精品解析：吉林吉林市蛟河市实验中学2026-2027学年度高三第一学期期中考试数学试卷

蛟河市实验高中2026---2027学年度高三第一学期期中考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 3. 设常数，集合，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 幂函数在上单调递增，则函数（）图象过定点（ ） A. B. C. D. 5. 已知在处取得最小值，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 6. 在中，，则的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 7. 已知实数使得对任意恒成立，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 曲线在处的切线是 C. 函数的最小值是 D. 函数有且只有两个零点 10. 若命题“”是假命题，则m的值可以是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 4 11. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则下列叙述正确的有（ ） A. B. 当时，有 C. 当时，的最小值为4，则 D. 若关于的方程有实数根，则所有实数根之和为零 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________． 13. 已知集合.命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为__________. 14. 若函数在区间内单调递增，则的取值范围是_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）求边的长度和的面积. 16. 已知正实数x，y满足等式. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 17. 已知在中，． （1）证明：是直角三角形； （2）若，求的值． 18. 已知定义域为的函数是奇函数 （1）求的值 （2）判断并证明该函数在定义域上的单调性 （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）若曲线过点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蛟河市实验高中2026---2027学年度高三第一学期期中考试 数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，由， 得，则． 2. 一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为， 由题意可得，解得， 因此，这个扇形的圆心角的弧度数为. 3. 设常数，集合，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】若，则. 当时，，满足，所以符合题意； 当时，若，则，解得. 综上，. 4. 幂函数在上单调递增，则函数（）图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数定义求得，然后由指数函数的性质求得定点坐标. 【详解】由题意可知，∴， ∴，令，即，， ∴函数图象过定点. 故选：C. 5. 已知在处取得最小值，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】首先变形函数后，再利用基本不等式求最小值，即可求. 【详解】， 因为，所以， 当时等号成立，即时，的最小值为2， 所以当时，的最小值为，即. 6. 在中，，则的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 所以，， ，，，，即， 所以的形状是等腰三角形． 7. 已知实数使得对任意恒成立，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数单调性将原不等式转化为二次函数恒成立问题，推导得到与的不等关系，再化简目标表达式结合基本不等式求解最小值. 【详解】因为对任意恒成立， 所以，即对任意恒成立. 所以，则，且. 所以，当且仅当即时等号成立. 所以当时，取得最小值. 8. 定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意有，又，即可推出，进而判断A，作出在的图像，结合周期即可判断B，利用单调性即可判断C，先求一个周期的和，最后利用周期即可求，进而判断D. 【详解】由为奇函数有：，即，又，所以，所以， 即，所以，所以，故A正确； 由有的图像关于对称，又，所以的图像关于对称， 当时，，作出函数的图像： 由图可知在单调递减，又，所以是以4为周期的周期函数，所以， 所以当，，即在的图像与的图像一致，所以在单调递减，故B正确； 由，又，在单调递减，所以，故C错误； 由于，，，， 所以，且是以4为周期的周期函数，所以，故D正确， 故选：C. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 曲线在处的切线是 C. 函数的最小值是 D. 函数有且只有两个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】对函数求导，利用导数研究单调性、极值、切线与零点，逐一判断选项. 【详解】函数定义域为，， 因为，所以曲线在处的切线是，所以B正确， 令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，， 所以A错误，C正确， 令，解得，所以只有一个零点，所以D错误. 10. 若命题“”是假命题，则m的值可以是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 4 【答案】AB 【解析】 【详解】由题意可知：命题“”是真命题， 则，解得， 结合选项可知AB正确，CD错误. 11. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则下列叙述正确的有（ ） A. B. 当时，有 C. 当时，的最小值为4，则 D. 若关于的方程有实数根，则所有实数根之和为零 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇偶性可求出函数的解析式，进而可判断A；作出的图象，根据单调性可判断B；根据上的最小值可判断C；根据奇函数图象的对称性可判断D. 【详解】因为是定义域为的奇函数， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，， 综上可得， 所以，故A正确； 画出函数的图象，如图， 当时，单调递增，故当时，有，故B错误； 由图象可知，当时，的最小值为4，则，故C正确； 因为函数和均是定义域为的奇函数， 故方程的所有除0外的实数根成对出现，且关于原点对称， 所以所有实数根之和为零，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合诱导公式及二倍角公式求解即可. 【详解】因为 . 13. 已知集合.命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】先求出集合，再根据是的必要不充分条件，得出集合是集合的真子集，对集合是空集和非空集合讨论求解. 【详解】由得，解得， 所以， 因为命题，命题是的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集， 又， 当为空集时，，解得，满足题意； 当不是空集时，，解得， 经检验，当时，满足题意； 综上，的取值范围为或. 故答案为：或 14. 若函数在区间内单调递增，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出的单调递增区间，要使在区间内单调递增，即区间是函数单调递增区间的子集，由此列出不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】函数定义域， 对求导， 令，得，即， 结合，解得，即的单调递增区间为， 函数在内单调递增，则是的子集， 故，解得，则a的取值范围是. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）求边的长度和的面积. 【答案】（1） （2），的面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合正弦定理即可求解； （2）根据题意，得到，利用三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 已知， 由正弦定理得：， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 所以， 的面积. 16. 已知正实数x，y满足等式. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式即可求出的最大值； （2）先将分式进行通分，再结合的最大值即可求出答案，也可利用与相乘，根据基本不等式即可求出. 【小问1详解】 根据基本不等式可得， ，即，即， 所以，当且仅当时等号成立， 即的最大值为3. 【小问2详解】 法一：， 由（1）得，故， 即的最小值为. 法二：， ， 由基本不等式得 ， 当且仅当，即时等号成立. 17. 已知在中，． （1）证明：是直角三角形； （2）若，求的值． 【答案】（1）证明：因为， 所以， 因为，所以， 即或，因为，所以或， 所以为直角三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）根据恒等变换得或，即可得证； （2）根据利用二倍角公式得或，再根据（1）得，后利用三角恒等变换及齐次式即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为，即，所以， 即，解得或. 由（1）知，若，则，与已知矛盾，所以，，，. ， 因为，所以， 即. 18. 已知定义域为的函数是奇函数 （1）求的值 （2）判断并证明该函数在定义域上的单调性 （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）减函数. 证明：任取，， ， ， 所以在上是减函数. （3） 【解析】 【分析】(1)由题意结合确定实数a的值即可； (2)由题意结合函数单调性的定义确定函数的单调性即可； (3)由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性脱去f符号，结合恒成立的结论求解实数的取值范围即可. 【详解】（1）由题设，需．经验证，为奇函数， （2）略 （3）由得， 是奇函数，， 由（2）知在是减函数， 故原问题可化为即：对任意恒成立， ， 解得. 【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题. 19. 已知函数. （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）若曲线过点，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过求导分析函数单调性，求解函数的最大值，确定参数的取值范围； （2）利用进行变量代换，将双变量问题转化为单变量最值问题，通过二次求导分析导函数符号，确定函数单调性，求得最小值. 【小问1详解】 对求导得，令，得. 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 则，故实数的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）可知，，由题意知，故， 令，则， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以在上单调递减， 因此，故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $