精品解析：湖南永州市冷水滩区京华中学2026-2027学年 九年级上学期第一次检测数学试卷（10月）

京华中学九年级上册课后服务练习 数 学 （试题卷） 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2. 以下四个特殊三角函数值中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出各选项的三角函数值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵，，，， ∴，即最大． 3. 如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，得到，后根据三角函数的定义解答即可． 本题考查了余角的性质，三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据，得到， A. ，正确，不符合题意； B. ，本选项错误，符合题意； C. ，正确，不符合题意； D. ，正确，不符合题意； 故选：B． 4. 小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】投屏后形状不变，投影矩形与原屏幕矩形是相似图形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求出投影长边长． 【详解】解：∵投屏后画面形状保持不变， ∴投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， ∵原矩形相邻两边长之比为，即长边短边，设投影长边长为， 可得， 解得， 即投影画面长边长为． 5. 若，且对应中线比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 6. 如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，若三角板与其投影的相似比是，则三角板的面积与其投影的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果. 【详解】解：∵三角板与其投影的相似比是， ∴三角板的面积与其投影的面积比是. 7. 2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 1米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用；由题意可知，在中，即可求出结果． 【详解】解：由题意可知，在中， ； 此时火箭距海平面的高度为千米． 故选：B． 8. 如图，点在平行四边形的边上，，与的延长线交于点，若，则平行四边形的周长为（ ） A. 21 B. 34 C. 28 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】先由平行四边形得到，然后得到，然后利用，得到，，从而得到的长，最后得到平行四边形的周长． 【详解】四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ， ，， ，， ， 的周长． 9. 已知线段 ．按以下步骤作图： （1）作以A为端点的射线 （不与线段 所在直线重合）； （2）在射线 上顺次截取 ； （3）联结 , 过点 作 , 交线段 于点 ． 根据上述作图过程, 下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. . 【答案】C 【解析】 【分析】作出图形如图，由题意，得，由平行线分线段成比例定理求出，至此问题不难解答． 【详解】解：作出图形如图． 由题意，得． ∥， ， ， 故选：. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，尺规作图，正确理解平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 10. 如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定条件，逐一进行判断即可. 【详解】解：在和中，， 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故①正确； 当时，，故②不正确； 当时，根据两组对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似，可以得到，故③正确； 当，即时，无法得到，故④不正确； 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故⑤正确； 故能满足的条件有3个. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例将各分子用对应分母表示，提取公因式后化简即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴，， ∴ ∵ ∴ ． 12. 如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的相似比、勾股定理，设方格的边长为1，由勾股定理可得，，从而即可 求解，掌握相似比的定义是解题的关键． 【详解】解：设方格的边长为1， 则，， 五边形五边形， ∴五边形与五边形的相似比是为， 故答案为：． 13. 地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据黄金分割率，用，可得结论． 【详解】解：由题意得，，， 黄金地带纬度的范围是：． 14. 如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论． 【详解】解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． 15. 四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图2中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为米，为米，实地测得为米．则井深为________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出，代入数据即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得为米，为米，实地测得为米． ∴ 解得：， ∴ 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．运动过程中，若以B、P、Q为顶点的三角形与相似，则运动时间为________s． 【答案】2或 【解析】 【分析】设点P运动的时间为，则，，再分两种情况求t的值，一是，则，可列方程；二是，则，可列方程，解方程求出相应的t的值即可． 【详解】解：设点P运动的时间为，则， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， 解得； ∵， ∴当时，， ∴， ∴， 解得． 综上所述，运动时间为或． 故答案为：2或． 【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示相似三角形的对应边的长度是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据特殊角的三角函数值进行计算，即可解答． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在图中画出的位似图形，使与的相似比为，点、、分别与点A、B、C对应，且点在第一象限； （2）在（1）的条件下，与的面积比为______． 【答案】（1）即为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）根据位似图象的性质直接作图即可； （2）位似是特殊的相似，，面积比等于相似比的平方． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为． 19. 如下图，在中，于点D，．求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数值和三角形的内角和定理，解题的关键是构造直角三角三角形. 根据三角形的内角和定理求出，得出，求出即可． 【详解】解：， ， ． ， ． 20. 冷水滩某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯．如图，已知原阶梯式扶梯长为，且坡度为，改造后的斜坡式扶梯的坡角，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，然后利用三角函数可进行求解． 【详解】解：在中，坡度为，， ∴， ， 在中，， ， ． 21. 如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． （1）试说明：； （2）若矩形是正方形，求的长； 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比建立方程求解． （1）根据矩形对边平行的性质得到同位角相等，再依据两角分别相等的两个三角形相似，证明； （2）设正方形边长为未知数，结合正方形性质表示出相似三角形的对应高，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，求解得到正方形的边长即的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设正方形的边长为，则，． ∵， ∴，即，解得， ∴的长为． 22. 飞虹塔是山西具有代表性的古建筑之一．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表 主题 测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米．（以上数据均为近似值） 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】飞虹塔的大致高度是米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，判定，，得出比例式，进而代入数据，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 同理：， ，， ， ， 米，米，米， ， 米， ， 米， 飞虹塔的大致高度是米． 23. 阅读与思考 下面是小美学习“解直角三角形”相关知识的学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 锐角的余切 【概念】如图1．在中，，我们知道，称为的正弦，即，称为的余弦，即，称为的正切，即．下面我们再给出一个定义：称为的余切，即． 【问题1】在中，，若，，则 ▲ ． 【问题2】如图2，在中，若，，，求的值． 解：如图3，过点作于点， 在中，∵，∴． 设，，∴，∴（负值已舍去），∴，∴， 在中， …… 任务： （1）问题1中的“▲”应填______． （2）将问题2中的剩余部分补充完整． （3）如图4，在中，，，延长到点，使得，连接，求的值． 【答案】（1） （2） 解：∵，， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查解直角三角形，勾股定理，熟知解直角三角形及勾股定理的熟练运用是解题的关键． （1）根据题中所给思路，继续完成计算即可． （2）先由勾股定理求得，再由得出答案； （3）设，由，，可得，，求出，最后由求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 中，，，点E是边上一点，点D是射线上一点，过点D作交直线于F． （1）如图①，若，点D是的中点，点E是的中点，连接，则______； （2）如图②，若点D是的中点，点F在边上，证明：； （3）若，试探究，的数量关系． 【答案】（1）； （2） 证明 ∶连接， ∵，，点D是的中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）， 理由如下：当点D在上时，如图，过D作交于G， ∴， ∴，， ∵，，点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点D在AB延长线上时，如图，过D作交延长线于H， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，，的数量关系是． 【解析】 【分析】（1）根据证明，得出，根据直角三角形斜边上中线的性质求出，然后根据勾股定理求解即可； （2）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （3）分点D在上和点D在延长线上两种情况讨论，根据等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识求解即可． 【小问1详解】 解∶ 连接， ∵，，点D是的中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，点E是的中点，， ∴， ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 京华中学九年级上册课后服务练习 数 学 （试题卷） 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 以下四个特殊三角函数值中，最大的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（ ） A. B. C. D. 5. 若，且对应中线比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，若三角板与其投影的相似比是，则三角板的面积与其投影的面积比是（ ） A. B. C. D. 7. 2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 1米 8. 如图，点在平行四边形的边上，，与的延长线交于点，若，则平行四边形的周长为（ ） A. 21 B. 34 C. 28 D. 42 9. 已知线段 ．按以下步骤作图： （1）作以A为端点的射线 （不与线段 所在直线重合）； （2）在射线 上顺次截取 ； （3）联结 , 过点 作 , 交线段 于点 ． 根据上述作图过程, 下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. . 10. 如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知，则_____． 12. 如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________． 13. 地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 14. 如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是_____． 15. 四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图2中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为米，为米，实地测得为米．则井深为________米． 16. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．运动过程中，若以B、P、Q为顶点的三角形与相似，则运动时间为________s． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在图中画出的位似图形，使与的相似比为，点、、分别与点A、B、C对应，且点在第一象限； （2）在（1）的条件下，与的面积比为______． 19. 如下图，在中，于点D，．求的值． 20. 冷水滩某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯．如图，已知原阶梯式扶梯长为，且坡度为，改造后的斜坡式扶梯的坡角，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） 21. 如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． （1）试说明：； （2）若矩形是正方形，求的长； 22. 飞虹塔是山西具有代表性的古建筑之一．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表 主题 测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米．（以上数据均为近似值） 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 23. 阅读与思考 下面是小美学习“解直角三角形”相关知识的学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 锐角的余切 【概念】如图1．在中，，我们知道，称为的正弦，即，称为的余弦，即，称为的正切，即．下面我们再给出一个定义：称为的余切，即． 【问题1】在中，，若，，则 ▲ ． 【问题2】如图2，在中，若，，，求的值． 解：如图3，过点作于点， 在中，∵，∴． 设，，∴，∴（负值已舍去），∴，∴， 在中， …… 任务： （1）问题1中的“▲”应填______． （2）将问题2中的剩余部分补充完整． （3）如图4，在中，，，延长到点，使得，连接，求的值． 24. 中，，，点E是边上一点，点D是射线上一点，过点D作交直线于F． （1）如图①，若，点D是的中点，点E是的中点，连接，则______； （2）如图②，若点D是的中点，点F在边上，证明：； （3）若，试探究，的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $