吉林省通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高三上学期10月期中考试数学试题

高三数学期中考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中是虚数单位），且复数实部和虚部互为相反数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 4. 已知双曲线的顶点为，，虚轴的一个端点为，若为直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 7. 如图，正方体中，M，N分别是线段上的动点（不含端点），则下列各项中会随着M，N的运动而变化的是（ ） A. 异面直线与直线所成的角的大小 B. 平面与平面所成的角的大小 C. 直线到平面距离的大小 D. 异面直线，之间的距离的大小 8. 已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 已知正数 满足 ，则下列不等关系正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. 点B到平面的距离是 B 平面与平面垂直 C. 记底面的中心为，则直线与直线所成角的余弦值为 D. 若为线段的中点，点在正四棱柱表面上运动，若平面，则点的轨迹是六边形 11. 函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则__________． 13. 已知是方程的一个根，是方程的一个根，则______. 14. 已知是各项均不为零的等差数列的前项和，且．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，其中e为自然对数的底数. （1）若曲线在点处切线与直线l：垂直，求实数a的值； （2）求函数的单调区间； 16. 已知数列中，. （1）证明：数列为等差数列； （2）给定正整数，设函数，求. 17. 在中，内角的对边分别是，若，且． （1）求和； （2）若边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 18. 已知定义在上偶函数和奇函数，若，，． （1）求的值； （2）若函数． （ⅰ）当时，求函数的最小值； （ⅱ）是否存在，使得关于不等式的解集为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若对，恒成立，求实数a的取值范围； （3）当，时，证明：． DABAB DAC 9ACD 10ABD 11BC 12 13 8 14 15 【小问1详解】 ，因为在点处的切线与直线l：垂直， 则，解得. 【小问2详解】 ，当时，，此时的单调增区间为，无单调减区间； 当时，令，解得， 令，解得. 则此时单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述：当时，的单调增区间为，无单调减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 16 【小问1详解】 ，， 又，则是首项为1，公差为1的等差数列； 【小问2详解】 由（1）知，则， ，， 令， 则， 两式相减可得， . 17【小问1详解】 因为，所以， 又，故，则； 因为，， 由余弦定理及正弦定理得：， 所以，解得； 【小问2详解】 由余弦定理得：，即有①； 设为的中点，即，又因为， 所以，即②， 由①，②得：， 所以，所以． 因为为的平分线，所以， 则， 即． 18【小问1详解】 因为为偶函数，则恒成立，即， 即， 因为，所以，即， 所以，因为对所有都成立，所以； 因为函数为奇函数，且定义域为， 所以，即，所以， 即，因为，所以符合题意； 【小问2详解】 因为， 则 ， 令，则， （ⅰ）因为，且是关于的增函数，所以， ，对称轴为， 当时，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递减， 所以， 综上，当时，的最小值为； 当时，的最小值为； 当时，的最小值为； （ⅱ）因为，则， 所以若的解集为， 则关于的不等式的解集为， 则是方程的两根，且， 所以有，且， 解得， 所以当时，不等式的解集为． 19【小问1详解】 当时，的定义域为． ， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因此的极大值为，没有极小值． 【小问2详解】 ，等价于在上恒成立， 令，由得，． 下面证明当时，在上恒成立． 当时，， 令，则， 当时，令，则， 所以在上单调递增，所以，所以在上单调递减， 所以成立，即在上恒成立． 当时，因为，，， 所以， 所以在上单调递增，则，即在上恒成立． 综上可知，实数a的取值范围为． 【小问3详解】 要证明，只需证明， 设， 当时，， 由（1）可知，，即，当且仅当时取得等号， 又，所以，因此． 当时，，所以在上单调递增， 所以． 当时，， 综上可知，， 故当，时，. 学科网（北京）股份有限公司 $