精品解析：河南省省直辖县级行政单位济源市沁园中学2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题

2025-2026学年上学期质量调研试题 九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是解答本题的关键．“方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程”．根据一元二次方程的定义，即可逐步判断． 【详解】选项A，不是整式，所以不是一元二次方程，不符合题意； 选项B，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 选项C，当时，不是一元二次方程，不符合题意； 选项D，是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案． 【详解】解：， 移项得， 二次项系数化1的， 配方得， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式逐一判断即可． 【详解】A.变形为，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A正确； B中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B错误； C.整理为，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误； D.中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误. 故选：A. 【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键． 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值．根据一元二次方程的根的定义代入计算即可． 【详解】解：因为一元二次方程有一个根是0， 所以， 解得． 故选：C． 5. 如果三点和在抛物线的图象上，那么之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据a＝－1判断出开口向下，再求出抛物线的对称轴为直线，由此可得抛物线的增减性以及点关于对称轴的对称点，进而比较即可． 【详解】解：∵a＝－1＜0， ∴抛物线的开口向下， ∵a＝－1，b＝5， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y随着x的增大而增大，点关于对称轴的对称点为， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 6. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间（单位：s）的函数解析式是汽车刹车后到停下来前进了（　　）秒． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出s取最大值时的时间即可得解． 【详解】∵， ∴当时，s取得最大值， 即汽车刹车后到停下来前进了秒， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解前进的时间是s取最大值时的时间是解题的关键． 7. 如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. （30﹣2x）（40﹣x）＝600 B. （30﹣x）（40﹣x）＝600 C. （30﹣x）（40﹣2x）＝600 D. （30﹣2x）（40﹣2x）＝600 【答案】D 【解析】 【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm， 根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 8. 关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，对称轴，理解二次函数的图像和性质是解题的关键．二次函数的对称轴为，根据对称轴左侧随增大而减少，再结合当时，y随x的增大而减小回答即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数，对称轴为， 当时，随增大而减少， 又当时，y随x的增大而减小， ， ， 故选：． 9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的综合判断； 分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，；二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 故选：B． 10. 已知二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可直接判断a、c的符号，再结合对称轴的位置可判断b的符号，进而可判断①； 抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②； 根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③； 根据图象可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合③的结论即可判断④. 【详解】解：①由图象可知：，，由于对称轴，∴，∴，故①正确； ②∵抛物线过，∴时，，故②正确； ③顶点坐标为：.由图象可知：，∵，∴，即，故③错误； ④由图象可知：，，∴， ∵，∴， ∴，故④正确； 故选C． 【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性质、灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一条抛物线的对称轴是直线，顶点到x轴的距离是2，开口向上，请写出一个符合条件的解析式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据题意可知，二次项系数大于零，顶点坐标为或，据此求解即可． 【详解】解：符合题意的解析式可以为． 故答案为： （答案不唯一）． 12. 把抛物线向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线顶点坐标为（0,0）向右平移1个单位，然后向上平移3个单位后，顶点坐标为（1,3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式. 【详解】原抛物线顶点坐标为(0,0),平移后抛物线顶点坐标为(1,3)， ∴平移后抛物线解析式为：y=−(x-1) +3= 故答案为：y 13. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，把点顺时针旋转 得到点，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质，旋转后图形大小形状未发生改变，只是位置发生改变即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，旋转后如图所示， ∵四边形由四边形绕O旋转得到， ∴四边形≌四边形， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查旋转的性质：旋转后图形大小形状未发生改变，只是位置发生改变． 14. 若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第_____象限． 【答案】一 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程x2-2x-m=0无实数根， ∴△=4+4m＜0， 解得m＜-1， ∴m+1＜0，m-1＜0， ∴一次函数y=（m+1）x+m-1的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限． 故答案为：一． 15. 定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a，如：min{1，-2）=-2，min{-3，-2）=-3，则方程min{x，-x}=x2-1的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用min{a，b}的含义分类讨论：若x≥-x时，代入解方程即可，若x＜-x时，代入解方程即可. 【详解】解：①当x≥-x，即x≥0时，根据min{a，b}的含义 ∴min{x，-x}=-x 又∵min{x，-x}=x2-1 ∴-x=x2-1 解得 ∵此时x≥0，故不符合，故舍去； ②当x＜-x，即x＜0时，根据min{a，b}的含义 ∴min{x，-x}=x 又∵min{x，-x}=x2-1 ∴x=x2-1 解得： ∵此时x＜0，故不符合，故舍去； 综上所述：方程min{x，-x}=x2-1的解是：. 【点睛】此题考查的是利用min{a，b}的含义进行分类讨论题，分类讨论时要注意先写清前提条件，解出方程后再根据前提条件判断方程的解是否满足即可. 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 用指定的方法解一元二次方程： （1） （直接开平方法）； （2）（配方法）； （3）（公式法）； （4）（因式分解法）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． 去分母把方程化为，再把两边同时开平方即可求出方程的解； 首先移项、系数化为，可得：，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，可得：，再把两边同时开平方求出方程的解即可； 利用求根公式解方程即可； 首先移项可得：，提出公因式可得：，再把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：， 去分母可得：， 两边直接开平方得：， 可得：或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 系数化为得：， 方程两边同时加上得：， 分解因式得：， 两边同时开平方得：， 解得：，； 【小问3详解】 解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为：，； 【小问4详解】 解：， 移项得：， 提公因式得：， 可得：，， 解得：，． 17. 已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （Ⅰ）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式：　 　； （Ⅱ）抛物线与x轴交点坐标为 　 　； （Ⅲ）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （Ⅳ）当y＜0时，x的取值范围是 　 　； （Ⅴ）当0＜x＜3时，y的取值范围是 　 　． 【答案】（Ⅰ）y＝（x﹣2）2﹣1；（Ⅱ）（1，0）或（3，0）；（Ⅲ）详见解析；（Ⅳ）；（Ⅴ）﹣1＜y＜3 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用配方法化简即可； （Ⅱ）将已知二次函数解析式转化为两点式，可以直接得到答案； （Ⅲ）用“五点法”取值描点连线即可求解； （Ⅳ）、（Ⅴ）观察函数图象即可求解． 【详解】解：（Ⅰ）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1； 故答案：y＝（x﹣2）2﹣1； （Ⅱ）由二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3）知， 该图象与x轴的交点为（1，0）或（3，0）； （Ⅲ）当x＝0时，y＝3； 当x＝1时，y＝0； 当x＝﹣2时，y＝﹣1； 当x＝3时，y＝0； 当x＝4时，y＝3， 用上述五点描点连线得到函数图象如下： （Ⅳ）观察函数图象知，当自变量x的取值范围满足时，y＜0． 故答案是：； （Ⅴ）观察函数图象知，当0＜x＜3时，y的取值范围是：﹣1＜y＜3． 故答案是：﹣1＜y＜3． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 18. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三面用篱笆围成一个矩形场地，篱笆总长． （1）围成一个面积为的矩形场地，求矩形场地的长和宽； （2）可以围成一个面积为的矩形场地吗？如果能，求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）矩形场地的长为，宽为；（2）不能围成一个面积为的矩形场地，理由见详解． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，求解即可； （2）根据题意列出以面积作等量的一元二次方程，计算△的值，通过△的值判定有无解，来确定结果即可． 【详解】解：（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∴． 答：矩形场地的长为，宽为． （2）不能，理由如下： 设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 依题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴不能围成一个面积为的矩形场地． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用及根的判别式，这类问题要注意不要设长宽，要设垂直于墙面的边或者平行于墙面的边． 19. 正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由旋转可得，，可得，再由，得出，得出； （2）设，由，正方形的边长为3，得，，得到，利用勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即得的长． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵由旋转知，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴F、C、M三点在同一条直线上． ∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：设． ∵， ∴． 在中， 由勾股定理得， 即． 解得，， ∴． 20. 一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 【答案】（1）y关于x的函数表达式为； （2）运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【解析】 【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解； （2）令，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，， 设抛物线的表达式为， ∴，解得， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得（负值舍去）， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． 21. 如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且，求点P点坐标； ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）或； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数图像及性质． （1）因为抛物线的对称轴为点坐标为与在为物线上，代入为物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【小问1详解】 解：因为抛物线的对称轴为点坐标为与在抛物线上，则∶ 解得∶． 所以抛物线的解析式为∶． 【小问2详解】 ①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的出动或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线解析式为． 设点坐标为，则点坐标为，， 当时，有最大值． 22. 如图，四边形是边长为2，一个锐角等于的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交、（或它们的延长线）于点E、F，，当时，如图1小芳同学得出的结论是． （1）继续旋转三角形纸片，当时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由； （2）再次旋转三角形纸片，当点E，F分别在，的延长线上时，如图3连，若，求的面积． 【答案】（1）小芳结论成立，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． （1）由菱形的性质得到是等边三角形，再证明即可得出结论； （2）连接，作于点M，根据菱形的性质及等边三角形的判定和性质得出是等边三角形，，再由全等三角形的判定和性质得出，，即可求解． 【小问1详解】 解：小芳结论成立：． 理由如下：连接， 四边形是菱形，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接，作于点M． 四边形是菱形，， 是等边三角形， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 在等边中，， ， ． 23. 阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝ 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值． 解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m＋n＝1，mn＝－1， 则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ． （2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可； （2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可； （3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2， ∴，． 故答案为：；． 【小问2详解】 ∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n， ∴，， ∴ 【小问3详解】 ∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0， ∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根， ∴，， ∵ ∴或， 当时，， 当时，， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期质量调研试题 九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C D. 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 5. 如果三点和在抛物线的图象上，那么之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间（单位：s）的函数解析式是汽车刹车后到停下来前进了（　　）秒． A. B. C. D. 7. 如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. （30﹣2x）（40﹣x）＝600 B. （30﹣x）（40﹣x）＝600 C. （30﹣x）（40﹣2x）＝600 D. （30﹣2x）（40﹣2x）＝600 8. 关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一条抛物线对称轴是直线，顶点到x轴的距离是2，开口向上，请写出一个符合条件的解析式________． 12. 把抛物线向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，把点顺时针旋转 得到点，则的值为___________． 14. 若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第_____象限． 15. 定义符号min{a，b}含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a，如：min{1，-2）=-2，min{-3，-2）=-3，则方程min{x，-x}=x2-1的解是________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 用指定的方法解一元二次方程： （1） （直接开平方法）； （2）（配方法）； （3）（公式法）； （4）（因式分解法）． 17. 已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （Ⅰ）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式：　 　； （Ⅱ）抛物线与x轴交点坐标为 　 　； （Ⅲ）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （Ⅳ）当y＜0时，x的取值范围是 　 　； （Ⅴ）当0＜x＜3时，y的取值范围是 　 　． 18. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三面用篱笆围成一个矩形场地，篱笆总长． （1）围成一个面积为的矩形场地，求矩形场地的长和宽； （2）可以围成一个面积为的矩形场地吗？如果能，求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由． 19. 正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 20. 一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 21. 如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且，求点P点坐标； ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 22. 如图，四边形是边长为2，一个锐角等于菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交、（或它们的延长线）于点E、F，，当时，如图1小芳同学得出的结论是． （1）继续旋转三角形纸片，当时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由； （2）再次旋转三角形纸片，当点E，F分别在，的延长线上时，如图3连，若，求的面积． 23. 阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝ 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值． 解：∵一元二次方程x2－x－1＝0两个实数根分别为m，n， ∴m＋n＝1，mn＝－1， 则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ． （2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $