吉林省通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高三上学期10月期中考试数学试题

高三数学期中考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1 已知集合，则（   ）

A.  B.

C.  D.

2. 已知复数满足（其中是虚数单位），且复数实部和虚部互为相反数，则实数的值为（   ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知，，则（   ）

A. 2 B.  C.  D. 3

4. 已知双曲线的顶点为，，虚轴的一个端点为，若为直角三角形，则的离心率为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

5. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ）

A.  B.

C.  D.

6. 函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（    ）

A. 4 B.

C.  D. 8

7. 如图，正方体中，M，N分别是线段上的动点（不含端点），则下列各项中会随着M，N的运动而变化的是（    ）

 

A. 异面直线与直线所成的角的大小 B. 平面与平面所成的角的大小

C. 直线到平面距离的大小 D. 异面直线，之间的距离的大小

8. 已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分）

9. 已知正数 满足 ，则下列不等关系正确的有（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为1，则下列结论正确的是（   ）

A. 点B到平面的距离是

B 平面与平面垂直

C. 记底面的中心为，则直线与直线所成角的余弦值为

D. 若为线段的中点，点在正四棱柱表面上运动，若平面，则点的轨迹是六边形

11. 函数，则下列说法正确的是（   ）

A. 是偶函数 B. 是奇函数

C. 是奇函数 D. 是奇函数

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知函数，则__________．

13. 已知是方程的一个根，是方程的一个根，则______.

14. 已知是各项均不为零的等差数列的前项和，且．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是______．

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 已知函数，其中e为自然对数的底数.

（1）若曲线在点处切线与直线l：垂直，求实数a的值；

（2）求函数的单调区间；

16. 已知数列中，.

（1）证明：数列为等差数列；

（2）给定正整数，设函数，求.

17. 在中，内角的对边分别是，若，且．

（1）求和；

（2）若边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长．

18. 已知定义在上偶函数和奇函数，若，，．

（1）求的值；

（2）若函数．

（ⅰ）当时，求函数的最小值；

（ⅱ）是否存在，使得关于不等式的解集为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

19. 已知函数．

（1）当时，求的极值；

（2）若对，恒成立，求实数a的取值范围；

（3）当，时，证明：．