精品解析：河南省省直辖县级行政单位济源市沁园中学等校 2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试题

2026年秋季九年级自测 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按要求把答案写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 化为一元二次方程的一般式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式为． 【详解】解：化成一般形式为． 2. 如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，， ∴， 解得． 3. 如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（ ） A. 3.67 B. 3.56 C. 3.39 D. 3.26 【答案】D 【解析】 【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为0时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：由题意可得：当时，，当时，， 当时，， 选项D符合． 4. 如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 5. 在平面直角坐标系中，函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论，分别求出表达式即可判断． 【详解】解：当时，，图象在第四象限，且y随x的增大而增大， 当时，，图象在第三象限，且y随x的增大而减小， ∴函数的图象是： 6. 如图，二次函数与一次函数的图象交于，，当时，x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用一次函数解析式求出交点、的横坐标，结合图象确定时的范围． 【详解】解：点，在一次函数的图象上， ， ， 交点、的横坐标分别为、， 由图象可知，当时，即二次函数图象在一次函数图象下方， 的取值范围为． 7. 等腰梯形的面积为，上底比高多，下底比高多，这个梯形的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】上底、下底均与高有数量关系，设高为未知数，结合梯形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设梯形的高为，则上底为，下底为， 根据题意，得， ， ， ， ， ∴，（舍去）， ∴这个梯形的高为． 8. 在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 20 … 已知是的反比例函数，则表格中的值为（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】根据待定系数法求出与的函数关系式，再计算的值． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设 将，代入，得， ∴关于的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴． 9. 设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 10. 小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ） A. 14 B. 11 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入抛物线解析式，得到，则，又，则可知杯子高度． 【详解】解：， 点的坐标为，抛物线的对称轴为， ， ， 点的横坐标为：， 当时，， 点纵坐标为14， 点的纵坐标为， ， ，即杯子的高度为11． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 用配方法解一元二次方程时，方程两边应同时加上________． 【答案】4 【解析】 【分析】对于二次项系数为1的一元二次方程，配方法的操作核心是在方程两边添加一次项系数一半的平方，使左边变形为完全平方式． 【详解】解： ， ， 所以，方程两边应同时加上4． 12. 如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 【答案】32 【解析】 【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为64，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形的对称中心是坐标原点，轴，轴， ∴正方形的面积， 根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合， ∴阴影的面积是图中正方形面积的一半， ∴阴影部分的面积． 13. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则m的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据根与系数的关系写出两根之和与两根之积，展开已知的乘积等式后代入对应表达式，建立关于m的方程求解，结合判别式验证方程有两个实数根的条件． 【详解】解：方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， 将，代入上式， 得， 解得， ， 对任意实数m都有， 符合题意． 14. 已知二次函数的图象如图所示，则________0．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】首先确定函数图象的对称轴，其次利用对称性，将时的函数值转化为时的函数值，结合图象进行判断． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， ∴由对称性可知，时的函数值与时的函数值相同， 由函数图象可知当时，， ∴当时，， ∴． 15. 如图，将抛物线沿y轴向上平移得到一条新抛物线，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线扫过的面积为（图中的阴影部分），则新抛物线的函数解析式是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：连接，，作于点， 由平移的性质得，弓形的面积等于弓形的面积， 则曲线扫过的面积为平行四边形的面积，设抛物线沿轴向上平移的距离为， ∵，， ∴，， 即，解得， ∴抛物线沿y轴向上平移个单位长度， ∴新抛物线的函数解析式是，即． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）可运用公式法求解，先确定方程各项系数，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算结果； （2）首先移项使方程右侧为0，然后提取公因式进行因式分解，再求解方程即可． 【小问1详解】 解： ，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 【小问2详解】 或 ， 17. 若函数是二次函数． （1）求k的值； （2）当时，求自变量x的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程． （1）根据二次函数的定义得到，，进而求解即可； （2）当时，，求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴，， 即； 【小问2详解】 解：由（1）可得，该二次函数为， 当时， ∴， 解得：，． 18. 已知反比例函数（k为常数）． （1）若点在这个函数的图象上，求k的值； （2）若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围； （3）若反比例函数与一次函数的图象交于B，C两点，且当时，或，则k的值为________． 【答案】（1） （2） （3）15 【解析】 【分析】（1）把的坐标代入求解即可； （2）根据反比例函数的增减性求解即可； （3）先确定时不符合题意，然后在时，求出A，B两点的坐标，再用待定系数法求k的值即可． 【小问1详解】 解：把的坐标代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：函数图象的每一支上，y随x的增大而减小， ， ； 【小问3详解】 解：当时，反比例函数的图象在二、四象限，反比例函数与一次函数的图象的交点只能在第四象限，这与“时，或”不符合，舍去； 当时，反比例函数的图象在一、三象限． 由不等式的解集可知，两函数图象交点的横坐标为和， 对于一次函数， 当时，， 当时，， 反比例函数与一次函数的图象的交点B、C的坐标为，， 将代入，得， 解得． 19. 同学们学习了物理知识后，知道在力（单位：N）的作用下，如果物体在力的方向上发生位移（单位：m），那么力所做的功（单位：J）满足．某数学兴趣小组在综合实践探究实验中得到：当为定值时，与之间的函数关系如下图所示． 请根据以上信息解决以下问题： （1）写出关于的函数解析式； （2）因安全需要，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的取值范围． 【答案】（1） （2）要使物体在力的作用下的位移小于，力要大于． 【解析】 【分析】（1）将，代入求出W即可； （2）将代入第一问求出的解析式，结合图象回答即可． 【小问1详解】 解：由图可知，当力为时，物体在力的方向上发生的位移为， 此时所做的功． 当W为定值时，与之间的函数解析式为． 【小问2详解】 解：将代入，得． 随着的增大而减小， 要使物体在力的作用下的位移小于，力要大于． 20. 如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，若在直线上方的抛物线上有一点N，使得，求点N的坐标． 【答案】（1）该抛物线的解析式为； （2）点N的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，根据，得到，据此列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：求点的坐标： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点到轴的距离等于， ∵点在直线的上方， ∴， 由题意得， 解得， ∴点N的坐标为或． 21. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另外两边，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：在方程中， ，，， ， ∵ 无论取何值，， ∴ ， ∴ 无论取何值，这个方程总有实数根； （2） 的周长为． 【解析】 【分析】（1）计算并配方方程的判别式，利用平方的非负性证明； （2）分为腰长、底边长两种情况求解方程的根，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：分两种情况讨论： ① 当为腰长时，是方程的一个根， 将代入方程得：   解得， 将代入原方程，得， 解得，， 三角形三边长为，，，满足三边关系， 周长为； ② 当为底边长时，，即方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 此时方程为， 解得， 三角形三边长为，，， ∵ ，不满足三边关系，舍去， 综上所述，的周长为． 22. 新蔡秋月梨是新蔡县农业农村局申报的全国名特优新农产品，2026年6月，新蔡秋月梨入选《2026年第一批全国名特优新农产品名录》．某水果批发店购进一批新蔡秋月梨进行销售（按箱进行销售），第一天每箱盈利（毛利润）10元，销售500箱． （1）第二、三天该产品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605箱，求第二、三天的日平均增长率； （2）经市场调查发现，在进货价不变的情况下，以第一天为标准，若每箱涨价1元，日销量将减少20箱．设每箱涨价元，每天的销售利润为y元，求y与x之间的函数解析式；（直接写出x的取值范围） （3）在（2）的条件下，若销售这款产品每箱的盈利不得超过25元，求该水果店销售这款产品时，每天获得的最大销售利润． 【答案】（1）第二、三天的日平均增长率为 （2），的取值范围是 （3）每天获得的最大销售利润为元 【解析】 【分析】本题分为三小问，第(1)问是平均增长率问题，利用连续两次增长的模型列一元二次方程求解；第(2)问根据总利润等于单件利润乘销售量，找到涨价后单件利润和销量的表达式，列出二次函数，再由销量大于0确定自变量取值范围；第(3)问先根据盈利限制缩小自变量范围，结合二次函数开口方向与对称轴位置，在取值范围内求利润最大值． 【小问1详解】 解：设第二、三天的日平均增长率为，依题意，得 解得， 增长率， ∴， 答：第二、三天的日平均增长率为． 【小问2详解】 解：涨价元后，每箱利润为元，日销售量为箱，依题意，得 ， ， 函数解析式为． 【小问3详解】 解：由题意，每箱盈利不超过25元， ， 结合(2)得自变量范围，得 ， ∴抛物线， ，抛物线开口向下， 对称轴为直线． 在范围内， 当时，取得最大值． ， 答：每天获得的最大销售利润为6125元． 23. 已知抛物线（，，为常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … … … … （1）①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当时函数值随的增大而增大，则的取值范围是________； ②补全表格，在图中画出的函数图象，并求出函数解析式； （2）定义：若抛物线与抛物线满足，，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①抛物线的“共轭抛物线”的解析式为________； ②直接在图中画出抛物线的“共轭抛物线”． 【答案】（1）①上，；② （2）①，② 【解析】 【分析】（1）①根据表格中的数据和二次函数的性质即可解答； ②利用二次函数的性质补全表格，再利用描点法画出函数图象，利用待定系数法求得二次函数解析式； （2）①根据“共轭抛物线”的定义即可解答； ②利用描点法画出函数图象． 【小问1详解】 解：①根据表格可得随的增大，先减小，再增大， ∴开口向上， 当时，；当时，， 抛物线的对称轴为直线， 当时函数值随的增大而增大，开口向上， ； ②根据二次函数的性质，当时和当时，函数值相等， 则可得当时，， 表格略； 画图略； 由表格可得抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ， 将代入中， 得 解得． ∴函数解析式为； 【小问2详解】 解：①根据（１）中的抛物线解析式可得， ，， 抛物线的“共轭抛物线”的解析式为； ②画图略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级自测 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按要求把答案写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 化为一元二次方程的一般式为（ ） A. B. C. D. 2. 如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（ ） A. 3.67 B. 3.56 C. 3.39 D. 3.26 4. 如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，函数的图象是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二次函数与一次函数的图象交于，，当时，x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 等腰梯形的面积为，上底比高多，下底比高多，这个梯形的高为（ ） A. B. C. D. 8. 在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 20 … 已知是的反比例函数，则表格中的值为（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 28 9. 设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 10. 小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ） A. 14 B. 11 C. 6 D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 用配方法解一元二次方程时，方程两边应同时加上________． 12. 如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 13. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则m的值为________． 14. 已知二次函数的图象如图所示，则________0．（填“”“”或“”） 15. 如图，将抛物线沿y轴向上平移得到一条新抛物线，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线扫过的面积为（图中的阴影部分），则新抛物线的函数解析式是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 若函数是二次函数． （1）求k的值； （2）当时，求自变量x的值． 18. 已知反比例函数（k为常数）． （1）若点在这个函数的图象上，求k的值； （2）若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围； （3）若反比例函数与一次函数的图象交于B，C两点，且当时，或，则k的值为________． 19. 同学们学习了物理知识后，知道在力（单位：N）的作用下，如果物体在力的方向上发生位移（单位：m），那么力所做的功（单位：J）满足．某数学兴趣小组在综合实践探究实验中得到：当为定值时，与之间的函数关系如下图所示． 请根据以上信息解决以下问题： （1）写出关于的函数解析式； （2）因安全需要，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的取值范围． 20. 如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，若在直线上方的抛物线上有一点N，使得，求点N的坐标． 21. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另外两边，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 22. 新蔡秋月梨是新蔡县农业农村局申报的全国名特优新农产品，2026年6月，新蔡秋月梨入选《2026年第一批全国名特优新农产品名录》．某水果批发店购进一批新蔡秋月梨进行销售（按箱进行销售），第一天每箱盈利（毛利润）10元，销售500箱． （1）第二、三天该产品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605箱，求第二、三天的日平均增长率； （2）经市场调查发现，在进货价不变的情况下，以第一天为标准，若每箱涨价1元，日销量将减少20箱．设每箱涨价元，每天的销售利润为y元，求y与x之间的函数解析式；（直接写出x的取值范围） （3）在（2）的条件下，若销售这款产品每箱的盈利不得超过25元，求该水果店销售这款产品时，每天获得的最大销售利润． 23. 已知抛物线（，，为常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … … … … （1）①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当时函数值随的增大而增大，则的取值范围是________； ②补全表格，在图中画出的函数图象，并求出函数解析式； （2）定义：若抛物线与抛物线满足，，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①抛物线的“共轭抛物线”的解析式为________； ②直接在图中画出抛物线的“共轭抛物线”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $