精品解析：湖南省永州市冷水滩区湖南师范大学附属高阳学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

保密★启用前 2024-2025学年度初中数学期中考试卷 九年级数学（1-2章） 考试范围：1-2章；考试时间：120分钟；命题人：郑亮 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 下列关系式中，是关于的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 6. 若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（ ） A. 27 B. 72 C. 27或16 D. 或 7. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 8. 等腰三角形的两边长分别是方程的两根，则它的周长是（ ） A. 10 B. 10或8 C. 9 D. 8 9. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点.当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 11. 邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为_______，y与x成_______比例关系． 12. 若反比例函数的图象过点，则m的值为________． 13. 在反比例函数的图象上任取一点P，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是N、M，则四边形的面积是_____． 14. 若点和点都在反比例函数的图象上，则 ________．(用 “”“”或 “”填空) 15. 学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请x个球队参加比赛？列方程为：____________ 16. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是________． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是__________． 18. 如图，在中，，；将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长度的最小值是________． 三、解答题（共66分） 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的关系式； （2）画出反比例函数的图像； （3）当时，的取值范围． 21. 如图，一次函数的图像与坐标轴分别交于、两点，与反比例函数的图像在第二象限的交点为，轴，垂足为．若，，的面积为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出当时，的解集． 22. 如图，在中，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．几秒后，的面积等于？ 23. 已知关于的方程． （1）求证：对于任何实数，该方程总有两个实数根； （2）若三角形的一边长为1，另外两边长为该方程的两个实数根，求的取值范围． 24. 列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 25. 阅读理解： 材料1：若代数式在实数范围内可因式分解为. 令我们可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：，． 材料2：已知实数，满足，，且，根据材料1求的值． 解：由题知，是方程足的两个不相等的“共生根”， 根据材料1得：，， ． 解决以下问题： （1）方程的两个“共生根”为，，则_______，_______； （2）已知实数，满足，，且，求的值； （3）已知实数，满足，，且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 2024-2025学年度初中数学期中考试卷 九年级数学（1-2章） 考试范围：1-2章；考试时间：120分钟；命题人：郑亮 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 下列关系式中，是关于的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数定义．根据题意形如“”形式称为是关于的反比例函数，逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：是反比例函数，B选项符合题意， 中是关于的正比例函数，A选项不符合题意， 和中也不是关于的反比例函数，C，D不符合题意， 故选：B． 2. 下列关于的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，其一般形式为，其中，a、b、c为常数；根据一元二次方程的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、是分式方程，不符合题意． 故选：C． 3. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质求参数范围，当时，反比例函数的图象在第二、四象限，得到求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：若反比例函数的图象分布在第二、四象限， 则， 解得， 故选：A． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根，即可求解． 【详解】解：一元二次方程中， ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：D ． 5. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意， 当时，， ∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 6. 若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（ ） A. 27 B. 72 C. 27或16 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，根据题意得： ， 整理得， 解得，(不合题意，舍去)， ∴，， ∴这个两位数是27． 故选：A． 7. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据一元二次方程有两根，，则，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， 故选：． 8. 等腰三角形的两边长分别是方程的两根，则它的周长是（ ） A. 10 B. 10或8 C. 9 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程的应用是解题关键．先利用因式分解法解方程可得等腰三角形的两边长，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：， ， 或， 或， ∵等腰三角形的两边长分别是方程的两根， ∴等腰三角形的两边长分别2和4， 当腰长为2时，则这个等腰三角形的三边长分别为2，2和4， 此时，不满足三角形的三边关系，舍去； 当腰长为4时，则这个等腰三角形的三边长分别为2，4和4， 此时，满足三角形的三边关系，它的周长为； 综上，这个等腰三角形的周长为10， 故选：A． 9. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点.当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的图像问题．根据图像中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围． 【详解】解：由图像知，当或时，一次函数的图像在反比例函数的图像上方， 即， 故选：D． 10. 如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得，，，继而得出轴，轴，根据三角形的面积及反比例函数系数的几何意义得，，推出，继而得到，， ∴，再根据即可得解．求出、的长是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 11. 邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为_______，y与x成_______比例关系． 【答案】 ①. ②. 反 【解析】 【分析】本题考查由表格求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 总本数=每包的本数×包数，总本数一定，即乘积一定，那么每包的本数和包数成反比例． 【详解】解：由表格可知：， ， y与x成反比例关系． 故答案为：，反． 12. 若反比例函数的图象过点，则m的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解一次方程即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 (k为常数，)的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即. 【详解】解：根据题意得， 解得 故答案为：2. 13. 在反比例函数的图象上任取一点P，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是N、M，则四边形的面积是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可． 【详解】解：∵点P为反比例函数上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是N、M， ∴四边形的面积是． 故答案为：3． 14. 若点和点都在反比例函数的图象上，则 ________．(用 “”“”或 “”填空) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的函数值，熟练掌握该知识点是解题的关键．将和分别代入，求出答案即可比较出大小． 【详解】解：点和点都在反比例函数的图象上 ， 故答案为：． 15. 学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请x个球队参加比赛？列方程为：____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛，根据计划安排15场比赛建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛， 由题意得：， 故选：． 16. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值，解题关键是根据题意得到，再代入求值． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：2024． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式大于0及二次项系数不为0列不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得：， ， 实数k的取值范围为且， 故答案为：且． 18. 如图，在中，，；将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长度的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】在的上方作，且使，连接，．设，则，根据证明得出，，得出，即可推出结论． 【详解】解：如图，在的上方作，且使，连接，．过点C作的垂线，F为垂足． ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ，， 又， ， 在和中， ， ， ，． ， ， ， 的最小值为12， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，配方法的应用，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（共66分） 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据方程特点灵活选用恰当的求解方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （3）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （4）先移项，再把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 20. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的关系式； （2）画出反比例函数的图像； （3）当时，的取值范围． 【答案】（1） （2） 函数图象如下： （3）的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求反比例函数解析式，画函数图象，以及已知反比例函数自变量范围求函数值取值范围，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）直接利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据画函数图象步骤，列表、描点、连线画出图象即可； （3）根据（2）中图象与数据，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 故该反比例函数的关系式为； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：由（2）可知，当时，的取值范围为． 21. 如图，一次函数的图像与坐标轴分别交于、两点，与反比例函数的图像在第二象限的交点为，轴，垂足为．若，，的面积为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出当时，的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，解题的关键是掌握反比例函数、一次函数的图象和性质，即可． （1）根据，求出点的坐标；再根据，求出点的坐标，把、两点的坐标代入一次函数；根据，轴，点在一次函数的图象上，求出点的坐标，把点代入反比例函数，即可； （2）根据，则一次函数的图象在反比例函数的图象上，即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点， ∵，在一次函数上， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； ∵， ∴点， ∵轴，垂足为， ∴点的横坐标为：， ∴， ∴点， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：． 【小问2详解】 ∵当一次函数的图象在反比例函数的图象时，， ∴当时，， 当时，的解集为：． 22. 如图，在中，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．几秒后，的面积等于？ 【答案】经过1秒钟或4秒钟，的面积等于 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．根据题意可得当运动时间为时，，，，根据题意列出方程，进行求解即可； 【详解】解：，， 当运动时间为时，， 根据题意可得： ， 整理得：， 解得：或， ∴经过1秒钟或4秒钟，的面积等于； 23. 已知关于的方程． （1）求证：对于任何实数，该方程总有两个实数根； （2）若三角形的一边长为1，另外两边长为该方程的两个实数根，求的取值范围． 【答案】（1）证明：Δ=b2−4ac ∵ ∴对于任何实数，该方程总有两个实数根. （2） 【解析】 【分析】本题主要考查利用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况、三角形的三边关系： （1）直接利用即可求证； （2）先求得该方程的两根，然后利用三角形的三边关系即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ∴. 24. 列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】（1）该商场投入资金的月平均增长率 （2）预计该商场七月份投入资金将达到万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金． 【小问1详解】 解：设该商场投入资金的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率； 【小问2详解】 解：（万元）， ∴预计该商场七月份投入资金将达到万元． 25. 阅读理解： 材料1：若代数式在实数范围内可因式分解为. 令我们可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：，． 材料2：已知实数，满足，，且，根据材料1求的值． 解：由题知，是方程足的两个不相等的“共生根”， 根据材料1得：，， ． 解决以下问题： （1）方程的两个“共生根”为，，则_______，_______； （2）已知实数，满足，，且，求的值； （3）已知实数，满足，，且，求． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是看懂材料，学以致用． （1）直接利用根与系数的关系求解； （2）利用、满足的等式，可把、可看作方程的两个不相等的“共生根”，则利用根与系数的关系得到，，接着把化简，然后利用整体代入的方法计算； （3）把整理后得到，整理后得到，则，可看作方程的两个不相等的“共生根”，利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 ，，且， ，可看作方程的两个不相等的“共生根”， ，， ， ； 【小问3详解】 ， ， ， ，即，且， ，可看作方程的两个不相等的“共生根”， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $