1.1实数 2027年中考数学一轮复习考点精讲练

第一章 数与式 1.1 实数 【基础回顾】 考点1 实数的分类及正负数的意义 1. 实数的分类 （1）按照定义分类 （2）按照正负分类 注意：0既不属于正数，也不属于负数，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如，等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等； （3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1…等； （4）某些三角函数，如sin60°等. 2. 正负数的意义 （1）正负数的概念 1）正数：大于0的数叫做正数。 2）负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。 3）0 既不是正数也不是负数，它是正负数的分界. 【提示】一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号.有时，我们为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号，如+3，+1.8％，+0.5，….不过一般情况下我们省略“+”不写. （2）正负数的意义 具有相反意义的量应满足的条件： ①必须是同类量，而且是成对出现的； ②只要求意义相反，不要求数量一定相等. （3）正数、负数和0在实践中的应用 1）可以用来表示体重的变化情况； 2）可以用来表示不同地点的海拔高度； 3）可以用来表示某时气温变化情况； 4）可以用来表示货物出口额变化情况； 5）其他情况。 考点2 实数的相关概念及科学记数法 1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应. 【注意1】在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴要满足以下要求： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个长度取一个点，依次表示1，2,3,4...；从原点向左，每隔一个长度取一个点，依次表示-1，-2,-3,-4...。分数或者小数也可以用数轴上的点表示。 【注意2】数轴的画法. A. 画一条水平直线，在直线上取一点表示0，并把这个点叫作原点，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴. 数轴的画法： （1）画一条水平直线，定原点(如图)，原点表示0. （2）规定从原点向右为正方向，那么相反的方向(从原点向左)则为负方向. （3）选择适当的长度为单位长度. B. 画数轴注意事项： (1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可； (2)直线一般画水平的； (3)正方向用箭头表示，一般取从左到右； (4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀。 2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0. 一般地，a和-a互为相反数；特别地，0的相反数是0. 【温馨提醒】相反数的几何意义 （1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧（0除外）； （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等. （3）一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示a和-a，这两点关于原点对称. 3．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离称数a的绝对值，记作 |a|. 性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即（1）如果a＞0，那么|a| =a （2）如果a＜0，那么|a| =-a （3）如果a=0，那么|a| =0 4．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1. 5．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 【易错点提示】用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a和n的值． (1)a值的确定：1≤|a|<10； (2)n值的确定： ①当原数大于或等于10时，n等于原数的整数位数减1； ②当原数大于0且小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)； ③有计数(量)单位的科学记数法，先把数字单位转化为纯数字表示，再用科学记数法表示．常用的计数单位有：1亿＝108，1万＝104，计量单位有：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m等． 6．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 7．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根. （2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根. （3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为. （4） 8．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根. （2）表示：a的立方根表示为. （3）. 9．数的乘方：求个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数. 考点3 实数的运算及大小比较 1. 实数的运算 （1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律. （2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的. （3）指数，负整数指数幂：a≠0，则a0=1；若a≠0，n为正整数，则. 【注意】 -1的奇次幂为-1，偶次幂为1. 2. 实数的大小比较方法 （1）平方法：当a＞0，b＞0时，a＞b． （2）移动因数法：利用a＝ (a≥0)，将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小． （3）作差法：当a－b＝0时，可知a＝b；当a－b＞0时，可知a＞b；当a－b＜0时，可知a＜b． （4）作商法：若，则A＝B；若＞1，则A＞B；若＜1，则A＜B(A，B＞0且B≠0). （5）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则 。 备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。 【考点精讲精练】 考点1. 实数的分类及正负数的意义 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）下列四个实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D．3.14 【例2】（26-27九年级上·吉林·阶段检测）某高山山下的温度为，记为，山顶的温度为零下，记为_____． 【例3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）用序号将下列各数填入相应的大括号内 ①，②，③，④，⑤，⑥ 正分数{_____________________________．．．．．．}； 负整数{_____________________________．．．．．．}； 无理数{_____________________________．．．．．．}． 【基础巩固练】 【变式训练1】（2026九年级·贵州·专题练习）在实数，，，中，有理数是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·陕西榆林·模拟预测）在实数，3，，，0中，负数有_____个． 【变式训练3】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）某冷库一天的冷冻食品进出记录如表（运进用正数表示，运出用负数表示）． 进出食品的质量（单位：吨） 4 3 进出次数 2 1 4 3 2 (1)这天冷库的冷冻食品的质量相比原来是增加了还是减少了？请说明理由． (2)根据实际情况，不管运进还是运出每吨冷冻食品费用都是元。求这一天运进和运出冷冻食品的总运费． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27九年级上·湖南·阶段检测）某品牌牛奶的包装上标注净含量为“”，质检员抽查了四盒牛奶，净含量分别为、、、，其中不合格的有（     ） A．盒 B．盒 C．盒 D．盒 【提升练2】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）在张一样的卡片上分别写上数，，，，，打乱顺序后，从中随机抽取一张，则抽到的卡片写的是无理数的概率是________． 【提升练3】（2026·河南驻马店·三模）一个不透明的盒子里装有三张完全相同的卡片，分别标有如图所示的数字，现随机抽取一张卡片记下数字后放回，摇匀后再随机抽取一张卡片，两次抽取的卡片上的数字都为有理数的概率为_________． 【提升练4】（2026·河南南阳·一模）写出一个绝对值小于3的负数：________________． 考点2. 实数的相关概念及科学记数法 【例题精讲】 【例1】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）的相反数是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026九年级·上海·专题练习）实数的立方根是______． 【例3】（2026·河北·三模）家用冰箱冷冻食材时，食材放出的热量（焦耳）满足公式（c为比热容，m为质量，为温度降低量）．已知：鸡肉的比热容，某块鱼肉的质量为，从冷冻至，共放出热量． (1)的鸡肉从冷冻至，求放出的热量（用科学记数法表示）； (2)①求鱼肉的比热容； ②若用同样的冰箱冷冻鱼肉，放出热量，求温度降低量． (3)冷冻相同质量的鸡肉和鱼肉，鸡肉放出的热量比鱼肉多，已知两者温度降低量均为，求冷冻的鸡肉的质量． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）据统计，2026年“十一”期间某景区接待游客约为人，将数字用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）数字5080000用科学记数法表示为________． 【变式训练3】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）中国海油2024年3月8日宣布，在南海珠江口盆地发现我国首个深水深层大油田——开平南油田，探明油气地质储量约亿吨油当量，数据“亿”用科学记数法可表示为_________． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）被称为“地球之顶”的珠穆朗玛峰是世界上海拔最高的山峰，位于喜马拉雅山脉海拔8848.86米，将8848.86用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【提升练2】（2026·广东肇庆·三模）已知实数m，n满足，则________． 【提升练3】（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）“神威·太湖之光”是我国自主研发的超级计算机，部署于国家超级计算无锡中心，全系统合计约有1065万计算核心，该超算广泛应用于气候模拟、地震重现、生物医药等前沿科研领域，能将原本需要数年的计算任务缩短至数天完成．将1065万用科学记数法表示为________． 【提升练4】（2026·广西梧州·二模）若实数满足，则代数式的值为______． 考点3. 实数的运算及大小比较 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（     ）． A． B． C．1 D．3 【例2】（26-27九年级上·北京·开学考试）比较大小：______． 【例3】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）计算：． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）根据以下程序，当输入，输出结果为（     ） A． B． C．1 D．2 【变式训练2】（2026九年级上·全国·专题练习）比较大小：________． 【变式训练3】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）计算：． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）新考向  我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如：是型无理数，则是（     ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 【提升练2】（26-27九年级上·上海松江·阶段检测）规定用符号表示一个实数m的整数部分，表示一个实数m的小数部分，例如：，，按此规定的值为______________． 【提升练3】（26-27九年级上·全国·单元测试）[核心素养]综合与实践 “平方法”是解决二次根式大小比较和计算问题的一种好方法．基于该方法，白老师提出问题：比较与的大小． 【数学思考】 (1)解答白老师提出的问题； 【深入探究】 (2)白老师让同学们思考上述问题的解决办法，并从不同的角度提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：若，请通过计算，判断p与q的大小； ②“智慧小组”提出问题：已知，其中是整数，且，请求出的值． 【提升练4】（2026·北京·三模）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数 ， 的值为____________，____________． 【真题回顾】 1．（2026·上海·中考真题）下列选项中，是无理数的是(    ) A． B． C． D． 2．（2026·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》最早提出正负数的概念，下列各数是负数的为（     ） A． B．0 C． D．2 3．（2026·四川攀枝花·中考真题）实数a、b满足，则以下结论一定成立的是（     ） A． B．a、b同时为0 C．a、b互为倒数 D．a、b互为相反数 4．（2026·贵州·中考真题）实数，在数轴上所表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏淮安·中考真题）下列实数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·四川巴中·中考真题）下列实数中最大的是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·海南·中考真题）圆周率是无限不循环小数，历史上祖冲之、刘徽等数学家都对有过深入研究．请写出一个小于的有理数________． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 1.1 实数 【基础回顾】 考点1 实数的分类及正负数的意义 1. 实数的分类 （1）按照定义分类 （2）按照正负分类 注意：0既不属于正数，也不属于负数，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如，等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等； （3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1…等； （4）某些三角函数，如sin60°等. 2. 正负数的意义 （1）正负数的概念 1）正数：大于0的数叫做正数。 2）负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。 3）0 既不是正数也不是负数，它是正负数的分界. 【提示】一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号.有时，我们为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号，如+3，+1.8％，+0.5，….不过一般情况下我们省略“+”不写. （2）正负数的意义 具有相反意义的量应满足的条件： ①必须是同类量，而且是成对出现的； ②只要求意义相反，不要求数量一定相等. （3）正数、负数和0在实践中的应用 1）可以用来表示体重的变化情况； 2）可以用来表示不同地点的海拔高度； 3）可以用来表示某时气温变化情况； 4）可以用来表示货物出口额变化情况； 5）其他情况。 考点2 实数的相关概念及科学记数法 1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应. 【注意1】在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴要满足以下要求： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个长度取一个点，依次表示1，2,3,4...；从原点向左，每隔一个长度取一个点，依次表示-1，-2,-3,-4...。分数或者小数也可以用数轴上的点表示。 【注意2】数轴的画法. A. 画一条水平直线，在直线上取一点表示0，并把这个点叫作原点，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴. 数轴的画法： （1）画一条水平直线，定原点(如图)，原点表示0. （2）规定从原点向右为正方向，那么相反的方向(从原点向左)则为负方向. （3）选择适当的长度为单位长度. B. 画数轴注意事项： (1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可； (2)直线一般画水平的； (3)正方向用箭头表示，一般取从左到右； (4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀。 2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0. 一般地，a和-a互为相反数；特别地，0的相反数是0. 【温馨提醒】相反数的几何意义 （1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧（0除外）； （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等. （3）一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示a和-a，这两点关于原点对称. 3．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离称数a的绝对值，记作 |a|. 性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即（1）如果a＞0，那么|a| =a （2）如果a＜0，那么|a| =-a （3）如果a=0，那么|a| =0 4．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1. 5．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 【易错点提示】用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a和n的值． (1)a值的确定：1≤|a|<10； (2)n值的确定： ①当原数大于或等于10时，n等于原数的整数位数减1； ②当原数大于0且小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)； ③有计数(量)单位的科学记数法，先把数字单位转化为纯数字表示，再用科学记数法表示．常用的计数单位有：1亿＝108，1万＝104，计量单位有：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m等． 6．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 7．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根. （2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根. （3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为. （4） 8．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根. （2）表示：a的立方根表示为. （3）. 9．数的乘方：求个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数. 考点3 实数的运算及大小比较 1. 实数的运算 （1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律. （2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的. （3）指数，负整数指数幂：a≠0，则a0=1；若a≠0，n为正整数，则. 【注意】 -1的奇次幂为-1，偶次幂为1. 2. 实数的大小比较方法 （1）平方法：当a＞0，b＞0时，a＞b． （2）移动因数法：利用a＝ (a≥0)，将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小． （3）作差法：当a－b＝0时，可知a＝b；当a－b＞0时，可知a＞b；当a－b＜0时，可知a＜b． （4）作商法：若，则A＝B；若＞1，则A＞B；若＜1，则A＜B(A，B＞0且B≠0). （5）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则 。 备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。 【考点精讲精练】 考点1. 实数的分类及正负数的意义 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）下列四个实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D．3.14 【答案】A 【分析】根据无理数是无限不循环小数，结合有理数的定义求解即可． 【详解】解：，，3.14是有理数，是无理数， 故选项A符合题意． 【例2】（26-27九年级上·吉林·阶段检测）某高山山下的温度为，记为，山顶的温度为零下，记为_____． 【答案】 【分析】根据零上温度用正数表示，零下温度用负数表示，即可求解． 【详解】解：∵零上温度记为正，零下温度记为负， ∴零下记为． 【例3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）用序号将下列各数填入相应的大括号内 ①，②，③，④，⑤，⑥ 正分数{_____________________________．．．．．．}； 负整数{_____________________________．．．．．．}； 无理数{_____________________________．．．．．．}． 【答案】 正分数； 负整数； 无理数． 【分析】本题主要考查了实数分类，准确分析判断是解题的关键． 根据正分数、负整数和无理数的定义，对每个数进行计算和判断，然后分类． 【详解】根据已知实数可得： 正分数：，； 负整数：，； 无理数：，； 正分数； 负整数； 无理数． 【基础巩固练】 【变式训练1】（2026九年级·贵州·专题练习）在实数，，，中，有理数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的概念和无理数的概念分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴在实数，，，中，有理数为，其他都是无理数． 【变式训练2】（2026·陕西榆林·模拟预测）在实数，3，，，0中，负数有_____个． 【答案】2 【分析】根据负数的定义，即小于的实数是负数，逐个判断给定实数，统计负数的个数即可． 【详解】解：根据负数的定义逐个判断：，是负数；，不是负数；，是负数；，不是负数；既不是正数也不是负数， 因此负数共有个． 【变式训练3】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）某冷库一天的冷冻食品进出记录如表（运进用正数表示，运出用负数表示）． 进出食品的质量（单位：吨） 4 3 进出次数 2 1 4 3 2 (1)这天冷库的冷冻食品的质量相比原来是增加了还是减少了？请说明理由． (2)根据实际情况，不管运进还是运出每吨冷冻食品费用都是元。求这一天运进和运出冷冻食品的总运费． 【答案】(1)这天冷库的冷冻食品质量相比原来减少了． 计算当天进出食品的总质量变化： （吨）， ∵结果为负数， ∴总质量较原来减少5吨． (2)元． 【分析】（1）利用各个进出的质量乘以对应的次数，再相加即可得到答案． （2）先求运进运出的冷冻食品总质量的和，再乘以300即可求出总费用． 【详解】（1）略． （2）解：运进运出的冷冻食品总质量：（吨）， 总费用：（元）， ∴一天运进运出冷冻食品的总运费元． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27九年级上·湖南·阶段检测）某品牌牛奶的包装上标注净含量为“”，质检员抽查了四盒牛奶，净含量分别为、、、，其中不合格的有（     ） A．盒 B．盒 C．盒 D．盒 【答案】B 【分析】求出牛奶合格时净含量的范围即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴净含量不小于，且不大于的牛奶合格， ∴不合格的有2盒（净含量为和的牛奶）． 【提升练2】（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）在张一样的卡片上分别写上数，，，，，打乱顺序后，从中随机抽取一张，则抽到的卡片写的是无理数的概率是________． 【答案】 【分析】先判断出5个数中无理数的个数，再根据概率公式计算抽到无理数的概率． 【详解】解：∵，是整数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数；是开方开不尽的数，属于无理数；是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数； ∴5个数中，无理数共有2个，所有等可能的抽取结果共5种， ∴抽到无理数的概率为． 【提升练3】（2026·河南驻马店·三模）一个不透明的盒子里装有三张完全相同的卡片，分别标有如图所示的数字，现随机抽取一张卡片记下数字后放回，摇匀后再随机抽取一张卡片，两次抽取的卡片上的数字都为有理数的概率为_________． 【答案】 【分析】先计算算术平方根，再根据树状图法求解即可． 【详解】解：， 可知是无理数，、是有理数． 画树状图如下： 可知共9种情况，其中两次抽取的卡片上的数字都为有理数的情况有4种， 即两次抽取的卡片上的数字都为有理数的概率为． 【提升练4】（2026·河南南阳·一模）写出一个绝对值小于3的负数：________________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：绝对值小于3的负数可以是． 考点2. 实数的相关概念及科学记数法 【例题精讲】 【例1】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，任意数的相反数为． 【详解】的相反数是． 【例2】（2026九年级·上海·专题练习）实数的立方根是______． 【答案】 【详解】解：， 实数的立方根是． 【例3】（2026·河北·三模）家用冰箱冷冻食材时，食材放出的热量（焦耳）满足公式（c为比热容，m为质量，为温度降低量）．已知：鸡肉的比热容，某块鱼肉的质量为，从冷冻至，共放出热量． (1)的鸡肉从冷冻至，求放出的热量（用科学记数法表示）； (2)①求鱼肉的比热容； ②若用同样的冰箱冷冻鱼肉，放出热量，求温度降低量． (3)冷冻相同质量的鸡肉和鱼肉，鸡肉放出的热量比鱼肉多，已知两者温度降低量均为，求冷冻的鸡肉的质量． 【答案】(1) (2) ① ② (3) 【分析】本题所有小题均利用题干给出的热量计算公式求解． （1）代入已知量直接计算放出热量； （2）①求出温度降低量，代入公式，解方程即可；②设出温度降低量为未知数，代入公式解方程即可； （3）设质量为未知数，根据热量差列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，温度降低量， 代入公式， 得： ． （2）解：① 由题意得，温度降低量， 代入公式得， 解得． ② 设温度降低量为， 代入公式得： ， 解得． （3）解：设冷冻的鸡肉和鱼肉的质量为， 由题意得： ， 代入，，， 得： ， 整理得， 解得． 答： 冷冻的鸡肉的质量为． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）据统计，2026年“十一”期间某景区接待游客约为人，将数字用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 【变式训练2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）数字5080000用科学记数法表示为________． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到结果． 【详解】解：． 【变式训练3】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）中国海油2024年3月8日宣布，在南海珠江口盆地发现我国首个深水深层大油田——开平南油田，探明油气地质储量约亿吨油当量，数据“亿”用科学记数法可表示为_________． 【答案】 【分析】先将“亿”转化，再根据科学记数法的定义确定和的值即可. 【详解】解：亿． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）被称为“地球之顶”的珠穆朗玛峰是世界上海拔最高的山峰，位于喜马拉雅山脉海拔8848.86米，将8848.86用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【提升练2】（2026·广东肇庆·三模）已知实数m，n满足，则________． 【答案】9 【详解】解：，且， ，， 解得，， ． 【提升练3】（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）“神威·太湖之光”是我国自主研发的超级计算机，部署于国家超级计算无锡中心，全系统合计约有1065万计算核心，该超算广泛应用于气候模拟、地震重现、生物医药等前沿科研领域，能将原本需要数年的计算任务缩短至数天完成．将1065万用科学记数法表示为________． 【答案】 【详解】解：万 ． 【提升练4】（2026·广西梧州·二模）若实数满足，则代数式的值为______． 【答案】7 【详解】解：∵， ， 将代入得． 考点3. 实数的运算及大小比较 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（     ）． A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】先估算的取值范围，确定其整数部分和小数部分，再代入代数式计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【例2】（26-27九年级上·北京·开学考试）比较大小：______． 【答案】 【分析】先比较两个数的绝对值，将整数化为二次根式形式，再根据负数比较大小的规则判断，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 【例3】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】根据乘方、绝对值、立方根、负整数指数幂的运算法则把算式化简，可得：原式，再根据运算法则计算． 【详解】解： ． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）根据以下程序，当输入，输出结果为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据程序求解即可． 【详解】解：当输入时，，不符合要求，不能输出， 当输入时，，不符合要求，不能输出， 当输入时，，符合要求，可以输出， 故输出结果为． 【变式训练2】（2026九年级上·全国·专题练习）比较大小：________． 【答案】 【详解】∵，， ∴． 【变式训练3】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 【能力提升练】 【提升练1】（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）新考向  我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如：是型无理数，则是（     ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 【答案】A 【详解】解：． ∵ ，为有理数，是最简二次根式， ∴ 该数是型无理数． 【提升练2】（26-27九年级上·上海松江·阶段检测）规定用符号表示一个实数m的整数部分，表示一个实数m的小数部分，例如：，，按此规定的值为______________． 【答案】 / 【分析】先估算和的大小范围，再根据题目定义分别计算和，最后求和得到结果. 【详解】解：， ， ； ， ， ； 原式. 【提升练3】（26-27九年级上·全国·单元测试）[核心素养]综合与实践 “平方法”是解决二次根式大小比较和计算问题的一种好方法．基于该方法，白老师提出问题：比较与的大小． 【数学思考】 (1)解答白老师提出的问题； 【深入探究】 (2)白老师让同学们思考上述问题的解决办法，并从不同的角度提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：若，请通过计算，判断p与q的大小； ②“智慧小组”提出问题：已知，其中是整数，且，请求出的值． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：，且， ，即． （2）解：①， ∵，． 又， ， ． ②是整数，且， ， ， ， ． 【提升练4】（2026·北京·三模）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数 ， 的值为____________，____________． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【详解】解：取，满足，但， 故能说明该命题是假命题．（答案不唯一，满足 且即可） 【真题回顾】 1．（2026·上海·中考真题）下列选项中，是无理数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的概念，根据无理数和有理数的定义逐一判断选项即可，用到的知识点为：无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称． 【详解】解：选项A，是分数，属于有理数， 选项B，是整数，属于有理数， 选项C，是无限不循环小数，是无理数， 选项D，，是整数，属于有理数． 2．（2026·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》最早提出正负数的概念，下列各数是负数的为（     ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【详解】解：∵小于0的数是负数，且， ∴是负数． 3．（2026·四川攀枝花·中考真题）实数a、b满足，则以下结论一定成立的是（     ） A． B．a、b同时为0 C．a、b互为倒数 D．a、b互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查相反数的定义，根据已知条件，结合各选项内容逐一判断，即可得到一定成立的结论． 【详解】解：∵ 实数，满足，即． 对各选项分析如下： A选项：，只是满足的一种特殊情况，故A错误． B选项：例如，满足，但，不都为，故B错误． C选项：互为倒数的两个数乘积为，例如，满足，乘积为，不互为倒数，故C错误． D选项：根据相反数的定义，和为的两个数互为相反数，由可知，互为相反数，结论一定成立，故D正确． 4．（2026·贵州·中考真题）实数，在数轴上所表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴、实数大小比较、相反数、绝对值有关内容，根据数轴得出，即可判断出答案． 【详解】解：根据数轴可得，，， ． A、，正确 B、 ，，错误； C、 ，，错误； D、， ，错误． 5．（2026·江苏淮安·中考真题）下列实数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正数大于0，0大于负数比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个实数中，最大的数是． 6．（2026·四川巴中·中考真题）下列实数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“正数大于0，0大于负数”的基本性质即可求解． 【详解】解：∵所有负数都小于，所有正数都大于，又，是负数，不是正数，是正数， ∴， 因此最大的实数是． 7．（2026·海南·中考真题）圆周率是无限不循环小数，历史上祖冲之、刘徽等数学家都对有过深入研究．请写出一个小于的有理数________． 【答案】 （答案不唯一，任意小于的有理数均可） 【分析】，只需写出一个小于的有理数即可． 【详解】解：∵， ∴只需找出一个小于的有理数即可，例如，是整数，属于有理数，且，符合要求． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $