精品解析：江苏连云港华杰实验学校2026-2027学年上学期九年级数学第一阶段学情检测

2026-2027学年连云港华杰实验学校第一阶段九年级数学月考 一．选择题(每题3分，共24分) 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数是y关于x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若点，，（）在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 5. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，当时，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（　　） A. 0或 B. 0或2 C. 2或 D. 0或或2 8. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图像上．若直线的函数表达式为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题(每题3分，共24分) 9. 构造一个二次项系数不为，根为和的一元二次方程，它的一般形式为__________． 10. 反比例函数的图象在第二、四象限内，则m的取值范围是______． 11. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为__________． 12. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的函数表达式为．当时，，若从升到，则的变化量为__________． 13. 如图，直线与函数的图象交于B，C两点，与y轴交于点A，与x轴交于点D．已知，则__________． 14. 若方程的两个实数根分别记作和，若满足则k的值为__________． 15. 若方程有实数根，则的取值范围为__________． 16. 如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，P在x轴上，连接、，若的面积为6，则__________． 17. 若（为实数），则的最小值为__________． 三．简答题(共9题，共102分) 18. 用合适的方法解一元二次方程． （1） （2） （3） （4） 19. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 20. 已知一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求的值． （2）若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 21. 如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点和点 （1）求反比例函数表达式和一次函数表达式； （2）求的面积； （3）直接写出时，的取值范围． 22. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压P(单位：)是气体体积V(单位：的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式． （2）求当气球的体积是时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于 立方米． 23. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，并且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“3倍根方程”． （1）请根据上述结论解决问题：下列方程①；②中，是3倍根方程的有______（填序号即可）； （2）若是3倍根方程，求的值． （3）一般规律探究：若一元二次方程是“3倍根方程”，则满足什么数量关系？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年连云港华杰实验学校第一阶段九年级数学月考 一．选择题(每题3分，共24分) 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程满足：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数最高次数是2；④二次项系数不为0，逐项判断即可． 【详解】A：含有x，y两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B：满足全部条件，是一元二次方程； C：没有说明，当时不是二次方程，不符合题意； D：是多项式，不是等式，不是方程，不符合题意． 2. 下列函数是y关于x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项分母为，B选项中的次数为，均不符合反比例函数形式． C选项，是反比例函数． D选项是正比例函数，不符合要求． 3. 若点，，（）在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将点A，B，C的横坐标分别代入，得，，． ∵， ∴，， ∴． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 通过计算一元二次方程根的判别式的值，根据其正负来判断根的情况． 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 5. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为， 故选D． 6. 在同一平面直角坐标系中，当时，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，先根据一次函数中的，得一次函数交于轴的负半轴，再结合，则经过第一、三象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数中的， ∴一次函数交于轴的负半轴， 故B和D选项不符合题意； ∵， ∴经过第一、三、四象限，经过第一、三象限， 故选：A． 7. 定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（　　） A. 0或 B. 0或2 C. 2或 D. 0或或2 【答案】D 【解析】 【分析】根据非负数的性质，得出，再根据新定义运算法则，得出，然后分四种情况：当时，当时，当时和当时，根据新定义运算法则，结合直接开平方法解一元二次方程，计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ①当时，则， ∴，即， 解得：； ②当时，则， ∴，即， 解得：或（舍）； ③当时，则， ∴，即， 解得或（舍）； ④当时，，方程没有实数解； 综上所述：方程的解为或或， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关键． 8. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图像上．若直线的函数表达式为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，可证明，根据全等三角形的性质得到，，证明，根据相似三角形的性质得到，设设，，根据反比例函数图像上点的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：在中，令，则，令，则， ，， ，， 过作轴于，过作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图像上， ， 解得：或（不合题意舍去）， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 二．填空题(每题3分，共24分) 9. 构造一个二次项系数不为，根为和的一元二次方程，它的一般形式为__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据方程的两个根为和，结合根与系数的关系得两根之和为，两根之积为：，设一元二次方程的一般形式为：（），即可得，，根据题目要求即可，故可取，此时，，，进而得符合题意的一元二次方程的一般形式． 【详解】解：∵ 一元二次方程的两个根为和， ∴ 两根之和为，两根之积为：， 由题意得：且， 设一元二次方程的一般形式为：（）， ∴，，整理得：，， ∵题目要求即可， ∴可取，此时，，， ∴符合题意的一元二次方程的一般形式为． 10. 反比例函数的图象在第二、四象限内，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，图象在第二、四象限时，比例系数小于0，列不等式求解即可得到的范围． 【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限， 比例系数， 解得． 11. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程根的定义，将根代入原方程得到对应代数式的值，通过整体代入法计算目标式，无需单独求解的具体值． 【详解】解：是一元二次方程的根， 将代入原方程， 可得：， 移项可得：， 将整体代入， 可得：． 12. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的函数表达式为．当时，，若从升到，则的变化量为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知的电阻和电流值求出电压，再分别计算和对应的电流，两者的差值即为电流的变化量． 【详解】解：∵当时，，代入， ∴ ， ∴ 电流与电阻的函数表达式为， 当时，代入得， 当时，代入得， ∴的变化量为． 13. 如图，直线与函数的图象交于B，C两点，与y轴交于点A，与x轴交于点D．已知，则__________． 【答案】 3 【解析】 【分析】联立直线与反比例函数解析式得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得出，证明，得出线段与的数量关系； 【详解】解：过点B，C分别作轴于点E，轴于点F， 设，， 则， 联立直线与反比例函数得，整理得， 则方程的两个根为， 根据根与系数的关系，得， 对于直线，令，得，即点的横坐标， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， 14. 若方程的两个实数根分别记作和，若满足则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将给定的根的关系式变形为两根和与两根积的等式，结合一元二次方程根与系数的关系建立关于的方程，再通过判别式验证解的合理性，舍去无实根的情况． 【详解】解：∵， ∴，移项整理得， 对于一元二次方程， 根据根与系数的关系，可得，， ∴， 移项化简得， 因式分解得， 解得或， ∵一元二次方程存在两个实根的前提是判别式， ∴ 解得， ∴的值为． 15. 若方程有实数根，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】因二次项系数含参数，需分方程为一元一次方程、一元二次方程两类讨论，分别结合对应方程有实数根的条件求解，再合并结果． 【详解】解：当，即时， 原方程化为， 解：； 当，即时， 原方程为一元二次方程， 方程有实数根， ， 整理得：， 解得：； 的取值范围为且， 综上所述，的取值范围为． 16. 如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，P在x轴上，连接、，若的面积为6，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据平行面积转化结合值的几何意义，进行求解即可. 【详解】解：连接，设与轴交于点，如图， ∵轴，P在x轴上，的面积为6， ∴轴，的面积等于的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∵图象在第二象限， ∴， ∴. 17. 若（为实数），则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可． 【详解】解： = = = ∵为实数， ∴ ∴的最小值为, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值． 三．简答题(共9题，共102分) 18. 用合适的方法解一元二次方程． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， （4） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得，. 【小问3详解】 解：， ， ， 或， 解得，； 【小问4详解】 解：， ，，， ， ， 解得，. 19. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【小问1详解】 解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； 【小问2详解】 解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 20. 已知一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求的值． （2）若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）把代入，化简即可得到答案； （2）由得到，代入根的判别式，化简得，解关于b的方程即可证得结论． 【小问1详解】 解：∵若是方程的一个根， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵方程有两个相同的实数根， ∴， 解得， ∴b的值为或． 21. 如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点和点 （1）求反比例函数表达式和一次函数表达式； （2）求的面积； （3）直接写出时，的取值范围． 【答案】（1）反比例函数表达式和一次函数表达式． （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，利用函数图象解不等式；熟练的利用数形结合的思想解题是关键． （1）将A点坐标代入反比例函数可得反比例函数解析式，再求解B的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）令直线与x轴的交点为M．由，再计算即可； （3）直接利用函数图象解答即可． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数，得 ， 解得， ∴反比例函数， 将点代入反比例函数，得 ， 解得， ∴， 将点，分别代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数； 答：反比例函数表达式和一次函数表达式． 【小问2详解】 令直线交x轴于点M，如图 将代入，得 ， 解得， ∴， ∵，， ∴． 【小问3详解】 由图像及，，可知，当或时，． 22. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压P(单位：)是气体体积V(单位：的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式． （2）求当气球的体积是时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于 立方米． 【答案】（1） （2）当气球的体积是时，气球内的气压是120千帕 （3）为了安全起见，气球的体积应不小于立方米 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将，代入解析式即可求解； （3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，则当千帕时，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设反比例函数的解析式，根据图象得在该函数图象上， ， 解得：， 反比例函数的解析式； 【小问2详解】 把代入， 得（千帕）， ∴当气球的体积是时，气球内的气压是120千帕； 【小问3详解】 由题意知，， 解得， ∴为了安全起见，气球的体积应不小于立方米． 故答案为：． 23. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 【答案】（1）车道宽度符合标准 （2）每个车位月租金上涨25元 【解析】 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． 【小问2详解】 解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，并且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“3倍根方程”． （1）请根据上述结论解决问题：下列方程①；②中，是3倍根方程的有______（填序号即可）； （2）若是3倍根方程，求的值． （3）一般规律探究：若一元二次方程是“3倍根方程”，则满足什么数量关系？ 【答案】（1）② （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）分别求出两方程的根，根据“3倍根方程”的定义判断即可； （2）求出方程的根，根据“3倍根方程”的定义求出、的关系，进而代入计算即可； （3）根据“三倍根方程”的概念得到原方程可以改写为，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 ①， 即或， 解得：， ∵， ∴不是3倍根方程； ②， ， 即或， 解得：， ∵， ∴是3倍根方程； 所以是3倍根方程的有②． 故答案为：②； 【小问2详解】 即或， 解得， ∵是3倍根方程， ∴或， 即或， ∴或； 【小问3详解】 根据“三倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为t和3t． ∴原方程可以改写为， 即 ∴， ∴， 即，则， ∴， 即． ∴a，b，c之间的关系是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $