1.4 二次根式 考点精讲练 2027年中考数学一轮复习

第一章 数与式 1.4 二次根式 【基础回顾】 考点1. 二次根式的有关概念及性质 1.二次根式的概念 我们把形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．注意：a可以是数，也可以是式. 2.二次根式有意义的条件 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数a≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零。 3. 最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 4. 同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 5．二次根式的性质 （1）≥ 0（≥0）(二次根式双重非负性)； 【解读】二次根式中,a≥0且 ≥0, 即为二次根式的双重非负性。 1）正数和零叫做非负数．常见的非负数有|a|，a2，(a≥0)． 2）若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零． 如：若a2+|b|+=0，则a2=0，|b|=0，=0，可得a=b=c=0．中考经常出现利用这个性质来解决问题。 （2）； （3）； （4）； （5）． 【方法总结】归纳总结二次根式问题考点类型及解题方法（十分重要） 【类型1】判断根式是否是二次根式。判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数． 【类型2】 根据二次根式有意义求字母的取值范围。含二次根式的式子有意义的条件： (1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【类型3】 利用二次根式的非负性求解。二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0. 【类型4】和二次根式有关的规律探究性问题。解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来． 考点2. 二次根式的运算 1.二次根式的加减 （1）二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的二次根式，再将被开方数相同的根式进行合并。 （2）二次根式的混合运算 1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； 2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。 2.二次根式的乘除 乘法法则：； 除法法则：． 3.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用． 【补充拓展】分母有理化 1.分母有理化的概念： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2.常见类型： 常见类型一：． 常见类型二：． 其中，我们称是的“有理化因子”，是的“有理化因子”．分母有理化的关键是找到分母的“有理化因子”． 3.有理化因式的概念： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。 注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。 4.熟记一些常见的有理化因式： 的有理化因式是； 的有理化因式是； 的有理化因式是； 的有理化因式是； 的有理化因式是。 5.分母有理化十法 分母有理化是一种极其重要的恒等变形，它广泛应用于根式的计算和化简，除掌握基本方法外，需根据不同题的特点，灵活应用解法，讲求技巧，以达化难为易，化繁为简的目的。 通常有约分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十种方法。 【二次根式加减乘除运算方法总结】 【类型1】被开方数相同的最简二次根式。根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解． 【类型2】 二次根式的加减运算。二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变． 【类型3】 二次根式的化简求值。化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解． 【类型4】 二次根式加减运算在实际生活中的应用。利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求． 【二次根式的乘法类型题及解题方法总结】 【类型1】 二次根式的乘法法则成立的条件。运用二次根式的乘法法则：·＝(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件． 【类型2】 二次根式的乘法运算。在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘． 【类型3】积的算术平方根的性质。利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简． 主要运用公式＝·(a≥0，b≥0)和＝a(a≥0)对二次根式进行化简． 【类型4】二次根式乘法的综合应用。把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想． 【二次根式的除法问题类型及解题方法总结】 【类型1】 二次根式的除法运算。利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简． 【类型2】 二次根式的乘除混合运算。二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数． 【类型3】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围。运用商的算术平方根的性质：＝(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件． 【类型4】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式． 【类型5】最简二次根式。解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【类型6】二次根式除法的综合运用。解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一． 考点3. 二次根式的估值 1．比较二次根式的大小方法 比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法. 2.用有理数估算二次根式的大致范围 用有理数估算二次根式的大致范围时,一般采用“相邻平方比较”法,即用两个相邻数的平方与被开方数比较,若被开方数介于这两个相邻数的平方之间,则这个二次根式的值就在这两个相邻数之间,估算的精确度可由相邻数的精确度来确定. 3.二次根式估值一般步骤 （1）一般先对根式进行平方，如； （2）找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<5<9； （3）对以上两个整数开方，如，； （4）这个根式的值在这两个相邻整数之间，如． 【考点精讲精练】 考点1. 二次根式的有关概念及性质 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·四川资阳·阶段检测）下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·宁夏银川·三模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【例3】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列式子是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【基础巩固练】 【变式1】（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【变式3】（26-27九年级上·河南许昌·阶段检测）现将一组数（为正整数），按照如图所示的方式进行排列，则第5行从左边数第4个数是（） A． B． C． D． 【能力提升练】 【提升1】（26-27九年级上·四川遂宁·阶段检测）下列式子中是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【提升2】（25-26九年级上·甘肃天水·期中）若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 【提升3】（26-27九年级上·吉林长春·期中）已知，． (1)求的值； (2)若的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【提升4】（25-26八年级下·福建南平·阶段检测）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； (2)利用所探索的结论，填空：； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 考点2. 二次根式的运算 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·河南鹤壁·阶段检测）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）计算：___________． 【例3】（26-27九年级上·四川资阳·阶段检测）计算下列各题 (1)； (2)； (3) 【基础巩固练】 【变式1】（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）下列二次根式中，最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·山西临汾·阶段检测）计算的结果是_______． 【变式3】（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【能力提升练】 【提升1】（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【提升2】（26-27九年级上·天津·开学考试）计算：__________． 【提升3】（26-27八年级上·贵州·期中）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 (1)根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 (2)利用以上规律，计算： 【拓展应用】 (3)如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【提升4】（26-27九年级上·四川资阳·阶段检测）已知，．求下列代数式的值． (1) (2) (3) 考点3. 二次根式的估值 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）估算的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【例2】（26-27九年级上·上海松江·阶段检测）若，，则代数式______________． 【例3】（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）在数学课外学习活动中，小王遇到一道题：已知，求的值． 他是这样解答的： ， ，，即． ， ． 请你根据小王的解题过程，解决如下问题： (1)试化简________； (2)化简； (3)若，求的值． 【基础巩固练】 【变式1】（26-27九年级上·河南许昌·阶段检测）已知实数所对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·湖北荆州·阶段检测）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【变式3】（26-27九年级上·山西临汾·阶段检测）阅读与思考 下面是小华同学在课外书上看到的关于二次根式的材料，请认真阅读并完成相应的任务． 材料一：分母有理化分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，使分母变为有理数，这个变形叫作分母有理化．例如，．材料二：共轭二次根式 若两个含二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． 任务： (1)与是关于的共轭二次根式，则的值为________． (2)计算：． (3)若与是关于18的共轭二次根式，求的值（结果化为最简形式）． 【能力提升练】 【提升1】（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）代数推理【观察思考】 第一个等式：    第二个等式： 第三个等式：    …… (1)①写出第四个等式：________； ②如果n为正整数，用含n的式子表示第n个等式：________． 【规律证明】 (2)证明②中的等式成立． 【规律应用】 (3)根据上述规律，化简：． 【提升2】（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【提升3】（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）观察下列等式：…，根据你观察后所发现的规律，解答下列问题： (1)若等式及具有上述规律，则_________；_________； (2)请你用含的等式表示上述规律（是大于等于2的整数）； (3)证明你得到的结论． 【提升4】（26-27九年级上·上海松江·阶段检测）阅读材料：只要我们找到两个数a，b使，，这样，，那么便有． 探究并解决下列各题： (1)填上适当的数：______________； (2)能化成最简二次根式，求正整数m的最小值和最大值； (3)化简：． 【真题回顾】 1．（2026·海南·中考真题）要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·西藏·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 3．（2026·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·甘肃兰州·中考真题）计算：． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 1.4 二次根式 【基础回顾】 考点1. 二次根式的有关概念及性质 1.二次根式的概念 我们把形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．注意：a可以是数，也可以是式. 2.二次根式有意义的条件 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数a≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零。 3. 最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 4. 同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 5．二次根式的性质 （1）≥ 0（≥0）(二次根式双重非负性)； 【解读】二次根式中,a≥0且 ≥0, 即为二次根式的双重非负性。 1）正数和零叫做非负数．常见的非负数有|a|，a2，(a≥0)． 2）若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零． 如：若a2+|b|+=0，则a2=0，|b|=0，=0，可得a=b=c=0．中考经常出现利用这个性质来解决问题。 （2）； （3）； （4）； （5）． 【方法总结】归纳总结二次根式问题考点类型及解题方法（十分重要） 【类型1】判断根式是否是二次根式。判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数． 【类型2】 根据二次根式有意义求字母的取值范围。含二次根式的式子有意义的条件： (1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【类型3】 利用二次根式的非负性求解。二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0. 【类型4】和二次根式有关的规律探究性问题。解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来． 考点2. 二次根式的运算 1.二次根式的加减 （1）二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的二次根式，再将被开方数相同的根式进行合并。 （2）二次根式的混合运算 1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； 2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。 2.二次根式的乘除 乘法法则：； 除法法则：． 3.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用． 【补充拓展】分母有理化 1.分母有理化的概念： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2.常见类型： 常见类型一：． 常见类型二：． 其中，我们称是的“有理化因子”，是的“有理化因子”．分母有理化的关键是找到分母的“有理化因子”． 3.有理化因式的概念： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。 注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。 4.熟记一些常见的有理化因式： 的有理化因式是； 的有理化因式是； 的有理化因式是； 的有理化因式是； 的有理化因式是。 5.分母有理化十法 分母有理化是一种极其重要的恒等变形，它广泛应用于根式的计算和化简，除掌握基本方法外，需根据不同题的特点，灵活应用解法，讲求技巧，以达化难为易，化繁为简的目的。 通常有约分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十种方法。 【二次根式加减乘除运算方法总结】 【类型1】被开方数相同的最简二次根式。根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解． 【类型2】 二次根式的加减运算。二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变． 【类型3】 二次根式的化简求值。化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解． 【类型4】 二次根式加减运算在实际生活中的应用。利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求． 【二次根式的乘法类型题及解题方法总结】 【类型1】 二次根式的乘法法则成立的条件。运用二次根式的乘法法则：·＝(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件． 【类型2】 二次根式的乘法运算。在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘． 【类型3】积的算术平方根的性质。利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简． 主要运用公式＝·(a≥0，b≥0)和＝a(a≥0)对二次根式进行化简． 【类型4】二次根式乘法的综合应用。把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想． 【二次根式的除法问题类型及解题方法总结】 【类型1】 二次根式的除法运算。利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简． 【类型2】 二次根式的乘除混合运算。二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数． 【类型3】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围。运用商的算术平方根的性质：＝(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件． 【类型4】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式． 【类型5】最简二次根式。解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【类型6】二次根式除法的综合运用。解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一． 考点3. 二次根式的估值 1．比较二次根式的大小方法 比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法. 2.用有理数估算二次根式的大致范围 用有理数估算二次根式的大致范围时,一般采用“相邻平方比较”法,即用两个相邻数的平方与被开方数比较,若被开方数介于这两个相邻数的平方之间,则这个二次根式的值就在这两个相邻数之间,估算的精确度可由相邻数的精确度来确定. 3.二次根式估值一般步骤 （1）一般先对根式进行平方，如； （2）找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<5<9； （3）对以上两个整数开方，如，； （4）这个根式的值在这两个相邻整数之间，如． 【考点精讲精练】 考点1. 二次根式的有关概念及性质 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·四川资阳·阶段检测）下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵的被开方数小于0，无意义，∴选项A不是二次根式； ∵的根指数为3，∴选项B不是二次根式； ∵当时，无意义，∴选项C不一定是二次根式； ∵，∴，∴一定是二次根式． 【例2】（2026·宁夏银川·三模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据零指数幂的定义，零指数幂的底数不能为0，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ， 解得． 【例3】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列式子是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二次根式需满足根指数为2且被开方数为非负数， A、不含二次根号，不符合； B、根指数为2，被开方数，符合定义； C、根指数为3，不符合； D、不含二次根号，不符合． 【基础巩固练】 【变式1】（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再利用二次根式的性质化简． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴且， ∵， ∴， ∴； ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 原式． 【变式2】（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】式子分母含二次根式，需同时满足二次根式被开方数非负，分式分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义 ∴二次根式的被开方数需满足，且分母 ∴整理得 解得． 【变式3】（26-27九年级上·河南许昌·阶段检测）现将一组数（为正整数），按照如图所示的方式进行排列，则第5行从左边数第4个数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出第五行共有15个数，从而可得第5行从左边数第4个数是第14个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，…， ∴前五行共有个数， 可得第5行从左边数第4个数是第个数， ∵原组数为， ∴第14个数为． 【能力提升练】 【提升1】（26-27九年级上·四川遂宁·阶段检测）下列式子中是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简二次根式需满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数，由此逐项判断即可． 【详解】解： ，，， 、、均不是最简二次根式， 的被开方数为整数，不含分母，且不含能开得尽方的因数， 是最简二次根式，故答案为． 【提升2】（25-26九年级上·甘肃天水·期中）若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵与最简二次根式可以合并， ∴与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 【提升3】（26-27九年级上·吉林长春·期中）已知，． (1)求的值； (2)若的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式整理代数式可得：原式，再把，代入求值即可； （2）根据，可知，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：， ，， 的小数部分是，的小数部分是， ，， ． 【提升4】（25-26八年级下·福建南平·阶段检测）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； (2)利用所探索的结论，填空：； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【答案】(1)， (2)1， (3)12或28 【分析】（1）先将展开，根据有理数部分和含根号部分分别对应相等的原则，推导得出a、b关于m、n的表达式． （2）对于，结合第一步得到的b的表达式，先确定的值，再找出满足条件的正整数m、n，验证对应的a是否为13即可． （3）已知，先根据b的表达式得到，即，找出所有满足条件的正整数m、n组合，再分别代入a的表达式计算a的值． 【详解】（1）解：将等式右边完全平方展开： ， ∵等式左右两边的有理部分和带根号的无理部分分别对应相等， ∴，． （2）解：对比第（1）问的结论，这里，，即满足： ，， 也就是． ∵是正整数， ∴m、n的取值有两种情况： 当，时， ，不符合． 当时， ，完全符合， 因此两个空依次填1、． （3）解：根据第（1）问的结论，这里， ∴，即。 ∵都是正整数，正整数乘积为3的组合只有两种： 情况1：，， 代入，得； 情况2：，， 代入，得． ∴符合条件的正整数为12或28． 考点2. 二次根式的运算 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·河南鹤壁·阶段检测）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ． 【例2】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）计算：___________． 【答案】2 【分析】计算根号内两个数的乘积，得到新的被开方数，对得到的被开方数进行开方运算，化简得到最终结果． 【详解】． 【例3】（26-27九年级上·四川资阳·阶段检测）计算下列各题 (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【基础巩固练】 【变式1】（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）下列二次根式中，最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式需满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数；分别判断各个选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数，所以是最简二次根式； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式． 【变式2】（26-27九年级上·山西临汾·阶段检测）计算的结果是_______． 【答案】/ 【分析】根据积的乘方运算法则的逆运用，即可求解． 【详解】解：原式 ． 【变式3】（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【能力提升练】 【提升1】（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 【提升2】（26-27九年级上·天津·开学考试）计算：__________． 【答案】 【分析】原式符合平方差公式的结构，运用平方差公式即可简化计算． 【详解】解： ． 【提升3】（26-27八年级上·贵州·期中）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 (1)根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 (2)利用以上规律，计算： 【拓展应用】 (3)如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】(1) (2)2025 (3) 【分析】（1）根据所给等式解答即可． （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再将所求式分母有理化找到规律，然后化简计算即可． 【详解】（1） ． （2） ． （3）∵， 由二次根式的性质可得，解得， 代入得，解得， 当、时， 原式， 上式每一项可写为 ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴原式可写为， ， ． 【提升4】（26-27九年级上·四川资阳·阶段检测）已知，．求下列代数式的值． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将a、b代入并运用平方差公式计算即可； （2）先求得，再凑成完全平方式，然后将、代入求值即可； （3）先利用完全平方公式的变形求得，再运用异分母分式加减法变形所求代数式，然后将、代入求值即可． 【详解】（1）解：． （2）解：∵． ∴． （3）解：∵， ∴． 考点3. 二次根式的估值 【例题精讲】 【例1】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）估算的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】先利用乘法分配律化简二次根式表达式，再估算根式结果的范围． 【详解】解：． ， ， ． 【例2】（26-27九年级上·上海松江·阶段检测）若，，则代数式______________． 【答案】 【分析】利用平方差公式对因式分解，再代入、的值计算，简化运算． 【详解】解：根据平方差公式可得： ， ，， ， ， ． 【例3】（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）在数学课外学习活动中，小王遇到一道题：已知，求的值． 他是这样解答的： ， ，，即． ， ． 请你根据小王的解题过程，解决如下问题： (1)试化简________； (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式对分母有理化，化简二次根式； （2）将各项分母有理化后，抵消中间项简化计算； （3）先化简a的取值，再通过完全平方公式变形，整体代入代数式求值． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：， ， ，即， ， ． 【基础巩固练】 【变式1】（26-27九年级上·河南许昌·阶段检测）已知实数所对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上的位置确定的符号和大小，再根据二次根式，绝对值的性质进行化简，结合整式的混合运算即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，， ∴，， ∴ ． 【变式2】（26-27九年级上·湖北荆州·阶段检测）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】C 【详解】解：∵ 式子在实数范围内有意义， ∴ 且， 解得， 解得， ∴ 的取值范围是． 【变式3】（26-27九年级上·山西临汾·阶段检测）阅读与思考 下面是小华同学在课外书上看到的关于二次根式的材料，请认真阅读并完成相应的任务． 材料一：分母有理化分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，使分母变为有理数，这个变形叫作分母有理化．例如，．材料二：共轭二次根式 若两个含二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． 任务： (1)与是关于的共轭二次根式，则的值为________． (2)计算：． (3)若与是关于18的共轭二次根式，求的值（结果化为最简形式）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义，计算两式的乘积即可得到的值． （2）对每个分式进行分母有理化，再通过裂项相消法简化求和计算． （3）根据共轭二次根式的定义列方程，通过移项、分母有理化求解的值． 【详解】（1）解：由共轭二次根式的定义，两式的乘积为． ； （2）解：对任意正整数，有 ， 则原式； （3）解：由共轭二次根式的定义，得 展开左边，得 移项并整理含的项，得 两边同时除以，分母有理化，得 ． 【能力提升练】 【提升1】（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）代数推理【观察思考】 第一个等式：    第二个等式： 第三个等式：    …… (1)①写出第四个等式：________； ②如果n为正整数，用含n的式子表示第n个等式：________． 【规律证明】 (2)证明②中的等式成立． 【规律应用】 (3)根据上述规律，化简：． 【答案】(1)①；②（为正整数）. (2)证明：左边 ， ∵为正整数， ∴， ∴左边右边， ∴等式成立； (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）解： ． 【提升2】（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】 【分析】根据数轴上、的位置判断它们的正负性及大小关系，进而判断出根号内代数式的正负性，最后化简计算即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 【提升3】（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）观察下列等式：…，根据你观察后所发现的规律，解答下列问题： (1)若等式及具有上述规律，则_________；_________； (2)请你用含的等式表示上述规律（是大于等于2的整数）； (3)证明你得到的结论． 【答案】(1)， (2) (3)证明： 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，规律型：数字的变化类，熟练掌握二次根式的化简是解决本题的关键． （1）仔细观察从上式中找出规律即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）利用二次根式的性质及化简公式证明即可． 【详解】（1）解：∵； ； ∴， ． 故答案为：，； （2）解：∵； ； ， …… ∴（的整数）． （3）略 【提升4】（26-27九年级上·上海松江·阶段检测）阅读材料：只要我们找到两个数a，b使，，这样，，那么便有． 探究并解决下列各题： (1)填上适当的数：______________； (2)能化成最简二次根式，求正整数m的最小值和最大值； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)的最小值是，最大值是 (3) 【分析】（1）根据给出示例，利用二次根式的性质以及完全平方公式求解； （2）利用二次根式的性质进行整理，确定的值，逐一进行求解判断即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式进行整理，然后利用算术平方根的定义进行求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴，则，，且为正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的最小值是，最大值是； （3）解：令， 则 ， ∵， ∴， ∴， 即． 【真题回顾】 1．（2026·海南·中考真题）要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 2．（2026·西藏·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】二次根式有意义要求被开方数为非负数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴被开方数满足， 解不等式得， 即． 3．（2026·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A、，所以A错误； 选项B、，所以B错误； 选项C、，所以C错误； 选项D、，计算正确． 4．（2026·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴A错误； ∵， ∴B错误； ∵与不能合并，， ∴C错误； ∵， ∴D正确． 5．（2026·甘肃兰州·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】利用乘法分配律展开原式，化简二次根式后合并计算得到结果． 【详解】解：原式 ． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $