练】 【提升1】（26-27九年级上·山西长治·阶段检测）计算的值为（     ） A． B． C． D． 【提升2】（26-27九年级上·天津河西·开学考试）计算的结果为__________． 【提升3】（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）先化简再求值：，其中，． 【提升4】（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值． 例题：求的最小值． 解： ． ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴当时，有最小值，最小值为5． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：__________． (2)求的最小值． (3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，则__________，__________，比较和的大小，并说明理由． 考点4. 因式分解 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）因式分解：＝______． 【例3】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）分解因式：=______． 【基础巩固练】 【变式1】（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）因式分解：____________． 【变式3】（26-27九年级上·四川自贡·开学考试）分解因式：＝________________________． 【能力提升练】 【提升1】（25-26九年级下·山东淄博·期中）若满足，则分解因式等于（    ） A． B． C． D． 【提升2】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）若一元二次方程的两个实数根为和，则二次三项式可以因式分解为________． 【提升3】（25-26八年级下·四川成都·期末）因式分解：=___________ 【提升4】（26-27九年级上·全国·单元复习）在实数范围内分解因式，下列四个选项中正确的是（     ） A． B． C． D． 考点5. 规律探索题 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）用黑白两种颜色的正方形瓷砖按如图规律铺设，那么第个图案中白色瓷砖的块数为（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27九年级上·上海·自主招生）已知，则_____． 【例3】（26-27九年级上·安徽合肥·期中）某商业街的人行道由3块矩形地砖组成的基本图形排列而成，图1表示此基本图形中的地砖排列方式．将图1这个基本图形不断复制（即向前铺地砖），得到图2，图3，…（如图所示）． 显然，图1中共有6个矩形，图2中共有18个矩形，图3中共有36个矩形，…，按照以上规律，解决下列问题： (1)图4中共有_______个矩形； (2)图中共有_______个矩形（用含的式子表示）； (3)图中矩形的个数为270，求的值． 【基础巩固练】 【变式1】（26-27九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点……，前行的点数和不能是以下哪个结果（     ） A．55 B．78 C．96 D．120 【变式2】（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）代数推理【观察思考】 第一个等式：    第二个等式： 第三个等式：    …… (1)①写出第四个等式：________； ②如果n为正整数，用含n的式子表示第n个等式：________． 【规律证明】 (2)证明②中的等式成立． 【规律应用】 (3)根据上述规律，化简：． 【变式3】（26-27九年级上·新疆昌吉·阶段检测）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第n行有n个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_________，前15行的点数之和为_________，前n行的点数之和为_________； (2)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【能力提升练】 【提升1】（26-27九年级上·重庆巴南·阶段检测）按如图所示的规律拼图案，第①个图中有5个★，第②个图中有9个★，第③个图中有13个★……按照这一规律，第⑦个图中★的个数是（     ） A．23 B．25 C．27 D．29 【提升2】（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）观察下列等式：…，根据你观察后所发现的规律，解答下列问题： (1)若等式及具有上述规律，则_________；_________； (2)请你用含的等式表示上述规律（是大于等于2的整数）； (3)证明你得到的结论． 【提升3】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）观察下列三行数； 第一行数：，，，，，，… 第二行数：，，，，，，… 第三行数：，，，，，，… (1)第一行数的第8个数为_________，第二行数的第8个数为_________，第三行数的第8个数为_________； (2)第二行中相邻三个数的和为，求这三个数； (3)取每行数中的第7个数，记作，，，计算的值． 【提升4】（26-27九年级上·全国·课后作业）图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图，其问题如下：今有圭垛一堆．上一束，底宽八束．问共几束． (1)你能解决这个问题吗？ (2)如果将这个“圭垛”继续堆积下去，即第n行有n束…你能发现从上往下数前多少行的束数的和是300吗？（提示：．） 【真题回顾】 1．（2026·四川德阳·中考真题）下列去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·西藏·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·海南·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川德阳·中考真题）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如下图，其中的，，，，…，是数学家排列的六边形数．根据以上信息，这列六边形数中第项的数是，第项的数是，以此类推，第项的数是_______． 5．（2026·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，…按此规律，第个数是______．（结果用含有的式子表示） 6．（2026·山东淄博·中考真题）如图，在由数字0和1组成的无限数阵中，每行中相邻两个数字的间距为，每列中相邻两个数字的间距也为．每过1秒，与数字1的间距为的数字将变为1．图①是初始状态（由一个1和无数个0组成），1秒后变为图②状态，2秒后变为图③状态，若秒后得到的图中数字之和为1861，则的值是______． 7．（2026·江苏常州·中考真题）计算： (1)． (2)． 8．（2026·宁夏·中考真题）【回顾】整式乘法运算： ． 【观察】发现与整式乘法方向相反的变形：． 【猜想】具有某种特征的二次三项式能化成两个一次因式乘积的形式，即． 【探究】依据整式乘法与因式分解的互逆关系，完成下列探究． (1)根据的特征，补全下表： … … … … (2)当恒成立时，写出，与，满足的数量关系，并说明理由． (3)【应用】若分式能约分，请利用探究得到的结论，求的值． 9．（2026·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 10．（2026·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $